2014桌越联盟预测试卷6

2014年Y.P.M自主招生预测试卷 第六卷 1(总21)

2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题

(Y.P.M预测第六试卷)

姓名 成绩 .

一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个

2.设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z122z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )

(A)82 (B)83 (C)42 (D)43

3.函数f(x)=arctanx+21arcsinx的值域是( )

(A)(-π,π) (B)[-43,43] (C)(-43,43) (D)[-2,2]

4.方程3cos2cos3sin2sin22yx=1表示的曲线是( )

(A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在y轴上的椭圆 (D)焦点在y轴上的双曲线

二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)

5.已知定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足:f(x)=g(x+1),则g(2015)= .

6.已知正四棱锥P-ABCD的体积=3,则正四棱锥P-ABCD的外接球表面积的最小值为 .

7.若f(x)=x4-43x2-81x+1,则f(cos7)= .

8.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.若c=10,BAcoscos=ab=34,P为△ABC的内切圆上的动点,d为P到顶点A、B、C的距离的平方和,则dmin+dmax= .

2(总22) 第六卷 2014年Y.P.M自主招生预测试卷

三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)

9.(本题13分)A、B两人进行抛硬币游戏,规定:①掷币者,若掷出的硬币正面向上,则得1分,并可继续掷币;若掷出的硬币反面向上,则得0分,并将硬币交给对方,由对方掷币;②先得2分者获胜;③A先掷币.

(Ⅰ)求A、B恰好同时掷n次后,B得0分,A获胜的概率P(n);

(Ⅱ)求A、B恰好同时掷n(n=2,3,…)次后,B得0分,A获胜的期望.

10.(本题13分)数列{an}满足:a1∈N+,an+1=n[nan]+n,其中,[x]表示不超过实数x的最大整数.

(Ⅰ)求证:[11nan]≤[nan];

(Ⅱ)求证:存在正整数N,k,使得当n≥N时,an=k(n-1).

11.(本题15分)设AB是抛物线y2=4px的一条焦点弦,且AB与y轴不垂直,P是y轴上异于原点O的一点,且满足:

(OA+OB)OP=4|OP|2,求证:O、P、A、B四点共圆.

12.(本题15分)已知实系数非常数多项式f(x)满足f(2)=24,且(x3+4x2+4x+3)f(x)=(x3-2x2+2x-1)f(x+1),求f(x).

2014年Y.P.M自主招生预测试卷 第六卷 3(总23)

2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题

(Y.P.M预测第六试卷)详解

一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个

解:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在−1≤x≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+3+…+ 2007)=2008×2007.所以当−1≤a2−3a+2≤1,且−1≤a−1≤1时,恒有f(a2−3a+2)=f(a−1).故选(D).

2.设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z122z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )

(A)82 (B)83 (C)42 (D)43

解:4z122z1z2+z22=0(z2-z1)2=-3z12z2-z1=3z1i|z2-z1|=3|z1|AB⊥OA,且|AB|=3|OA|△OAB的面积=21|OA||AB|=83.故选(B).

3.函数f(x)=arctanx+21arcsinx的值域是( )

(A)(-π,π) (B)[-43,43] (C)(-43,43) (D)[-2,2]

解:设arcsinx=α∈[-2,2],且x∈[-1,1]arctanx=β∈[-4,4]f(x)=β+21α∈[-2,2].故选(D).

4.方程3cos2cos3sin2sin22yx=1表示的曲线是( )

(A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在y轴上的椭圆 (D)焦点在y轴上的双曲线

解:由2+3>π0<2-2<3-2<2cos(2-2)>cos(3-2)sin2>sin3;又0<2<2,2<30,cos3<0,方程表示的曲线是椭圆;(sin2-sin3)-(cos2-cos3)=22sin232sin(232+4)-

2<232<0,2<232<4343<232+40(sin2-sin3)<(cos2

-cos3)曲线表示焦点在y轴上的椭圆,选(C).

二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)

5.已知定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足:f(x)=g(x+1),则g(2015)= .

解:由f(x)为奇函数f(x)+f(-x)=0g(x+1)+g(-x+1)=0g(x)关于点(1,0)对称g(x)是以T=4(1-0)=4为周期的周期函数,且g(1)=0g(2015)=g(503×4+3)=g(3)=g(-1)=g(1)=0.

6.已知正四棱锥P-ABCD的体积=3,则正四棱锥P-ABCD的外接球表面积的最小值为 .

解:设正四棱锥P-ABCD的底面边长、高、外接球半径分别为a、h、r,则31a2h=3a2=h33,又由(h-r)2+(22a)2=r2

2r=ha22+h=2233h+2h+2h≥3222332hhh=233,当且仅当2233h=2hh=3时等号成立外接球表面积的最小值=427π.

7.若f(x)=x4-43x2-81x+1,则f(cos7)= .

解:设cos7+isin7=ω,则ω7=-1ω6-ω5+ω4-ω3+ω2-ω+1=0,且cos7=212f(cos7)=f(212)=(212)4- 4(总24) 第六卷 2014年Y.P.M自主招生预测试卷

43(212)2-81(212)+1=4161[(ω2+1)4-3(ω2+1)2ω2-(ω2+1)ω3]+1=4161(ω2+1)(ω6-ω3+1)+1=4161[(ω6-ω5+ω4

-ω3+ω2-ω+1)-ω4]+1=-161+1=1615.

8.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.若c=10,BAcoscos=ab=34,P为△ABC的内切圆上的动点,d为P到顶点A、B、C的距离的平方和,则dmin+dmax= .

解:由cosA:cosB=b:a=sinB:sinAsin2A=sin2B(a≠b) A

2A+2B=1800C=900,b=8,a=6r=2,建立直角坐标系,如图:

则内切圆:(x-2)2+(y-2)2=4,设P(x,y),则d=x2+(y-8)2+(x-6)2

+y2+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)2]+76-4y=88-4y,由0≤y≤4d2∈

[72,88]dmin+dmax=160. C B x

三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)

9.(本题13分)A、B两人进行抛硬币游戏,规定:①掷币者,若掷出的硬币正面向上,则得1分,并可继续掷币;若掷出的硬币反面向上,则得0分,并将硬币交给对方,由对方掷币;②先得2分者获胜;③A先掷币.

(Ⅰ)求A、B恰好同时掷n次后,B得0分,A获胜的概率P(n);

(Ⅱ)求A、B恰好同时掷n(n=2,3,…)次后,B得0分,A获胜的期望.

解:(Ⅰ)硬币正面向上记为△,硬币反面向上记为▽,考虑△和▽共n个,A获胜有两种情况①当n=2k+1时,设B得的所有▽号有m个,则A得的所有▽号也有m个,A得的所有△号有2个,此时2m+2=n=2k+1,矛盾;②当n=2k时,最后一个必为△号,前一个号△的可能情况:▽…▽△▽…▽△,其前后均为偶数▽个号,即可在第1,3,…,(2k-1)号,共k个位置上,所以,A获胜的概率P(n)=k(21)n=12nn;

(Ⅱ)A获胜的期望E=2P(2)+3P(3)+…+nP(n)=nkkk112)21(-41-21;令Sn=12(21)2+22(21)3+…+k2(21)k+1+…+n2(21)n+1