一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题

方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）

平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根

即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式

一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。

1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x

5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22

=--x

方法二：配方法解一元二次方程

1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）

（3） 4) (5)

二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y

2、x x 4232=- 39642=-x x 、

4、0542=--x x

5、01322=-+x x

6、07232=-+x x

方法三：公式法

1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法

2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）

解：二次项系数化为1，得 ，

移项 ，得 ，

配方, 得 ，

方程左边写成平方式 ，

∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：

（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x

（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。

（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。

3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因

（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；

当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；

当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。

（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，•将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3）

（4） （5）

二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22

314y y -= 3、y y 32132=+

4、01522=+-x x

5、1842-=--x x

6、02322=--x x

7．x 2＋4x －3=0．

8．.03232=--x x

方法四：因式分解法

1.定义：当一元二次方程的一边为 ，而另一边易于分解成两个 时，然后令每一个因式为零分别解之，从而得到一元二次方程解的方法叫做因式分解法

2.步骤：（1） （2） （3）

(4) （5） 3. 因式分解的方法：（1）提公因式法：

（3）公式法：平方差： 完全平方：

(3)十字相乘法： ② ③

二、 用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=

2、0)32()1(22=--+x x

3、0862=+-x x

4、22)2(25)3(4-=+x x

5、0)21()21(2=--+x x

6、0)23()32(2=-+-x x

三、 用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法)

1、2260x y -+=

2、x x 5322=-

3、()()513+=-x x x x 4.030222=--x x

5、01072=+-x x

6、()()623=+-x x 7. x 2+4x -12=0 8.0432=-y y

9、()02152=--x 10

、0432=-y y 11、03072=--x x

12、()()412=-+y y 13

、()()1314-=-x x x 14、()025122=-+x

15.02222=+-+a b ax x 16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y

18、0

3)19(32=--+a x a x 19

、()()03342=-+-x x x 20

、 22244a b ax x -=-

解答题：类型一；知道根的情况，利用判别式列不等，求参数的取值范围

1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.

（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根

2.k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．

3、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．

（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．

4.如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．

5.若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值