江苏省南京市六校联考2016届高三上学期12月调研数学试卷

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；圆锥的侧面积公式：rl S π=，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}3,2,1,0=M ，集合{}101,,N -=，则MN = ▲ ．2．双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 3．复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 4. 若一组样本数据3，4，8，9，a 的平均数为6方差s 2＝ ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．7．若圆锥底面半径为1，侧面积为π5,则该圆锥的体积 是____▲____．8．设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率 的最小值是 ▲ ．9．已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，x x x f -=2)(．若f (a )＜4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ．第6题图11．ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+，则CD BE ⋅的值为 ▲ ．12．已知圆22:(2)2C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T，若PA =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-， 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ． 14．已知函数2()221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ _.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cos A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1) PD ∥平面ACE ；(2) 平面PAC ⊥平面PBD ．题16图ABCDPOE17. (本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x上一点与两焦点构成的三角形的周长为. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5百米，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB ⌒相切点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH (垂足均不与O 重合)． (1) 求新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值；(2) 在观光道ON 段上距离O 为15百米的E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD 的延长线不能进入以E 为圆心，2.5百米为半径的圆形E 的区域内．则点D 应选择在O 与E 之间的什么位置？请说明理由．M19．(本小题满分16分）已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n kn n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．20．(本小题满分16分）已知函数ln (),()x x x f x g x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.) 1． {}10, 2． x y 35±= 3．23 4．526 5． 61 6． 20 7． π328． 4 9．10433+ 10． ()2-，∞ 11． 4- 12． k ≤k ≥13．9814 ．3≤t 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． ………………2分 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．cos B B =． ………………………………………………………4分 法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B ==所以6B π=． ……………………………………………………6分法二：cos 0B B -=即2sin()06B π-=， …………………………4分所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=． …………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ，① …………………………………9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +=， ② …………………………………12分 把①代入②得3a =，c =…………………………………14分 16．【解析】证明：(1) 连接OE ．因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以O 为BD 中点． ……………………2分因为E 为PB 的中点，所以PD ∥OE ． …………4分 又因为OE ⊂面ACE ，PB/⊂平面ACE ， 所以PD ∥平面ACE ． …………………………6分 (2) 在四棱锥P －ABCD 中，．．．．．．． 因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD ⊥PC ． …………………………………8分 因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以BD ⊥AC ． ………………………………………………10分 又PC 、AC ⊂平面PAC ，PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ． …………………………………12分 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ． ………………………………14分 17. 【解析】（1）由题设得2e =2,a c =,∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：题16图A BC D P OE222220x mx m++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y，则12212222x x mx x m+=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分||PQ=21|x x=-==……8分B到直线PQ的距离为5121-=md，A到直线PQ的距离为5121+=md，………………………………10分又因为P在第一象限, 所以11<<-m，所以5451251221=++-=+)m()m(dd，所以74821221=-=⋅+=mPQ)dd(SAPBQ，……………………………12分解得21±=m，所以直线方程为2121±=xy．…………………………………………14分18．解：(1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，则∠FOC＝2π3－θ(π6＜θ＜π2)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(2π3－θ)，……………………2分则FG＋FH＝5sin(2π3－θ)＋5sinθ＝5(32cosθ＋12sinθ＋sinθ)＝5(32sinθ＋32cosθ)＝53sin(θ＋π6) ……………………4分因为π6＜θ＜π2，所以π3＜θ＋π6＜2π3，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，(FG＋FH)max＝53．………………………………………………6分 (2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD 下方，点E 在直线CD 上方．由OF ＝5，圆E 的半径为2.5，因为圆O 的方程为x 2＋y 2＝25，圆E 的方程为(x －15)2＋y 2＝6.25，………………………………………………8分 设直线CD 的方程为y ＝kx ＋t (－3＜k ＜0，t ＞0)， 即kx －y ＋t ＝0，设点D (x D ，0)则⎩⎪⎨⎪⎧t k 2＋1＝5 ………①，－15k －t k 2＋1>2.5 ……②．……………………10分由①得t ＝5k 2＋1， …………………………12分 代入②得－15k －5k 2＋1k 2＋1>2.5，解得k 2>13． ………………………13分 又由－3＜k ＜0，得0＜k 2＜3，故13＜k 2＜3，即13＜1k 2＜3．在y ＝kx ＋t 中，令y ＝0，解得x D ＝t－k ＝5k 2＋1－k＝51＋1k 2，所以1033＜x D ＜10． ………………………15分答：(1) 新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值是53百米；(2) 点D 应选择在O 与E 之间，且到点O 的距离在区间(1033，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分 19.解：（1）因为n a a b n n n =-=+1)1（，所以10432151=+++=-a a ，所以95-=a . ………………………4分 （2）（i ）因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，得 ）（k n k n k n k n a a a a ++++-+=-+)1(2)1(11， 令k ＝1, ）（1212-+++-=n n n n a a a a ，……………① k ＝2，）（2312++++=+n n n n a a a a ，……………② …………………6分 由①得）（21322-++++-=n n n n a a a a ，……………③②+③得）（n n n n a a a a +=++++1122，……………④ ……………………8分 ①+④得n n a a 21=+，又011≠=a ，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12-=n n a ． ……………………10分 （ii ）由（i ）可知S n ＝2n－1． 因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k， ………………………12分所以2t＝(2k )2－3⋅2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3⋅2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3． ………………………14分当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3⋅2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3⋅2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分 20．（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分 当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分 则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a +=-，则2ln ()(0)a n a a a'=>，令()0n a '=，得1a = 当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分 故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x-<+->>， 此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k =符合题意． ……………………………16分。

2015-2016学年江苏省南京市六校联考高三（上）12月调研数学试卷一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）1．设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x= ．2．已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的模为．3．已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．6．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是．8．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．9．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，若在椭圆上存在点P，使得当PQ⊥l于点Q时，四边形PQF1F2为平行四边形，则此椭圆的离心率e的取值范围是．11．若x．y均为正实数，且x+2y=4，则+的最小值是．12．在△ABC中，已知BC=2， =1，则△ABC面积的最大值是．13．已知圆O：x2+y2=4，直线l：x+y﹣4=0，A为直线l上一点，若圆O上存在两点B、C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是．14．若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆C的右焦点到右准线的距离为，椭圆C的下顶点为D．（1）求椭圆C的方程；（2）若过D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、M．求证：直线PM经过一定点．18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（I）求证：a n+1+a n=4n+2；（II）求数列{a n}的通项公式；（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=（e﹣1）x﹣1，求实数a及b的值；（2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（选修4-1：几何证明选讲）21．选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．求证：FG∥AC．（选修4-2：矩阵与变换）22．（2012•盐城一模）已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l′，求直线l′的方程．选修4-4：坐标系与参数方程23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．选修4-5：不等式选讲24．已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．26．设f（x）是定义在R上的函数，已知n∈N*，且g（x）=C f（）x0（1﹣x）n+C f（）x1（1﹣x）n﹣1+C f（）x2（1﹣x）n﹣2+…+C f（）x n（1﹣x）n．（1）若f（x）=1，求g（x）；（2）若f（x），求g（x）．2015-2016学年江苏省南京市六校联考高三（上）12月调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）1．设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x= 1 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．【解答】解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．2．已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的模为．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数方程两边求模推出结果即可．【解答】解：复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），可得：|（3+4i）z|=1，即|3+4i||z|=1，可得5|z|=1．∴z的模为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3．已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】把m=1代入可判l1∥l2”成立，而“l1∥l2”成立可推出m=1，或m=2，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1∥l2”成立；而若满足“l1∥l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题．4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55 ．【考点】伪代码．【专题】计算题；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；【点评】本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键，属于基础题．5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】利用组合的方法求出甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题的方法，全是甲类试题，有1种方法，利用对立事件的概率公式求出至少有1道试题是乙类试题的概率．【解答】解：甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题，共有=10种方法，全是甲类试题，有1种方法，∴至少有1道试题是乙类试题的概率为1﹣=．故答案为：．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0×2+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是﹣2 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求【解答】解：∵a2a8=2a3a6，S5=﹣62∴q≠1∴解方程可得，q=2，a1=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．9．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，若在椭圆上存在点P，使得当PQ⊥l于点Q时，四边形PQF1F2为平行四边形，则此椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】PQF1F2为平行四边形对边相等．推出PQ=F1F2=2C．设P（x1，y1）． P在X负半轴，利用P的横坐标的范围，得到关系式，即可得到椭圆离心率的范围．【解答】解：因为PQF1F2为平行四边形，对边相等．所以，PQ=F1F2，所以PQ=2C．设P（x1，y1）． P在X负半轴，﹣x1=﹣2c＜a，所以2c2+ac﹣a2＞0，即2e2+e﹣1＞0，解得e，因为椭圆e取值范围是（0，1），所以此题答案为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题是中档题，考查椭圆的基本性质，找出P的横坐标与椭圆长半轴的关系是解题的关键，考查计算能力，转化思想．11．若x．y均为正实数，且x+2y=4，则+的最小值是 2 ．【考点】基本不等式．【专题】整体思想；换元法；不等式的解法及应用．【分析】令x+2=m，y+1=n，整体换元由基本不等式可得．【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m﹣2，y=n﹣1，∵x，y均为正实数，且x+2y=4，∴m＞2且n＞1，且m﹣2+2（n﹣1）=4即m+2n=8，换元可得+=+=+=m+﹣4+2n+﹣4=+==，由8=m+2n≥2可得mn≤8，∴≥2，当且仅当=即m=2n时取等号，结合m+2n=8可解得m=4且n=2，即x=2且y=1．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式求最值，整体换元是解决问题的关键，属中档题．12．在△ABC中，已知BC=2， =1，则△ABC面积的最大值是．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】根据=1，及向量的数量积的定义式得到cosA=1，两边平方得到1=AB2AC2cos2A，根据三角形的面积公式S=|AB||AC|sinA，两边平方，两式相加，得到1+4S2=AB2AC2，根据余弦定理和基本不等式即可求得三角形面积的最大值．【解答】解：∵ =1，∴ cosA=1∴1=AB2AC2cos2A（1）又∵S=|AB||AC|sinA∴4S2=AB2AC2sin2A（2）（1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A）即1+4S2=AB2AC2由题知： =﹣，∴BC2=AC2﹣2+AB2=AC2+AB2﹣2∵BC=2，∴AC2+AB2=6由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 当且仅当，AC=AB时，取等号∴6≥2AC•AB即AC•AB≤3∴1+4S2=AB2AC2《9∴4S2≤8，即：S2≤2∴S≤，所以△ABC面积的最大值是：．故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量在几何中的应用和向量的数量积的定义式，以及余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等基础知识和基本方法，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．13．已知圆O：x2+y2=4，直线l：x+y﹣4=0，A为直线l上一点，若圆O上存在两点B、C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是[0，4] ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先确定从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，进而求出OA的长度为4，故可转化为在直线上找到一点，使它到点O的距离为4．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠POQ为120°，所以OA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点O的距离为4．设A（x0，4﹣x0），则∵O（0，0），∴x02+（4﹣x0）2=16∴x0=0或4∴满足条件的点A横坐标的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．14．若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是[，1）∪[3，+∞）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，②当a＞0时，由3x﹣a=0讨论，再由x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a）讨论，从而确定方程的根的个数．【解答】解：①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，故函数f（x）没有零点；②当a＞0时，3x﹣a=0，解得，x=log3a，又∵x＜1；∴当a∈（0，3）时，log3a＜1，故3x﹣a=0有解x=log3a；当a∈[3，+∞）时，log3a≥1，故3x﹣a=0在（﹣∞，1）上无解；∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[1，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，当a∈[，1）或a∈[3，+∞）时，函数f（x）=恰有2个零点，故答案为：[，1）∪[3，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用．二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的关系的坐标表示和同角的商数关系及两角差的正切公式，计算即可得到；（2）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的图象和性质，即可得到f（x）的值域．【解答】解：（1）∥即有cosx+sinx=0，即tanx=﹣，tan（x﹣）===﹣7；（2）f（x）=2（+）•=2cosx（sinx+cosx）+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，即，则f（x）≤+，则f（x）的值域为[+]．【点评】本题考查平面向量的共线和数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆C的右焦点到右准线的距离为，椭圆C的下顶点为D．（1）求椭圆C的方程；（2）若过D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、M．求证：直线PM经过一定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得c2=a2，又﹣c=，且a2=b2+c2，解得b=1，则a=3，即可得解椭圆C的方程；（2）设直线PD的斜率为k，由得P（，），M（，），作直线l关于y轴的对称直线l′，可知定点在y轴上，当k=1时，P（，），M（﹣，），可求此时直线PM经过y轴上的点T（0，），证明k PT=k MT，即可得解P，M，T三点共线，即直线PM经过点T．【解答】解：（1）依题意知 e=，则c2=a2，…又﹣c=，且a2=b2+c2，∴b=1，则a=3，∴方程为+y2=1．…（2）由题意知直线PD，MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，由得P（，），…用﹣去代k，得M（，），…作直线l关于y轴的对称直线l′，此时得到的点P′、M′关于y轴对称，则PM与P′M′相交于y轴，可知定点在y轴上，当k=1时，P（，），M（﹣，），此时直线PM经过y轴上的点T（0，），…∵k PT=，…k MT==…∴k PT=k MT，∴P，M，T三点共线，即直线PM经过点T，故直线PM经过定点T（0，）．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由题意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l的最小值．【解答】解：（1）由题意，延长QP，交AB于E，则=（﹣θ），△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=﹣θ，∠BEP=，∴EP=sin（﹣θ），EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l=﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sinθ+﹣θ=4﹣2sin（θ+）+﹣θ（0＜θ＜）；（2）l′=﹣2cos（θ+）﹣1，∴0＜θ＜时，l′＜0，＜θ＜，时，l′＞0，∴θ=时，l取得最小值，最小值为（4﹣+）百米．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理与两角差与两角和的正弦，考查导数知识的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（I）求证：a n+1+a n=4n+2；（II）求数列{a n}的通项公式；（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】综合题．【分析】（I）由，知，由此能够导出．（II）在中，令n=1，得a1=2，代入（I）得a2=4．由a n+1+a n=4n+2，知a n+2+a n+1=4n+6，故a n+2﹣a n=4，由此能导出数列{a n}的通项公式是a n=2n．（III）＜等价于，令f（n）=，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．【解答】解：（I）∵，∴=，∴，即．（II）在中，令n=1，得a1=2，代入（I）得a2=4．∵a n+1+a n=4n+2，∴a n+2+a n+1=4n+6，两式相减，得：a n+2﹣a n=4，∴数列{a n}的偶数项a2，a4，a6，…，a26，…依次构成一个等差数列，且公差为d=4，∴当n为偶数时， =，当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：a n=4n+2﹣a n+1=4n+2﹣2（n+1）=2n，∴数列{a n}的通项公式是a n=2n．（III）＜，等价于，令f（n）=，则由（II）知f（n）＞0，∴═===．∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，∴n∈N*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，则必有：，即，它等价于，解得，或，因此，存在实数a，符合题意，其取值范围为．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=（e﹣1）x﹣1，求实数a及b的值；（2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得a，b；（2）求得g（x）及导数，对a讨论，当2a≤0即a≤0时，当ln（2a）≤0即0＜a≤时，当0＜ln（2a）＜1即＜a＜时，当ln（2a）≥1即a≥时，求出单调区间可得最小值；（3）求出导数，f（1）=0，即有e﹣a﹣b﹣1=0，可得b=e﹣a﹣1，结合（1），（2）运用函数零点存在定理，结合函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，得f′（x）=e x﹣2ax﹣b，∴f（1）=e﹣a﹣b﹣1，f′（1）=e﹣2a﹣b，∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（e﹣a﹣b﹣1）=（e﹣2a﹣b）（x﹣1），由切线的方程y=（e﹣1）x﹣1，可得e﹣a﹣b﹣1=e﹣1﹣1，e﹣2a﹣b=e﹣1，解得a=0，b=1；（2）由f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1得f′（x）=e x﹣2ax﹣b，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，∴g′（x ）=e x﹣2a ．当2a≤0即a≤0时，e x ﹣2a ＞0对一切x ∈[0，1]恒成立， ∴g（x ）在[0，1]内单调递增，∴g（x ）在[0，1]上的最小值是g （0）=1﹣b ； 当2a ＞0即a ＞0时，令g′（x ）=0，得x=ln （2a ）， 从而有①当ln （2a ）≤0即0＜a≤时，列表如下：依表格知g （x ）在[0，1]上的最小值是g （0）=1﹣b ； ②当0＜ln （2a ）＜1即＜a ＜时，列表如下：依表格知g （x ）在[0，1]上的最小值是g （ln （2a ））=2a ﹣2aln （2a ）﹣b ；③当ln （2a）≥1即a≥时，列表如下：依表格知g （x ）在[0，1]上的最小值是g （1）=e ﹣2a ﹣b ． 综上所述：当a≤时，g （x ）在[0，1]上的最小值是1﹣b ；当＜a ＜时，g （x ）在[0，1]上的最小值是2a ﹣2aln （2a ）﹣b ； 当a≥时，g （x ）在[0，1]上的最小值是e ﹣2a ﹣b ． （3）f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，g （x ）=f′（x ）=e x ﹣2ax ﹣b ， 由f （1）=0，即有e ﹣a ﹣b ﹣1=0，可得b=e ﹣a ﹣1，∴g（x ）=e x﹣2ax ﹣e+a+1，又f （0）=0． 若函数f （x ）在区间（0，1）内有零点， 设x 0为f （x ）在区间（0，1）内的一个零点， 则由f （0）=f （x 0）=0可知，f （x ）在区间（0，x 0）内不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g （x ）在区间（0，x 0）内不可能恒为正，也不可能恒为负．故g （x ）在区间（0，x 0）内存在零点x 1．同理g （x ）在区间（x 0，1）内存在零点x 2． 故函数f （x ）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， g （x ）在区间（0，1）内至少有两个零点．由（2）知当a≤或a≥时，函数g （x ）即f′（x ）在区间[0，1]内单调， 不可能满足“函数f （x ）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若＜a ＜，此时g （x ）在区间（0，ln （2a ））内单调递减，在区间（ln （2a ），1）内单调递增．因此x 1∈（0，ln （2a ）），x 2∈（ln （2a ），1），又g （x ）min =g （ln （2a ））=2a ﹣2aln （2a ）﹣e+a+1=3a ﹣2aln （2a ）﹣e+1，令h （x ）=3x ﹣2xln （2x ）﹣e+1（＜x ＜），则h′（x ）=3﹣2ln （2x ）﹣2x••2=1﹣2ln （2x ），令h′（x ）=0得x=，列表如下：） （，﹣e+1减依表格知：当＜x ＜时，h （x ）min =﹣e+1＜0， ∴g（x ）min =3a ﹣2aln （2a ）﹣e+1＜0恒成立，于是，函数f （x ）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇔⇔e ﹣2＜a ＜1．综上所述：a的取值范围为（e﹣2，1）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查函数方程的转化思想的运用，属于难题．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（选修4-1：几何证明选讲）21．选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】利用切割线定理可得AB2=AD•AE．由AC=AB，得到AC2=AD•AE，而∠CAE公用，由相似三角形的判定定理可得△ACE∽△ADC．于是∠AEC=∠ACD，由圆的内接四边形的性质可得∠CFG=∠AEC．进而可得FG∥AC．【解答】证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即．又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．∴∠AEC=∠ACD．由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．∴∠ACD=∠CFG，∴FG∥AC．【点评】熟练掌握切割线定理、相似三角形的判定定理和性质定理、圆的内接四边形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．（选修4-2：矩阵与变换）22．（2012•盐城一模）已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l′，求直线l′的方程．【考点】逆矩阵与投影变换；矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题．【分析】先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l'的方程．【解答】解：∵，∴=…，在直线l上任取一点P（x′，y′），经矩阵AB变换为点Q（x，y），则，∴，即…代入x′+y′﹣2=0中得，∴直线l′的方程为4x+y﹣8=0…【点评】本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换选修4-4：坐标系与参数方程23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解．【解答】解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，圆心的直角坐标（﹣，﹣）直线l的极坐标方程为即为x+y﹣=0，圆心O（﹣，﹣）到直线的距离d==2．圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，解得r=1．【点评】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，考查点到直线距离公式等．选修4-5：不等式选讲24．已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用题中条件：“x+y+z=2”构造柯西不等式：这个条件进行计算即可．【解答】解：由柯西不等式可知：故，当且仅当，即： 2x2+3y2+z2取得最小值为．【点评】本题考查用综合法证明不等式，关键是利用解题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．利用互斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知： =，即=，即 x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（注：此段的分配是每错1个扣，错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（注：此段的分配是每错1个扣，错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…【点评】本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，难度中档．26．设f（x）是定义在R上的函数，已知n∈N*，且g（x）=C f（）x0（1﹣x）n+C f（）x1（1﹣x）n﹣1+C f（）x2（1﹣x）n﹣2+…+C f（）x n（1﹣x）n．（1）若f（x）=1，求g（x）；（2）若f（x），求g（x）．。

数学试卷（理工类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸大将姓名、座位号、准考据号等填写清楚。

2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。

一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有14 题，只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律得零分 .1．函数f ( x) x( x) 的反函数是 f(x)_____________ .2、已知a, b, a 和 b 的夹角为，则 a b___________.3、幂函数y f ( x)的图象过点 (, ) ，则 f ( )_________ .4、方程log ( x)log(x) 的解为_______________.5、若直线l的一个法向量n( , ) ，若直线 l 的一个方向向量 d( ,) ，则 l 与 l的夹角 =.(用反三角函数表示 ).6、直线l : x y交圆 x y于 A、 B两点，则AB _______.7、已知,, 且tan()，则 cos.8、无量等比数列a n的前 n 项和为S n，若 S, S，则 lim S n_______ .n9、已知f ( x) kx x 有两个不一样的零点，则实数k 的取值范围是.10、已知a、b、c是ABC 中A、B、 C 的对边，若 a, A，ABC 的面积为，则ABC 的周长为.11 、奇函数f (x)的定义域为 R ，若f ( x)为偶函数，且 f ( )，则f () f () _______.___12、已知等比数列a n的前 n 项和为S n，若S , S , S成等差数列，且a a a，若 S n，则 n 的取值范围为.13、设m R, 过定点A的动直线 x my和过定点 B 的动直线mx y m交于点P，则PA PB 的最大值是.14、设x表示不超出x的最大整数，如,.. 给出以下命题：①对随意的实数x ，都有 x x x ；②对随意的实数x, y ，都有x y x y ；③ lglg lg lg lg；④若函数 f ( x)x x，当 x, n (n N * ) 时，令 f (x)的值域为A，记会合A中元素个数为 a n，则a n的最小值为. 此中全部真命题的序号为.n二．选择题( 本大题满分20个结论是正确的，选对得15、数列a n的前n项和为分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，此中有且只有一5 分，不然一律得零分.S n n ，则 a 的值为（）A 、B、C、D、 6416、a是直线ax y a和x(a) y a平行且不重合的（）A、充足非必需条件B、必需非充足条件C、充要条件D、既不充足又不用要条件17 、将f ( x)si n x 的图象右移 () 个单位后得到 g( x) 的图象.若满足f (x )g(x )的x , x，有x x 的最小值为，则的值为（）A、B、C、D、18、已知函数e x mx 、 x 、x R ，总有 f ( x )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为f ( x)，若对随意e x某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（）A、,B、 ,C、 ,D、,三．解答题 (本大题满分74 分 ) 本大题共有 5 题，解答以下各题一定写出必需的步骤. 19．（此题共 2 小题，满分12 分。

南京市六校联合体高三年级 12 月份联考试卷
数学Ⅱ ( 附加题 )
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟． 3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡
．．． 上对应题
目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】 本题 A 、B、C 三小题， 请．选．定．其．中．两．小．题．，．．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答 ．若
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
[来源 :学
A ． [选修 4—２：矩阵与变换 ]( 本小题满分 10 分 )
已知矩阵 A
a -1
b
，其中 a, b 1
R ，若点 P (1,1)在矩阵 A 的变换下得到的点
P1 (1,4)
（ 1）求实数 a,b 的值； （ 2）求矩阵 A 的逆矩阵 .
B． [选修 4—４：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )
在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程是
y 2t 1 （ t 是参数），若以 O 为极
xt
点， x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线
C的
极坐标方程为 ρ 2 2(sin
) ．求直线 l 被曲线 C 截得的弦长． 4
22．（本小题满分 10 分） 将 4 名大学生随机安排到 A,B,C,D 四个公司实习．
（ 1）求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率； （ 2）随机变量 X 表分布列和数学期望
E( X) ．
23. （本小题满分 10 分） 设 n N * 且 n 4 ，集合 M