新编【高考状元】数学错题本：第7章《数列》易错题(Word版,含解析)

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第7章 数列易错题

易错点1．已知nS求na时, 易忽略1n致错．

【例1】已知数列{}na的前项和为nS＝12n2＋12n＋1，求{}na的通项公式．

【错解】an＝Sn－Sn－1＝12n2＋12n＋1－12(n－1)2－12(n－1)－1＝n，所以nan．

【错因】1nnnaSS成立的条件是2n，当1n要单独验证．

【正解】当n＝1时，a1＝S1＝12＋12＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n2＋12n＋1－12(n－1)2－12(n－1)－1＝n.

当n＝1时不符合上式，所以,1,2nnnann．

易错点2．利用等比数列前n项和公式时，忽略公比1q致错．

【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)naaanaa的前n项和．

【错解】由于1(21)nnana(*)nN，

23211357......(23)(21)nnnSaaanana

naS 2341357......(23)(21)nnaaaanana

两式相减得231(1)1222.....2(21)nnnaSaaaana=12(21)11nnanaa

21(21)12(1)1nnnanaSaa.

【错因】上述解法只适合1a的情形．

事实上，当1a时，1357......(23)(21)nSnn2(121)2nnn

【正解】221(21)12,1(1)1,1nnnanaaaaSna．

易错点3．忽略数列与函数的区别致错． 【例3】已知函数5,6()(4)4,62xaxfxaxx，数列{}na满足()nafn（*Nn），且数列{}na是单调递增数列，则的取值范围是_______．

【错解】由题有651402(4)642aaaa，得78a．

【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将6n带入到分段函数的两个部分进行比较．

【正解】由题有1402(5)(6)aaff，得4887a．

【例4】 已知数列22nantn在[2,)是递增数列，则实数的取值范围是_______．

【错解】依题意，22tn，解得4t，所以的取值范围是(,4]．

【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法．

【正解】依题意，23aa，即422932tt，故5t．

易错点4．数列的定义域是全体的正整数．

【例5】已知数列133nan，其前项和为nS，则nS的最大值是________．

【错解】由题意，110a，2(10133)323529()22624nnnSn，当236n时，nS的最大，最大值是为52924nS．

【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数．

【正解】方法1：由题意，110a，2(10133)323529()22624nnnSn，当4n时，离二次函数对称轴最近，所以nS的最大值是为4S223434222．

方法2：令1330nan，解得134n，即{}na前4项为正数，后面项均为负数，所以nS的最大值为4S223434222．

易错点5．乱用结论致错．

【例6】已知等差数列na的前m项，前2m项，前3m项的和分别为23,,mmmSSS，若230,90mmSS，求3mS．

【错解】因为322mmmSSS，30mS，290mS，所以322150mmmSSS．

【错因】以为na为等差数列，则23,,mmmSSS也是为等差数列致错．

【正解】设数列的公差为d，则123......mmSaaaa，

212312...........mmmmSaaaaaa，31232213...........mmmmSaaaaaa

11()2mmSam，2131()2mmmSSam，32151()2mmmSSam

所以232,,mmmmmSSSSS是公差为2md的等差数列，所以2322mmmmmSSSSS．

即32(9030)3090mS，3180mS．

易错点6．乱设常量致错．

【例7】数列na与nb的前项和分别为,nnST，且:(513):(45)nnSTnn，则1010:ab_______

【错解】(513),(45)nnSnkTnk，则15nnnaSSk，14nnnbTTk，所以1010:5:4ab．

【错因】从:(513):(45)nnSTnn可知，比值:nS(513)n=nT:(45)n随着项数的变化而变化，不能设为常数，这里忽略了项数的可变性而致错．

【正解】设(513),(45)nnSnnkTnnk，则1(108)nnnaSSnk，1(81)nnnbTTnk，其中2n，:nnab(108):(81)nn．所以1010:ab4:3．

易错点7．用归纳代替证明致错．

【例8】【高考四川理数改编】已知数列{na }的首项为1，nS 为数列{}na的前n项和，11nnSqS ，其中q>0，*nN ，若2322,,2aaa 成等差数列，求{}na的通项公式；

【错解】依题意112132=112=32aaaqaaaìïïïï+=+íïïï+ïî，解得123124aaaì=ïïïï=íïïï=ïî，因为2213aaa=，所以{}na是一个等比数列，所以1*2()nnan-=?N．

【错因】由前3项成等比数列，就认为数列{}na为等比数列．

【正解】由已知，1211,1,nnnnSqSSqS+++=+=+ 两式相减得到21,1nnaqan++=?.

又由211SqS=+得到21aqa=，故1nnaqa+=对所有1n³都成立.

所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列.

从而1=nnaq-.

由2322+2aaa，，成等比数列，可得322=32aa+，即22=32,qq+，则(21)(2)0q+q-=，

由已知,0q>，故 =2q.

所以1*2()nnan-=?N.

易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．

【例9】在等差数列na中，331nan，记||nnba，求数列nb的前30项和.

【错解】依题意，||nnba也是等差数列，11||28ba，3030||59ba，

所以3012330(2859)30||||||......||12602Saaaa．

【错因】这里易错点是nb也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的na的正负号进行讨论，当10n时，0,11nan时，0na

【正解】3012330||||||......||Saaaa

1231011121330(......)(......)aaaaaaaa 110113010()20()22aaaa=755．

易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．

【例10】已知数列{an}满足a1＝1，121nnaa，求na的通项公式．

【错解】*121()nnaanN，112(1),nnaa

1na是以2为公比的等比数列 11122nnna*()nN．

【错因】新数列的首项是112a，不是1a．

【正解】*121()nnaanN，112(1),nnaa

1na是以112a为首项，2为公比的等比数列 12.nna

即 *21().nnanN