圆锥曲线中的最值问题
一、圆锥曲线定义、性质
1.(文)已知F 是椭圆x 225＋y 2
9＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )
A ．6
B ．15
C ．20
D ．12 [答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1
2
|OF |·2b ＝12.
2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A ．1 B.2 C ．2 D ．2 2
解析：设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短
轴端点，∴S ＝1
2×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22
.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.
3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆
x 225＋y 2
9
＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )
A ．9,12
B ．8,11
C ．8,12
D ．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C.
点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和．
4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A ．5
B ．8 C.17－1
D.5＋2
[答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.
5、已知点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和
直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.115 D.3716
【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P
到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线
24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最
小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25
|
604|min
=+-=
d ，故选择A 。
【解析2】如图，由题意可知2
2
|3106|234
d ⨯-+=
=+【答案】A
二、目标函数法
1、椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标
是________．
解析：设椭圆上点P 到两焦点的距离分别为u 、v ，则u ＋v ＝10，u v ＝m ；设∠F 1PF 2＝θ，由余弦定理可知cos θ＝u 2＋v 2－(2c )22u v ，即u 2＋v 2－2u v cos θ＝64⇒m ＝18
1＋cos θ，显然，当P 与A 或B 重合
时，m 最大．答案：(－3,0)或(3,0)
2、设F 1、F 2分别是椭圆x 2
4
＋y 2＝1的左、右焦点．
(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→
的最大值和最小值；
[解析] (1)由已知得：F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
设点P(x ，y)，则x 24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2.所以PF 1→·PF 2→
＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－x 24＝3
4
x 2－2，
当x ＝0，即P(0，±1)时，(PF 1→
·PF 2→
)min ＝－2；当x ＝±2，即P(±2,0)时，(PF 1→·PF 2→
)max ＝1. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线
x 2－
y 2
3
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→
的最小值为( )
A ．－2
B ．－81
16
C ．1
D ．0
[答案] A [解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P(x ，y)(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→
＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝4x 2－x －
5.令f(x)＝4x 2－x －5，则f(x)在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值，即PA 1→·PF 2→
取最小值，最小值为－2.
4．(2011·安徽模拟)点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x
轴上方，PA ⊥PF.
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →
＝(x ＋6，y)，FP →
＝(x －4，y)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
36＋y 2
20＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0
