- 1 - / 8 第7讲 分式方程
考点1
分式方程及解法
分式方程的概念 分母里含有① 的方程叫做分式方程.
分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为② 方程，具体步骤是：
(1)去分母，在方程的两边都乘以③ ，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④ ，则整式方程的解是原式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
考点2 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤ ，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥ .
分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.
命题点1 分式方程的解法
例1 (·呼和浩特)解方程：232xx-212xx=0.
【思路点拨】先确定最简公分母x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.
【解答】
方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.
1.(·原创)把分式方程24x=1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A.x B.2x C.x+4
D.x(x+4)
2.(·台州)将分式方程1-21xx=31x去分母，得到正确的整式方程是( )
- 2 - / 8 A.1-2x＝3 B.x-1-2x＝3
C.1+2x＝3 D.x-1+2x＝3
分式方程的解法
在初等代数中，我们经常会遇到分式方程（或称有理方程）的求解问题。分式方程的特点是方程中包含分式（或有理式），而其求解方法与一般的代数方程有所不同。在本文中，我将为您介绍几种常见的分式方程的解法。
一、化简与分子分母清零法
对于一些简单的分式方程，我们可以通过化简和清零的方法求解。首先，我们需要将方程中的分母清零，然后将分子进行化简。接下来，我们将方程化简为一个代数方程，再通过解代数方程的方法求得解。最后，我们将得到的解代入原方程中，验证是否满足。
例如，考虑以下分式方程：
\[ \frac{2}{x-3} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x} \]
我们首先将方程两边的分母清零，得到：
\[ x(x+2) + (x-3)(x) = 5(x-3)(x+2) \]
然后对方程进行化简，得到：
\[ x^2 + 2x + x^2 - 3x = 5x^2 - 15x - 30 \]
继续化简，得到：
\[ 2x^2 - 6x = 5x^2 - 15x - 30 \]
将方程转化为代数方程： \[ 3x^2 - 9x - 30 = 0 \]
解代数方程，得到 x = -2 或 x = 5 。
将解代入原方程进行验证，可得：
\[ \frac{2}{-2-3} + \frac{3}{-2+2} = \frac{5}{-2} \]
\[ \frac{2}{-5} + \frac{3}{0} = \frac{5}{-2} \]
我们发现 x = -2 不满足原方程，而 x = 5 满足原方程。因此，分式方程的解为 x = 5 。
二、通分法
当分式方程中有多项式相除时，我们可以通过通分的方法将分式方程转化为一个方程，从而求解。
例如，考虑以下分式方程：
\[ \frac{x+1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{3x-4}{2x} \]
首先，我们将分数进行通分，得到：
高中数学中的分式方程的解法
在高中数学中，分式方程是一个重要的内容，它是由含有分式的方程组成的。解决分式方程需要一些特定的技巧和方法。本文将介绍一些常见的分式方程的解法。
一、一次分式方程的解法
一次分式方程是指方程中只含有一次分式的方程。解决一次分式方程的关键是将方程化简为一个整式方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过通分的方式消去分母，得到 $x(x-2) + 2(x+1) = 3(x+1)$。然后，我们将方程化简为一个整式方程 $x^2 - 2x + 2x + 2 = 3x + 3$，进一步简化为 $x^2 - 3x - 1 = 0$。最后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
二、二次分式方程的解法
二次分式方程是指方程中含有二次分式的方程。解决二次分式方程需要将方程化简为一个二次方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 9}$，我们可以先找到方程中的公共分母 $(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$。然后，我们将方程中的每一项乘以相应的公共分母，得到 $(x^2 - 4)(x^2 - 9) + (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 2(x^2 -
1)(x^2 - 4)$。进一步化简得 $x^4 - 13x^2 + 36 + x^4 - 10x^2 + 9 = 2x^4 - 6x^2$。最后，我们将方程化简为一个二次方程 $2x^4 - 3x^2 - 45 = 0$，并使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
三、分式方程的约束条件
在解决分式方程时，有时需要考虑方程的约束条件。约束条件是指方程中的变量需要满足的条件。 例如，对于方程 $\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过观察发现，当 $x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$时，方程的左边或右边的分式将无定义。因此，我们需要在解方程时排除这些值，得到方程的有效解。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法
分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：
$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$
解分式方程的一般步骤如下：
1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：
解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。 综上所述，分式方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$的解为满足整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法
分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：
$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$
解分式不等式的一般步骤如下：
1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：
解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。 综上所述，分式不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$的解为满足整式不等式$2x-5y<0$的解。
