2013年广东省各市中考数学分类解析专题9三角形

一、选择题

1. （2013年广东佛山3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) 【 】

A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m

2. （2013年广东深圳3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是【 】

A. 13

B. 617 C. 55 D. 1010

二、填空题

1. （2013年广东广州3分）如图，Rt△ABC的斜边AB=16, Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到RtABC'''，则RtABC'''的斜边AB''上的中线CD'的长度为 ▲ .

2. （2013年广东梅州3分）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ▲

．

3. （2013年广东省4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= ▲

.

4. （2013年广东湛江4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，5，8，…，顶点依次用1234AAAA、、、、表示，其中12AA与x轴、底边12AA与45AA、45AA与78AA、均相距一个单位，则顶点3A的坐标是

▲ ，92A的坐标是 ▲ ．

三、解答题

1. （2013年广东佛山6分）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．

2. （2013年广东佛山8分）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

∴在△ABC与△DEF中，CFBCEFBE。

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

3. （2013年广东广州12分）如图， 在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.

（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；

（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.

（2）∵船P在船B的北偏西35°方向，∴∠PBH=550。

∴0PH15.9BP19.4sinPBHsin55（海里）。

∵船A、船B的速度分别为20海里/小时、15海里/小时，

∴船A到达船P的时间为A30t1.520（小时），船B到达船P的时间为B19.4t1.315（小时）。

∵ABt

4. （2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．

（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；

（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．

探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：探究一：

（1）依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，

则∠CFP=30°。

∴CF=BC•sin30°=3×33=3。

∴CP=CF•tan∠CFP=3×33=1。

过点A作AG⊥BC于点G，则AG=12BC=32，

∴PG=CG﹣CP=32﹣1=12。

在Rt△APG中，由勾股定理得：22223110APAGPG222++。

（2）由（1）可知，FC=3．

如答图2所示，以点A为圆心，以FC=3长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=3。

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=12BC=32，

在Rt△AGP1中，113AG32cosPAGAP23，∴∠P1AG=30°。

∴∠P1AB=45°﹣30°=15°。

同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°。

∴∠PAB的度数为15°或75°。

探究二：△AMN的周长存在有最小值。

如答图3所示，连接AD，

∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，

∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。

∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。

∵在△AMD与△CND中，MADCADCDMDANDC，

∴△AMD≌△CND（ASA）。∴AM=CN。

设AM=x，则CN=x，232ANACCNBCCNx22，

在Rt△AMN中，由勾股定理得：

222222329329MNAMANxx2x32xx2244，

∴△AMN的周长为：AM+AN+MN= 232329x244 。

当x= 324时，有最小值，最小值为329332242。

∴△AMN周长的最小值为3322。

5. （2013年广东深圳8分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

【答案】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴由相似得，8米高旗杆DE的影子为：12米。

∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12－3－1=8（米）。∴GM=MH=4米。，

∵MN=2米，∴222GOMO4。

设小桥所在圆的半径为r米，

∴22rr216，解得：r=5。

答：小桥所在圆的半径为5米。

【考点】相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】由已知根据根据得出旗杆高度，从而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可。

6. （2013年广东省8分）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.

（1）设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1 ▲ S2+

S3(用“>”、“=”、“<”填空)；

（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

7. （2013年广东省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，

∠FDE=90°，DF=4，DE=43。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=

▲ 度；

（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

【答案】解：（1）15。

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，AC66FC43sinAFCsin6032。

（3）在三角板DEF运动过程中，分三段讨论：

①当0≤x≤2时，如答图1所示，

设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。

又∵MN3NFMNBNNFBFtan603，，

∴NF+BF=MN，即3MNM3 xN。

∴33MNx2。

∴22BDGBFM11113331ySSBDDGBFMNx4xxx4x8222224。

②当2＜x≤623时，如答图2所示，

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。

又∵MN3NFMNBNNFBFtan603，，

∴NF+BF=MN，即3MNM3 xN。

∴33MNx2。

∴22ABCBFM11113333ySSABACBFMN6xxx18222224。

③当623＜x≤6时，如答图3所示，

由BF=x，则AF=AB-BF=6－x，

设AC与EF交于点M，则AMAFtan6036x，

∴2AFM113ySAFAM6x36xx63x183222。

综上所述，y与x的函数解析式为：

22231x4x80x2433yx182

当0≤x≤2，即开始到DE与AC重合之前时，BDGBFMySS；

当2＜x≤623，即DE与AC重合之后到EF经过点C之前时，