当前位置：文档之家 › 全等三角形中重要几何模型专题讲解(手拉手模型、截长补短、中线倍长)

全等三角形中重要几何模型专题讲解(手拉手模型、截长补短、中线倍长)

  • 格式：doc
  • 大小：757.00 KB
  • 文档页数：11

全等三角形中重要几何模型专题讲解

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形或正方形组成，并且顶角的顶点为公共顶点的模型。

模型如下：

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明：

（1）DBCABE

（2）DCAE

（3）AE与DC之间的夹角为60

（4）DFBAGB

（5）CFBEGB

（6）BH平分AHC

（7）ACGF//

变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，

证明（1）DBCABE

（2）DCAE

（3）AE与DC之间的夹角为60

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC

变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，

证明（1）DBCABE

(2）DCAE

(3）AE与DC之间的夹角为60

(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC

例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H

问：（1）CDEADG是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,,二者相交于点H

问：（1）CDEADG是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分AHE？

例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,,EBCBCBEABD,连结AE与CD，

问：（1）DBCABE是否成立？

（2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分AHC？

要点二：截长补短法

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

1、截长法：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段，或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

1.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

求证：（1）CD=AD+BC. （2）AE = BE

2.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC=60°的平分线，且AC=AB+BD,

求∠ABC的度数。

3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，

AB + BC = 2 BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.

4.如图，AB＝2AC，AD＝BD，AD平分∠BAC，求证：AC⊥CD.

A

B C D

ADCEDCAB

5.已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠CBD，CE⊥BD的延长线于E. 求证：BD＝2CE .

6.如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：EFCFBE

7.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

8.在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 第 14 题图 DFCBEAEDABCBCAED

要点二：中线倍长法

若遇到三角形的中线或类中线（与中线有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 FEABCD

【例1】 已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．

MCBA

【练1】在△ABC中，59ABAC，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBCECFC．

FECBA

【例2】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．

FEDCBA

【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF

FEDCBA

【练2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．

GFEDCBA

【练3】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．

求证：EF∥AB

FACDEB

【例3】 已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．

FEMCBA

【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．

FEDCBA

【练2】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND．

（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

合集下载

完整版)全等三角形之手拉手模型

完整版)全等三角形之手拉手模型

完整版)全等三角形之手拉手模型

本文将介绍手拉手模型中的全等三角形。所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。

基本模型如下：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。可以得出三个结论：结论1：△ABC≌△AB'C'(SAS)，BC=B'C'；结论2：∠BOB'=∠BAB'；结论3：AO平分∠BOC'。

在共顶点的等腰直角三角形中，也可以应用手拉手模型。例如，如下图所示，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°。可以证明：⑴BD=CE⑵BD⊥CE。

另外，在共顶点的等边三角形中，也可以使用手拉手模型。如下图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边三角形。可以求出：（1）CD=BE；（2）∠DAE＋∠BFD=180°；（3）∠BFA=∠DFA=60°。

总之，手拉手模型在全等三角形的证明中是一个非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。

重难点03全等三角形中“截长补短”模型(解析版)-八年级数学

重难点03全等三角形中“截长补短”模型(解析版)-八年级数学

重难点03全等三角形中“截长补短”模型

1.识别几何模型。

2.利用“截长补短”模型解决问题定

义示例剖析

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

在线段AB上截取ADAC

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

延长AC，使得ADAB截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：⑴延长短边。⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。

例1如图，在ABC△中，2BC，ADBC于D，求证：CDBDAB．

【解析】解法一：（截长）在CD上截取DEBD，连接AE，∵ADBC，∴90ADBADE，∴ABDAED△≌△，∴AEAB，2AEBBC，∴CAEC，∴CEAEAB，∴CDCEDEABBD．

解法二：（补短）延长CB到F，使BFAB，连接AF，∴1

2FBAFABCC，

∵ADBC，∴90ADBADE，∴ADFADC△≌△，∴DFDC，∵DFBFBDABBD，∴CDABBD．

【教师备课提示】这道题主要告诉孩子们，截长补短指的是两种方法，通过这道题给孩子们讲解截长补短的做法和证明过程．当出现线段的和差倍分时，要能马上想到截长补短．例2.如图，在ABC△中，2BC，BAC的平分线AD交BC于点D．求证：ABBDAC．

【解析】方法一：（截长）在AC上截取ABAE，连接DE．

在ABD△和AED△中ABAE，BADEAD，ADAD∴ABDAED△≌△∴BDED，BAED又∵2AEDEDCCBC∴EDCC，∴EDEC∴ABBDAC．

方法二：（补短）延长AB到点E使得ACAE，连接DE．

在AED△和ACD△中，AEAC，EADCAD，ADAD∴AEDACD△≌△，∴CE又∵22ABCEBDECBDE∴EBDE∴BEBD，∴ABBDAC．方法三：（补短）延长DB到点E使得ABBE，连接AE

手拉手模型的结论

手拉手模型的结论

手拉手模型的结论

1，手拉手模型可以看作是一个等腰三角形经过顺时针旋转到另一个地方得到另一个三角形，旋转过程中可能有缩放，这样形成的几何图形。

2，可以看作△ADE绕着顶点A顺时针旋转到△ABC位置（有比例放大），也可以看作是△ABC从头顶按顺时针旋转到△ADE。用旋转的思路可以方便地理解哪一只手对应到哪一只手，因为解题思路通常是做左手拉左手，右手拉右手的辅助线。

3，全等三角形动点问题，化动为静，分类讨论，解题方法。

4，全等三角形之截长补短法，像AB+CD=EF这类题目。

5，全等三角形模型之倍长中线法，三种添加辅助线的方法，口诀突破。 6，旋转是初中三大几何模型之一，在平面内，将一个图形绕着某个定点按照某个方向旋转一定的角度，这个定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，当旋转角为60°时可以得到等边三角形，当旋转角为90°时可以得到等腰直角三角形。

专题3 全等模型——手拉手

专题3 全等模型——手拉手

初中 | 数学

初

中

数

学

︵

手

拉手

模

型 ︶ 培

优

篇

1

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专

题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌

握．

【模型解读】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构

成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，

第二个顶点记为“右手”．

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得△𝐴𝐵𝐷≅△

𝐴𝐶𝐸

．

【常见模型及证法】

（等边）

全等模型

初

中

数

学

︵

手

拉手

模

型

︶ 培

优

篇

2 （等腰直角）

（等腰）

例1．如图，点O

是等边三角形ABC

内的一点，BOC



，将△BOC

绕点C

顺时

针旋转60°

得△ADC

，连接OD

．

（1

）当100



时，ODA °

；

（2

）当

120

时，ODA °

；

（3

）若150



，8OB，4OC

，则OA

的长为

．

初中 | 数学

初

中

数

学

︵

手

拉手

模

型 ︶ 培

优

篇

3 例2

．已知△ABC

中，∠BAC=60°

，以AB

和BC

为边向外作等边△ABD

和等边

△BCE

．

（1

）连接AE

、CD

，如图1

，求证：AE=CD

；

（2

）若N

为CD

中点，连接AN

，如图2

，求证：CE=2AN

；

（3

）若AB

⊥BC

，延长AB

交DE

于M

，DB=

2，如图3

，则BM=_______

（直接写

出结果）

全等模型

初

中

数

学

︵

手

拉手

模

型

︶ 培

优

篇

4 例3

．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶

点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“

手拉手”

图形．

（1

）问题发现：如图1

，若△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸是顶角相等的等腰三角形，BC

，DE

分别

是底边．求证：BDCE