立体几何存在性问题

立体几何是高考数学的必考内容，且立体几何问题在高考试题中占有较大的比重.这类问题侧重于考查同学们的空间想象和运算能力.下面结合几道例题，来归纳总结一下三类立体几何问题的特点以及解题思路.一、立体几何中的存在性问题立体几何中的存在性问题一般较为复杂，通常要求判断某两条线段的比值、垂直关系、平行关系、点等是否存在.解答这类问题，需首先画出相应的立体几何图形；然后假设要判断的对象存在，并将其看作已知的条件，代入题设中进行推理运算.若得出与题意、相关结论、公式相矛盾的结论，则说明该假设不成立，否则，该假设成立.解题时，要确保推理合理，逻辑严密.例1.如图1，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1,AB =1,AC =2,∠BAC =60°.那么在线段PC 上是否存在一点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求MCPM的值，若不存在，请说明理由.解：假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，此时MCPM=3.如图1，过点M 作MN //PA ，交AC 于点N ，连接BN ,BM ，因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故PA ⊥AC ，MN ⊥AC .由MN //PA 可知：AN NC =PM MC =13，则AN =12.在ΔABN 中，BN 2=AB 2+AN 2-2AB ⋅AN cos∠BAC =34，所以AN 2+BN 2=AB 2，即AC ⊥BN .由于BN ⋂MN =N 且BN ,MN ⊂面MBN ，故AC ⊥平面MBN ，因为BM ⊂面MBN ，所以AC ⊥BM .我们先假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，并据此得出相应的结论；然后根据题意和几何图形添加合适的辅助线，根据线面垂直的性质定理、相似三角形的性质、勾股定理证明AC ⊥BN ；再根据线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面MBN ，得出AC ⊥BM ，即可说明该假设成立.需要注意的是，在假设要判断的对象存在后，需用相关的性质、定理验证该假设是否满足题意.二、立体几何图形折叠问题立体几何图形折叠问题对同学们的空间想象力有较高的要求.在解题时，需明确折叠前后几何图形中的点、线、面的位置及其关系，通过观察图形，根据折叠图形的性质找出其中不变的量，抓住这些不变的量的特征来建立关系式.也可以将折叠后的几何体投影到平面上，利用平面几何知识进行研究、分析.例2.如图2，在等腰直角三角形PAD 中，∠A =90°，AD =8,AB =3，B ,C 分别是PA ,PD 上的点，且AD //BC ，M ,N 分别为BP ,CD 的中点.现将ΔBCP 沿BC 折起，得到四棱锥P -ABCD ，连接MN ，如图3.（1）证明：MN //平面PAD（2）在翻折的过程中，当PA =4时，求二面角B -PC -D 的余弦值.图2图3解：（1）证明过程略；（2）由题意可知BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，∴BC ⊥平面PAB .又BC //AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA .∵AD ⊥AB ,AB ⊥PA ，以点A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图4所示的空间直角坐标系A -xyz .得A (0,0,0),B (3,0,0),C (3,5,0),P (0,0,4),D (0,8,0)，所以 PB =(3,0,-4), PC =(3,5,-4),PD =(0,8,-4),图147设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量，则ìíî m ⋅ PC =0, m ⋅ PB =0,即ìíî3x 1-4z 1=0,3x 1+5y 1-4z 1=0,令x 1=4，则y 1=0,z 1=2,m =(4,0,3).设n=(x 2,y 2,z 2)为平面PCD 的一个法向量，则ìíîm ⋅PC =0, m ⋅PD =0,即ìíî8y 2-4z 2=0,3x 2+5y 2-4z 2=0,令y 2=1，则x 2=1,z 2=2,n =(1,1,2).设二面角B -PC -D 的大小为α，由向量的夹角公式可得：cos α=-|cos< m ,n >|=-|m ⋅n || m |⋅|n |=所以二面角B -PC -D 的余弦值为解答本题，需先明确ΔPAD 的特点、性质，以及其中各点、线段的位置关系，知晓折叠前后ΔBCP 以及梯形ABCP 中的改变量与不变量；然后根据直线与平面垂直的性质定理和判定定理证明AB 、AP 、AD 三条直线两两互相垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角B -PC -D 的余弦值.解答立体几何图形折叠问题，要熟悉折叠图形的性质：折叠前后图形的形状、面积、边长、角度均不改变.三、立体几何中的作图问题立体几何中的作图问题比较常见.解答此类题目，往往要先通过观察，明确题意，确定图形中的点、直线、平面之间的位置关系，灵活运用简单几何体的性质寻找一些垂直、平行的关系，据此发现一些特殊的点、位置，以确定要求作的点、直线、平面的位置，进而作出完整的图形.例3.如图5，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱B 1C 1的中点，F ,G 分别是棱CC 1,BC上的动点（不与顶点重合），请作出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，并说明理由.图5解：如图5，连接DG ，并延长交AB 的延长线于点P ，连接A 1P ，交BB 1于Q ，连接GQ ，则GQ 所在的直线即为作出的平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线.理由如下：∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,∴平面CBB 1C 1//平面ADD 1A 1,而平面CBB 1C 1⋂平面A 1DG =GQ ，平面ADD 1A 1⋂平面A 1DG =A 1D ,∴A 1D //GQ .要画出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，需根据平面的延展性、正方体的性质，以及平行平面的性质：若两个平行平面被第三个平面所截，则其交线平行.在平面CBB 1C 1内寻找与A 1D平行的直线GQ 即可.例4.某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为().A.1B.2C.3D.4解：俯视图从左到右依次记为：图6图7图8图9如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图6；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图9；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的，则俯视图如图7；以图8为俯视图的几何体的正视图不是正方形.故选C.本题主要考查三视图的定义的应用以及画三视图的方法.画三视图要注意几个要点：（1）主视图和俯视图的长要相等；（2）主视图和左视图的高要相等；（3）左视图和俯视图的宽要相等；（4）看不到的线画虚线.虽然立体几何题目的命题形式较多，其解法也各不相同，但是同学们在解题时只要结合立体图形及其特征明确各个点、线、面的位置及其关系；然后将问题与相关的定理、性质、公式相关联，添加合适的辅助线，灵活利用相关的定理、性质、公式进行推理、运算，就能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）图448。

建筑中的立体几何国内外研究现状及问题建筑中的立体几何是指应用立体几何原理和方法来研究建筑空间形态、结构物形状及其之间的关系。

立体几何在建筑设计、结构设计、室内设计等领域中起着重要的作用。

以下是建筑中立体几何的国内外研究现状及问题。

国内研究现状：1. 空间构造：国内学者在空间构造方面进行了一些研究，探索了空间的形态生成及其对建筑功能的影响。

2. 建筑形态：国内学者也关注建筑形态的优化设计，通过立体几何方法研究不同形态对建筑性能的影响，如采光、通风等。

3. 结构设计：立体几何在结构设计中发挥着重要的作用，国内研究者研究了不同的结构形式和结构体系，并探索了其在建筑中的应用。

国际研究现状：1. 形态生成算法：国际上关注建筑形态生成算法的研究，通过立体几何方法构建形态生成模型，从而探索设计空间中的可行解。

2. 数字设计工具：国际学者借助立体几何方法开发了一些数字化设计工具，能够辅助建筑师进行形态设计和结构设计。

3. 空间优化：国际学者也关注建筑空间优化设计，通过立体几何方法探索最优形态设计，以满足建筑的功能需求和性能要求。

存在的问题：1. 研究深度不够：虽然已有一些研究在建筑中应用立体几何方法，但研究的深度还有待提高，尤其在空间构造和形态生成方面的研究仍较少。

2. 缺乏系统化方法：目前的研究多为案例分析或个别模型设计，缺乏系统化的方法论，难以推广应用到实际建筑设计中。

3. 数字化设计工具有待改进：虽然国际上有一些数字化设计工具，但仍存在一些问题，如计算复杂度高、用户界面不友好等，需要进一步改进和完善。

综上所述，建筑中的立体几何在国内外研究中扮演着重要的角色，但仍存在一些问题需要解决。

未来的研究应深入探索立体几何在建筑中的应用，加强理论研究，提高设计工具的效率和用户体验。

高中数学立体几何教学现状及对策分析随着我国教育体制不断完善和发展，高中数学成为学生学习的一门重要学科，而数学立体几何作为其中的一个重要分支，是数学中的一个具有杰出成就的分支。

近年来，高中数学立体几何的教学存在一些问题，导致学生学习兴趣不高，学习效果不佳。

我们需要对教学现状进行深入分析，并提出相应的对策，以期提高学生的学习兴趣和学习效果。

1. 学生学习兴趣不高在高中数学立体几何教学中，很多学生由于对空间图形的抽象性和难度较大而产生了学习厌恶心理，导致学习兴趣不高。

他们觉得立体几何知识与日常生活无关，学习困难，产生了对学科的畏难情绪。

2. 教学方法单一在高中数学立体几何教学中，老师通常采用板书和讲解的方式，教学方法单一，缺乏趣味性和参与性，学生难以保持专注，无法主动参与到课堂中来，从而导致教学效果不佳。

3. 缺乏实践与应用高中数学立体几何知识理论较多，但往往缺乏实际应用和实践操作。

学生很难将所学的理论知识应用到实际生活之中，也很难从实践中体验到知识的乐趣，导致学习的枯燥和无趣。

二、对策分析1. 提高教学方式针对学生学习兴趣不高和教学方法单一的问题，我们可以采取多种教学方法相结合的方式，比如通过图片、视频、实物、动手操作等多种手段来进行教学，增加学生的学习兴趣。

2. 强化实践与应用在教学中，应该引导学生进行更多的实践操作，例如通过搭建模型、进行测量等活动，增加立体几何知识的实践性和应用性，让学生可以在实践中体验到知识的乐趣。

3. 创设情境在教学中，要把立体几何知识与实际生活相结合，创设生动有趣的教学情境，让学生在学习的过程中可以感受到知识的实际应用，并感受到学习的乐趣。

4. 注重启发教学在教学中，老师应该注重启发学生的思维，引导学生通过思考和探究来发现知识的规律和意义，培养学生的逻辑思维和分析能力，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。

三、结语高中数学立体几何教学是非常重要的一环，在现实生活和学生学习中都有着广泛的应用。

高中数学 立体几何 存在性问题专题1.（天津理17） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B，且1C H（Ⅰ）求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A ACB --的正弦值； （Ⅲ）设N 为棱11BC 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.依题意得(0,0,0),A B C111A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，于是111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯ 所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为3（II ）解：易知111(0,22,0),(2,AA AC ==- 设平面AA1C1的法向量(,,)m xy z =，则11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得m =，同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)n x y z =，则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得n =于是2cos ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而sin ,m n = 所以二面角A —A1C1—B的正弦值为（III ）解：由N 为棱B1C1的中点，得222N 设M （a ，b ，0），则2(,22MN a b =-- 由MN ⊥平面A1B1C1，得11110,0.MN A BMN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即)(0,()(()(0.222a a b ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅+-⋅+=⎪⎩解得4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故(24M 因此2(BM =，所以线段BM 的长为10||BM = 方法二：（I ）解：由于AC//A1C1，故111C A B ∠是异面直线AC与A1B1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA1B1B ，又H 为正方形AA1B1B 的中心，11AA C H ==可得1111 3.AC B C ==因此2221111111111111cos 23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅ 所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为3（II ）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ， 连接B1R ，于是111B R AC ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A1C1—B1的平面角.在11Rt A RB ∆中，11111sin 3B R A B RA B =⋅∠== 连接AB1，在1ARB ∆中， 2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R +-==∠=⋅27=-，从而1sin 7ARB ∠= 所以二面角A —A1C1—B1的正弦值为（III ）解：因为MN ⊥平面A1B1C1，所以11.MN A B ⊥取HB1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B1C1中点，所以ND//C1H且112ND C H ==. 又1C H ⊥平面AA1B1B ，所以ND ⊥平面AA1B1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MNND N = 所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A1B1于点E ， 则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得1DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得1BF B E ==连接NE. 在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以2ND DM DE ==可得FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，4BM ==2.（浙江理20） 如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。