二次函数特定区间的最值问题

求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。

下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。

类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。

略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。

闭区间上二次函数的最值问题1. 课前回顾回顾：一元二次函数的对称轴为__________，顶点为________。

时，在__________上是增函数；在__________上是减函数.2. 精析例题1) 轴定区间定：例1. 函数2()23f x x x =-+在下列区间上最值：（1）x ∈ （2）[]3,2x ∈-- （3）[]2,2x ∈-2) 轴定区间变：例2.（1）函数，∈x 上，求的最小值)(t m . （2）函数，∈x 上，求的最大值)(t M .3) 轴变区间定：方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系： ①轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内例3. 已知22)(2+-=tx x x f 在]1,0[∈x 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.3. 归纳整理1) 二次函数在闭区间上的最值的求法:四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看（看图像）.2) 二次函数在闭区间上的最值的规律:两大类（对称轴在闭区间内、外）四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）.3) 本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想.4. 课堂检测1) 已知函数2()21f x x ax a =-++-，[0,1]x ∈上的最值。

2) 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

5. 作业设计（一）课后习题A 组1) 函数28y x x =-+在下列区间上最值：（1）[]6,0x ∈- （3）[]2,6x ∈ （4）[]7,10x ∈2) 函数[]2()23,,2f x x x x t t =--∈+，求函数()f x 的最值。

3) 函数[]2()3,2,2f x x ax x =++∈-，求函数()f x 的最值。

（二）课后习题B 组4) 已知)(x f 22a ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值.5) 如何求函数[]22()21,1,2f x ax a x x =-+∈-的最值.。

聚焦二次函数在给定区间上最值问题的四种类型二次函数在闭区间上取得最值时的x，只能是其图像的顶点的横坐标或所给区间的端点，因此影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。

在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。

本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。

1.所给区间确定，对称轴位置也确定如果给定区间确定了，其对称轴的位置也确定了，只需要先考虑其对称轴的横坐标是否在给定区间内。

当对称轴的横坐标在给定区间内时，其一个极大值在顶点处获得，另一个极大值在顶点的横坐标彼此远离的端点处获得。

当对称轴的横坐标不在给定区间内时，可以利用函数的单调性来确定其最大值。

2．所给区间变化，对称轴位置确定如果改变给定的区间，确定对称轴的位置，则需要讨论区间变化时对称轴的横坐标是否包含在内。

分类标准是:对称轴的横坐标包含在变化区间内；对称轴的横坐标不包括在变化区间内。

观察前两个问题的解答，为什么最佳值有时在两种情况下讨论，有时在三种情况下讨论？其实这些问题只要仔细思考就能轻松解决。

不难观察到:一个二次函数在闭区间内的最大值总是在闭区间的末端或者二次函数的顶点处获得。

第一个例子中，这个二次函数是向上开的。

在闭区间上，它的最小值可以在区间两端或二次函数的顶点处得到。

有三种可能，所以分三种情况讨论；而且它的最大值不可能是二次函数的顶点，只能是闭区间的两个端点，哪个端点离对称轴远就取哪个端点。

当然也可以根据区间中点到左右端点的距离分两种情况来讨论。

按照这种理解，就不难解释为什么要这样讨论第二个例子了。

3．所给区间确定。

对称轴位置变化如果给定区间是确定的，但对称轴的位置发生变化，则必须分类讨论预对称轴位置的变化。

对称轴的横坐标在给定区间内变化；对称轴在给定间隔之外变化。

如果对称轴的横坐标只能在给定区间内变化，则只需考虑离终点的距离。

总结：二次函数的区间极大值问题的核心是讨论函数对称轴与给定区间的相对位置关系。

二次函数在各区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。

分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。

二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为，最小值为。

图1练习. 已知，求函数的最值。

解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。