实验数据处理的基本方法
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实验数据处理的基本方法
实验数据处理的基本方法
数据处理是物理实验报告的重要组成部分，其包含的内容十分丰富，例如
数据的记录、函数图线的描绘，从实验数据中提取测量结果的不确定度信息， 验证和寻找物理规律等。本节介绍物理实验中一些常用的数据处理方法。
1 列表法
将实验数据按一定规律用列表方式表达出来是记录和处理实验 数据最常
用的方法。表格的设计要求对应关系清楚、简单明了、有利于发现相关量之间 的物理关系；此外还要求在标题栏中注明物理量名称、 符号、数量级和单位 等; 根据需要还可以列出除原始数据以外的计算栏目和统计栏目等。最后还要求写 明表格名称、主要测量仪器的型号、量程和准确度等级、有关环境条件参数如 温度、湿度等。
本课程中的许多实验已列出数据表格可供参考，有一些实验的数据表格需
要自己设计，表1 .7 — 1是一个数据表格的实例，供参考。
表1 .7 — 1 数据表格实例
杨氏模量实验增减砝码时，相应的镜尺读数 tg) 增直时冕敌
[X10 F m) (X1&宀“】 两次德数平均
叫(X10 "mJ 缶1 =口1福一珥 f —
平均値
2 作图法
作图法可以最醒目地表达物理量间的变化关系。从图线上还可 以简便求出
实验需要的某些结果（如直线的斜率和截距值等），读出没有进行观测的对应 点（内插法），或在一定条件下从图线的延伸部分读到测量范围以外的对应 点
（外推法）。此外，还可以把某些复杂的函数关系，通过一定的变换用直线图
表示出来。例如半导体热敏电阻的电阻与温度关系为 ，取对数后得
到 ，若用半对数坐标纸，以lg R为纵轴，以1/T为横
轴画图，则为一条直线。
要特别注意的是，实验作图不是示意图，而是用图来表达实验中得到的物 理量间的关系，同
时还要反映出测量的准确程度，所以必须满足一定的作图要求。
1）作图要求
（1） 作图必须用坐标纸。按需要可以选用毫米方格纸、半对数坐标纸、 对数坐标纸或极坐标纸等。
（2） 选坐标轴。以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴的中部注明 物理量的名称符号及其单位，单位加括号。
（3） 确定坐标分度。坐标分度要保证图上观测点的坐标读数 的有效数字 位数与实验数据的有效数字位数相同。例如，对于直接测量的物理量，轴上最 小格的标度可与测量仪器的最小刻度相同。两轴的交点不一定从零开始，一 般
可取比数据最小值再小一些的整数开始标值，要尽量使图线占据图纸的大部分， 不偏于一角或一边。对每个坐标轴，在相隔一定距离下用整齐的数字注明分度
（参阅图1.7 — 1）。
（4）描点和连曲线。根据实验数据用削尖的硬铅笔在图上描 点，点子可 不确定度大小相当。点子要清晰，不能用图线盖过点子。连线时要纵观所有 据点的变化趋势，用曲线板连出光滑而细的曲线（如系直线可用直尺），连线 不能通过的偏差较大的那些观测点，应均匀地分布于图线的两侧。
（5）写图名和图注。在图纸的上部空旷处写出图名和实验条件等。此外， 还有一种校正图线，例如用准确度级别高的电表校准低级别的电表。这种图要 附在被 校正的仪表上作为示值的修正。作校正图除连线方法与上述作图要求不 同外，其余均同。校正图的相邻数据点间用直线连接，全图成为不光滑的折线 （见图1 .7— 1）。这是因为不知两个校正点之间的变化关系而用线性插入
法作的近似处理。
直流毫安计核准曲线表观值/（mA）
图1 .7 — 1 校准曲线图示例 2）作图举例
表1 .7 — 2所列数据是测量约利秤弹簧伸长与受力的关系。测量弹簧长 度使用带有0 .1mm游标的米尺。加外力使用的是5个200mg的4级砝 码，其误差限很小，对测量结果的不确定度的影响可以忽略。
表1 .7 — 2 弹簧伸长与受力关系数据表 if■码匝量 匿re負 平如位負L
tig) fnni、
fnm )
0 E8.2 6L2 69,7
2D0 72,8 T5.2 74,0
400 B7.2 8?. 4 8E.3
6QD 1C1O 103.8 102.4
SOD 115.7 in.1 116.4
1 COO 129,1 12^A 129.
作图示例见图1 .7 — 2
图1 .7 — 2 作图示例
如果所作图线是一条直线，可以按以下方法求直线的斜率和截距。
直线方程为y = ax + b
其斜率 (1.7 — 1) 在所作直线上选取相距较远的两点 P、P2,从坐标轴上读取其坐标值 P （ X, Y）和P2（X, Y）代入式（1.7 — 1 ），可求得斜率a。 P、P2两点一般不取
原来测量的数据点。为了便于计算， X、X两数值可选取整数。在图上标出选取 的P、P2点及其坐标。斜率的有效数字位数要按有效数字运算规则确定。
图1 .7 — 1例中劲度系数
截距b为x=0时的y值，可直接用图线求出。但有的图线x轴的原点不在 图上，用延长图线的办法，如果延得太长，稍有偏斜会导致b有很大误差。这 时，可采取从图线上再找一点 P （ X3，丫3 ），利用关系式
求得截距b。
用作图法表述物理量间的函数关系直观、简便，这是它的最大 优点。但是
利用图线确定函数关系中的参数（如直线的斜率和截距）仅仅是一种粗略的数 据处理方法。这是由于：①作图法受图纸大小的限制，一般只能有3、4位 有
效数字；②图纸本身的分格准确程度不高；③在图纸上连线时有相当大的主观 任意性。因而用作图法求取的参数，不可避免地会在测量不确定度基础上增加 数据处 理过程引起的不确定度。一般情况下，用作图法求取的参数，只用有效 数字粗略地表达其准确度就可以了。如果需要确定参数测量结果的不确定度， 最好采用直接由数据点去计算的方法（如最小二乘法等）求得。
3）曲线改直
按物理量的关系作出曲线虽然直观，但是作图和从图线中获得有关参数却 比较困难。许多函数形式可以经过适当变换成为线性关系，即把曲线改成直线， 这样既便于作图，也便于求得有关参数。举例如下。
(1) y = axb,a、b 为常数，贝U Ig y = Ig a + b Ig x,则 lg y 〜Ig x 直 线的斜率为b,截距为Ig a。
(2) y = aebx ,a、b 为常数，贝 U Ig y = Ig a — bx/ 2 . 3 0, Ig y〜x
直线的斜率为—b / 2 . 3 0,截距为Ig a。
(3) y= ab ,a、b 为常数，贝U Ig y = Ig a+( Ig b)x, Ig y 〜x 直 线的斜率为Ig b,截距为Ig a。
(4) y2=2px,p为常数，改变后，y = ± “2px，则y为A/x的线
性函数。
(5) 1 / y = a / x + b,a、b为常数，则1 / y〜1 / x直线的斜率为
a,截距为b。
4) 用对数坐标纸作图
在某些情况下，变量变化范围很大，或者两物理量之间的关系 为指数函数
或幕函数时，利用对数坐标纸作图往往更为方便。对数坐标纸的分度与所表示 量的对数值成正比，其每一循环(1,2,3,…，9, 1)对应于一个数 量
级，简称级。用对数坐标纸作图时，可根据数据的覆盖范围选取不同的级。全 对数坐标纸两个坐标轴都以对数间距分度；半对数坐标纸仅一个坐标以对数间 距分 度，而另一坐标仍以毫米均匀分度。
曲线改直例(1)可用全对数坐标纸作图。如用实验研究弹簧振子周期T
a
与振子质量m的关系。令T=Am ,人和a待定，测得振子质量m与振动周期T 的数据后，就可以用全对数坐标纸作图，还可从图中确定A与 a的值。
图1 .7 — 2是在半对数坐标纸上作的半导体热敏电阻的R〜1 /T关系图(半
导体热敏电阻电阻值随温度变化数据见表1 .7 — 3)。因该元件的电阻温度 关系为 ，在普通坐标纸作图将是一条指数曲线，而在半对数纸上作
图即为一条直线。
图1 .7 — 3 半对数坐标纸作图示例
表1 .7 — 3 半导体热敏电阻电阻值随温度变化数据
t〔叩
8.10 20.80 29 .DO 39.40 5L?0 60.30 59.20 82.50 9 LOO 99 JO
T 27535 28L25 29B.Q5 303. OS 31L55 324.35 333.45
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円
3,555 1402 3.300 3-210 3 XS 3
2.92L 2J12 274& 2$監
1604 1 333 93L0 W.5 59B J 煽4 364J 300.3 232 J 2047 曲
3 最小二乘法
用作图法处理实验数据获得直线的斜率和截距等重要参数虽然 简单明了，
但是存在相当大的主观成分，结果也往往因人而异。最小二乘法则是一种比较 精确的直线拟合方法。它的依据是：对于等精度测量若存在一条最佳拟合直 线, 那么各测量值与这条直线上的对应点值之差的平方和应为极小。
这里只考虑最简单的直线拟合问题。假定每个数据点的测量都是等精度的， 而且x的测量误差很小，可忽略，只有y的测量存在测量误差。 2O 3 2
1
2.5 3.0 3-5
l/r(x 10*3 K_l) 已知所观测的一组数据点（x,y「）（i = l,2,…，n ），变量x与y有 y = ax +
b ，并且x的测量误差远小于y的测量误差。根据最小二乘原理 估计a和b的值，应满足测量值 y和直线上的对应点值（ax + b）之差的平方和 为最小，即
(1.7 — -3)
确疋a，b使式 (1.7 — 3) 成立的必要条件是：对a和b的一阶偏导
数等于零，即
(1.7 —4)
于是有
(1.7- —5)
整理后写成
（1.7 — 6）
式中：
联合求解，得
（1.7 — 7）
要使式（1.7 — 3）取极小值还需满足充分条件，即其二阶导数大于零, 这里不再证明。
