最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面平行的判定》典型例题

人教B 版 数学 必修2：平面与平面平行的判定与性质 同步练习一、选择题1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )A.都平行．B. 都相交．C.在这两个平面内．D.至少与其中一个平面平行．2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 ( )A.平行．B.相交．C.重合．D.平行或相交．3. ,αβ是两个不重合的平面,在下列条件中, 可判定α∥β的是 ( )A.,αβ都垂直于平面γB.α内有不共线的三点到平面β的距离相等C.,l m 是平面α内的直线, 且l ∥β, m ∥βD.,l m 是两条异面直线, 且均与平面,αβ平行A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //二、填空题7.若α∥β,α⊂a ,β⊂b 则a ,b 的位置关系是 .8. a 、b 为异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的位置关系是 .三、解答题9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面α过a 且与b 平行，平面β过b 且与a 平行．求证：平面α∥平面β.10. 已知：A 为平面BCD 外一点，M 、N 、G 分别是△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心． 求证：平面MNG ∥平面ACD ．11.已知线段AB、CD异面，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证MN∥平面α.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD 1上的点，且BP= QC，求证PQ∥平面A1D1DA .【课时37答案】1.D2.D3. D4.B5.C6.2个7.平行或异面8. 相交9.10.11.连结AD，取AD的中点P，连结MP、NP，由三角形中位线性质，得MP∥CD，NP∥CD∴平面MNP∥平面α, ∵MN⊂平面MNP, MN∥平面α．12.。

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

课时分层作业(十) 直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列命题正确的有()①如果两个平面不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个B[对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]2．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 在平面α内D. 平行或在平面α内D[在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α，故选D.]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行B[如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.]4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合C[若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．]5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线A[当直线a⊂β，B∈a时满足条件，此时过点B不存在与a平行的直线，故选A.]二、填空题6．如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．平行[在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，∴A′B′∥平面ABC.又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，∴A′B′∥a.]7．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．相交或平行[b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b ∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)平行[若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.]三、解答题9．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.(1)(2)[证明]∵E，F分别为正方形ABCD的边AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.10．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.[证明]因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.1．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.]2．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．①②③④[以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．]。

直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】 要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α⊄； ②直线b 在平面α内，即b α⊂； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =I ，且//a β、//b β，则//αβ. 要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC ∥EF ．证明：如右图，连接AC ，BD ，EF ，GF ，EG ． 在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AC ∥EF ， 又AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 于是AC ∥平面EFG ． 同理可证BD ∥平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．OO 1CDC 11A 1B 1例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．证明：作PM ∥AB 交BE 于点M ，QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN ． ∴PM EP AB EA =，QN BQDC BD=． ∵AP=DQ ，∴EP=BQ ． 又∵AB=CD ，EA=BD ， ∴PM //QN ．∴四边形PMNQ 是平行四边形． ∴PQ ∥MN ．综上，PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， 又∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键． 举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．证明：如图，取面ABCD 的中心O ，连1OC ．11//O C OC Q ，且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴，又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ．∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF=12CD ．∵AB ∥CD ，AB=CD ，E 为AB 中点，∴GF ∥AE ，GF=AE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ．【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．【解析】（1）在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ． 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，如下图， 则EG ⊥平面ABCD ，且12EG PA =． 在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2， ∴2AP AB ==，22EG =． ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=． 类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．证明：∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1． 又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1． 同理，BD ∥平面AB 1D 1，又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ． 证明：连接MF ，∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴MF //A 1D 1．又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB ． 同理，AN ∥平面EFDB ．又AM 、AN ⊂平面AMN ，且AM ∩AN=A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以323221PG PG G M G Q==，所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ，MQ ⊂面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，因为13G G ⊂面123G G G ，23G G ⊂面123G G G ，13233G G G G G =I ，23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．证明：由棱柱的性质知，B 1C 1//BC ，又D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以C 1E //DB ，则四边形C 1DBE 为平行四边形，因此EB ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面ADC 1，EB ⊄平面ADC 1，所以EB ∥平面ADC 1．连接DE ，同理，EB 1//BD ，所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED //B 1B ． 因为B 1B //A 1A （棱柱的性质），所以ED //A 1A ，则四边形EDAA 1为平行四边形，所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E ∥平面ADC 1．由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，且A 1E ∩EB=E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以上图（1）为例进行证明：证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵MN是'''MN B D，∆的中位线，∴//''A B D∵四边形''BD B D，∴MN∥BD，BDD B是平行四边形，∴//''又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN⊂平面AMN，且MN∩AM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。