理论力学5

原来, 正则变换前后的哈密顿作用量的单位相同. 换句话说, 作用量单位不变. 我们知道,作用量的量纲 =ML2/T. 作用量单位不变的条件下,我们不能只把长度 的单位变为原来的1/k倍,而必须相应地改变时间或质量 (成两者)的单位. 比方说, 不改变时间单位,而把质量的 单位变为原来的k2倍, 则质量m将变为原来的1/ k2倍, 动 量则变为原来的1/k. 其实,从分析力学广义动量的定义 就可以很直接地得出这一结论.
相等.
s
s
pdq PdQdU
1
1
上面我们是把U看做q, Q 和时间的函数, 当然也 可以看做p, Q或者q, P; p, P等的函数.
(2) 把母函数表示为函数 U 2U 2(p,Q ,t)
正则变换条件
s
s
pdq P dQ H *HdtdU 1
1
1
相应的可以变为
s 1 q d p s 1 P d Q H * H d t d U 1 s 1 p q U 2 ( p ,Q ,t)
所以
Q
U3 P
,
p
U3 q
1,2,,s
H* HU3 t
(4) 把母函数表示为函数 U4U4(p,P,t) 正则变换条件
s
s
pdq P dQ H *HdtdU 1
1
1
相应的可以变为
s 1 Q d P p d q H * H d t d U 1 s 1 P Q p q U 4 ( p ,P ,t 要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则 方程, 满足这一要求的变换叫做正则变换.
注意: 变换以后的两组变数P与Q完全对等, 不再 把它们区分为“坐标”和“动量”. 这样, 在哈密 顿动力学中, 满足哈密顿正则方程的一对变数P 与Q就叫做一对正则变数或一对共轭变数, 说不 上哪个是坐标, 哪个是动量.

CD veAB vrAB ve vrCD
将上式向 v2 方向投影，有： CD veAB cos vrAB sin ve 由此得到
即：
课
答
CD ve veAB cos v2 v1cos sin sin
案
网
CD va ve vrCD
va (veAB ) 2 (vrAB ) 2
5.8 如图所示，摇杆机构的滑杆 AB 以等速 v 向上运动。摇杆长 OC a ，距离 π OD l 。求当 时点 C 的速度的大小。 4
魏 魏 魏
后

泳 泳 泳
ww
涛 涛 涛
m
案
ve va cos 45
ve v lOA 2l av vC a 2l
课
答
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
案
网
w.
kh
da
w.
co
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
5.2 斗挖掘机的链速 v1 16 m min ，斗间的距离 l 0.8m ，在垂直于图形平面的 方向上的斗宽为 b 0.4m 。问挖掘机沿斜坡纵向应以多大的速度 v2 行走，才能使 斗在挖土时不留下挖痕和空白
魏 魏 魏
后
泳 泳 泳
ww
涛 涛 涛
m
课
答
解： 显然，相对运动轨迹为圆，轨迹方程为 x y ( 1) 2 ( ) 2 1 40 40 从动坐标系 Oxy 向定坐标系的变换矩阵为 cos sin sin cos 所以，相对坐标为 ( x, y) 的动点 M 的绝对坐标为 x cos sin x 4 cos 40 cos t cos 40 sin t sin y sin cos y 40 sin 40 sin t sin 40 sin t sin 注意到 t ，由此可得 x 40(cos t 1) y 40 sin t 绝对运动轨迹为圆，轨迹方程为 x y ( 1) 2 ( ) 2 1 40 40

第五章 摩 擦
知识点
1.
摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩擦两类。
2.
滑动摩擦力是两物体接触表面有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前
者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。
★ 静滑动摩擦力的方向与接触面相对滑动趋势的方向相反，它的大小、方向随主动力
改变，由平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达最大值。物体平衡时，
3.
滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻
碍作用。阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。
★ 物体平衡时，滚动摩阻力偶矩 随主动力的大小变化，其变化范围为
★ 滚动摩阻定律 滚动摩阻力偶矩的最大值与法向反力成正比，即
滚动摩阻系数 具有长度量纲。 本章仅限于研究固体与固体间的摩擦，即干摩擦，着重讨论有摩擦力存在时物体的平衡问题。 § 5-1 滑动摩擦 静滑动摩擦力
平推力 即为所求。由于系统在 、 两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最
大值，系统即处于临界平衡状态，其推力 即为最小值。
（1）设 处的摩擦力达到最大值。当推力 为最小时，轮有沿水平面向右滚动的趋势， 轮上点 相对于杆 有向右上方滑动的趋势，作用于杆和轮的摩擦力 和 如图(b)和(c) 所示。设 处摩擦力 尚未达最大值，设其方向向左，如图(c)。
材料名称
软钢与软钢 轮胎与路面 淬火钢与淬火钢
0.05 2～10 0.01
示。当滚轮处于临界平衡状态时，
★ 滚动摩阻系数的物理意义：如图 5-9 所
有 滚动摩阻系数可看成是物体即将滚动时，法向反力偏离中心线的最大距离，亦即滚阻力偶的 最大力偶臂。由于 较小，滚阻力偶常忽略不计。 例 5-4 半径为 的滑轮 上作用有力偶，轮上绕有细绳拉住半径为 ，重为 P 的圆柱，如 图 5-10(a)所示。斜面倾角为 ，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为 。求圆柱平衡时，力偶 矩 的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦系数的最小值。

第5章 摩 擦5-1 如图5-1a 所示，置于V 型槽中的棒料上作用1力偶，力偶矩m N 15⋅=M 时，刚好能转动此棒料。

已知棒料重力N 400=P ，直径m 25.0=D ，不计滚动摩阻。

求棒料与V 形槽间的静摩擦因数f s 。

(a)(b)图5-1解 圆柱体为研究对象，受力如图5-1b 所示，F s1，F s2为临界最大摩擦力。

0=∑x F ，045cos 2s 1N =°−+P F F （1） 0=∑y F ，045sin 1s 2N =°−−P F F （2） 0=∑O M ，0222s 1s =−+M DF D F（3）临界状态摩擦定律：1N s 1s F f F =（4） 2N s 2s F f F =（5）以上5式联立，化得 0145cos s2s =+°−MPDf f 代入所给数据得01714.4s 2s =+−f f 方程有2根：442.4s1=f （不合理）， 223.0s2=f （是解）故棒料与V 形槽间的摩擦因数223.0s =f5-2 梯子AB 靠在墙上，其重力为N 200=P，如图5-2a 所示。

梯长为l ，并与水平面交角°=60θ。

已知接触面间的静摩擦因数均为0.25。

今有1重力为650 N 的人沿梯向上爬，问人所能达到的最高点C 到点A 的距离s 应为多少？AN F As F(a)(b)图5-2解 梯子为研究对象，受力如图5-2b 所示，刚刚要滑动时，A ，B 处都达最大静摩擦力。

人重力N 650=W ，平衡方程： 0=∑x F , 0s N =−A B F F （1） 0=∑y F , 0s N =−−+W P F F B A（2）0=∑A M ，060cos 60sin 60cos 60cos 2s N =°−°−°+°l F l F Ws lPB B （3） 临界补充方程：A s A F f F N s = （4）B s B F f F N s =（5）联立以上5式，解得 N 80012sN =++=f WP F A ，N 200s =A F N 200)(12s N =++=W P f f F sB ，N 50s =B F l PF f W l s B 456.02)3[(N s =−+=5-3 2根相同的匀质杆AB 和BC ，在端点B 用光滑铰链连接，A ，C 端放在不光滑的水平面上，如图5-3a 所示。