一轮优化探究物理沪科版练习第四章第讲抛体运动含解析

2021年高考物理一轮复习第四章第2课抛体运动练习考点一抛体运动1．平抛运动．(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下(不考虑空气阻力)的运动．(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．(3)条件：①v0≠0，且沿水平方向．②只受重力作用．2．斜抛运动．(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．考点二抛体运动的基本规律平抛运动．(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(2)基本规律(如图所示)：1．如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速v a和v b 沿水平方向抛出，经时间t a和t b后落到与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则(A)A．t a>t b，v a<v bB．t a>t b，v a>v bC．t a<t b，v a<v bD．t a<t b，v a>v b解析：根据在竖直方向上两个小球都做自由落体运动的规律可知，只有当t a>t b时，两个小球才可以在P点相遇．而s a＝v a t a，s b＝v b t b，s a＝s b，故v a<v b.2．如图，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是(B)A ．v 0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度与高度h 无关D ．运动员落地位置与v 0大小无关解析：运动员竖直方向上做自由落体运动，故运动员做平抛运动的时间t ＝2hg，只与高度有关，与初速度无关，A 错误；运动员的末速度是由初速度和竖直速度合成的，合速度v ＝v 20＋v 2y ，初速度越大，合速度越大，B 正确；物体的竖直速度v y ＝2gh ，高度越高，竖直速度越大，故合速度越大，C 错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x ＝v 0t ＝v 02hg，故落地的位置与初速度有关，D 错误． 3．如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c 点．已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．解析：小球做平抛运动，水平位移x ＝R ＋32R ，竖直位移y ＝12R ，根据平抛运动特点知小球在水平方向做匀速直线运动，有x ＝v 0t ，即：R ＋32R ＝v 0t ，① 小球在竖直方向做自由落体运动，有y ＝12gt 2，即：12R ＝12gt 2，② 联立①②得圆的半径R ＝4v 2（7＋43）g.答案：4v 20（7＋43）g课时作业 一、单项选择题1．从水平飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是(C )A ．从飞机上看，物体静止B ．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C ．从地面上看，物体做平抛运动D ．从地面上看，物体做自由落体运动解析：在匀速飞行的飞机上释放物体，物体有一水平速度，故从地面上看，物体做平抛运动，C 对D 错；飞机的速度与物体水平方向上的速度相同，故物体始终在飞机的正下方，且相对飞机的竖直位移越来越大，A 、B 错．2．如图所示，某同学为了找出平抛运动物体的初速度之间的关系，用一个小球在O 点对准前方放置一块竖直的挡板，O 与A 在同一高度，小球的水平初速度分别是v 1、v 2、v 3，打在挡板上的位置分别是B 、C 、D ，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5.则v 1、v 2、v 3之间的正确关系是(C )A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1B ．v 1∶v 2∶v 3＝5∶3∶1C ．v 1∶v 2∶v 3＝6∶3∶2D ．v 1∶v 2∶v 3＝9∶4∶1 解析：在竖直方向上，由t ＝2yg得小球落到B 、C 、D 所需的时间比t 1∶t 2∶t 3＝AB ∶AC ∶AD ＝1∶（1＋3）∶（1＋3＋5）＝1∶2∶3；在水平方向上，由v ＝xt 得：v 1∶v 2∶v 3＝x t 1∶x t 2∶xt 3＝6∶3∶2.3．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(D )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ解析：竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gtv 0，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝0.5gt 2v 0t，故tan φ＝2tan θ，D 正确．4．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s 的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m 至15 m 之间，忽略空气阻力，取g ＝10 m/s 2，球在墙面上反弹点的高度范围是(A )A ．0.8 m 至1.8 mB ．0.8 m 至1.6 mC ．1.0 m 至1.6 mD ．1.0 m 至1.8 m解析：球落地时所用时间在t 1＝x 1v ＝0.4 s 至t 2＝x 2v ＝0.6 s 之间，所以反弹点的高度在h 1＝12gt 21＝0.8 m 至h 2＝12gt 22＝1.8 m 之间，故选A.5．如图所示，我某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面H 高处的飞机以水平对地速度v 1发射一颗炸弹轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程看作竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足(C )A ．v 1＝Hx v 2 B ．v 1＝v 2x HC ．v 1＝xHv 2 D ．v 1＝v 2解析：由题知从发射到拦截成功水平方向应满足：x ＝v 1t ，同时竖直方向应满足：H ＝12gt2＋v 2t －12gt 2＝v 2t ，所以有x v 1＝H v 2，即v 1＝xHv 2，C 选项正确．二、不定项选择题6．如图所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点．若不计空气阻力，下列关系式正确的是(AC )A ．t a ＞t bB ．v a ＞v bC ．v a ＜v bD ．t a ＜t b解析：两小球做平抛运动，由题图可知h a ＞h b ，则t a ＞t b ；又水平位移相同，根据x ＝vt 可知v a ＜v b .7．如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是(ABD )A ．球的速度v 等于Lg 2HB ．球从击出至落地所用时间为2H gC ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关解析：设球下落的时间为t ，球在竖直方向上自由下落有12gt 2，在水平方向上匀速有L＝vt ，解得t ＝2Hg、v ＝L g 2H，选项A 、B 正确；球从击出点至落地点的位移应为H 2＋L 2，且与物体的质量无关，选项C 错误，D 正确．8．以初速度v 0水平抛出一物体，当它的竖直分位移与水平分位移相等时，则(BCD ) A ．竖直分速度等于水平分速度B ．瞬时速度等于5v 0C ．运动的时间为2v 0gD ．位移大小是22v 2g解析：由平抛运动的两个分运动可知：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，依题意有v 0t ＝12gt 2，得：t ＝2v 0g ，C 正确．v y ＝gt ＝g 2v 0g ＝2v 0，A 错误．瞬时速度v ＝v 20＋v 2y ＝5v 0，B 正确．通过的位移s ＝2v 0t ＝22v 2g，D 正确．9．从距地面h 高处水平抛出两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，球的落地点到抛出点的水平距离分别是x 甲和x 乙，且x 甲＜x 乙，如图所示．则下列说法正确的是(BC )A ．甲球在空中运动的时间短B ．甲、乙两球在空中运动的时间相等C ．甲球平抛的初速度小D ．甲、乙两球落地时速度大小相等解析：球在竖直方向上做自由落体运动，有h ＝12gt 2，可见h 相同，t 就相同，选项B 正确；球在水平方向上做匀速运动，有x ＝v 0t ，可见t 相同时，x 大者v 0大，选项C 正确；球落地的速度v ＝v 20＋（gt ）2，因v 0不同则v 不同，选项D 错误．10．如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a 、c 两小球在斜面顶端．若同时释放a 、b 、c 小球到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′.下列关于时间的关系正确的是(AC )A ．t 1＞t 3＞t 2B ．t 1>t 1′、t 2>t 2′、t 3>t 3′C ．t 1′＞t 3′＞t 2′D ．t 1＜t 1′、t 2＜t 2′、t 3＜t 3′ 解析：由静止释放三小球时，对a ：h sin 30°＝12gsin 30°·t 21，则t 21＝8h g.对b ：h ＝12gt 22，则t 22＝2h g .对c ：h sin 45°＝12gsin 45°·t 23，则t 23＝4h g.所以t 1＞t 3＞t 2.当平抛三小球时：小球b 做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况，小球a 、c 在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t 1＝t 1′，t 2＝t 2′，t 3＝t 3′.故选A 、C.三、非选择题11．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标．求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)解析：炸弹脱离飞机后做平抛运动． 在水平方向上：x ＝v 0t ，在竖直方向上：H ＝12gt 2，v y ＝gt ，联立可解得：x ＝v 02H g. v ＝v 20＋v 2y ＝v 20＋2gH. 答案：v 02H gv 20＋2gH12．在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车的速度对于事故责任的认定具有重要的作用．《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个计算碰撞瞬间的车辆速度的公式v ＝ 4.9·ΔLh 1－h 2，式中ΔL 是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两物体沿公路方向上的水平距离，如图所示．h 1和h 2分别是散落物在车上时的离地高度．通过用尺测量出事故现场的ΔL 、h 1和h 2三个量，根据上述公式就能够计算出碰撞瞬间车辆的速度．请根据所学的平抛运动知识对给出的公式加以证明．解析：车上A 、B 两物体均做平抛运动，则h 1＝12gt 21，h 2＝12gt 22，ΔL ＝v·(t 1－t 2)．解以上三式可以得到：v ＝ 4.9·ΔL h 1－h 2.答案：见解析 13．如右图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s 2)．求：(1)A 点与O 点的距离L ；(2)运动员离开O 点时的速度大小．解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝12gt 2，所以A 点与O 点的距离L ＝gt22sin 37°＝75 m.(2)设运动员离开O 点的速度为v 0， 运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°＝v 0t ，解得：v 0＝Lcos 37°t＝20 m/s.答案：(1)75 m (2)20 m/s 37986 9462 鑢!37624 92F8 鋸28778 706A 灪22974 59BE 妾/35838 8BFE 课33605 8345 荅 ILy"32266 7E0A 縊。

A.v1∶v2∶v3＝1∶3∶5 C.三个小球落地的速度相同
图5 B.三个小球下落的时间相同 D.三个小球落地的位移相同
解析 三个小球的高度相等，则根据 h＝12gt2 知，平抛运动的时间相等，因为水 平位移之比为 1∶3∶5，则根据 x＝v0t 得，初速度之比为 1∶3∶5，故 A、B 正 确；小球落地时竖直方向上的分速度相等，落地时的速度 v＝ v20＋2gh，初速度 不等，则落地的速度不等，故 C 错误；小球落地时的位移 s＝ x2＋h2，水平位 移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故 D 错误。 答案 AB
第2讲 抛体运动
知识排查
知识点一 平抛运动 1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在__重__力__作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的_匀__加__速__曲线运动，其运动轨迹是_抛__物__线___。 3.平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿_水__平__方__向__；(2)只受__重__力__作用。 知识点二 平抛运动的规律(如图所示)
3.(多选)如图2所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N 点。两球运动的最大高度相同，空气阻力不计，则( )
图2
A.B的加速度比A的大
B.B的飞行时间比A的长
C.B在最高点的速度比A在最高点的大 D.B在落地时的速度比A在落地时的大
解析 两球在空中的加速度都为重力加速度g，选项A错误；由于两球运动的最大 高度相同，则在空中飞行的时间相同，选项B错误；B球的射程大，则水平方向的 分速度大，在最高点的速度大，选项C正确；两球运动的最大高度相同，则竖直分 速度相同，由于B球的水平分速度大，则B球抛出时的速度大，落地时的速度也大， 选项D正确。 答案 CD

第2讲 抛体运动的规律及应用1．(人教版必修2·P 9·例题1改编)以初速度v 0＝20 m/s ，从20 m 高台上水平抛出一个物体(g 取10 m/s 2)，则( )A ．2 s 后物体的水平速度为20 m/sB ．2 s 后物体的速度方向与水平方向成45°角C ．每1 s 内物体的速度变化量的大小为10 m/sD ．每1 s 内物体的速度大小的变化量为10 m/s C [物体从高台落至地面所用时间t ＝2hg＝2 s ，故2 s 后物体落至地面，速度为0，选项A 、B 错误；速度的变化表现为竖直方向速度的变化，所以Δt ＝1 s 内，速度的变化量Δv ＝g Δt ＝10 m/s ，所以选项C 正确；物体的运动速度大小为v 2x ＋v 2y ，每1 s 内，其变化量不同，选项D 错误。

]2．(2019·广西博白期末)物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t 的变化图象中，正确的是( )B [tan θ＝v y v 0＝gt v 0＝g v 0t ，gv 0为定值，tan θ与t 成正比，故B 正确。

] 3．(2020·广东惠州调研)如图所示，A 、B 两个平台水平距离为7.5 m ，某同学先用一个小球从A 平台边缘以v 0＝5 m/s 的速度水平抛出，结果小球落在了B 平台左侧边缘下方6.25 m 处。

重力加速度g 取10 m/s 2，忽略空气阻力，要使小球从A 平台边缘水平抛出能落到B 平台上，则从A 平台边缘水平抛出小球的速度至少为( )A ．6 m/s B.7.5 m/s C ．9 m/sD.11.25 m/sB [本题考查平抛运动的临界问题。

由平抛运动的规律可知，第一次抛出小球时满足x ＝v 0t 1，h ＋6.25 m ＝12gt 21；当小球恰能落到平台B 上时，有x ＝v 0′t 2，h ＝12gt 22，联立解得v 0′＝7.5 m/s ，故选B 。

第二节 抛体运动一、平抛运动1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线． 2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：v x ＝v 0，位移：x ＝v 0t ． (2)竖直方向：做自由落体运动，速度：v y ＝gt ，位移： y ＝12gt 2． (3)合运动①合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝gt v 0．②合位移：x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为α，则 tan α＝y x ＝gt2v 0．1.判断正误(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( )(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．( ) (3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大．( )(4)做平抛运动的物体在任一相等时间间隔内的速度增量相等．( ) (5)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长．( )(6)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 二、斜抛运动1．性质：加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线． 2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向：做匀速直线运动，v x ＝v 0cos θ. (2)竖直方向：做竖直上抛运动，v y ＝v 0sin θ－gt .2.(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )A．B的加速度比A的大B．B的飞行时间比A的长C．B在最高点的速度比A在最高点的大D．B在落地时的速度比A在落地时的大提示：选CD.两球加速度都是重力加速度g，A错误；飞行时间t＝22hg，因h相同，则t相同，B错误；水平位移x＝v x t，在t相同情况下，x越大说明v x越大，C正确；落地速度v＝v2x＋v2y，两球落地时竖直速度v y相同，可见v x越大，落地速度v越大，D正确．平抛(类平抛)运动的基本规律与应用【知识提炼】1．平抛(类平抛)运动所涉物理量的特点(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A 点和B 点所示，即x B ＝x A2.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.【典题例析】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点以初速度v 0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B 点，不计空气阻力．求：(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？ (2)A 、B 间的距离为多少？[解析] 法一：(1)以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，(如图1所示)v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ， a x ＝g sin θ，a y ＝g cos θ.物体沿斜面方向做初速度为v x 、加速度为a x 的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为v y 、加速度为a y 的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．令v ′y ＝v 0sin θ－g cos θ·t ＝0，即t ＝v 0tan θg.(2)当t ＝v 0tan θg 时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T ＝2t ＝2v 0tan θg，AB 间距离s ＝v 0cos θ·T ＋12g sin θ·T 2＝2v 20tan θg cos θ. 法二：(1)如图2所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v 0交点为此时横坐标的中点P ，则tan θ＝y 12x ＝12gt 212v 0t ，t ＝v 0tan θg.(2)AC ＝y ＝12gt 2＝v 20tan 2θ2g，而AC ∶CD ＝1∶3，所以AD ＝4y ＝2v 20tan 2θg ，AB 间距离s ＝AD sin θ＝2v 20tan θg cos θ.法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t ，将v 分解成v x 和v y ，如图3所示，则由tan θ＝v y v x ＝gt v 0，得t ＝v 0tan θg.(2)设由A 到B 所用时间为t ′，水平位移为x ，竖直位移为y ，如图4所示，由图可得 tan θ＝yx ，y ＝x tan θ①y ＝12gt ′2② x ＝v 0t ′③ 由①②③得：t ′＝2v 0tan θg而x ＝v 0t ′＝2v 20tan θg，因此A 、B 间的距离s ＝xcos θ＝2v 20tan θg cos θ.[答案] (1)v 0tan θg (2)2v 20tan θg cos θ化曲为直思想求解(类)平抛运动(1)求解(类)平抛运动的基本思想是将平抛运动分解为两个直线运动，即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此类问题一般画出合位移与两个分位移、合速度与两个分速度的矢量分解图，依据三角形知识即可求解．(2)在解题过程中要注意：两个分运动具有等时性、独立性，即时间相等、独立进行互不影响．分运动的时间就是合运动的时间．两个分运动与合运动遵循平行四边形定则．【跟进题组】考向1 分解思想在平抛运动中的应用1.(2015·高考浙江卷)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L 24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2C ．足球末速度的大小v ＝g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2＋4ghD ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s解析：选B.根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h ，水平位移为x 水平＝s 2＋L 24，则足球位移的大小为：x ＝x 2水平＋h 2＝s 2＋L 24＋h 2，选项A 错误；由h ＝12gt 2，x 水平＝v 0t ，可得足球的初速度为v 0＝ g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2，选项B 正确；对足球应用动能定理：mgh ＝m v 22－m v 202，可得足球末速度v ＝v 20＋2gh ＝g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2＋2gh ，选项C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝s L 2＝2sL ，选项D 错误．考向2 速度偏向角表达式的应用2.(多选)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此可算出( )A ．轰炸机的飞行高度B ．轰炸机的飞行速度C ．炸弹的飞行时间D ．炸弹投出时的动能解析：选ABC.设轰炸机投弹位置高度为H ，炸弹水平位移为x ，则H －h ＝12v y ·t ，x ＝v 0t ，二式相除H －h x ＝12·v y v 0，因为v y v 0＝1tan θ，x ＝h tan θ，所以H ＝h ＋h2tan 2 θ，A 正确；根据H －h ＝12gt 2可求出炸弹的飞行时间，再由x ＝v 0t 可求出轰炸机的飞行速度，故B 、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D 错误．考向3 位移偏向角表达式的应用3．(多选)(2017·湖南长郡中学月考)如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则( )A ．当v 1＞v 2时，α1＞α2B ．当v 1＞v 2时，α1＜α2C ．无论v 1、v 2关系如何，均有α1＝α2D ．α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关解析：选CD.从斜面上抛出，又落到斜面上，位移偏向角一定为θ，设速度偏向角为φ，根据速度偏向角和位移偏向角的关系tan φ＝2tan θ，故无论v 1、v 2关系如何，一定有φ相等，根据α＝φ－θ，均有α1＝α2，且大小与斜面倾角θ有关，选项A、B错误，C、D正确．斜抛运动的理解【知识提炼】解决斜抛运动的两种思路1．利用分解思想，把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，分别在各个方向上利用运动学公式进行计算，然后再合成．2．让斜抛物体上升到最高点，利用两个反方向的平抛运动进行求解．【典题例析】(2016·高考江苏卷)有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是()A．①B．②C．③D．④[解析]由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与A球的一样，A 项正确．[答案] A(多选)2016年第31届夏季奥运会女子首个一杆进洞被中国运动员林希妤在里约高尔夫球赛上完成．假设一个高尔夫球静止于平坦的地面上，在t＝0时被击后的速率与时间的关系如图所示．若不计空气阻力的影响，根据图象提供的信息可以求出的量是()A．高尔夫球落地的时间B．高尔夫球上升到最高点的时间C．高尔夫球可上升的最大高度D．人击球时对高尔夫球做的功解析：选ABC.不计空气阻力，高尔夫球落到水平地面上时的速率和被击中瞬间的速率相等；由图可看出，高尔夫球在2.5 s时上升到最高点，在5 s时落地，选项A、B能求出．球的初速度大小为v0＝32 m/s，到达最高点时的速度大小为v＝20 m/s，由动能定理得－mgh＝12m v 2－12m v 20，由此式可求出最大高度h ，选项C 能求出．人击球时对球做的功等于球获得的动能，只知道速度不知道球的质量，动能无法求出，故选项D 不能求出．平抛运动中的临界、极值问题【知识提炼】在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．【典题例析】(2015·高考全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h <v <L 1g6hB.L 14g h <v < （4L 21＋L 22）g6hC.L 12g 6h <v <12（4L 21＋L 22）g6hD.L 14g h <v <12（4L 21＋L 22）g6h[审题指导] 若要使乒乓球落在球网右侧台面上，一要满足越过球网，二要不出右边界，从而求出范围．[解析] 设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21 ①，水平方向上有L 12＝v 1t 1 ②.由①②两式可得v 1＝L 14gh.设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22 ③，在水平方向有⎝⎛⎭⎫L 222＋L 21＝v 2t 2 ④.由③④两式可得v 2＝12（4L 21＋L 22）g6h.则v 的最大取值范围为v 1<v <v 2.故选项D 正确．[答案] D(2016·高考浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 解析：(1)打在探测屏AB 中点的微粒下落的高度 32h ＝12gt 2① t ＝3h g.② (2)打在B 点的微粒初速度v 1＝L t 1；2h ＝12gt 21③v 1＝Lg4h④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h⑤ 能被屏探测到的微粒初速度范围： Lg4h≤v ≤L g 2h.⑥ (3)由功能关系12m v 22＋mgh ＝12m v 21＋2mgh ⑦ 代入④⑤式得L ＝22h . 答案：见解析1.(2015·高考山东卷)距地面高5 m 的水平直轨道上A 、B 两点相距2m ，在B 点用细线悬挂一小球，离地高度为h ，如图．小车始终以4 m/s 的速度沿轨道匀速运动，经过A 点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B 点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.可求得h 等于( )A ．1.25 mB ．2.25 mC ．3.75 mD ．4.75 m 解析：选A.根据两球同时落地可得2H g＝d ABv ＋ 2hg，代入数据得h ＝1.25 m ，选项A 正确．2．如图，战机在斜坡上方进行投弹演练．战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a 点，第二颗落在b 点．斜坡上c 、d 两点与a 、b 共线，且ab ＝bc ＝cd ，不计空气阻力．第三颗炸弹将落在( )A ．bc 之间B ．c 点C ．cd 之间D ．d 点解析：选A.如图所示，假设第二颗炸弹的轨迹经过A 、b ，第三颗炸弹的轨迹经过P 、Q ；a 、A 、B 、P 、C 在同一水平线上，由题意可知，设aA ＝AP ＝x 0，ab ＝bc ＝L ，斜面的倾角为θ，三颗炸弹到达a 所在水平面的竖直速度为v y ，水平速度为v 0，对第二颗炸弹：在水平方向上有x 1＝L cos θ－x 0＝v 0t 1，竖直方向有y 1＝v y t 1＋12gt 21；对第三颗炸弹：水平方向有x 2＝2L cos θ－2x 0＝v 0t 2，竖直方向有y 2＝v y t 2＋12gt 22.解得t 2＝2t 1，y 2>2y 1，所以Q点在c 点的下方，也就是第三颗炸弹将落在bc 之间，故A 正确，B 、C 、D 错误．3．(多选)如图甲是古代一种利用抛出的石块打击敌人的装置，图乙是其工作原理的简化图．将质量为m ＝10 kg 的石块装在距离转轴L ＝4.8 m 的长臂末端口袋中．发射前长臂与水平面的夹角α＝30°.发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止，石块靠惯性被水平抛出．若石块落地位置与抛出位置间的水平距离为s ＝19.2 m ．不计空气阻力，g ＝10 m/s 2.则以下判断正确的是( )A ．石块被抛出瞬间速度大小为12 m/sB ．石块被抛出瞬间速度大小为16 m/sC ．石块落地瞬间速度大小为20 m/sD ．石块落地瞬间速度大小为16 m/s解析：选BC.石块被抛出后做平抛运动，水平方向s ＝v 0t ，竖直方向h ＝12gt 2，抛出点到地面的高度h ＝L ＋L ·sin α，解得v 0＝16 m/s ，选项B 正确；石块落地时，竖直方向的速度v y ＝gt ＝12 m/s ，落地速度v t ＝v 20＋v 2y ＝20 m/s ，选项C 正确．4.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球甲、乙(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为( )A ．tan αB ．cos αsin αC ．tan α·tan αD ．cos α·cos α解析：选C.根据平抛运动得甲小球水平方向的位移为x A ＝R sin α＝v 1t 1，竖直方向的位移为y A ＝R cos α＝12gt 21，解得v 1＝12gR sin αcos α；乙小球水平方向的位移为x B ＝R cos α＝v 2t 2，竖直方向的位移为y B ＝R sin α＝12gt 22，解得v 2＝12gR cos αsin α，所以有v 1v 2＝tan α·tan α.选项C 正确．5．(高考浙江卷)如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g ＝10 m/s 2)(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L 的范围． 解析：(1)装甲车匀减速运动的加速度大小 a ＝v 202s ＝209m/s 2. (2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s 弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m第二发子弹的弹孔离地的高度 h 2＝h －12g ⎝⎛⎭⎫L －s v 2＝1.0 m两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.(3)若第一发子弹打到靶的下沿(第二发打到靶上)，装甲车枪口离靶的距离为L 1 L 1＝(v 0＋v )2hg＝492 m 若第二发子弹打到靶的下沿(第一发打到地上)，装甲车枪口离靶的距离为L 2 L 2＝v2hg＋s ＝570 m 故L 的范围为492 m<L ≤570 m. 答案：(1)209 m/s 2 (2)0.55 m 0.45 m(3)492 m<L ≤570 m一、单项选择题1.如图所示，在同一竖直平面内，小球a 、b 从高度不同的两点(h a >h b )分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点，若不计空气阻力，则( )A ．t a ＞t b ，v a ＜v bB ．t a ＞t b ，v a ＞v bC ．t a ＜t b ，v a ＜v bD ．t a ＜t b ，v a ＞v b解析：选A.由平抛运动规律可知：h ＝12gt 2，x ＝v 0t ，根据题中条件，因为h a ＞h b ，所以t a ＞t b ，又因为x a ＝x b ，故v a ＜v b ，所以A 选项正确．2．取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A.π6B. π4C.π3D ．5π12解析：选B.设物块的初速度为v 0，质量为m ，依题意有：mgh ＝12m v 20，设物块落地瞬间水平速度分量为v x ，竖直速度分量为v y ，则根据平抛运动的规律可得：v x ＝v 0，v y ＝2gh ，即v x ＝v y ＝v 0，所以物块落地时速度方向与水平方向夹角为π4，B 项正确．3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A. 6 m/s ＜v ≤2 2 m/s B ．2 2 m/s ＜v ≤3.5 m/sC. 2 m/s ＜v ＜ 6 m/s D ．2 2 m/s ＜v ＜ 6 m/s解析：选A.根据平抛运动规律有：x ＝v t ，y ＝12gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：v t ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜12gt 2≤4×0.4，代入v ＝12gt ，得 6 m/s ＜v ≤2 2 m/s ，A 正确．4．2016年里约奥运会上，中国女排再次夺冠．如图所示，在某次比赛中，我国女排队员将排球从底线A 点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B 点上，且AB 平行于边界CD .已知网高为h ，球场的长度为s ，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H 和水平初速度v 分别为( )A ．H ＝34hB ．H ＝32hC ．v ＝s3h3ghD ．v ＝s4h6gh解析：选D.由平抛运动知识可知12gt 2＝H ，H －h ＝12g ⎝⎛⎭⎫t 22，得H ＝43h ，A 、B 错误．由v t ＝s ，得v ＝s4h6gh ，D 正确，C 错误．5.如图所示，ACB 是一个半径为R 的半圆柱面的截面图，直径AB 水平，C 为截面上的最低点，AC 间有一斜面．从A 点以大小不同的初速度v 1、v 2沿AB 方向水平抛出两个小球a 和b ，分别落在斜面AC 和圆弧面CB 上，不计空气阻力．则下列判断中正确的是( )A ．初速度v 1可能大于v 2B ．a 球的飞行时间可能比b 球长C ．若v 2大小合适，可使b 球垂直撞击到圆弧面CB 上D ．a 球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角为45°解析：选B.下落相同的高度，a 球的水平位移小于b 球，故初速度v 1不可能大于v 2，选项A 错误；飞行时间由下落的高度决定，a 球下落的高度可能大于b 球下落的高度，根据t ＝2hg可知，a 球的飞行时间可能比b 球大，选项B 正确；假设小球与BC 段垂直撞击，设此时速度与水平方向的夹角为θ，知撞击点与圆心的连线与水平方向的夹角为θ.连接抛出点与撞击点，与水平方向的夹角为β.根据几何关系知，θ＝2β.因为平抛运动速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，即tan θ＝2tan β，与θ＝2β相矛盾．则不可能与半圆弧垂直相撞，选项C 错误；a 球落到斜面上，位移与水平方向夹角为45°，根据tan θ＝2tan β可知，选项D 错误．二、多项选择题6.如图所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )A ．A 、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰D ．A 、B 一定能相碰解析：选AD.A 做平抛运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，满足关系式h ＝12gt 2，水平方向上为匀速直线运动，满足关系式x ＝v t ，B 做自由落体运动，因为A 、B 从同一高度开始运动，因此两者在空中同一时刻处于同一高度，即使两者与地面撞击，反弹后在空中也是同一时刻处于同一高度，而A 在水平方向一直向右运动，因此A 、B 肯定会相碰，D 项正确；当A 的水平速度v 足够大时，有可能在B 未落地前二者相碰，因此A 、B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度，A 项正确．7.(2017·安徽六安一中段考)如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( )A ．3把飞刀在击中木板时动能相同B ．到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设到达M 、N 、P 三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3解析：选CD.将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O 点时水平位移相等．由H ＝12gt 2得t ＝ 2Hg，则到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为3∶2∶1，B 错误．在水平方向有l ＝v M t 1＝v N t 2＝v P t 3，由E k ＝12m v 2知3把飞刀在击中木板时打在M 点处的动能最小，打在P 点处的动能最大，A 错误．由v y ＝gt 可知到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1，C 正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D 正确．8．车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d 的河流．在河岸左侧建起如图所示高为h 、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H 、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越．已知h ＞H ，当地重力加速度为g ，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定( )A ．汽车在左侧斜坡上加速的时间tB ．汽车离开左侧斜坡时的动能E kC ．汽车在空中飞行的最大高度H mD ．两斜坡的倾角满足α＜θ解析：选CD.设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为v ，飞出后，汽车水平方向以v cosα做匀速直线运动，竖直方向以v sin α为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有H m －h ＝v 2sin 2α2g ，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为v ′＝v cos αcos θ，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有H m －H ＝v ′2sin 2θ2g ，联立以上三式，解得H m ＝h tan 2θ－H tan 2αtan 2θ－tan 2α，选项C 正确；因为h ＞H ，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度v ′y大于从左侧斜坡飞出时竖直方向的分速度v y ，但水平方向分速度大小相同，故tan α＝v yv x ＜v ′yv x＝tan θ，所以α＜θ，选项D 正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能无法求解，选项B 错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故运动时间无法求解，选项A 错误．三、非选择题9．(2017·四川成都树德中学高三月考)如图所示，在倾角为37°的斜坡上有一人，前方有一动物沿斜坡匀速向下奔跑，速度v ＝15 m/s ，在二者相距L ＝30 m 时，此人以速度v 0水平抛出一石块，打击动物，人和动物都可看成质点．(已知sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)(1)若动物在斜坡上被石块击中，求v 0的大小；(2)若动物在斜坡末端时，动物离人的高度h ＝80 m ，此人以速度v 1水平抛出一石块打击动物，同时动物开始沿水平面运动，动物速度v ＝15 m/s ，动物在水平面上被石块击中的情况下，求速度v 1的大小．解析：(1)设过程中石块运动所需时间为t 对于动物：运动的位移s ＝v t对于石块：竖直方向(L ＋s )sin 37°＝12gt 2水平方向：(L ＋s )cos 37°＝v 0t代入数据，由以上三式可得：v 0＝20 m/s. (2)对动物：x 1＝v t 1，对于石块：竖直方向h ＝12gt 21，解得t 1＝2hg＝4 s 水平方向：htan θ＋x 1＝v 1t 1，联立可得v 1≈41.7 m/s.答案：见解析10.如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围； (2)小球落在空地上的最小速度的大小．解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1小球的竖直位移：H ＝12gt 21由以上两式解得 v 01＝(L ＋x )g2H＝13 m/s 设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 02t 2 小球的竖直位移：H －h ＝12gt 22由以上两式解得：v 02＝5 m/s小球抛出时的速度大小的范围为5 m/s ≤v 0≤13 m/s.(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v 2y ＝2gH又有：v min ＝v 202＋v 2y解得：v min ＝5 5 m/s.答案：(1)5 m/s ≤v 0≤13 m/s (2)5 5 m/s 四、选做题11.如图所示为一同学制作的研究平抛运动的装置，其中水平台AO长s ＝0.70 m ，长方体薄壁槽紧贴O 点竖直放置，槽宽d ＝0.10 m ，高h ＝1.25 m ．现有一弹性小球从平台上A 点水平射出，已知小球与平台间的阻力为其重力的0.1，重力加速度取g ＝10 m/s 2.(1)若小球不碰槽壁且恰好落到槽底上的P 点，求小球在平台上运动的时间．(2)若小球碰壁后能立即原速率反弹，为使小球能击中O 点正下方槽壁上的B 点，B 点和O 点的距离h B ＝0.8 m ，求小球从O 点出射速度的所有可能值．解析：(1)小球从A 点射出后匀减速运动到O 点，从O 点开始做平抛运动．小球恰好落到P 点，设小球在O 点抛出时的速度为v 0，做平抛运动的时间为t 1，则有水平方向：d ＝v 0t 1 竖直方向：h ＝12gt 21解得v 0＝0.2 m/s设小球在平台上运动时加速度大小为a ，则0.1mg ＝ma 解得a ＝1 m/s 2设小球在A 点出射时的速度为v A ，在平台上运动的时间为t 2，则从A 到O ，由运动学公式得v 2A －v 20＝2as ，v A －v 0＝at 2解得t 2＝1 s.(2)当小球与竖直壁相碰时，竖直壁对小球的作用力与壁垂直，小球的竖直分速度不变，由题给条件“原速率反弹”可知碰后小球水平分速度大小不变，方向反向，故小球碰壁后的运动轨迹与没有碰撞情况下平抛运动的轨迹关于竖直壁对称．当小球击中B 点时，小球的水平位移满足x ＝2nd (n ＝1，2，3…)．水平方向：2nd ＝v 0t (n ＝1，2，3…) 竖直方向：h B ＝12gt 2解得v 0＝0.5n m/s(n ＝1，2，3…)． 答案：(1)1 s (2)0.5n m/s(n ＝1，2，3…)。