高二上期月考数学试卷

一、单选题1．设，则集合的元素个数是（ ）{}{}22(,)|,(,)|230A x y y x B x y x x y ===-+-=A B ⋂A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】求集合的元素个数，就是求直线与圆的交点的个数，只要判断A B ⋂y x =22(1)4x y -+=直线与圆的位置关系即可.【详解】由可得， 22230x x y -+-=22(1)4x y -+=即B 为圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， (1,0)2而A 为直线上的点构成的集合， 0x y -=因为圆心为到直线的距离， (1,0)0x y -=2d ==<所以直线与圆相交，y x =22(1)4x y -+=所以直线与圆的交点的个数为2， y x =22(1)4x y -+=所以集合的元素个数为2， A B ⋂故选：C2．抛物线的焦点坐标是 28y x =-A ． B ．C ．D ．()2,0()2,0-()4,0()4,0-【答案】B【解析】先求出的值，再求抛物线的焦点坐标得解.p 【详解】由题得. 28,422pp p =∴=∴=，所以抛物线的焦点坐标为. ()2,0-故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M 是该曲线上一点，且221(0)16y x a a -=>1F 2F ，则（ ）19MF =2MF =A ．3 B ．15C ．3或15D ．15或18【答案】C【分析】运用双曲线的定义，结合双曲线的焦距定义、双曲线的性质进行求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为10， 所以，2105c c =⇒=又因为，所以， 216b =2225169a c b =-=-=因此双曲线的半实轴长为，3所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为， 532-=由双曲线的定义可知：，或， 2221236923632MF M M F F MF -=⨯=⇒⨯=⇒==>-2152MF =>故选：C4．新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打1m 喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来1a 的（ ）倍A ．10B ．16C ．32D ．63【答案】D【分析】由等比数列求和公式即得.【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列，{}n a 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为，{}n a 6161(12)6312a S a ⨯-==-所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D.5．已知方程的根分别为，则下列式子正确的是（ ） 30,e 0,ln 0x x x x x x +=+=+=123,,x x x A ． B ．C ．D ．123x x x >>231x x x >>312x x x >>213x x x >>【答案】C【分析】将题目转化为直线与函数交点横坐标问题即可.y x =-3,e ,ln x y x y y x ===【详解】依题意得的图象与的图象的交点的横坐标依次为,作图3,e ,ln x y x y y x ===y x =-123,,x x x 可知:.2130x x x <=<故选：C.6．已知，那么（ ） ()1cos π3α+=3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】C【分析】先根据诱导公式求得的值，再根据诱导公式将化简即可求解．cos α3πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由，则，()1cos πcos 3αα+=-=1cos 3α=-所以．3π1sin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C ．7．玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（ ） A ．3.5 B ．9C ．11.5D ．12【答案】C【分析】设为不小于的最小整数，例如，，，再结合题意即可得到停{}x x {}55={}4.75={}4.35=车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式，将代入求解即可． x y 6.5x =【详解】设为不小于的最小整数，例如，，，{}x x {}55={}4.75={}4.35=则依题意得停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式为，x y {}{}{}0,00.53,0.51321,14914,46110.56,6x x x x y x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎪⎪+⨯-<≤=⎨⎪+⨯-<≤⎪+⨯->⎪⎩所以时，． 6.5x ={}110.5 6.5611.5y =+⨯-=故选：C ．8．已知函数如满足：，，且时，()()y f x x =∈R (3)()f x f x +=-()()0f x f x -+=[3,0)x ∈-，则（ ）8()log (4)f x x =+(2024)f =A ． B ．C ．0D ．3-13-13【答案】B【分析】先判断出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可． ()f x 【详解】由，则， (3)()f x f x +=-(6)(3)()f x f x f x +=-+=所以函数是周期为6的周期函数， ()f x 又，即， ()()0f x f x -+=()()f x f x =--所以．81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-故选：B ．二、多选题9．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是（ ）13A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确； 事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”， 故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为，11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则该运动员击中目标的概率为，故D 正确.45199-=故选：ABD.10．对于函数 ）2π()sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．周期为B ．在区间上单调递增πππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当时函数取到最大值D ．若，则 ππ(Z)4x k k =+∈122ππ(),563f a a ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2a =【答案】AC【分析】先利用余弦的倍角公式和辅助角公式，对函数化简得，利用函数()f x 1()sin22f x x =的图像与性质，逐一对选项ABC 对进行分析，即可得出选项ABC 的正误；选项D ，利用sin y x =条件得到，再利用正弦的倍角公式，借助齐次式即可求出结果. 4sin25α=【详解】因为， 2π11()sin 2sin2sin2322f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭所以最小正周期为，所以选项A 正确；2ππT ω==对于选项B ，时，，由的性质知选项B 不正确；ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ2,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin y x =对于选项C ，当时，，，所以选项Cππ(Z)4x k k =+∈π22π(Z)2x k k =+∈1π1()sin 2π222f x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭正确；对于选项D ，由，得到，即，所以，即2()5f a =12sin225α=12sin2sin cos 25ααα==2tan 21tan 5αα=+，解得或， 22tan 5tan 20αα-+=1tan 2α=tan 2α=又，所以，故选项D 错误.ππ,63a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan 2α=故选：AC.11．已知，，则下列说法正确的是（ ） 22:10100A x y x y +--=A 22:62400B x y x y +-+-=A A ．两圆位置关系是相交B ．两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C ．上到直线的点有四个A A 3100x y +-=D ．若为上任意一点，则(,)P x y B A 22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【分析】先将，的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即A A B A 可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线的距离，再比较与的大小即可判断C ；依题意得3100x y +-=d 2d A R 22max(5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ． ()5,5A B A 【详解】对于A ，由，即，其圆心为，半径22:10100A x y x y +--=A ()()225550x y -+-=()5,5A为，A R =，即，其圆心为，半径为，22:62400B x y x y +-+-=A ()()223150x y -++=()3,1B -B R =则两圆的圆心距为，即两圆相交，故A 正确；AB ==A B A B R R AB R R -<<+对于B ，联立两圆的方程，化简得，故B 错误； 22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩3100x y +-=对于C ，由到直线的距离为，且，所以()5,5A 3100x y +-=d 2d =上到直线的点有四个，故C 正确；A A 3100x y +-=对于D ，依题意得的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦()5,5A B A所以结合选项A 得，故D 正确．()(2222max(5)(5)90B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦故选：ACD ．12．如图，在正方体中，点E 为的中点，点F 为线段上的动点（不含端1111ABCD A B C D -1A B BC点），则下列命题正确的是（ ）A ．存在点F ，使得平面B ．存在点F ，使得平面EF P 11A C D EF ⊥1BDC C ．对任意点F ， D ．对任意点F ，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面1F ADE A ADE V V --=得到的图形始终是梯形 【答案】BCD【分析】分别取，的中点，，构造面面即可判断A ；先证明面BD 1BC M N EMCN A 11AC D 1AC ⊥，再根据当，即为中点时，有平面即可判断B ；先证明面1BDC 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 1A B ⊥，从而推出点和点到面的距离相等，进而即可判断C ；如图，过点D ，E ，F 的平ADE F 1A ADE 面截正方体表面得到四边形，再根据平行四边形的判定即可判断D ． PFDQ 【详解】对于A ，分别取，的中点，，BD 1BC M N 由且，面，而面，则面， 1EM A D A EM ⊄11A C D 1⊂A D 11A C D EM ∥11A C D 又且，面，而面，则面， 11MC A C A MC ⊄11A C D 11AC ⊂11A C D MC ∥11A C D 因为，且面，所以面面， EM MC M ⋂=,EM MC ⊂EMCN EMCN A 11AC D 又总与面相交于点，所以不存在这样的点使得面， EF EMCN E F EF P EMCN 即不存在这样的点使得平面，故A 错误；F EF P 11A C D对于B ，在正方体中，1111ABCD A B C D -由在面上的射影为，则， 1AC ABCD AC 1AC BD ⊥又在面上的射影为，则， 1AC 11BCC B 1B C 11AC BC ⊥又，且面，所以面， 1BD BC B ⋂=1,BD BC ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 当，即为中点时，平面， 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 所以存在这样的点F ，使得平面，故B 正确；EF ⊥1BDC对于C ，如图所示，在正方体中，有面，面， 1111ABCD A B C D -11A D A ADE BC A ADE 又，，且，面，则面， 1A B AE ⊥1A B AD ⊥AE AD A ⋂=,AE AD ⊂ADE 1A B ⊥ADE 所以点和点到面的距离相等，所以，故C 正确；F 1A ADE 1F ADE A ADE V V --=对于D ，如图，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面得到四边形，且，与不PFDQ PF QD A DF PQ 平行，所以四边形始终是梯形，所以D 正确．PFDQ故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是作出正方体，结合正方体的结构特征，以及正方体的性质，进而即可判断．三、填空题13．如图，在平行六面体中，，且，ABCD A B C D -''''60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒4CB CD ==，则的长为____________．5CC '=CA '【分析】，结合向量数量积运算，求模即可．11CA CD CB CC =++【详解】设，，，则，，CD a =u u u r rCB b =u u r r CC c =' 4a b == 5c = 由，60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒则，， 45cos 6010a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= 44cos 608a b ⋅=⨯⨯︒=又， CA CD CB CC a b c =++=++'' 则CA a b c =++==='= ．所以线段 CA '14．已知是关于x 的方程的一根，则_________． i -20(,)x px q p q +-=∈R p q -=【答案】1【分析】利用方程根的意义建立等式，再借助复数等于0即可求出，，进而即可求解． p q 【详解】由是关于x 的方程的一根， i -20(,)x px q p q +-=∈R 则，()()()2i i 1i 0p q q p -+⋅--=---=所以，得，则100q p --=⎧⎨-=⎩10q p =-⎧⎨=⎩1p q -=故答案为：1．15．已知为椭圆上一动点，点R 满足且，则的最(4,0),(,)Q P x y 2212516x y +=||2QR = 0PR QR⋅= ||PR大值是______________．【分析】结合向量的性质，得到，越大，||越大，由数形结2222||||4PR PQ QR PQ =-=- || PQ PR合可知，当P 点为椭圆的左顶点时，可取得最大值．【详解】由知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，||2QR =R Q 2∵，∴，0PR QR ⋅= PR QR ⊥ ，2222||||4PR PQ QR PQ ∴=-=- 结合图形知，当P 点为椭圆的左顶点时， 取最大值，||PQ 因为椭圆的左顶点坐标为，圆心，2212516x y +=(5,0)-(4,0)Q 所以的最大值为，||PQ 4(5)9--=∴． ||PR=．16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以A B ()222210,0x y a b a b -=>>F AFB △F为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心BF C A C 率为______.【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.,a c 【详解】设左焦点为，连接，1F 11,CF AF 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，AFB △F A C 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，1AFCF 12AC F F c ==设，则，BF m =11,2AF CF m AF CF m a ====-，,22a m BC m a +=-由，2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即， ()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩整理得，. 3m a =222222109104,,4c c a a a ca a +====四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2．(1)求抛物线的标准方程；(2)直线l 经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．8AB =【答案】(1)24y x =(2)或10x y --=10x y +-=【分析】（1）由题设抛物线的标准方程为，根据题意求得，代入即可求得抛物线方22y px =p 程；（2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，设，，直线的方程为l 11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-，再联立直线与抛物线方程，化简为关于的一元二次方程；再根据抛物线的焦点弦公式求解即x 可．【详解】（1）由题设抛物线的标准方程为，22y px =又焦点到准线的距离为2，得，2p =所以抛物线的方程为．24y x =（2）结合（1）得抛物线的焦点坐标为，(1,0)当时，，此时，所以直线的斜率存在且不为0，1x =2y =±AB 4=l 设，，直线的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-联立，消得， 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩y 2222(24)0k x k x k -++=因为， ()2242Δ=2+44=16+16>0k k k -所以， 122222244k x k x k++==+所以，解得， 1224228AB x x p k=++=++=1k =±所以直线的方程为或．l 10x y --=10x y +-=18．已知函数在区间上的最大值为6． 2()22cos f x x x m =++π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)求常数m 的值；(2)将函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右()y f x =12平移个单位，得到的图象，求函数的对称中心． π12()y g x =()y g x =【答案】(1)3m =(2) ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求()f x 得常数m 的值；（2）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据正弦函数的对称中心结π()2sin(4)46g x x =-+合整体思想即可求解．【详解】（1）因为， π()2cos 212sin(216f x x x m x m =+++=+++因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，所以．()216max f x m =++=3m =（2）由题知， π()2sin(446g x x =-+因为的对称中心为，2sin 4y x =+(π,4)(Ζ)k k ∈令，得， π4π6x k -=ππ244k x =+所以函数的对称中心为． ()y g x =ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭19．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与AB D ．现测得，，米．在点C 测得塔顶A 的仰角为．105BCD α∠==︒30BDC β∠==︒600CD =60︒(1)求B 与D 两点间的距离； (2)求塔高．AB【答案】(1)1)+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；BCD △（2）在中，利用正弦定理求出，再在中，即可求得．BCD △BC Rt ABC A AB 【详解】（1）在中，，，记，所以，BCD △105α=︒30β=︒CBD γ∠=45γ=︒由正弦定理得， sin sin sin CD BD BC γαβ==又因为sin sin(6045)α=+=所以米．sin 1)sin CD BD αγ⋅==（2）由（1）知sin sinCD BC βγ⋅==所以tan 60AB BC =⋅== 20．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率1 [)0,5 5 0.052 [)5,10 a 0.353[)10,1530 b 4 [)15,2020 0.205[]20,2510 0.10合计100 1(1)求a ，b 的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；(2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；(3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均7x =22s =7y =21t =数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？a 2σ【答案】(1)；；作图见解析35a =0.30b =(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67(3)平均数为7，方差为1.67【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解.（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.（3）根据平均数和方差的公式即可求解.【详解】（1）∵，∴．5302010100a ++++=35a =∵，∴．0.050.350.200.101b ++++=0.30b =频率直方图如下：（2）该组数据众数的估计值为7.5．易知中位数应在内，设中位数为x ，[)10,15则，解得，故中位数的估计值为11.67．()0.050.35100.060.5x ++-⨯=11.67≈x（3）∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人．∴这6人得分的平均数， 424727766x y a ⨯+⨯⨯+⨯===方差， ()()()()2222242420210 1.6766s x a t y a σ⎡⎤⎡⎤+-++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==≈即这6人得分的平均数为7，方差为1.67．21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互,ABCD ABEF 相垂直．活动弹子M ，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记AC BF CM BN ．(0CM BN a a ==<< (1)求证：平面；//MN BCE (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值．MN A MN B --【答案】(1)证明见解析(2) 13-【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面MN ,M N AGB ∠A MN B --角，利用向量法求余弦即可,【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)A C F E，， ． CM BN a ==M ∴N ⎫⎪⎭显然平面的一个法向量为，BCE (1,0,0)BA = 而，1)MN =- 因为，平面0⋅= MN BA MN ⊄BCE 所以MN//平面BCE.· ·（2）||MN =当；此时，为中点时，最短， a ||MN M N MN 则，取的中点，连接，， 1111(,0,),(,,0)2222M N MN G AG BG 则，，， 1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是二面角的平面角．AGB ∴∠A MN B --，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111(,,244GB =--- ． ·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 二面角的余弦值是． ∴A MN B --13-22．已知椭圆C ：的离心率过椭圆C 的上、下顶点． ()222210x y a b a b +=>>e =222x y +=(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点12是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为，，证明：．()2,1A -AE k AQ k 0AE AQ k k +=【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案； b ,,a b c （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.AE k AQ k 【详解】（1）因为圆过椭圆C 的上、下顶点，所以；222x y +=b =又因为离心率， e =c a ==28a =所以椭圆的方程为. 22182x y +=（2）由于直线l 的斜率为，可设直线l 的方程为； 1212y x t =+代入椭圆方程，可得， 2248x y +=222240x tx t ++-=由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以整理解得, 2244(24)0,t t ∆=-->22t -<<设点，由于点P 与点E 关于原点对称，故, ()()1122,,,P x y Q x y ()11,E x y --； 212122,24x x t x x t +=-=-因为，所以 ()2,1A -211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++- 112211,,22y x t y x t =+=+ 1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++--- 211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-故，结论得证. 2(24)(2)40,t t t =-----=0AE AQ k k +=。

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。

泰安2023~2024学年第一学期高二年级期末考试模拟考试数学试题2024.01（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y =B.24x y =-C.28x y =D.28x y=-【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的标准方程直接求解即可.【详解】由题知，设抛物线方程为()220x py p =<，由其准线方程为2y =，则22p-=，可得4p =-，所以抛物线的方程为28x y =-.故选：D2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-【答案】C 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程求解参数即可.【详解】由题意直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，所以()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或12a =，C 正确.故选：C.3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.4± D.16【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的性质计算出答案,【详解】由题意得248616a a a ⋅==，解得64a =±.故选：C4.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B A C AD AA A B A C =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a A C b AA c AD a b c ===∴=++ ，所以11,, 1.63x y z ===故选：A.5.若数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（）A.511B.1023C.1025D.2047【答案】B 【解析】【分析】通过累加和等比数列的求和即可得答案.【详解】由题意知:12nn n a a +-=，则有1212a a -=，2322a a -=，3432a a -=，L ，91092a a -=，由累加可得12391012222a a -=++++ ，即12391012222a =+++++ ()101011221102312⨯-==-=-.故选:B.6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B 【解析】【分析】结合图形，由圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1得12a=，即得圆1C 的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，【详解】由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径a ，由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径r a =，因为圆上3个点到直线的距离是1，由直线:0l x +=，2a =，故由题可知12aa =-，则2a =，故圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，又圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，因为2121-<<+，所以两圆的位置关系是相交.故选：B .7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22197:x M y -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1-B.5- C.7+ D.5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】在双曲线22197:x M y -=中，29a =，27b =，∴216c =，∴()4,0F -，设双曲线的右焦点为2F ，则()24,0F ，Q 在双曲线的右支上，∴226QF QF a -==，即26QF QF =+，由题知，圆心()0,4C ，半径1r =，P 在圆C 上，∴1PQ QC ≥-，则2265PQ QF PQ QF QC QF +=++≥++，当C ，Q ，2F 三点共线且Q 位于另两点之间时，2QC QF +取得最小值为2CF =，此时255PQ QF QC QF +≥++=，∴PQ QF +的最小值为5+.故选：D.8.数列{}n a 满足2(1)21nn n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（）A.4 B.5 C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由2(1)21nn n a a n ++-=-，推出24612a a a a ++++ 和13511a a a a ++++ ，再利用前12项和为158求解.【详解】因为2(1)21nn n a a n ++-=-，所以423a a +=，8611a a +=，121019a a +=，2468101233a a a a a a ∴+++++=，又315375971,5,9,13a a a a a a a a -=-=-=-=，11917a a -=，1357911a a a a a a ∴+++++()()()()()11997755331123456a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+117132935415615833a =+⨯+⨯+⨯+⨯+=-，15a ∴=.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()2,2,2a =- ，()1,2,1b =-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.//a br rC.a b ⊥D.cos ,23a ab -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A 选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B 选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，()()()2,2,21,2,11,4,1a b +=-+-=-，A 对；对于B 选项，因为222112-=≠-，则a 、b 不共线，B 错；对于C 选项，2420a b ⋅=-+-=，所以，a b ⊥ ，C 对；对于D 选项，()()()22,2,221,2,14,2,4a b -=---=--，()284812a a b ⋅-=-+= ，a == ，26a b -==，所以，()2cos ,232a a b a a b a a b⋅--==⋅- ，D 对.故选：ACD.10.已知直线()():2220l mx m y m m ++--=∈R ，圆()()22C :1225x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标可判断A ；根据直线l 定点在圆C 内可判断B ；当直线l 与过定点和圆心的直线垂直时直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出弦心距利用勾股定理可判断C ；转化为圆心到直线l 的距离可判断D.【详解】对于A ，直线():2220l m x y y +-+-=，令20220x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()1,1，故A 正确；对于B ，因为直线l 定点()1,1，且()()221112125-+-=<，所以定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点，故B 正确；对于C ，当直线l 与过定点和圆心的直线垂直时直线l 被圆C 截得的弦长最短，1=，所以最短弦长=，故C 错误；对于D ，当1m =-时，:0l x y -=，圆心到直线l的距离是2=，所以点P 到直线l2552+=+，故D 正确.故选：ABD.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，150a >，且14170a a +<，则（）A.{}2na 是等比数列B.n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是递增的等差数列C.当0n S >时，n 的最大值为28D.115m ∀≤≤，*m ∈N，mS m≥【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于A 选项，当2n ≥由122n na a -为定值即可判断；对B ，11(1)222n S n d d da n a n -=+=+-，根据2d 的正负即可判断单调性；对C ，2915290S a =>，因为15160a a +<，所以()1516303002a a S +=<即可得解；对D ，由1212m m mS a a a a a m m ++++== 结合基本不等式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为14170a a +<，所以15160a a +<，又150a >，所以160a <，0d <.对于A 选项，11222(2)2n nn n a a d a a n ---==≥，所以{}2na 是以12a 为首项，2d 为公比的等比数列，故A 正确.对于B 选项，易知1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d d a n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，2d 为公差的等差数列，又0d <，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减的等差数列，故B 错误.对丁C 选项，因为150a >，所以()()12915152915292929022a a a a S a ++===>；因为15160a a +<，所以()()1301516303030022++==<a a a a S ，故当0n S >时，n 的最大值为29，故C 错误.对于D 选项，因为115m ∀≤≤，*m ∈N ，0m a >，1212m m m S a a a a a m m ++++== ，由基本不等式知12ma a +≥当且仅当1m =时取等号，所以mS m≥D 正确.故选：AD.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =-B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅> 【答案】CD 【解析】【分析】设直线:1l x my =-联立抛物线，应用韦达定理判断A ；由221212144y y x x =⋅=，结合抛物线定义及基本不等式求4AF BF +最小值判断B ；设()11,D x y -，:BD x ny t =+联立抛物线，应用韦达定理得124y y t -=-，结合A 分析求参数判断C ；应用向量的坐标运算求MB MD ⋅判断D.【详解】设直线:1l x my =-，联立方程组241y xx my ⎧=⎨=-⎩，可得2440y my -+=，且216160m ∆=->，则121244y y my y +=⎧⎨=⎩，A 不正确；由221212144y y x x =⋅=，所以()1212441145259AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，B 不正确；设()11,D x y -，:BD x ny t =+，联立24y xx ny t⎧=⎨=+⎩，可得2440y ny t --=，且216()0n t ∆=+>，则121244y y ny y t -+=⎧⎨-=-⎩，结合A 分析得1t =，即直线BD 过点F ，C 正确；由()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，D 正确.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知ABC V 的三个顶点是(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，则边AB 上的高所在直线的方程为________.【答案】210x y --=【解析】【分析】根据与直线AB 垂直可求得斜率，又过点(2,3)C ，根据直线的点斜式方程即可求解.【详解】因为(5,1)A -，(1,1)B ，所以111512--==--AB k ,则边AB 上的高所在直线的斜率为2，又该直线过点(2,3)C ，所以所求直线方程为32(2)y x -=-，即210x y --=，故答案为：210x y --=.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，E 为线段BC 的中点，则A 到平面1B DE 的距离为__________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量法求点到面的距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,1,0,0,0,,1,02A B D E ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()111,0,0,1,1,1,,1,02DA DB DE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设面1B DE 的法向量为(),,n x y z =，1012DB n x y z DE n x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =得()2,1,1n =-- ，则A 到平面1B DE的距离为3DA n n ⋅== .故答案为：63.15.已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则{}n a 的通项公式n a =________.【答案】1*2,n n n -⨯∈N 【解析】【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以()1n n +，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，可求得结果.【详解】11a = ，()121n n na n a +=+，121n n a a n n+∴=⨯+，又111a=，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，112n na n-∴=⨯，解得12n n a n -=⨯，*N n ∈.故答案为：12n n -⨯，*N n ∈.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】2191219【解析】【分析】作出辅助线，由对称性得到12F M QF =，设2QF t =，根据椭圆定义得到其他各边长，由余弦定理得到方程，求出12108,99PF a PF a ==，进而求出离心率.【详解】延长1PF 交椭圆于点M ，连接2MF ，因为122PF QF =，故12//PF QF ，由对称性可知，12F M QF =，因为12//PF QF ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，故1123PM PF MF t t t =+=+=，在2PMF V 中，222222cos 2PM PF MF P PM PF =-+⋅，即()()()2222922123222a t a t t a t t +-=⨯⋅---，即218100t at -=，解得59a t =，故12108,99PF a PF a ==，由余弦定理得2221212122cos F F PF PF PF PF P =+-⋅，即22221006410818442818199281c a a a a a =+-⨯⋅⨯=，解得219c a =.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，224a b +=，36S =.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =;12n n b -=（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式建立方程组，解出即可；（2）因为11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求和即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列的等比为q ，因为224a b +=，36S =，111a b ==，所以14336d q d ++=⎧⎨+=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩()111n a n n =+-⨯=，12n n b -=.【小问2详解】因为n a n =，所以()11()22n n n n a a n S ++==，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1211111···+n n nT S S S S -=+++111111112122311n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-+⎝⎭122212111n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD 的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3214【解析】【分析】（1）以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，通过证明1C F CF ⊥，1BC C F ⊥可得答案；（2）求出平面1DEC 的法向量n以及直线1C F 的方向向量，然后利用向量法求夹角即可.【小问1详解】方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC △是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为⊥BC 平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，又,BC CF ⊂平面BCF ，且BC CF C= 1C F ∴⊥平面BCF ；方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()10,2,0,3,2,0,0,0,2,0,2,4C B F C ，()()()13,0,0,0,2,2,0,2,2CB CF C F ∴==-=--，所以11440,0C F CF C F CB ⋅=-=⋅=，1C F CF ∴⊥，1BC C F ⊥，又,BC CF ⊂平面BCF ，且BC CF C = ，1C F ∴⊥平面BCF ；【小问2详解】()()13,1,0,0,2,4DE DC ==，设平面1DEC 的法向量为 =s s ，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2x =得()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，设直线1C F 与平面1DEC 所成角为θ，111sin cos ,14C F n C F n C F n θ⋅∴====.直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.19.已知动点P 与两个定点()1,0A ，()4,0B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C截得的弦长为，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)4x y -+=（2）1y =或34100x y +-=【解析】【分析】（1）直接利用条件求出点P 的轨迹方程，所求方程表示一个圆；（2）直线l 的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.【小问1详解】设点(),P x y ，动点P 与两个定点()1,0A ，()4,0B 的距离的比是2，∴2PA PB=，即2PA PB =，=化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；【小问2详解】由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，直线被曲线C截得的弦长为∴圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时圆心到直线l 的距离是3，不符合条件；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以圆心()5,0到直线l的距离1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，此时直线l 的方程为1y =或34100x y +-=.综上，直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()*123n n a S n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列的前n 项和n T ．【答案】（1）3nn a =（2）()11321344n n T n +=-+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合等比数列的概念即可得结果；（2）利用错位相减法即可得结果.【小问1详解】因为()*123n n a S n +=+∈N，①当2n ≥时，123nn aS -=+，②②-①化简得：13n n a a +=，当1n =时，29a =，满足212a a =，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以{}n a 的通项公式3nn a =.【小问2详解】由（1）得3nn b n =⋅，所以1231323333nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，得234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得：()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅- ，化简得：()11321344n n T n +=-+.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==2PA PB PC AC ====，O 为AC的中点．（1）证明：⊥PO 平面ABC ；（2）若点E 在线段BC 上（异于点B ，C ），平面PAE 与平面PAC 的夹角为π6，求BE EC 的值．【答案】（1）证明过程见解析（2）12BE EC =【解析】【分析】（1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到OP ⊥OB ，结合OP ⊥AC ，得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设(),1,0E m m -，01m <<，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出23m =，得到12BE EC =.【小问1详解】连接OB ，因为AB BC ==2AC =，所以222AB BC AC +=，由勾股定理逆定理得AB BC ⊥，故112OB AC ==，因为2PA PC AC ===，所以ACP △为等边三角形，又O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且sin 60OP PA =︒=，因为2PB =，所以222OB OP PB +=，由勾股定理逆定理得OP ⊥OB ，因为OB AC O =I ，,OB AC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；【小问2详解】因为AB BC ==O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，由（1）可知，,,OB OC OP 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(()(),0,1,0,0,1,0P A C -，设(),1,0E m m -，01m <<，故((),,2,0AP AE m m ==-，设平面PAE 的法向量为(),,n x y z =r，则()(()()(),,0,,,2,020nAP x y z y n AE x y z m m mx m y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=+-=⎩ ，令1z =，则y =，x m -=，故233,n m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭平面PAC 的法向量为()1,0,0a =，所以cos ,n a n a n a⋅==⋅因为平面PAE 与平面PAC 的夹角为π6，2=，解得23m =，负值舍去，故12BE EC =.22.已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2y x =±（2）证明见解析，定点()0,4【解析】【分析】（1）根据离心率和上顶点确定,a b ，进而可得渐近线方程；（2）直线MN 的方程为y kx m =+，与双曲线联立，利用韦达定理，结合21133A P A P MA k k k =-=-，2212MA NA k k ⋅=-可得m 的值，进而可得定点.【小问1详解】设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得1c b ==，双曲线的渐近线方程为2y x =±；【小问2详解】由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()()()2222121212121222482,44k m m y y k x x m y y k x x km x x m k k -+-∴+=++==+++=--，设()1213,1,,A P A P P t k k t t∴=-=，21133A P A P MA k k k ∴=-=-，又1222121122121144MA MA y y y x x x k x x k ---=⋅=⋅==，得1222124MA NA PA MA k k k k =⋅⋅=-，12122212y y x x ++∴⋅=-，即()2221212212244416416124y y y y k m m k x x m +++---+-==--，化简得22(2)34m m +=-，。

2024-2025学年重庆市西南大学附中高二（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则()A.1B.C.2D.2.设m，n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()A.若，，，则B.若，，，则C.若，n与相交，则m与n异面D.若，，，则3.已知平面向量，，且，则()A. B.1 C.或 D.34.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则()A. B.2 C. D.5.函数在上单调递增，则m的取值范围是()A. B. C. D.6.如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是()A. B. C. D.8.已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且面，则面截正四棱锥的截面面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4B.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件C.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18D.若事件A 、B 相互独立，，，则10.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列正确的是()A.B.C. D.11.P 为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则()A.当P 在线段上运动时，三棱锥的体积是定值B.当P 在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是C.当P 在面ABCD 内运动时，R 为棱的中点且平面，则点P 的轨迹长度为D.当P 在面内运动时，Q 为棱BC 的中点且，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

重庆一中高2026届高二上期月考数学试题卷注意事项1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1. 已知点()()1,0,1,0A B −，动点(),P x y 满足1PA PB −=，则动点P 轨迹是（ ）A. 射线B. 线段C. 双曲线的一支D. 双曲线2. 已知两直线1:20l x y −=和2:310l x my ++=，若12l l ∥，则m =（ ） A. 6−B. 6C.12D. 23. 椭圆E 的一条弦AB 经过左焦点1F ，右焦点记为2F .若2ABF △的周长为8，且弦长AB 的最小值为3，则椭圆E 的焦距=（ ） A. 2B. 1C.D.4. ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，若45a b B ，则c =（ ）A.B.C.+D. 无解5. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的面积为10π，两焦点为1F 和2F ，直线y kx =与椭圆C 交于,A B 两点.若1110AF BF +=，则椭圆C 的半短轴的长度=（ ） A. 5B. 4C. 6D. 2的6. 过定点()1,0−的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，OA OB ⋅的值为（ ）A.32+B. 5C. 3+D. 47. 焦点在y 轴上的双曲线E 与双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>有相同的渐近线，过点()5,0P −的直线与双曲线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点是()3,8M ，则双曲线E 的离心率为（ ）A.B.83C.D.8. 已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的中垂线经过2F .记椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2114e e +的取值范围是（ ） A. ()6,+∞B. ()7,+∞C. ()6,7D. ()5,+∞二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知,m n 是空间内两条不同的直线，,αβ是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若,m m αβ⊥⊥，则α∥β B. 若m ∥,n α∥α，则m ∥n C. 若,m n αα⊥⊥，则m ∥n D. 若,αγβγ⊥⊥，则α∥β10. 设双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，点P 在E 的右支上，且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）A. 若3a =且2b =，则双曲线E 的两条渐近线的方程是32y x =± B. 若12PF PF ⊥，则12F PF 的面积等于2bC. 若点P的坐标为(2,，则双曲线E 的离心率大于3 D. 以2PF 为直径的圆与以E 的实轴为直径的圆外切11. 两个圆锥的母线长度均为l ，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用111,,r S V 和222,,r S V 表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ）A. 12r r l +=B. 12S S +最小值为23π2lC. 12V V +为定值D. 若12:1:4r r =，则12:24V V =三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 设m 为正实数，若直线x y m −=被圆223x y +=所截得的弦长为2m ，则m =__________. 13. 已知椭圆2212:136x y C b+=的焦点分别为1F ，2F ，且2F 是抛物线()22:20C ypx p =>焦点，若P 是1C 与2C 的交点，且17PF =，则12cos PF F ∠的值为___________.14. 已知点P 在圆22:1O x y +=上，动圆C 与圆O 内切并与直线:4l y =相切，圆心为C ，则|PPPP |最小值为______.四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）15. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且224,(2)12b a c ==++. （1）求内角A ；（2）若ABC S M = 为BC 边上的中点，求线段AM 的长.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11,2,AA AC AB AC AB ===⊥，D 11A B 上一点，E 为1AA 中点，F 为CD 中点，且EF CD ⊥.（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值.的的为17. 在平面直角坐标系中，抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，准线为l .过抛物线E 上一点P 作PQ l ⊥，垂足为Q 点.已知PQF △是边长为4的等边三角形.（1）求拋物线E 的方程； （2）如图，抛物线E 上有两点,A B 位于y 轴同侧，且直线FA 和直线FB 的倾斜角互补.求证：直线AB 恒过定点C ，并求出点C 的坐标.18 已知双曲线22:13y E x −=，点()0,4A ，坐标原点O .（1）直线l 经过点A ，与E 的两条渐近线分别交于点M N ､.若OMNl 的方程； （2）如图，直线y kx m =+交双曲线E 的右支于不同两点,B C .若AB AC =，求实数m 的取值范围. 19. 已知椭圆PP :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､1F 和2F ，焦距为2.动点()00,Mx y 在椭圆C上，当线段2MF 的中垂线经过1F 时，有21cos MF F ∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过原点O 作()()22002:3M x x y y −+−= 的两条切线，分别与椭圆C 交于点P 和点Q ，直线OP OQ ､的斜率分别记为12k k ､.当点M 在椭圆上运动时， ①证明：12k k ⋅恒为定值，并求出这个值； ②求四边形OPMQ 面积的最大值.重庆一中高2026届高二上期月考数学试题卷注意事项1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1. 已知点()()1,0,1,0A B −，动点(),P x y 满足1PA PB −=，则动点P 的轨迹是（ ）A. 射线B. 线段C. 双曲线的一支D. 双曲线【答案】C 【解析】【分析】根据题意，计算A ，B 之间的距离，比较可得,0AB PA PB PA PB >−−>，由双曲线的定义分析可得答案.【详解】根据题意，点())1,0,1,0A B −，则2AB =，若动点P 满足1PA PB −=，且,0AB PA PB PA PB >−−>， 则P 的轨迹是以A ，B 为焦点双曲线的右支， 故选：C.2. 已知两直线1:20l x y −=和2:310l x my ++=，若12l l ∥，则m =（ ） A. 6− B. 6 C.12D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程，即可得到答案. 【详解】因为12l l //，所以()123m ×=−×，且1130×≠×， 解得6m =−.故选：A.3. 椭圆E 的一条弦AB 经过左焦点1F ，右焦点记为2F .若2ABF △的周长为8，且弦长AB 的最小值为3，则椭圆E 的焦距=（ ）A. 2B. 1C. D.【答案】A 【解析】【分析】借助椭圆的定义及通径概念列出等式即可求解.【详解】由2ABF △的周长为8，可得121248AF AF BF BF a +++==，即2a =， 由弦长|AAAA |的最小值为3，通径长为3，即223b a=，所以23b =，所以2221c a b =−=，即1c =， 所以椭圆E 的焦距为2. 故选：A.4. ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若45a b B ，则c =（ ）A. B.C.+ D. 无解【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得.【详解】在ABC 中，因45ab B ，于是由余弦定理2222cos b a c ac B =+−得：2812c =+−，即240c −+=，解得c =故选：C5. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的面积为10π，两焦点为1F 和2F ，直线y kx =与椭圆C 交于,A B 两点.若1110AF BF +=，则椭圆C 的半短轴的长度=（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，可得10ab =，由椭圆对称性结合已知可得210a =，求解可得椭圆的短半轴长. 【详解】因为椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)面积为10π，所以π10πab =，所以10ab =，因为y kx =过原点，结合椭圆对称性，可得线段AB ，12F F 被原点互相平分，所以四边形12AF BF 为平行四边形，所以12||||BF AF =，又1110AF BF +=，所以1210AF AF +=， 所以由椭圆的定义得210a =，解得5a =，所以510b =，解得2b =， 所以椭圆的短半轴长为2. 故选：D.6. 过定点()1,0−的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，OA OB ⋅的值为（ ） A32B. 5C. 3+D. 4【答案】B 【解析】【分析】设出直线l 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得OA OB ⋅的值.的.【详解】依题意可知直线l 与x 轴不重合、与y 轴不平行， 设直线l 的方程为()1,0y k x k =+≠，由()214y k x y x=+= ，消去x 并化简得()2222240k x k x k +−+=， ()()()2242Δ244161616110k k k k k =−−=−=+−>，解得()()1,00,1k ∈−∪，设AA (xx 1,yy 1),AA (xx 2,yy 2)，则21212222442,1k x x x x k k−+=−=−+=， ()()()()22212121212121112y y k x x k x x x x k x x =++=+++=++ 224224k k =−++=，所以1212145OA OB x x y y ⋅=+=+=.故选：B7. 焦点在y 轴上的双曲线E 与双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>有相同的渐近线，过点()5,0P −的直线与双曲线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点是()3,8M ，则双曲线E 的离心率为（ ）A.B.83C.D.【答案】D 【解析】【分析】设AA (xx 1,yy 1),AA (xx 2,yy 2)，根据题意利差法可得b a =，设双曲线E 的方程为()2211221110,0y x a b a b −>>，结合渐近线可得11b a =.【详解】设AA (xx 1,yy 1),AA (xx 2,yy 2)，则1212616x x y y +=+= ，且()121280135ABy y k x x −−===−−−， 因为22112222222211x y a b x y a b −= −= ，两式相减可得22221212220x x y y a b −−−=， 整理可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a −−+=⋅=−−+，即221616b a ×=，可得b a =， 即双曲线C的渐近线方程为y x =， 设双曲线E 的方程为()2211221110,0y x a b a b −>>，则11b a = 所以双曲线E的离心率为e 故选：D.8. 已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的中垂线经过2F .记椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2114e e +的取值范围是（ ）A. ()6,+∞B. ()7,+∞C. ()6,7D. ()5,+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2122PF F F c ==，结合椭圆和双曲线的定义得到12,e e 的关系式，根据2e 取值范围分析函数单调性得到结果.【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，它们的公共焦距为2c ，不妨设点P在第一象限.∵2F 在1PF 的中垂线上， ∴2122PF F F c ==，由椭圆、双曲线的定义得：1211222,2PF PF a PF PF a +=−=， ∴1212222a c a c PF =-=+，整理得122a a c −=， ∴122a a c c-=，即12112e e −=， ∴12112e e =+， ∴221211442e e e e +=++， 令1()42f x x x=++，由定义法可证()f x 在(1,)+∞为增函数，且(1)1427f =++=， ∵21e >，∴21147e e +>. 故选：B.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知,m n 是空间内两条不同直线，,αβ是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若,m m αβ⊥⊥，则α∥β B. 若m ∥,n α∥α，则m ∥n的C. 若,m n αα⊥⊥，则m ∥nD. 若,αγβγ⊥⊥，则α∥β 【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断.【详解】对于A ，因为,αβ是两个不同的平面，,m n 是两个不同的直线，,m m αβ⊥⊥，则//αβ，故A 为真命题；对于B ，若//,//m n αα，则m 与n 可能平行，相交，异面，故B 为假命题； 对于C ，若,m n αα⊥⊥，则//m n ，故C 为真命题；对于D ，若,αγβγ⊥⊥，则α与β可能平行，相交，故D 为假命题. 故选：BD.10. 设双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，点P 在E 的右支上，且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）A. 若3a =且2b =，则双曲线E 的两条渐近线的方程是32y x =± B. 若12PF PF ⊥，则12F PF 的面积等于2bC. 若点P的坐标为(2,，则双曲线E 的离心率大于3 D. 以2PF 为直径的圆与以E 的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】【分析】将3a =且2b =，带入方程求解渐近线方程即可判断A ；12PF PF ⊥，结合双曲线的定义求解即可判断B ；把P 点坐标代入E 的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C ；画图，两圆的圆心距IO是12F PF 的中位线，1222222PF PF a PF IOa +===+=两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当3a =且2b =时，E 的渐近线斜率为23b y x x a=±=±，选项A 错误； ()1212222212Δ12222122124424F PF PF PF a PF PF c a b S PF PF b PF PF c −= ⇒⋅=−=⇒=⋅= +=，故选项B 正把P 点坐标代入E 的方程得：2222222222243218199344b bc b b e e a b a a a −=⇒=+⇒==+=+>⇒>，选项C 正确；如图， 两圆的圆心距IO 是12F PF 的中位线，1222222PF PF a PF IO a +∴===+=两圆的半径之和，故两圆外切，选项D 正确. 故选：BCD11. 两个圆锥的母线长度均为l ，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用111,,r S V 和222,,r S V 表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ）A. 12r r l +=B. 12S S +的最小值为23π2lC. 12V V +为定值D. 若12:1:4r r =，则12:24V V =【答案】ABD 【解析】【分析】由“它们的侧面展开图恰好拼成一个圆”为解题关键点，A 选项利用侧面展开图的圆心角和为2π得到结论；B 选项由面积公式以及A 选项结论得到结论；C 选项由体积公式得出代数式，由特殊值结论不同得到不为定值；D 选项将条件代入C 选项中体积公式即可得到比值. 【详解】A ：由122π2π2πr r l l+=得12r r l +=，故A 对. B ：()()()21222221212123πππππ22r r S S r r r r l l l ++=+++≥+=，故B 对.C ：121211ππ33V V r r +=，如122l r r ==，与122,33l l r r ==时值不同，故不为定值，D：112121111115,:π:π:1633lr V V r r r r =，故D 对. 故选：ABD.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 设m 为正实数，若直线x y m −=被圆223x y +=所截得的弦长为2m ，则m =__________.【解析】【分析】借助圆心到直线距离、半径及弦长的关系计算即可得. 【详解】223x y +=的圆心为()0,0圆心到x y m −=所以m=0m >，解得m =13. 已知椭圆2212:136x y C b+=的焦点分别为1F ，2F ，且2F 是抛物线()22:20C y px p =>焦点，若P 是1C 与2C 的交点，且17PF =，则12cos PF F ∠的值为___________.【答案】57【解析】【分析】利用椭圆定义求出2PF ，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.【详解】依题意，由椭圆定义得1212PF PF +=，而17PF =，则25PF =， 因点2F 是抛物线()22:20C ypx p =>的焦点，则该抛物线的准线l 过点1F ，如图， 的过点P 作PQ l ⊥于点Q ，由抛物线定义知2||||5PQ PF ==，而12//F F PQ ，则121PF F F PQ ∠=∠， 所以1211||5cos cos ||7PQ PF F F PQ PF ∠=∠==. 故答案为：5714. 已知点P 在圆22:1O x y +=上，动圆C 与圆O 内切并与直线:4l y =相切，圆心为C ，则|PPCC |的最小值为______. 【答案】12##0.5 【解析】C 的轨迹，计算即可. 【详解】如图，设圆C 的半径为R ，则1CO R =−； 又C 到:4l y =的距离为R ，则C 到3y =的距离为1R −.所以C 的轨迹是以O 为焦点，以3y =为准线的抛物线，顶点为30,2C ′， 则111.2PC CO C O ′≥−≥−=四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）15. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且224,(2)12b a c ==++.（1）求内角A ；（2）若ABC S M = 为BC 边上的中点，求线段AM 的长.【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）结合已知利用余弦定理求解A 即可；（2）结合三角形面积公式求得c ，然后由()12AM AB AC =+平方，利用数量积的运算求解． 【小问1详解】由已知条件222224,(2)12416b a c c c c bc b ==++=++=++，即222c b a bc +−=−，由余弦定理可得2221cos 222c b a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，从而2π3A =.【小问2详解】因为2π4,3b A ==，由1sin 22ABC S bc A c === 6c =， 因为M 为BC 边上的中点，所以()12AM AB AC =+ ，平方得：)22221()2cos 74AM AB AC AB AC AB AC A =+=++⋅⋅=∣，所以AM =. 16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，11,2,AA AC AB AC AB ===⊥，D 为11A B 上一点，E 为1AA 中点，F 为CD 中点，且EF CD ⊥.（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据直线的方向向量与平面法向量垂直证明线面平行.（2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求线面所成角的正弦值. 【小问1详解】以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()12,0,0,0,0,1,0,,02B C E，设1,01A D t t =≤≤，得()11,1,0,,,222t D t F， ∴()1,0,,,1,122t EFCD t ==−.由EF CD ⊥，得21022t EF CD ⋅=−= ，故1t =∵面ABC 的一个法向量()0,1,0m =，且0EF m ⋅= ，EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥面ABC . 【小问2详解】由（1）知()1112,,0,,0,,1,1,1222EB EF CD =−==−设面BEF 的法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz )，.由120211022x y x z −= += ， 令1x =得()1,4,1n =−，设直线DF 与平面BEF 所成角为θ，则sin cos ,CD θ= ∴直线DF 与平面BEF.17. 在平面直角坐标系中，抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，准线为l .过抛物线E 上一点P 作PQ l ⊥，垂足为Q 点.已知PQF △是边长为4的等边三角形.（1）求拋物线E 的方程； （2）如图，抛物线E 上有两点,A B 位于y 轴同侧，且直线FA 和直线FB 的倾斜角互补.求证：直线AB 恒过定点C ，并求出点C 的坐标. 【答案】（1）24x y = （2）证明见解析，()0,1C − 【解析】【分析】（1）记准线与y 轴交于H 点，在Rt QFH △中，求出焦准距，即可求解抛物线方程.（2）设()()1122:,,,,AB y kx b A x y B x y =+，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得1b =−，即可得解. 【小问1详解】如图，记准线与y 轴交于H 点，在Rt QFH △中，4,30QF FQH ∠== ，所以2p FH ==.故抛物线2:4E x y =. 【小问2详解】因为垂直于x 轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以AB 必有斜率，设()()1122:,,,,AB y kx b A x y B x y =+， 由2122440,44y kx b x kx b x x b x y=+ ⇒−−=∴=−= 且124x x k +=， 因为,A B 位于y 轴同侧，所以120x x >，则0b <， 由Δ0>得20k b +>，所以0k ≠，又点FF (0,1)，直线FA 和FB 的倾斜角互补，所以1212110y y x x −−+=，=，所以()()1212210kx x b x x +−+=， 即()410k b −+=，解得1b =−， 所以直线AB 恒过定点()0,1C −.18. 已知双曲线22:13y E x −=，点()0,4A，坐标原点O .（1）直线l 经过点A ，与E 的两条渐近线分别交于点M N ､.若OMNl 的方程； （2）如图，直线y kx m =+交双曲线E 的右支于不同两点,B C .若AB AC =，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）34y x =±+ （2）1m <− 【解析】【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点,M N 的坐标，可得,OM ON ，结合面积公式运算求解； （2）分析可知线段BC 的中垂线经过A 点，设设BC 的中点为()00,D x y ，利用点差法可得(),3D k ，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可. 【小问1详解】对于双曲线22:13y E x −=，可知1,a b==x 轴上，则双曲线E的渐近线为y =，且直线y =2π3，设(:4l ykx k =+≠，联立方程4y kx y =+ =，解得x y==，即M ， 可得OM =同理可得OM则12OMNS = 解得3k =±，所以直线l 的方程为34y x =±+. 【小问2详解】由（1）可知：k >k <，因为AB AC =，则线段BC 的中垂线经过A 点，设BC 的中点为()()()001122,,,,,D x y B x y C x y ， 则12012022x x x y y y +=+=，且1212y y k x x −=−，004AD y k x −=，因为221122221313y x y x −=−=，两式作差得()2222121203y y x x −−−=， 整理可得()()121212123y y x x y y x x −+=+−，即0062x y k =⋅，可得003x y k =⋅， 又因为AD BC ⊥，则0041ADy k k k x −⋅=⋅=−， 联立方程0000341x y k y k x=⋅− ⋅=− ，解得003x k y = = ，即(),3D k ， 因为点(2,3)在双曲线右支上，且(),3D k 在右支的内部，则22313k −>，所以24k >.且D 在BC 上，则00y kx m =+，可得20013m y kx k −=−<−=， 所以实数m 的取值范围为(),1∞−−. 19. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､1F 和2F ，焦距为2.动点()00,M x y 在椭圆C上，当线段2MF 的中垂线经过1F 时，有21cos MF F ∠=（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过原点O 作()()22002:3M x x y y −+−= 的两条切线，分别与椭圆C 交于点P 和点Q ，直线OP OQ ､的斜率分别记为12k k ､.当点M 在椭圆上运动时，①证明：12k k ⋅恒为定值，并求出这个值； ②求四边形OPMQ 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析，12−；②1 【解析】【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得,,a b c ，从而求得椭圆方程. （2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得12k k ⋅恒为定值12−. ②先求得四边形OPMQ 面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值. 【小问1详解】取2MF 的中点记为N ，连结1NF .在12Rt F NF中，12212,cos F F NF F =∠，所以21NF =−，则1212222a MF MF F F NF =+=+=即1,1a c b ==∴= ，所以椭圆方程为2212x y +=【小问2详解】①直线1:OP y x k =与M()2222201001020r x r k x y k y r ⇔−−+−=；直线2:OQ y k x =与M 相切，同理有()2222202002020x r kx y k y r −−+−=； 则12k k ､是关于x 的方程()22222000020x rxx y x y r −−+−=的两根，由韦达定理知22002201222220002111232322233x x y r k k x r x x −−−+−====−−−−（注：上式中，先由220012x y +=消去的0y ，再代入223r =）②由①问知2112k k =−，如图，设()()1122,,,P x y Q x y ，由1112212211122112y k x x OP x k y = ⇒=⇒===++=，同理可得OQ =，()12OPMQ OPM OQMS S S r OP OQ =+=+.()222212621k +≤+=+，≤∴1k =±()max1OPMQ S=.【点睛】本题通过椭圆的标准方程、切线性质和四边形面积的求解，综合考查了椭圆的几何性质、韦达定理及不等式求解的能力．在解题过程中，椭圆参数的确定、切线斜率的关系及面积最大值的求解环环相扣，体现了代数与几何的紧密结合．在求四边形面积的最大值时，利用了基本不等式，确保最大值的合理性，并找出条件下的最优值．。

2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 12. 已知一组数据：2，5，7，x ，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7B. 6.5C. 6D. 5.53. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 值为（ ） A. 0B. 1C. 0或1D.13或1 4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 圆上 C. P 在圆内D. P 与圆的位置关系不确定6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）的的在A.B.C.D.7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==；B 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面； C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件；D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ） A 2πB.4π3C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=； D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±．10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++； B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；..C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． （1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值． 18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD 所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由．（2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果. 【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i 32i 12i 1i 1i 1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1 C. 0或1 D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可.【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅169912129=++−−+19=.所以PQ =故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==；B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件；D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误；对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ===，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2=. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213AP k −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ； D. DH OH ⋅ 的最小值为1−．【答案】BCD【解析】【分析】以{},,OA OB OC 为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅= . 对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+− 2133AB AC =+ ()()2133OB OA OC OA =−+− 2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++ 111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA = 时， DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ， 又AB OB OA =−，所以13DH AB OC =− .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确； 对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+− 12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++ ， 所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅ 1119660336=−×+×+×=， 所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥ ，故C 正确；对D ：设OH OA λ= ，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =− ()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− . 所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OA λλ =−−⋅ ()2233OA OA OB OA OC λλλ=−⋅−⋅ 296λλ=−，()01λ≤≤. 当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ）A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．【答案】ACD【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假.【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >.此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP =又CP ===⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==cos ACP ∠==，所以41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角，所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确；对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MPNP BP =⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=+=.又1sin 2PAC S PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBC S BPC =∠ ， 且sin sin APC BPC ∠=∠. 所以22sin PAC PBC S S PA PB APC ⋅=⋅⋅∠ 28sin APC =∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．【答案】49【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点，圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =，则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max27PA AO r =+=+=, 所以22max749PA ==； 故()()2243x y −++的最大值是49.故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+ ，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−， sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C =>，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =.14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED，EG，因为H为AAAA上的靠近D的三分点，所以13DH AD=，因为E为AAAA的中点，所以点E到AAAA的距离为点B到AAAA的距离的一半，所以16DEH BADS S=，又G为CCAA上靠近D的三分点，所以点G到平面ABD的距离为点C到平面ABD的距离的13，所以111119663182G DEH G BAD C BADV V V−−−==×=×=，1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGDS S S S S S=−=−=四边形，所以2211933323E BFGD E BCD A BCDV V V−−−==×=×=，所以多面体EFGHBD的体积为17322 G DEH E BFGDV V−−+=+=.故答案为：7 2 .【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=.所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x×+×==.【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线10x y −+=上，所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=，.又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=.17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠，因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA AC ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC = ，为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ，设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅==== ， 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ， 由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = =, 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+= 可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=，由220,230x y y +−= −= 可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°.所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅==⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= +++=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。

开始 i =1 s =0i =i +1s =s+i i ≤5? 输出s 结束① ② a是否 7 9 8 4 4 4 6 7 9 3 高二数学第一次月考试题一、选择题：1. 高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验,要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是( ） A ．分层抽样 B ．抽签抽样 C ．随机抽样 D ．系统抽样 2. 五进制数(5)444转化为八进制数是( ）A 。

(8)194B.(8)233 C 。

(8)471D.(8)1743. 计算机执行下面的程序，输出的结果是（ ）a =1b =3 a =a +bb =b a PRINT a ，b ENDA 、1，3B 、4，9C 、4，12D 、4，8 4. 甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是 ( ）A 。

31B 。

41C 。

21 D 。

无法确定 5. 如下四个游戏盘,现在投镖，投中阴影部分概率最大的是 ( )6. 下图是2008年我校举办“激扬青春，勇担责任"演讲比赛大赛上， 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为 （ ）A.85;87 B 。

84； 86 C 。

84;85 D.85;867. 如左图的程序框图(未完成）.设当箭头a 指向①时，输出的结果 s =m ，当箭头a 指向②时,输出的结果s =n ,则m +n = （ )A 。

30 B.20 C 。

15 D 。

5 8. 10个正数的平方和是370,方差是33，那么平均数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 读程序甲：INPUT i ＝1 乙：INPUT i ＝1000 S ＝0 S ＝0 WHILE i ＜＝1000 DOS ＝S ＋i S ＝S ＋i i ＝i ＋l i ＝i 一1 WEND LOOP UNTIL i ＜1 PRINT S PRINT SEND END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是（ ）A ．程序不同，结果不同B ．程序不同,结果相同C ．程序相同,结果不同D ．程序相同，结果相同10. 已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ）A 。

高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则（ ） ()U A B ⋃=ðA ．{−2，3} B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则. {}1,0,1,2A B ⋃=-(){}U 2,3A B =- ð故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2．复数等于31(i )i -A ．8 B ．－8C ．8iD ．－8i【答案】D【分析】利用复数的除法及乘方运算即得.【详解】因为.331(i )(i i)8i i -=+=-故选：D.3．在中，已知，则角为（ ） ABC A 1,6AC BC B π===C A ．B ．C ．或D ．或2π4π2π6π6π56π【答案】C【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，已知，ABC A 1,6AC BC B π===因为， sin sin AC BCB A=所以sin sin BC BA AC⋅=所以或， 3A π=23π所以或.2C π=6π故选：C.4．若，，，则 0.52a =πlog 3b =22πlog sin 5c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c a b >>b c a >>【答案】A【详解】因为，，，因此选A 0.521a =>π0log 31b <=<22πlog sin 05c =<5．在平行六面体中，若，则（ ）1111ABCD A B C D -11BD xAB y AD z AA =++(),,x y z =A ． B ． ()1,1,1()1,1,1-C ． D ．()1,1,1-()1.1.1-【答案】D【分析】利用向量的加法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.1BDx y z 【详解】解：，又因，， 1111BD BB B D =+ 11BB AA = 11B D BD AD AB ==- ，∴111BD AA AD AB xAB y AD z AA =+-=++，，，1x ∴=-1y =1z =故选：.D6．设有直线m 、n 和平面、.下列四个命题中，正确的是 αβA ．若m ∥,n ∥,则m ∥nααB ．若m ,n ,m ∥,n ∥,则∥ ⊂α⊂αββαβC ．若，m ,则m α⊥β⊂α⊥βD ．若，m ，m ,则m ∥ α⊥β⊥β⊄αα【答案】D【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确， C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确， D 选项中由α⊥β，m ⊥β，m ，可得m ∥α，故是正确命题， ⊄α故选D7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y 男生 377 370zA ．24B ．18C ．16D ．12【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应0.19,3802000xx =∴=500y z +=在三年级抽取的学生人数为人，故选C. 50064162000⨯=【解析】分层抽样.8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则R ()f x 1x =[]0,1x ∈()31x f x =-（ ）(2000)(2001)(2002)(2021)f f f f ++++= A ．-2 B ．0 C ．2 D ．4【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， ()f x 1x =(1)(1)f x f x -=+因此有，可得，因为函数是奇函数， ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=+()f x 所以可得，即有，从而， ()(2)f x f x -=+(2)(4)f x f x -+=+()(4)f x f x =+因此该函数的周期为，当时，，所以，4[]0,1x ∈()31x f x =-(0)0,(1)2f f ==的图象关于直线对称，，，()f x 1x =(2)(0)0f f ==(3)(1)(1)2f f f =-=-=- (2000)(2001)(2002)(2021)(0)(1)(2)(1)5[(0)(1)(2)(3)](0)(1)50022,f f f f f f f f f f f f f f ++++=++++=+++++=⨯++= 故选：C二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ． B ．1010x x y -=-()22log 1y x =+C ． D ．3y x =|sin |y x =【答案】AC【解析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称x R ∈A ：记，所以，所以函数是奇函数，又因()1010-=-x x f x ()1010()x x f x f x --=-=-()1010-=-x x f x 为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B ：记10x y =10x y -=1010x x y -=-，则，所以函数是偶函数，不符合题()22()log 1=+g x x ()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ()22()log 1=+g x x 意；C ：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性3()h x x =33)()()(=-=--=-h x h x x x 3()h x x =质，函数是增函数，符合题意；D ：记，则，所以3()h x x =()|sin |=t x x ()|sin()||sin |()-=-==t x x x t x 函数为偶函数. ()|sin |=t x x 故选：AC10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，A =B =下列结论中正确的是（ ） A ．该试验样本空间共有个样本点 B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.11．函数（其中）的图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ>><（ ）A ．是函数的周期 2π()f xB ． π3ϕ=C ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度()cos2g x x =()f x 6πD ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度 ()cos2g x x =()f x π12【答案】ABD 【分析】根据可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判断7ππ4123T =-2ω=7π12x =π3ϕ=AB ，再结合三角函数图象变化的性质判断CD 即可. 【详解】对A ，由图可知，，最小正周期T 满足，所以， 1,A =7πππ41234T =-=T π=所以是函数的周期，故正确； 2π()f x A 对B ，，即，将代入可得，得2π2πω==()()sin 2f x x ϕ=+7π12x =7π3π22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，又，所以，故B 正确； π2π3k ϕ=+π2ϕ<π3ϕ=对C ，由上述结论可知，为了得到，应将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()cos2sin 22g x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x向左平移个单位长度.故C 错误，D 正确.12π故选：ABD.12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11B C 以下说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为2 C EFG -B ．平面1A C ⊥EFGC ．异面直线EF 与AGD ．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是EFG 【答案】BD【分析】对A ，直接由锥体体积公式求解判断；对BC ，结合建系法直接判断；对D ，补全截面直接判断.【详解】对A ，，故A 错误；111321332C EFG ECF V S CC -=⋅⋅=⋅⋅=△对B ，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，DA x DC y 1DD z ，，则，，()()()()()10,2,0,2,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2C A E F G ()2,0,0A ()12,2,2A C =-- ()1,1,0EF =，，，则平面，B 正确；()0,2,2EG = 10A C EF ⋅= 10A C EG ⋅=1A C ⊥EFG对C ，，，，故C 错误； ()1,1,0EF = ()1,2,2AG =-cos ,EF 对D ，作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形11C D N 1BB M 1DD T ,,,,GN GM FM TN ET，故D 正确.EFMGNT 26S ==故选：BD三、填空题13．已知向量，，，若与垂直，则_________.)a =()0,1b =(c k = 2a b + ck =【答案】3-【分析】利用向量坐标垂直数量积为0求参数. k 【详解】解：由题意得：因为与垂直，所以，即2a b + c()20a b c +⋅= 20a c b c ⋅+⋅=，解得. 0+=3k =-故答案为：3-14．已知函数，则____________. ()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩142log f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】/ 120.5【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，212241122222log log log -==-=-又，所以，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩12141222log f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 1411222log f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：1215．如图，已知球O 的面上四点，DA ⊥平面ABC ．AB ⊥BC ，DA =AB =BCA B C D 、、、O 的体积等于________．【答案】92π【详解】由题意，三角形DAC ,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边， 所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等）， 所以球的半径就是线段DC 长度的一半，即， 1322R DC ===所以球的体积.34932V R ππ==故答案为：.92π16．如图，直三棱柱中，，点分别是棱111ABC A B C -12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的E 111ABC A B C -F 最短路程是__________．【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面和侧面展在同一个平面，连接，求出ABC 11BCC B EF 的长度即可.EF 【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为ABC AC 11ACC A EF 120BAC ∠= ，所以与棱不相交，所以不合题意，EF若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题ABC BC 11BCC B EF EF BC 意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，EF过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，E 1BBF 11B CG EG BCH 因为，点分别是棱的中点，12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、所以，，1,12BE CF HG ===30ABC ∠=︒BC =所以1,4EH BH ==所以, 15144FG EG ===+=所以， EF ===四、解答题17．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中1111ABCD A B C D -E 1DD F 1BB 点．(1)求直线与平面所成角的余弦值．CE 1AB E(2)求直线到平面的距离． 1FC 1AB E 【答案】(2) 23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再由CE 1AB E 平方关系求余弦值.（2）利用向量法证明平面，求得点到平面的距离即可. 1//FC 1AB E F1AB E 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，(0,0,0)D ()2,0,0A (0,2,0)C ()12,2,2B 1(0,0,2)D ()0,0,1E (2,2,0)B ()10,2,2C ，(2,2,1)F 所以，，()2,0,1AE =- ()10,2,2AB = (0,2,1)CE =-设平面的法向量为，1AB E (),,n x y z =，令，可得， 120220n AE x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =2,2y z =-=故可取.()1,2,2n =-设直线与平面所成角，CE 1AB E θ所以，可得sin θcos θ===直线与平面CE 1AB E （2）由（1）知，，平面的法向量为，()12,0,1FC =- 1(0,0,1)B F =-1AB E ()1,2,2n =-因为，所以，1210(2)120n FC ⋅=-⨯+⨯-+⨯= 1n FC ⊥ 又平面，所以平面，1FC ⊄1AB E 1//FC 1AB E 设到平面的距离为，F 1AB E d 则， 23d =由直线与平面平行的性质知，直线到平面的距离为.1FC 1AB E 2318．在中，内角的对边分别为，且.ABC A , , AB C , , a b c sin cos b A B =（1）求角的大小；B （2）①，②，③，角.3b =sin 2sin C A =c =a C 【答案】（1）；（2）答案见解析.3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，可求得；B （2）选①②，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得，由勾股定理逆定理得角；选①③，aC 由正弦定理求得，得角，在直角三角形中求得；选②③，由正弦定理直接求得，再由sin C C a a 勾股定理逆定理得角．C 【详解】解：（1）因为在中，内角，，的对边分别为，，，ABC A A B C a b c 所以，()0AB C π∈,,,由正弦定理，可将化为，，sin cos b A B =sin sin cos B A AB =sin 0A ≠则，即；sin B B =tan B =3B π=（2）若选①②，由可得，sin 2sin C A =2c a =因为，由余弦定理可得，3b =2222cos b a cac B =+-则，解得22952a a =-a =由得． 222c a b =+2C π=若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则； sin sin C B cb =sin 1C =2C π=6A π=因此 sin ac A ==若选②③，由可得，因为得．sin 2sin C A =2c a =c =a =222c a b =+2C π=19．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：()()22kg BMI m =体重身高BMI 为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是BMI 18.5<18.5BMI 23.9≤<24BMI 27.9≤<BMI 28≥社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：BMI ，，，，，得到相应的频率分布直方图．[)12,16[)16,20[)20,24[)24,28[]28,32(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；a BMI (2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机[)16,20[)24,28抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．BMI 【答案】(1)； 0.04a =23(2)815【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和a 为求解中位数即可；0.5（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得[)16,20[)24,2824概率.【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，41所以，解得；()0.010.10.080.0241a ++++⨯=0.04a =因为，两组频率之和为，而的频率为， [)12,16[)16,20()0.010.0440.2+⨯=[)20,240.140.4⨯=故中位数在之间，设为，[)20,24x 则，解得，()0.2200.10.5x +-⨯=23x =即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.BMI 23（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为[)16,201000.04416⨯⨯=[)24,281000.08432⨯⨯=，所以两组人数比值为，1:2按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，6[)16,20[)24,2824记这组两个样本编号为，这组编号为，[)16,201,2[)24,283,4,5,6故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：62()()()()()()()()(){1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6}设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”A =BMI 则，()()()()()()()(){}1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6A =故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为. ()815P A =BMI 81520．已知函数．()2cos cos f x x x x =(1)求函数的最大值；()f x (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平()y f x =移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间． π6()y g x =()g x 【答案】(1)32(2)， ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值进行求解即可；（2）根据三角函数图象的变换性质，结合正弦函数的单调性进行求解即可.【详解】（1） ()21cos 211cos cos 2cos 22222x f x x x x x x x +===+， π1cos(2)32x =++∴当时，取得最大值； πcos 213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 32（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()y f x =得到，再把得到的图象向左平移个单位， π1cos()32y x =++π6得到的图象， ππ11cos(sin 6322y x x =+++=-+所以，当单调递增时，单调递减， ()1sin 2g x x =-+sin y x =()g x 故函数的单调递减区间为，． ()g x ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈21．如图，在四面体中，平面，，，．M 是的A BCD -AD ⊥BCD BC CD ⊥2AD =BD =AD 中点，P 是的中点，点Q 在线段上，且．BM AC 3AQ QC =（1）证明：平面；//PQ BCD （2）若二面角的大小为，求的大小．C BMD --60︒BDC ∠【答案】（1）证明见解析；（2）.60︒【分析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；MD G ,PG QG （2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出C BM D --BDC ∠的大小.【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：MD G ,PG QG因为为中点，为中点，所以，M AD G MD 3AG GD =又因为，所以，所以， 3AQ QC =AQ AG QC GD=//QG CD 又因为为中点，为中点，所以，P BM G MD //PG BD 又，所以平面平面，,PG QG G BD CD D == //GPQ BCD 又平面，所以平面；PQ ⊂GPQ //PQ BCD（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如BDC θ∠=C CH BD ⊥BD H H HI BM ⊥BM I IC 下图所示：因为平面，所以，又，所以平面，AD ⊥BCD AD CH ⊥AD BD D = CH ⊥ABD 因为平面，所以，又因为，，BM ⊂ABD CH BM ⊥HI BM ⊥HI CH H = 所以平面，所以，所以二面角的平面角为， BM ⊥HIC BM IC ⊥C BM D --60HIC ∠=︒因为，所以，BC CD BD CH ⨯=⨯cos CH θθ=又因为，所以，所以， 90BCH CBD θ∠=︒-∠=sin sin BH BCH BCθ∠==2BH θ=又因为，所以， 1sin 3HI MD MBD BH BM ∠====2HI θ=又因为为直角三角形且，HIC A 60HIC ∠=︒所以，所以， 3cos tan 60sin HC HI θθ︒====tan θ=60θ=︒所以的大小为.BDC ∠60︒【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.22．已知函数，的对称轴为且．()2f x x bx c =-+()f x 1x =()01f =-(1)求、的值；b c (2)当时，求的取值范围；[]0,3x ∈()f x (3)若不等式成立，求实数的取值范围.()()2log 2f k f >k 【答案】(1)，2b =1c =-(2)[]22-,(3)或01k <<4k >【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值； b ()01f =-c （2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；()f x （3）由可得出关于的不等式，解之即可.()()2log 2f k f >k 【详解】（1）解：二次函数的对称轴方程为，可得，且. ()f x 12b x ==2b =()01f c ==-因此，，.2b =1c =-（2）解：由（1）可知，当时，. ()221f x x x =--[]0,3x ∈()()[]2122,2f x x =--∈-（3）解：由，可得， ()()2log 21f k f >=-()222log 2log 0k k ->可得或，解得或. 2log 0k <2log 2k >01k <<4k >。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。