高二数学曲线上一点处的切线

高二数学《导数》知识要点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。

V=s/表示即时速度。

a=v/表示加速度。

3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。

专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................................................................... 1 【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................................................................... 2 【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................................................................... 2 【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 .............................................................................................. 3 【题型三】“过点”切线1 ......................................................................................................................... 4 【题型四】“过点”切线2：切线条数...................................................................................................... 5 【题型五】“过点”切线3：最值与范围 .................................................................................................. 5 【题型六】双函数公切线 .......................................................................................................................... 5 【题型七】三角函数的切线 ...................................................................................................................... 6 【题型八】切线与倾斜角 .......................................................................................................................... 7 【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 ...................................................................... 7 【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 ...................................................................... 8 【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 ...................................................................... 9 【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 ...................................................................... 9 【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 .................................................... 10 【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 .................................................................... 11 【题型十五】综合应用 ............................................................................................................................ 11 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟检测 .. (13)【题型一】“在点”切线1：有切点【典例分析】已知函数1()(3)e ln x f x ax x x -=++（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,(1))f 处的切线的斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．31.已知函数2()2(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．680x y --= B ．680x y -+= C ．680x y ++= D ．680x y +-=2.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．3- D ．33.已知函数()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为（ ） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．5【题型二】“在点”切线2：无切点【典例分析】已知四条直线1:l y x =，2:32l y x =-，3:32l y x =+，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式演练】1.以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =2.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型三】“在点”切线3：双参型【典例分析】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【变式演练】1.若曲线3y x ax =+在点(1,(1))f 处的切线方程为6y x m =-，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-2.已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12- D ．1【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数2(2),0()3(),0f x x x f xg x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（ ）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【变式演练】1.已知函数()()ln 1,0,0x x f x kx x ⎧+>=⎨≤⎩，曲线()y f x =与直线1ln 222x y =-+有且仅有一个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3.已知函数2,0()1,0x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A B ､，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是___________.【题型三】“过点”切线1【典例分析】设01x >，曲线()ln 32f x a x x a =-+在点()0,0P x 处的切线经过点()0,2e ，则0a x +=（ ） A ．eBCD ．2e【变式演练】1.写出a 的一个值，使得直线0x ay a +-=是曲线sin xy x=的切线，则a =______.2.已知直线(R)y ax a =∈与曲线ln y x =相交于两点，则a 的取值范围是___________3.函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(),s t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln s t >B ．ln s t <C ．ln t s <D ．ln t s >【变式演练】1.已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭2.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ）A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <3.过点()0,b 作曲线e x y =的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数()e xf x b =+的一条切线为y ax a =+，则ab 的最小值为（ ）A ．12e- B ．C ．12eD【变式演练】1.已知曲线()|ln |f x x =在点()()11,x f x 与()()22,x f x 处的切线互相垂直且相交于点()00,P x y ，则（ ） A ．121x x ⋅=-B ．12⋅=x x eC ．1202x x x +=D ．0122=+x x x2.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．3.过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ） A ．01t << B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11t e<<【题型六】双函数公切线【典例分析】若函数1()33(0)f x x x x =+->的图象与函数()e xg x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1e B ．2e C ．1e 或D ．1e 或【变式演练】1.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e2.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（ ） A ．2 B ．4 C ．2e D ．2e -3.．若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（ ）A ．78+1ln22B ．78-1ln22C ．12+1ln22D ．121ln22-【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数()2cos 2sin f x x x x =-在πx =处的切线在y 轴上的截距为（ ）A ．2π2π-B ．2πC ．2π2-D ．22ππ22π--【变式演练】1.设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122.过曲线cos y x =上一点1,32P π⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（ ）A ．2203x π-=B ．212032x y π+--=C．2203x π-= D ．212032x y π--+=3.已知函数()3sin 4cos f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B ．0y = C ．4y =- D ．43y x =-+【题型八】切线与倾斜角【典例分析】设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【变式演练】1.函数()2ln 1sin y x x=++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310C ．35D ．±352.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.已知M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离【典例分析】已知111ln 20x x y --+=，22252ln 20x y +--=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A B C ．95D ．165【变式演练】1.曲线e x y =上到直线e y x =12的点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ）A．B C D3.已知实数a ，b ，c ，d 满足：2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（ ）AB ．1CD ．2【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．2.已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．3.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参【典例分析】已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21e 1,3e 2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式演练】1.已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参【典例分析】若函数()ln 1f x x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【变式演练】1.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2(,0]4-∞-⋃-B ．()12,0,,4⎛⎫+∞⋃ ⎪⎝⎭C ．[)12,0,4⎛⎤--⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,20,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-3.函数234,2()log (1),2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()3g x kx k =-，若函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．6,0)B ．6,0)C ．(2,0)-D ．6,0)【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参【典例分析】已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎪⎝⎭ 【变式演练】1.已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.．已知不等式ln (1)2ln 2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.若关于x 的不等式()()1e 21x a x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直线()R y ax a =∈与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，若12x x <，则下列结论错误的是（ ） A ．10e x <<B ．122e x x +>C ．21y >D ．122y y +<【变式演练】1.已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为______．2.若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=______.3.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【题型十五】综合应用【典例分析】过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e e m -<<B ．250e m -<<C ．10em -<< D ．e m <【变式演练】1.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-1.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 2021年全国新高考I 卷数学试题2.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）3.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）4.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．2021年全国高考甲卷数学（理）试题5.曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.2019年天津市高考数学试卷（文科）6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==- 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）7.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）8.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷9.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 2019年江苏省高考数学试卷10.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则①PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）11.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 2021年全国新高考II 卷数学试题1.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+2.如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．23.曲线213ln 2y x x =-在点P 处的切线与直线220x y +-=垂直，则点P 的横坐标为（ ） A ．e B ．1 C ．3 D ．2e4.已知函数()sin f x x x =+.曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ）A ．223y x π=-B ．223y x π=-C ．3y x π=-+D ．3y x π=-+5.函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（ ）A ．310B ．310±C ．35D ．35.6.已知0a >，0b >，直线y x b =+与曲线e x a y -=相切，则41a b+的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97.若过点(1,2)可作曲线3y x ax =+的三条切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．(2,1)-- C ．(1,2) D ．(1,3)8.曲线2ln y x =上的点到直线2ln20x y -+=的最短距离是（ ） A．2 B ．2ln2-C ．ln2D9.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10.已知曲线()1f x x=-在点()()1,1f --处的切线l 与曲线()ln g x a x =相切，则实数a 所在的区间为（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,611.已知函数2ln ()2x f x x x =-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ）A B C D12.已知曲线()ln()1(1)=-+>f x mx nx m 的一条切线为直线:210l x y -+=，则mn 的最小值为________． 江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题13.若对0x ∀>，关于x 的不等式21ln 12mx mx x x +-≥+恒成立，则整数m 的最小值为___________.14.已知a ，b 为正实数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有ln ax b x -≥成立，则2ba的最大值是______．15.设函数()()sin 12sin 223f x x x αα--=+-（R α∈）图象在点（1，()1f ）处切线为l ，则l 的倾斜角θ的最小值是（ ） A ．4πB ．3π C ．56π D ．34π16..已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.。

高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。

直线的斜率为。

由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。

故A正确。

【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。

2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。

3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。

【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。

4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。

故选Ｄ。

【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。

高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。

本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。

1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。

一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。

截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。

斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。

两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。

两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。

此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。

3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。

曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。

曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。

通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。

4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。

线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。

线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。

总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。

通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .【答案】【解析】：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．【考点】归纳推理.2.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.3.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）【答案】B【解析】 =xcosx,所以k=g(t)=tcost,是奇函数，图像关于原点对称，所以排除A,C，在t>0时，cost的值是先正后负的连续变换，故选B.【考点】导数，函数图像.4.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。

【答案】或。

【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.5.已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，当时，有，进而得，所以，故选择B.【考点】导数的应用.6.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】因为==，所以曲线在M处的切线的斜率为=，故选B.考点:常见函数的导数，导数的运算法则，导数的几何意义7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.8.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．9.已知抛物线，和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得,与直线平行，则斜率为2，可得切点为，所以直线方程为．【考点】导数的几何意义，直线方程．10.曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】，则在点(1，－)处切线的斜率为，所以倾斜角为45°.【考点】导数的几何意义.特殊角的三角函数值.11.函数在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以。

目录第十二讲导数的几何意义 (2)考点1：导数的几何意义 (2)题型一：导数等于切线斜率 (2)题型二：“在”字型求切线 (6)题型三：“过”字型求切线 (10)题型四：利用切线求最短距离 (11)课后综合巩固练习 (12)第十二讲 导数的几何意义考点1：导数的几何意义设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线，即000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数．题型一：导数等于切线斜率例1.（2018秋•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f '<（3）f '-（2）B ．0f '<（3）f '<（2）f '<（3）f '-（2）C ．0f '<（3）f '-（2）f '<（2）f '<（3）D ．0f '<（3）f '<（3）f '-（2）f '<（2）【解答】解：由图象知f '（2）对应A 点处切线的斜率，f '（3）表示B 点处的切线斜率，f '（3）f '-（2）(3)(2)32f f '-'=-表示过A ，B 两点割线的斜率，由图象知0f '<（3）f '<（3）f '-（2）f '<（2）成立， 故选：D ．例2.（1）（2018秋•定远县期中）曲线1x y e =+在点(0,2)A 处的切线斜率为( ) A ．1B ．2C ．eD ．1e【解答】解：由题意得，x y e '=，x 0+x x 0D CBAO yx则在点(0,2)A 处的切线斜率01k e ==， 故选：A ．（2）（2019春•南康区校级期中）曲线3()f x lnx x =+-在1x =处的切线的倾斜角是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ，0θπ<，则故选：C ．（3）（2018春•东安区校级期中）设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A ．2[0,]3π B ．[0，2)[23ππ，)πC ．2(,]23ππD ．2[,]33ππ33-，tan 3α-， 2)[3π，)π， 故选：B ．（4）（2019•兰州模拟）若点P 是函数2sin sin cos xy x x=+图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 斜率的范围是( ) A ．(,1)-∞ B ．[0，1]C ．[1，)+∞D ．(0，1]解：2sin sin y x =(sin 2sin x =1sin 21x -<，01sin22x ∴<+，12x ，则1y x． ∴直线l 斜率的范围是[1，)+∞．故选：C ．例3.（1）（2019春•孝感期中）如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程为220x y -+=，则f （2）f '+（2）= ．【解答】解：根据题意，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程为220x y -+=，变形（2）（2019春•南关区校级期中）已知函数()1af x lnx x=+-的图象在点(2，f （2）)处的切线与直线210x y +-=平行，则实数(a = ) A ．2-B ．2C ．4-D ．4函数4a =．故选：D ．（3）（2019春•渝中区校级期中）函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点(,())33f ππ处的切线垂直于y 轴，则实数(a = )A B C D ．【解答】解：函数()(cos )x f x a x e =+的导数为()(sin cos )x f x x a x e '=-++，故选：A ．（4）（2019•岳麓区校级模拟）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x 时，3()2f x x x m =--，则曲线()y f x =在点(2P ，f （2）)处的切线斜率为( )A ．10B ．10-C ．4D ．与m 的取值有关【解答】解：由()f x 是定义在R 上的奇函数，可知(0)0f =，0m =， 则0x 时，3()2f x x x =-，2()32f x x '=-，由奇函数的导函数为偶函数，知(2)f f ''-=（2）10=， 故选：A ．（5）（2019春•湖北期中）已知直线1y m=是曲线x y xe =的一条切线，则实数m 的值为( )A ．1e-B ．e -C ．1eD ．e对于x y xe =，其导数()x x x y xe e xe '='=+，故选：B ．题型二：“在”字型求切线例4.（1）（2019春•广东期中）函数3y x =在点(0,0)处的切线是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．x 轴和y 轴D ．不存在【解答】解：32()3y x x '='=，2300k ∴=⨯=，∴曲线3y x =在点(0,0)切线方程为0y =．故选：A ．（2）（2019•聊城三模）函数()2f x x lnx =-+的图象在1x =处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-=函数()2f x x lnx =-+的图象在1x =处的切线的斜率为：f '（1）1=-． 切点坐标为：(1,2)-，函数()2f x x lnx =-+的图象在1x =处的切线方程为2(1)y x +=-- 即10x y ++=． 故选：A ． （3）①求曲线()214f x x =在点()21，处的切线方程；【解答】①10x y --=； ②求函数()1f x x=-在点()11-，处的切线方程；【解答】②20x y --=；③求曲线()321f x x x =++在点()213，处的切线方程；【解答】③14150x y --=；④求函数()1f x x x =+在点522⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程；【解答】④3440x y -+=；⑤求曲线()ln f x x x =在点()e e ，处的切线方程；【解答】⑤2e=0x y --； ⑥求曲线()2e 3x f x x x =++在点()03，处的切线方程；【解答】⑥30x y -+=； ⑦求曲线()11f x x=-在点()21-，处的切线方程；【解答】⑦30x y --=； ⑧求曲线()21xf x x =-在点()11，处的切线方程；【解答】⑧20x y +-=；⑨求曲线()cos f x x =在点π6⎛ ⎝⎭⑩求函数()sin f x x =在π6x =（4）（2019春•宁德期中）直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为( ) A ．2B ．1-C ．1D ．2-【解答】解：直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 可得42k =+，即2k =，32y x ax b =++的导数为232y x a '=+，124a b ++=，解得4b =，则4242a b +=-+=． 故选：A ．（5）（2019•德州二模）如图，在且角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线21(0)y x x =+的切线，切点为P ，过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为( )A ．16 B ．15C ．14D ．12又由21y x =+，其导数2y x '=，则点P 处切线的斜率|2x m k y m =='=，又由0m >，则1m =，即(1,2)P ， 故切线的方程为2y x =， 矩形OAPB 的面积212S =⨯=，阴影部分的面积(Tex translation failed)，故选：A ．（6）（2019春•东胜区校级期中）曲线3x y e =-+在点(0,2)处的切线与直线0x =和2y x =所围成的三角形面积为( ) A ．43B ．23C ．4D ．1【解答】解：由3x y e =-+，得x y e '=-， 则0|1x y ='=-，∴曲线3x y e =-+在点(0,2)处的切线方程为2y x =-+，如图：故选：B ．（7）（2019•山西三模）函数()f x 为偶函数，当0x 时()x f x xe =，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( )A ．20ex y e ++=B ．20ex y e --=C ．230erlx y e +-=D ．230ex y e -+=【解答】解：函数()f x 为偶函数，当0x 时()x f x xe =， 可得()()f x f x -=，即有0x 时，()x f x xe -=-，。

高二数学A层学案导数求切线方程专题训练
一、典型例题
（一）已知曲线方程和切点坐标，求切线方程
例1、求在点处的切线方程.
43
P
y=()8,16
x
【反思总结】
（二）已知曲线方程和切点斜率，求切线方程
例2、已知，求与直线垂直的切线方程.
=x
-
y
x
y=4
2-
【反思总结】
（三）已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程
例3、过原点做曲线的切线，求切线斜率和切线方程.
x
y=
e
【反思总结】
（四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程
例4、求曲线过点的切线方程.
3
=()2,2-
A
x
y-
3x
【反思总结】
二、当堂检测
1.求过曲线上过点的切线方程.x x y +-=3(
)0,12.求经过原点且与曲线相切的曲线方程. 59++=x x y 3.求过曲线上一点的切线方程. 232131x x y +=()0,04.若直线与曲线相切，求的值.0122=--+e y x e x ae y -=1a 5.已知函数在处的切线为，求与两坐标轴围成的的最小值.()()012＞a a x x f -=1=x l l ∆S。

专题突破——06切线问题综合1．已知32()3(02)f x x x ax x =-+<<，曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是【解答】解：2()36f x x x a '=-+，由题意，导函数在(0,2)有两个互异零点，故(1)0(0)0(2)0f f f '<⎧⎪'>⎨⎪'>⎩，即300a a -<⎧⎨>⎩，所以03a <<⋯⋯①．()6(1)f x x ''=-，所以，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 递增．且(0)f f '='（2）a =，f （1）3a =-．()(3f x a ∴'∈-，)a ，要使曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，只需(3)1a a -<-即可，解得3322a -+<<，结合①式得：3322a +<<即为所求．故答案为：3322a +<<．2．若直线y kx =既是曲线1x y e =-的切线，又是曲线()y ln x b =+的切线，则b =1．【解答】解：设y kx =与1x y e =-和()y ln x b =+的切点分别为1(x ，1)kx 、2(x ，2)kx ，由导数的几何意义可得121x k e x b==+，再根据直线y kx =既是曲线1x y e =-的切线，又是曲线()y ln x b =+的切线，可得11221()x kx e kx ln x b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，联立上述式子解得120x x ==，1k b ==，故答案为：1．3．若直线y kx b =+与曲线2y lnx =+相切于点P ，与曲线(1)y ln x =+相切于点Q ，则k =．【解答】解：设切点1(P x ，1)kx b +，2(Q x ，2)kx b +，由题意得12111k x x ==+，所以121x x =+，切线方程分别可以表示为：1111111()21y x x lnx x lnx x x =-++=++，1221211111()(1)1x y x x ln x x lnx x x x -=-++=+-+，所以有1111x x -=-，解得112x =，即2k =．故答案为：24．若过点(,)a b 可以作曲线y lnx =的两条切线，则()A ．lnb a<B ．lna b<C ．0a lnb <<D ．0b lna<<【解答】解：由y lnx =，得1y x'=，设切点横坐标为(0)t t >，则1|x t y t='=，切线方程为1()1xy lnt x t t t-=-=-，把(,)a b 代入，可得1a b lnt t =+-，令()1af t lnt t =+-，则221()a t af t t t t-'=-+=，当(0,)t a ∈时，()0f t '<，当(,)t a ∈+∞时，()0f t '>，()f t ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则()f t 的最小值为f （a ）lna =，∴要使过点(,)a b 可以作曲线y lnx =的两条切线，则lna b <．故选：B ．5．已知函数41()(),[4,)f x k lnx x k k x =+-+∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使得曲线在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为()A ．4(,)5+∞B ．(1,)+∞C ．8(,)5+∞D ．16(,)5+∞【解答】解：函数41()()f x k lnx x k x =+-+的导数为2411()()1f x k k x x'=+⋅--，由曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，可得221122411411()1()1k k k x x k x x +⋅--=+⋅--，化为22212111411()()k x x k x x -=+-，即为12124x x k x x k+=+，由21212()2x x x x +<，可得1244k k x x +>+，由4k k +在[4，)+∞递增，可得45k k+ ，则1214455x x +>⨯=，故选：A ．6．若曲线()f x lnx x =+在点0(x ，0())f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b +的最小值为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解答】解：000()f x lnx x =+，因为切点在直线上，所以000lnx x kx b +=+①，1()1f x x'=+，结合导数的几何意义有001()1k f x x ='=+②，因为00x >，所以1k >，联立①②消去0x 得1(1)b ln k =---，所以1(1)k b k ln k +=---，(1)k >，令()1(1)g x x ln x =---，则12()111x g x x x -'=-=--，令()0g x '>，解得2x >；令()0g x '<，解得12x <<，所以()g x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，因此()min g x g =（2）1=，故k b +的最小值为1．故选：D ．7．若函数()(01)f x lnx x =< 与函数2()g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是()A．1(,)2--+∞B．13(,)24---C．3(4--D．13(,]24---【解答】解：1()f x x'=，()2g x x '=，设与2()g x a x =+相切的切点为(s ，)(0)t s >，与曲线()f x lnx =相切的切点为(,)m n ，01m < ，则有公共切线斜率为12n ts m m s-==-，又2t a s =+，n lnm =，可得2222n t lnm a s sm s -=--=-，且21sm =，化为2114a lnm m +=+，01m < ，设21()4h m lnm m =+，01m < ，2331121()22m h m m m m -'=-=，当2m >时，()h m 递增，当02m <<时，()h m 递减，则()h m 在m =处取得最小值，且为12+，由题意可得1111224a ln +<++ ，解得13224lna -<- ，即1324a -<- ．故选：D ．8．已知点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线2:lnxC y x=上的任意一点，则||PQ 的最小值是．【解答】解：点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，可得241y x x '=++，0|1x y ='=，所以P 满足的切线方程为：1y x -=，与直线10x y -+=平行的直线与曲线2:lnxC y x=相切的切点坐标为：(m ，())f m ，可得：21lnx y x -'=，所以：211lnmm -=，解得1m =，切点坐标(1,0)，切线方程为：10x y --=．点P 是曲线3211:213C y x x x =+++在点(0,1)处的切线上的任意一点，点Q 是曲线2:lnxC y x=上的任意一点，则||PQ=．9．已知函数()x f x ae x =-．（1）求()f x 的单调区间，（2）若关于x 不等式x ae x b + 对任意x R ∈和正数b 恒成立，求ab的最小值．【解答】解：（1）()1x f x ae '=-，当0a 时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减，若0a >时，令()10x f x ae '=-=，x lna =-，在x lna >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，在x lna <-时，()0f x '<，()f x 为减函数．（2）()x f x ae x =-，由题意()min f x b ，由（1）可知，当0a 时，()f x 在R 上单调递减，无最小值，不符合题意，当0a >时，()()1min f x f lna lna b =-=+ ，∴1a ab lna+，设h （a ）1a lna =+，则h '（a ）2(1)lnalna =+，(0a ∈，1]，h '（a ）0<；[1a ∈，)+∞，h '（a ）0 ，h ∴（a ）min h =（1）1=．10．若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是．【解答】解：由题得2sin [2y a x a '=-∈-，2]a +，则曲线在区间[2a -，2]a +内存在两数之积为1-，故只需(2)(2)1a a -+- ，解得a故答案为：[11．若存在实数a ，b ，使不等式2422elnx ax b x ++ 对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是()A ．2eB ．4C ．eD ．2【解答】解：分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，可得0a >，若0b =，可得2422elnx ax x + ，即有242lnx ea x x x+ ，由224x x + ，当且仅当1x =时，取得最小值4，由4lnx y ex =的导数为214lnxy e x -'=，可得x e =处y 取得极大值，且为最大值4，可得a 的最小值为4．故选：B ．12．设函数()x f x e x =--图象上任意一点处的切线为1l ，函数()2cos g x ax x =+的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为．【解答】解：由()x f x e x =--，得()1x f x e '=--，11x e +>，∴1(0,1)1x e ∈+，由()2cos g x ax x =+，得()2sin g x a x '=-，又2sin [2x -∈-，2]，2sin [2a x a ∴-∈-+，2]a +，要使过曲线()x f x e x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则2021a a -+⎧⎨+⎩ ，解得12a - ．即a 的取值范围为12a - ．故答案为：[1-，2]．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是()A ．23(e -，)+∞B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e--【解答】解：设切点为0(x ，0)y ，过点P 的切线方程为00000(1)()x x y x e x x x e =+-+，代入点P 坐标化简为0200(1)x m x x e =---，即这个方程有三个不等根即可，令0200()(1)x f x x x e =---，求导得到()(1)(2)x f x x x e '=--+，函数在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)--上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减，故得到(2)(1)f m f -<<-，即231(,)e e--故选：D ．14．设(1,)x ∈+∞，在函数()xf x lnx=的图象上，过点(P x ，())f x 的切线在y 轴上的截距为b ，则b 的最小值为()A ．eB ．2e C ．22e D ．24e 【解答】解：函数()xf x lnx =的导数为21()lnx f x ln x-'=，当1x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，当x e >时，()0f x '<，()f x 递减．则x e =时，()f x 取得最大值．过点(P x ，())f x 的切线斜率为21()lnx f x ln x-'=，即有21xb lnx lnx x ln x--=-，化简可得2xb ln x=，1x >．24322ln x lnx lnx b ln x ln x--'==，当2x e >时，0b '>，函数b 递增；21x e <<时，0b '<，函数b 递减．则当2x e =时，函数b 取得极小值，也为最小值，且为24e ．故选：D ．15．若直线y kx b =+是曲线x y e =的切线，也是曲线(2)y ln x =+的切线，则k =．【解答】解：根据题意，设y kx b =+与x y e =和(2)y ln x =+的切点分别为(,)m m e 、(n ，(2))ln n +；曲线x y e =，其导数为x y e '=，有|m x m k y e =='=，则过(,)m m e 与x y e =相切的直线()m m y e e x m -=-，即m m m y e x me e =-+，曲线(2)y ln x =+，其导数为12y x '=+，有1|2x n k y n =='=+，则过(n ，(2)ln n +与(2)y ln x =+相切的直线1(2)()2y ln n x n n -+=-+，即1(2)22n y x ln n n n =-++++，若直线y kx b =+是曲线x y e =的切线，也是曲线(2)y ln x =+的切线，则有12(2)2m m m e n n me e ln n n ⎧=⎪⎪+⎨⎪-+=-++⎪+⎩，则有(2)m ln n =-+，解可得：1n =-或0，当0m =时，01m k e e ===；当1m =-时，11m k e e e-===故答案为：1或1e16．若直线(1)y kx b k =+<既是曲线y lnx =的切线，又是曲线21xy e e =的切线，则k =1e【解答】解：设直线与曲线y lnx =的切点为(,)m n ，直线与曲线21xy e e=的切点(,)s t ，y lnx =的导数为1y x '=，则1k m=，即1m k=，21x y e e =的导数为21xy e e'=，则2s k e -=，即有2s lnk =+，又n lnm km b ==+，可得1b lnk =--，由2s k t e ks b -===+，可得(2)b k k lnk =-+，即有12lnk k k klnk --=--，化为(1)(1)0k lnk -+=，由1k <可得1lnk =-，解得1k e=．故答案为：1e．17．已知实数a ，b 满足(1)30ln b a b ++-=，实数c ，d 满足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为1．【解答】解：问题转化为曲线(1)30ln x y x ++-=与直线2x y -上的两点之间距离的最小值．()3(1)y f x x ln x ==-+，1()31f x x '=-+，令1321x -=+，解得0x =，可得切点(0,0)P ．点P 到直线2x y -的距离1l ==．22()()a c b d ∴-+-的最小值为1．故答案为：1．18．已知直线(1)y a x =+与曲线()x f x e b =+相切，则ab 的最小值为()A ．14e-B ．12e-C ．1e-D ．2e-【解答】解：设切点为(,)m n ，()x f x e b =+的导数为()x f x e '=，可得m e a =，(1)m a m e b +=+，化为b alna =，可得2ab a lna =，设g （a ）2a lna =，g '（a ）2(21)alna a a lna =+=+，由a>时，g '（a ）0>，g （a ）递增；当0a <<g '（a ）0<，g （a ）递减，可得a=时，g （a ）取得最小值12e-．故选：B ．19．已知直线y ax b =+与曲线x y e =相切，则ab 的最大值是()A ．2e B ．e C D 【解答】解：设直线y ax b =+与曲线x y e =相切于(,)m M m e ，由x y e =导数为x y e '=，可得切线的斜率为m e a =，即m lna =，又m am b e +=，可得(1)m m b e me a lna =-=-，2(1)ab a lna =-，由f （a ）2(1)a lna =-，f '（a ）(12)a lna =-，0a >，当x >f '（a ）0<，f （a ）递减；当0x <<时，f '（a ）0>，f （a ）递增．即有f （a ）在x =12e ．故选：A ．20．已知直线2y x =与曲线()()f x ln ax b =+相切，则ab 的最大值为()A ．4e B ．2e C ．eD ．2e【解答】解：设切点为0(x ，0())ln ax b +，则由00()2af x ax b'==+，得01(0)2ax b a a +=>，又由00()2ln ax b x +=，得0011()222ax ln ax b =+=，则02222a a a ab ax ln =-=-，有2211(0)222aab a a ln a =->．令g （a ）2211222a a a ln =-，则g '（a ）1(22aa ln =-．故当0a <<g '（a ）0>；当a >时，g '（a ）0<．∴当a =时，g （a ）取极大值也是最大值为g e =．故选：C ．21．已知0k >，0b >且(4)kx b ln x ++ 对任意的4x >-恒成立，则bk的最小值为3．【解答】解：设()(4)(4)x f kx b ln x x =+-+>-，则()14x f k x '=-+，①当0k 时，104x >+∴()0x f '<，即函数()x f '在(4,)-+∞为减函数，当x →+∞时，()x f →-∞，()0x f ∴>在(4,)-+∞不恒成立，即0k 不成立．②当0k >时，设()0x f '>，得：14k x k ->，设()0x f '<，得：14k x k -<，即()x f 在区间14(4,)k k --上递减，在区间14(k k -，)+∞上递增，即()14()14x min k kf f b k lnk -==+-+，则140b k lnk +-+ ，41b k lnk ∴-- ，∴41(0)b k lnk k k k--> ，设()41(0)k k lnk g k k --=>则()k g lnk '=，易得，当1k >时，则()0x g '>，当01k <<时，则()0x g '<，即()k g 在区间(0,1)上递减，在区间(1,)+∞上递增，即()k min g g =（1）3=，故b k的最小值为3．故答案为：3．22．已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切，则2k b π+的最大值为24π．【解答】解：2()cos y f x x x ==+的导数为()2sin f x x x '=-，由于(2sin )2cos 0x x x -'=->，可得2sin x x -为增函数，当0x 时，2sin 0x x - ，则()y f x =递增，可得()(0)1f x f = ，因为()y f x =为偶函数，可得()f x 在(,0)-∞递减，问题转化为2cos x x kx b ++ 对x R ∈恒成立．当2x π=时，224k b ππ+ ，当224k b ππ+=时，令()02f k π'-=，即1k π=-，所以224b ππ-=，此时222cos (1)4x x x πππ-+-+ ，而22(1)4y x πππ-=-+为()f x 在2x π=处的切线方程．则2k b π+的最大值为24π．故答案为：24π．23．已知直线y kx b =+与函数x y e =的图象相切于点1(P x ，1)y ，与函数y lnx =的图象相切于点2(Q x ，2)y ，若21x >，且2(,1)x n n ∈+，n Z ∈，则n =4．【解答】解：由题意，121x k e x ==，①曲线x y e =在点1(P x ，1)y 处的切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x x y e x e x e =+-；曲线y lnx =在点2(Q x ，2)y 处的切线方程为2221()y lnx x x x -=-，即2211y x lnx x =+-．11121x x b e x e lnx ∴=-=-，②联立①②可得，2222210(1)x lnx lnx x x ---=>，令()1g x xlnx lnx x =---，则1()g x lnx x '=-，该函数在(1,)+∞上为增函数，g '（1）10=-<，g '（2）1202ln =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x '=，则()g x 在0(1,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，而0000000()10g x x lnx lnx x lnx x =---=--<，当1x +→时，()0g x <，()g x ∴的零点在0(x ，)+∞上，又g （4）6250ln =-<，g （5）4560ln =->，0(4,5)x ∴∈，则4n =．故答案为：4．。

第一讲 导数的概念与切线问题【知识要点】1.导数的概念及其几何意义.2.你熟悉常用的导数公式吗？3.导数的运算法则：（1）两个函数四则运算的导数; （2）复合函数的导数：x u x u y y '·''=. 4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?【典型例题】一.导数的概念题1．在曲线21y x =+的图象上取一点()1,2及邻近一点()1,2x y +∆+∆，则xy∆∆为（ ） A. 12x x ∆++∆ B. 12x x ∆--∆ C. 2x ∆+ D. 12x x∆-+∆ 2.一质点的运动方程为253S t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度为（ ） A. 36t ∆+ B. 36t -∆+ C. 36t ∆- D. 36t -∆- 3.已知()23f '=,则（1）()()022limx f x f x∆→+∆-=∆____________________________. （2）()()22limx f x f x →+-=____________________________.（3）()()22limx f x f x→--=____________________________.（4）()()0222limx f x f x→--=____________________________. （5）()()222limx f x f x x→--+=____________________________.4.求导公式的应用（1）3()ln 3f x x x x =-++，则()f x '=____________________________. （2）32()25f x x x x =-++，若0()0f x '=，则0x =________________.（3）2()(31)(23)f x x x x =+++，则()f x '= ，(1)f '-=_______________.（4）2sin ()x x f x x+=，则()f x '=____________________________.（5）10()(23)f x x =-，则()f x '=____________________________.5.已知()()3214f x f x x x '=+-，则()f x =____________________.二.切线问题1.曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为（ ） A.(1,3) B.(3,3)C.(6,12)-D.(2,4)2.（11全国Ⅰ新卷理3）曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =- D ．22y x =-3.（11全国Ⅱ卷文7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则a = ，b = .4.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____________________. 5.曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为__________. 6.曲线32364y x x x =+++的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是_______________.7.求曲线32242y x x x =--+经过点(16)-，的切线方程.8.曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+，在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程.9.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线，试求,,a b c 的值.三.切线问题的综合应用1.（山东卷文10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= ( ) A.()f x B.()f x - C. ()g x D.()g x -2.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.3.（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+4.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为( )A.1B.2C.-1D.-25.（2009福建卷理）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.6.曲线ln y x =上的点到直线3y x =+的最短距离为__________________.7.（11辽宁卷理10文12）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A. [0,4π) B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.3[,)4ππ【经典练习】1.（11江西理）若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为（ ）A ．(,)0+∞B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(,)2+∞ D ．(,)-102.（11江西卷文4）若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ） A ．4- B ．2- C ．2D ．43.设曲线2ax y =在点(),a 1处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A.1B.12C.12- D.1- 4.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A.1B.2C.3D.45.曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.19 B.29 C.13 D.236.曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是___________.7.过点(1,2)P -且与曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程是_________.8.已知()23f =，()24f '=,则()()022246limx f x f x x→-++-=___________________.9.已知直线22y x =-为曲线()3f x x ax =-的一条切线，则a =_____________________.第二讲 导数的应用（一）【知识要点】1.求曲线的切线方程.2.求单调区间.3.求函数的极值（或函数最值）.【典型例题】1.已知曲线3:2S y x x =-.（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程； （2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．2.设函数321()313f x x x x =--+ （1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间[]55-，上的值域.3.设函数2()ln(23)f x x x =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.4．已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0.（1）求直线l 的方程及()g x 的解析式；（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.5.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围.6.设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4. （1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围.7．设0t ≠, 点(,0)P t 是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P 处有相同的切线. (1) 用t 表示,,a b c ；(2) 若函数()()y f x g x =-在)3,1( -上单调递减，求t 的取值范围.【经典练习】1.如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）2.在下列结论中，正确的结论有（ ）①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数； ③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调的，则原函数也是单调的． A.0个B.2个C.3个D.4个3.函数4282y x x =-+在[]1,3-上的最大值为（ ） A ．11 B ．2 C ．12 D.104.曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.294eB.22eC.2eD.22e5.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值， 则a =（ ） A.2B.3C.4D.56.设函数3443)(x x x f -=，则下列结论中，正确的是（ ）A.)(x f 有一个极大值点和一个极小值点B.)(x f 只有一个极大值点C.)(x f 只有一个极小值点D.)(x f 有两个极小值点7.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是______________.8.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是_________.9.曲线3()1f x x x =-+过点P (1,1)的切线方程为__________________________.10.已知()21f x x ax =+-在[)1,+∞上为减函数，则a 的取值范围为_________________.第三讲 导数的应用（二）【典型例题】1.恒成立问题.2.单调性问题.【典型例题】题型一：恒成立问题→最值问题→导数1.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （1）求()f x 的最小值()h t ；（2）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围.2.已知函数c bx x ax x f -+=44ln )(()0x >在1x =处取得极值c --3，其中,,a b c 为常数. （1）试确定,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若对任意0x >，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.题型二：单调性问题3.（2009安徽卷理）已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.4.（2009北京理）设函数()(0)kx f x xe k =≠. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.5.（全国一19）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．6.（11北京理18）已知函数2()()xkf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围.【经典练习】1.（辽宁卷6）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A.112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.[]10-，C.[]01，D.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ） A.)2,(-∞ B.()0,3 C. ()14， D.),2(+∞3.（2009福建卷理）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈()0+∞，，当12x x <时，都有()()12f x f x >的是（ ）A.()f x =1xB.()f x =2(1)x -C.()f x =xe D.()ln(1)f x x =+4．若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是（ ）A.0b >B.0b <C.0b ≤D.0b ≥5.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-26.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A.1-或25-64B.1-或214C.74-或25-64D.74-或77.函数32()1f x x ax bx =++-，当1x =时，有极值1，则函数32()g x x ax bx =++的单调减区间为 . 8．已知曲线313y x =上一点8(2,)3P ，则点P 处的切线方程是 ；过点P 的切线方程是 .第四讲 导数的应用（三）【典型例题】1.恒成立问题.2.单调性问题.【典型例题】题型一：恒成立问题(及不等式证明问题) 1.（安徽卷20）设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围.2.（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （1）用a 表示b ，并求b 的最大值； （2）求证：()()f x g x ≥（0x >）．题型二：单调性问题3.（10江西卷文17）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++. （1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.4．已知函数2()ln xf x ax x e=+-. （1）任取两个不等的正数121212()(),,0f x f x x x x x -<-恒成立，求：a 的取值范围；（2）当0a >时，求证：()0f x =没有实数解．5．（全国卷I ）设a 为实数，函数()()3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞都是增函数，求a 的取值范围.6.（10全国Ⅰ卷文21）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++.（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.7.（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．【经典练习】1.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x gx -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时有（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，2.已知)(),(x g x f 是定义在[],a b 上的函数，且()()f x g x ''>,则当a x b <<时,有（ ） A.()()f x g x > B.()()()()+f x g a g x f a >+ C.()()f x g x < D.()()()()+f x g a g x f a <+3.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时()()()()0,f x g x f x g x ''->且(3)0,f -=则不等式()/()0f x g x <的解集是（ ）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.)3,0()0,3(⋃-C.),3()3,(+∞⋃--∞D.)3,0()3,(⋃--∞ 4．方程5436151010x x x -++=的实数解的集合中（ ）A.至少有2个元素B. 至少有3个元素C.恰有1个元素D. 恰好有5个元素 5.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点6．设函数3()31f x ax x =-+，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为.第五讲 导数的应用（四）【典型例题】1.极值的存在性问题.2.图像的交点问题.【典型例题】题型一：极值的存在性问题1.函数()323f x x x x =--+的极值点的个数为 .2.函数()3f x x =的极值点的个数为 .3. 讨论函数()32113f x x ax x =+++极值点的个数.4.讨论函数f (x )=e x(x 2+ax +a +1)的极值点的个数.5．已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤.（1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．6.设函数2()ln()f x x a x =++.（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln 2e ．题型二：图像的交点问题7.已知方程331=0x x m ---.（1）若方程有一个解，求m 的范围； （2）若方程有两个解，求m 的范围； （3）若方程有三个解，求m 的范围.8.已知函数3'()31,()()5f x x ax g x f x ax =+-=--其中()f x '是()f x 的导函数. （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值， 都有()0g x <求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-(0m >)，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图像与直线3y =只有一个公共点.9．设函数ax x x x f +-=2331)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值. （1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.【经典练习】1.（广东卷7）设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ）A.3a >-B.3a <-C.13a >-D.13a <- 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3.（天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 D. 4个4.曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点外的切线方程为（ ）A.x y 1275=B.x y 250= C.x y 100= D.x y !50=5.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝_______________. 6.（湖北卷7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________________.a b x y )(x f y '=O第六讲 导数综合题1.已知()243123++-=x ax x x f . ⑴讨论()x f 的单调性； ⑵若()x f 在区间()4,1上单调递增，求a 的取值范围.2.已知函数()2223-++=cx bx x x f 的图象在与x 轴交点处的切线方程是105-=x y .⑴求函数()x f 的解析式； ⑵设函数()mx x f x g 31)(+=，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.3.设函数())1ln(2x a x x f ++=有两个极值点1x 、2x ，且12x x <,求a 的取值范围.4.已知函数()33123+++=x bx ax x f ,其中0a ≠. ⑴当b a ,满足什么条件时, ()x f 取得极值?⑵已知0>a ，且()x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围.5.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围.6.已知函数())(12323R x x ax x f ∈+-=，其中0>a . ⑴若1=a ，求曲线()x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；⑵若在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上，()0>x f 恒成立，求a 的取值范围.7.设函数()a x x x x f -+-=62923． ⑴对于任意实数x ，()m x f ≥'恒成立，求m 的最大值；⑵若方程()0=x f 有且仅有一个实根，求a 的取值范围．8.设函数()2)1()1ln(2---=x x x f ． ⑴求函数)(x f 的单调递增区间；⑵若关于x 的方程()032=--+a x x x f 在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．9.已知函数x x x f -=3)(．⑴求曲线)(x f y =在点))(,(t f t M 处的切线方程；⑵设0>a ，如果过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：)(a f b a <<-．第七讲 导数专题（一）【知识要点】1.证明不等式.2.恒成立问题.【典型例题】1.证明：)0(2112≥++≥x x x e x.2.设函数()()1ln 2++=x b x x f ，其中0≠b ． ⑴当21>b 时，判断函数()x f 在定义域上的单调性； ⑵求函数()x f 的极值点,并证明对任意的正整数n ，不等式321111ln n nn ->⎪⎭⎫ ⎝⎛+都成立．3.设()x x f ln =,()1-=mx x g .⑴若())(x g x f ≤恒成立，求m 的取值范围；⑵若*N n ∈且1>n ，求证:n nn ln 2123523222<-+++ .4.已知()x x x f ln =,()223+-+=x ax x x g . ⑴求函数()x f 的单调区间；⑵对一切的),0(+∞∈x ,()2)(2+'≤x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围.5.设函数()2)1(ax e x x f x --=. ⑴若21=a ，求()x f 的单调区间； ⑵若当0≥x 时()0≥x f ，求a 的取值范围.6.设函数()())1ln(1++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有()ax x f ≥成立，求实数a 的取值范围.第八讲 导数专题（二）【知识要点】双变量的不等式证明（或恒成立问题）.【典型例题】1.证明：当0>>n m 时，m n n m )1()1(+<+.2.已知函数()ln 12f x x mx =++.⑴()f x 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； ⑵当1m =-时，求函数()f x 的最大值；⑶当1m =且10a b ≥>≥时，证明：()()423f a f b a b-<<-.3.已知函数()1,ln )1(212>-+-=a x a ax x x f ，证明：若5<a ，则对任意1x ，),0(2+∞∈x ，21x x ≠，有1)()(2121->--x x x f x f .4.已知函数)()(23R b a b ax x x f ∈++-=，,若函数)(x f y =的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：33≤≤-a .5.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f . ⑴讨论函数)(x f 的单调性；⑵设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，1212()()4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.6．已知函数()()0≠++=x b xax x f ，其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性；⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 对1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求b 的取值范围.第九讲 定积分【知识要点】1．定积分概念设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110把区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上取任一点iξ),,2,1(n i =作和式x f I i ni n ∆=∑=)(1ξ（其中△x 为小区间长度），把∞→n 即0→∆x 时，和式n I 极限叫做函数 )(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作：⎰b adx x f )(，即⎰badx x f )(＝x f i ni n ∆∑=∞→)(lim 1ξ.2．定积分的性质①⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ②[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<).3．定积分求曲边梯形面积由三条直线x b a b x a x ),(,<==轴及一条曲线()()()0>=x f x f y 围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(若图形由曲线()()2211,x f y x f y ==（不妨设()())0(21≥≥x f x f ，及直线)(,b a b x a x <==围成，那么所求图形的面积=-=D MN C S S S 曲边梯形曲边梯形AM N B⎰⎰-bab adx x f dx x f )()(21. 【典型例题】例1．基本概念1.积分值为1的是（ ） A ．⎰1tdtB ．⎰+1)1(dx x C ．101dx ⎰D ．⎰1021dx2.[,]a a -上的连续偶函数，则 ()d aaf x x -=⎰（ ）A ．⎰-0)(adx x fB ．0C ．⎰-0)(2adx x f D ．⎰adx x f 0)(3.变速直线运动的物体的速度为2()1f t t =-，初始位置为10=x ，则它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置分别是 .4.设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分⎰1)(dx x f ，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …,和12,,N y y y …,，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数i N ，那么由随机模拟方案可得积分⎰10)(dx x f 的近似值为 .5.将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分是 ．6.由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．7.线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 例2.计算下列定积分的值 ⑴⎰--312)4(dx x x ； ⑵⎰-215)1(dx x ；⑶dx x x ⎰+20)sin (π； ⑷dx x ⎰-222cos ππ； ⑸dx xx x⎰+2sin cos 2cos π.例3.计算定积分： ⑴dx x ⎰-224； ⑵dx x x )2332(13-++⎰-.例4.求直线02=++y x 与抛物线x y 22-=所围成平面图形的面积.例5.设)(x f y =是二次函数,方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f . ⑴求)(x f y =的表达式；⑵求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；⑶若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.例 6.抛物线bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切，此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求max S ．*例7.求将抛物线x y =2和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积.【课堂练习】1.将和式的极限1123.......lim (0)p p p pp n n p n+→∞++++>表示成定积（ ） A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1( D ．dx n x p⎰10)( 2.dx x |4|112⎰--=（ ）A ．321 B ．322C ．323D ．325 3.已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A ．320gtB ．20gtC ．220gtD ．620gt4.曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（ ） A ．4B ．2C ．25D ．35.求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］D ．［0，1］6.如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.287.求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.第十讲 推理与证明【经典练习】1.如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第)2(≥n n 行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行)2(≥n )中第2个数是_______________．2.在平面几何中,有射影定理：“在ABC ∆中,AC AB ⊥, 点A 在BC 边上的射影为D ,有BC BD AB ⋅=2.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥BCD A -中,⊥AD 平面ABC ,点A 在底面BCD 上的射影为O ,则有 ．3.在直角三角形ABC 中有222AC BC AB +=,类比在三棱锥O ABC -中,若,,OA OB OC 两两垂直,则有 ． 4.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立．12234347745111411561625251665.若{}n a 为等差数列，则12...n a a a n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等差数列．类比上述性质，相应地：若{}()0n n b b >为等比数列，则 ．6.观察以下各等式:4360cos 30sin 60cos 30sin 22=++ ， 4350cos 20sin 50cos 20sin 22=++ ，4345cos 15sin 45cos 15sin 22=++ ，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．7.设233=+b a ，求证：2≤+b a ．8.设()b ax x x f ++=2，求证： ()1f 、()2f 、()3f 中至少有一个不小于21．9.已知()1,0,,∈c b a ，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不能都大于41．10.已知：四边形ABCD 中，对角线1==BD AC ，求证：四边形中至少有一条边不小于22．11.设1=++c b a ，1222=++c b a ，且c b a >>，求证：103c -<<.12.已知0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>abc ，求证：0,,>c b a .第十一讲 复数【知识要点】1.复数的基本概念：如复数为虚数，纯虚数的条件，复数的相等,共轭复数,复数的模.2.复数的四则运算法则.3.运算律 ⑴nm nmzz z +=⋅⑵mn n m z z =)(⑶),()(2121R n m z z z z nnn∈⋅=⋅ 4.几个重要的结论：⑴)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++ ⑵22||||z z z z ==⋅⑶若z 为虚数，则22||z z ≠【典型例题】1.基本训练 ⑴3353i i ii ++++ 的值是（ ）A.iB.i -C.1D.1- ⑵当21iz -=时，150100++z z 的值是( ) A.1 B.1- C. i D. i -⑶i i i i 212)1()31(63++-++--等于( )A.0B.1C.-1D.i ⑷设a 、b 、c 、R d ∈，若dic bia ++为实数，则( ) A.0≠+ad bc B.0≠-ad bc C.0=-ad bc D.0=+ad bc⑸=-+++-22)1(1)1(1i ii i （ ） A.i B.i - C.1 D.1-⑹=-+2005)11(ii （ ） A.i B.－i C.20052 D.－20052⑺满足条件|43|||i z +=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆 ⑻设y x ,为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则=+y x ． 2.已知C z ∈，求满足R zz ∈+1，且22=-z 的复数．3.在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2．4.已知复数i z i z +=-=θθsin ,cos 21，求21z z ⋅的最大值和最小值．5.当复数z 满足12=--i z ，求23z i ++的最值．【课堂练习】1.若复数21i z -=，则i z z+++150100的值为（ ）A.0B.1C.-1D.i 2.已知复数z 与i z 18)3(2+-均是纯虚数，则=z （ ） A ．i 3B ．i 3-C ．i 3±D ．i 23.已知复数z 满足i z i 3)33(=+，则=z （ ）A ．3322i －B. 3344i －C. 3322i ＋D.3344i ＋ 4.已知复数i t z i z +=+=21,43，且12z z ⋅是实数，则实数t =( )A.43B.34C.-34D.-435.虚数yi x +-)2(,其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，yx的取值范围是（ ）A. 33[,]33-B. 33[,0)(0,]33- C. [3,3]- D.[3,0)(0,3]-6.复数i 1i,321-=+=z z ，则211z z z ⋅==________________． 7.已知x 、y 为共轭复数且i xyi y x 643)(2-=-+,求x 、y ．第十二讲排列【知识要点】排列常见题型：1.特殊元素或特殊位置的优先考虑；2.相邻问题——————捆绑法；3.不相邻问题———----插空法；4.定序问题.【典型例题】1.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数(1)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(3)全体排成一行，男、女各不相邻；(4)全体排成一行，男生不能排在一起；(5)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.2．书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有多少种不同的放法？3．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为_______________.4.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__________.5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A.36种 B.42种 C.48种 D.54种6.有12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A.2283C AB.2686C AC.2286C A D.2285C A7.如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A.96 B.84 C.60 D.488.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）.9.某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种. 10.从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有___________个.11.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） A.288个 B.240个 C.144个D.126个12.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数， ⑴可组成多少个不同的四位数? ⑵可组成多少个四位偶数?13.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有多少个？1 2 3 4 5 D BCA 54613214.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） A.72 B.96 C.108 D.14415.将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） A.6种B.12种C.24种D.48种16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为)6,2,1( =i a i ，若11≠a ，33≠a ，55≠a ，531a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A.18B.30C.36D.4817.有两排座位,前排11个,后排12个,现安排甲、乙两人就座,且规定前排中间3个座位不能坐,且甲乙两人不能相邻,求不同的方法数.【课堂练习】1.高三（一）班要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） A.1800 B.3600 C.4320 D.50402. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A.36种 B.12种 C.18种 D.48种3.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）A.432B.288C.216D.1084.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A.300种 B.240 C.144种 D.96种5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A.8B.24C.48D.1206.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A.324 B.328 C.360 D.6487.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数有__________________个.1 2 3 3 1 2 231第十三讲组合【知识要点】一、排列常见题型：1.特殊元素或特殊位置的优先考虑；2.相邻问题——————捆绑法；3.不相邻问题———----插空法；4.定序问题.二、组合常见题型：1.平均分组；2.隔板法.三、排列组合解题思想-------------先分类，再分组，再排列.【典型例题】1.现有6本不同的书，按如下分配方式各有多少种分法⑴分成3组，分别为1本，2本，3本；⑵分别分给甲1本，乙2本，丙3本；(3)平均分成3组，每组2本；(4)平均分给3个人，每人2本；2.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（）A.140B.84C.70D.35A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定3.某校开设9门课程供学生选修，其中,,每位同学选修4门，共有种不同选修方案.4.有5本不同的书分给3个人，每人至少1本，不同的分法有种.5.有5本不同的书，要全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A.480B.240C.120D.966.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种7．将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数（ ） A.70B.140C.280D.8408.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数（ ） A.168B.96C.72D.1449.设集合{}5,4,3,2,1=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有 ( )种 A.50B.49C.48D.4710.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.11.有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出_______________张.12．将一四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种.13.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 _ 种不同的方法.14.马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有______________种不同的关灯方法.15.现有10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有___________种不同分配方案.16.某城市的交通道路如图，从城市的东南角A 到城市的西北角B ， 不经过十字道路维修处C ，最近的走法种数有_________________. 17. (1)求方程124321=+++x x x x 的正整数解有多少个？(2)方程124321=+++x x x x 的自然数解有多少个？B AC。

高二数学重要知识点归纳高二数学重要知识点归纳一、直线与圆:1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的.直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,就叫做直线的倾斜角。

当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0;2、斜率:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.过两点(_1,y1),(_2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(_2-_1),另外切线的斜率用求导的方法。

3、直线方程:⑴点斜式:直线过点斜率为,则直线方程为,⑵斜截式:直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为4、直线与直线的位置关系:(1)平行A1/A2=B1/B2注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程:.⑵圆的一般方程:注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长二、圆锥曲线方程:1、椭圆:①方程(a>b>0)注意还有一个;②定义:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③e=④长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c;a2=b2+c2;2、双曲线:①方程(a,b>0)注意还有一个;②定义:||PF1|-|PF2||=2a<2c;③e=;④实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c;渐进线或c2=a2+b23、抛物线:①方程y2=2p_注意还有三个,能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线_=-;③焦半径;焦点弦=_1+_2+p;4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式:三、直线、平面、简单几何体:1、学会三视图的分析:2、斜二测画法应注意的地方:(1)在已知图形中取互相垂直的轴O_、Oy。