北师大高二数学必修五40分钟课时作业：3-3-24基本不等式1证明不等式

§3 基本不等式3.1 基本不等式双基达标 (限时20分钟)1．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是 ( )．A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析 3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y 即x ＝y ＝52时取等号． 答案 D2．设a ＞0，b ＞0，下列不等式中，不正确的是 ( )．A ．a 2＋b 2≥2|ab | B. b a ＋a b≥2 C. b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D .1a ＋1b ≤1a ＋b解析 A 、B 显然正确；C 中b 2a ＋a 2b－(a ＋b ) ＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab ≥0， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ；D 中1a ＋1b －1a ＋b ＝(a ＋b )2－ab ab (a ＋b )＝a 2＋b 2＋ab ab (a ＋b )＞0，∴1a ＋1b ＞1a ＋b ，∴D 不正确．答案 D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析 ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，∴2(a 2＋b 2)＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥2.答案 C4．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．解析 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当 a ＝b ＝3时取等号．答案 [6，＋∞)5．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是________．解析 由基本不等式可知①④正确．答案 26．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 ∵ a ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2， b ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b 2， ∴ a ＋12＋ b ＋12≤34＋34＋12(a ＋b )＝2 (当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”)． 综合提高（限时25分钟）7．下列结论正确的是 ( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值 答案 B8．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③解析 ③显然合适．①中令a ＝23，b ＝23，②中a ＝b ＝1，④中a ＝－3，b ＝0，⑤中a ＝ －1，b ＝－4.答案 D9．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2 ＝4，即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴2a －b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案 m ＞n10．下列不等式的证明过程：(1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2 b a ·a b＝2； (2)若x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ；(3)若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2 |x |·4|y |； (4)若a ，b ∈R ，ab ＜0，则b a ＋a b＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－a b ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－b a ·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－2. 其中正确的序号是________．解析 ①②③都错在符号上．答案 ④ 11．设a ，h 分别为△ABC 的底边和高，且满足ah ＋4a ＋h ＝12，求△ABC 的面积S 的最大值． 解 因为a ，h ＞0，所以4a ＋h ≥24ah ＝4ah .所以由原式可得ah ＋4 ah ≤12，即(ah )2＋4ah －12≤0.所以－6≤ah ≤2，又ah ＞0，所以0＜ah ≤2，当4a ＝h 时，有a ＝1或a ＝－3(舍去)，即当a ＝1时，取等号，此时ah 有最大值2.所以当a ＝1，h ＝4时，S △ABC 的面积最大值为2.12．(创新拓展)求证：log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤a ＋b －1.证明 因为14a ＋14b ≥2 14a ·14b＝2·2－a ·2－b ＝2－(a ＋b －1)＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1，又因为y ＝log 0.5x 为减函数，所以log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤log 0.5⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1＝a ＋b －1， 当且仅当14a ＝14b ，得a ＝b 时，等号成立．。

§3基本不等式3．1基本不等式知识点一不等式[填一填]当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．[答一答]1．“当a＝b时，等号成立”“仅a＝b时，等号成立”的含义分别是什么？提示：它们的含义分别是“如果a＝b，那么a2＋b2＝2ab”，“如果a2＋b2＝2ab，那么a＝b”．知识点二 基本不等式[填一填](1)概念：如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2称为a ，b的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式．(2)文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)意义：①几何意义：半径不小于半弦．②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．[答一答]2．利用均值不等式求最值时应注意什么？提示：利用均值不等式求最值应注意以下3点：①a ，b 一定都是正数．②求积ab 的最大值时，应看和a ＋b 是否为定值；求和a ＋b 的最小值时，应看积ab 是否为定值．③看等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．基本不等式的几何解释如图所示，以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD＝ab .而圆的半径为a ＋b 2.显然，它大于或等于CD ，即a ＋b 2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．类型一 判断不等式成立【例1】 下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【思路探究】 要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正，二定，三相等”这三个条件．如果视作函数，则需研究函数的定义域和单调性．【解析】 A 中，当x >0时，由基本不等式可得x 2＋14≥2x ×12＝x ，当且仅当x ＝12时取等号，故A 不成立；B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0,1])，sin x ＋1sin x ≤－2(sin x ∈[－1,0))，故B不成立；C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故C成立；D中，显然1x2＋1∈(0,1](x∈R)，故D不成立．【答案】 C规律方法运用基本不等式判断所给的不等式是否成立，一般有两种处理途径：(1)在不违背基本不等式成立的条件下，进行合理的变形推导．(2)可以针对所给条件，结合基本不等式的使用条件，选取恰当的特殊值，举反例排除．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥2解析：由基本不等式知，只有D选项正确．类型二利用基本不等式比较大小【例2】已知a，b是正数，试比较21a＋1b与ab的大小．【思路探究】可先比较1a＋1b与2ab的大小，进而再比较21a＋1b与ab的大小．【解】∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥21ab>0，∴21a＋1b≤221ab＝ab，即21a＋1b≤ab(当a＝b时取“＝”)．规律方法(1)在应用基本不等式时，一定要注意条件是否满足，即a，b是否满足非负数．(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看．(3)在解题时，要注意不等式的一些性质的运用，如“若a≥b>0，则1a≤1b”等．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，比较m，n之间的大小关系．解：∵a>2，∴m＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4.又∵b≠0，∴2－b2<2，∴n<22＝4，∴m>n.类型三利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c>0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【思路探究】由条件中a，b，c>0及待证不等式的结构特征知，可以使用基本不等式先证a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，再用同向不等式相加即可．【证明】∵a，b，c>0，∴a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，∴a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．【例4】 已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．【思路探究】 由条件，将a 2＋b 2配方为(a －b )2的结构，再利用基本不等式即得证． 【证明】 ∵a >b ，∴a －b >0.∵ab ＝1，∴a 2＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab ＝(a －b )2＋2≥2(a －b )2×2＝22(a －b )，当且仅当(a －b )2＝2，即a －b ＝2时取等号．规律方法 利用基本不等式证明不等式分为两种题型：(1)无附加条件的不等式恒成立的证明．其解题思路是：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用基本不等式，要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，使之能够利用基本不等式并完成证明．条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．(1)求证：4a －3＋a ≥7(其中a >3)． (2)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证1a ＋1b ＋1c ≥9.证明：(1)4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3. ∵a >3，∴4a －3＋a －3＋3≥24a －3·(a －3)＋3＝7， 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号． (2)因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(a b ＋b a )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．——易错警示系列——基本不等式应用错误在使用基本不等式解决一些问题(求范围、最值等)时，尤其要注意“一正，二定，三相等”是否全部满足，否则很容易导致错误．【例5】 设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，则ax ＋by 的取值范围为________．【错解】 (－∞，2)【错解分析】 ax ＋by ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＝a 2＋x 2＋b 2＋y 22＝2，当且仅当a ＝x ，b ＝y 时等号成立，而此时a 2＋b 2＝x 2＋y 2与已知条件矛盾，故此种方法错误．【正解】 [－3，3]式子a b ＋b a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．解析：若ab >0，则a b ＋b a ≥2；若ab <0，则a b ＋b a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2.一、选择题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( C )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)．∴a 2＋b 2≥2.当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．故选C.2．已知x ，y ∈R ，下列不等关系中正确的是( A )A ．x 2＋y 2≥2|xy |B ．x 2＋y 2≤2|xy |C ．x 2＋y 2>2|xy |D ．x 2＋y 2<2|xy |解析：x 2＋y 2＝|x |2＋|y |2≥2|x ||y |＝2|xy |.当且仅当|x |＝|y |时等号成立．3．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D项正确．二、填空题4．已知a >1，b >1，则log a b ＋log b a ≥2.(填“≥”“＝”或“≤”)解析：log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ≥2. 5．若a ，b 是两个实数且a ＋2b ＝4，则2a ＋4b ≥8.(填“≥”“＝”或“≤”)解析：利用基本不等式得2a ＋22b ≥22a ×22b ＝8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

课时作业20 基本不等式时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式一定成立的是( B ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.2．给出下列推导过程：①∵x ，y >0，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中推导正确的有( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①虽然x ，y >0，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故①的推导是错误的．②由于a ∈R ，不符合基本不等式的使用条件，故②的推导是错误的．③由xy <0，知x y ，yx均为负数，但推导过程中，将其转变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ，即均为正数后再结合不等式性质推导，符合基本不等式的使用条件，故③的推导是正确的．3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则( B )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：∵a >b >1， ∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2.∵a ≠b ，∴“＝”不成立． 又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2，∴lga ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B.4．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a ·a <ab . ∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b .∴a <ab <a ＋b2<b .5．下列不等式一定成立的是( B ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2解析：A 项中，当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中，取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．6．下列命题：①x ＋1x≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错误，x <0时，x ＋1x是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．7．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( A ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( A )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b. 当且仅当a ＝b 时等号成立，又∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H . 二、填空题9．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是A ≥G .解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .10．若a ，b 是两个实数且a ＋3b ＝4，则3a ＋27b≥18.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式得：3a＋27b≥23a·27b＝23a·33b＝18. 11．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为P ≥Q . 解析：因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立． 三、解答题12．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·ab＝9. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝”号．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab. ∵a ＋b ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋2ab.又∵a ，b >0， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9. 13．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解：∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1， ∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12. ——能力提升类——14．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( B ) A.1ab ≥12 B.1a ＋1b≥1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≥14解析：由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab ≥1.又由1a 2＋b 2≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．15．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a－1＝b ＋c a ≥2bca>0. 同理，1b－1≥2ac b>0，1c－1≥2ab c>0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ≥8bc ac ababc＝8.。

课时作业20 基本不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】 由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q【答案】 B【解析】 ∵a >b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b 2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4， 当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【答案】 B【解析】 ∵0<a <b ，∴a ·a <ab .∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b 2<b . ∴a <ab <a ＋b2<b .6．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ×b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】 选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0， 则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0， 则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________． 【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________． 【答案】 [2，＋∞) 【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】 由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ， 又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

[A 基础达标]1．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.2．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)． 即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 解析：选D.若a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2＜4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确． 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( )A ．s ＝p ＋q 2B ．s ≤p ＋q 2C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q 2解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2.故s ≤p ＋q 2.5．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为() A ．M ＜N ＜P B ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．P ＜N ＜M解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M .6．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．解析：因为a ＜1，即a －1＜0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1.答案：a ＋1a －1≤－17．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0.（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c 2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤a －c 2. 答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 28．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)． 解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ， 所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小． 解：因为f (x )＝a x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)． 因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，所以ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，所以12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]． 10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c－3＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 都是正数，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c≥2， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6.因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＞6， 所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. [B 能力提升]11．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，所以22x ＋y ≤1， 所以2x ＋y ≤14＝2－2， 所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．12．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 14．(选做题)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y对任意正实数x ，y 恒成立？证明你的结论．解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔ 3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．(2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔ 3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。

4o分钟课时作业不等式课时作业（28）二元一次不等式（组）与平面区域（二）一、选择题：每小题5分，共30分.x^O,1.不等式组卜+3y±4,.3x+y W4所表示的平面区域的面积等于3 A-22 B34C3D.|解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点/ 4)的坐标分别为|°，j，(°，4)，(1,1)，所以三角形的面积是s = * (4] 4X 4—恳X1/.C. 2 D・3答案：C兀+y— 1三0，2.在平面直角坐标系中，若不等式组＜x—1W0, （a为ax-y-V 1 三0常数）所表示的平面区域的面积等于2,则。

的值为（）A. —5 B・1解析：由题意，知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,设为△丽C,则4(1,0), 8(0,1), C(l,l+a)且 Q —1,因为Swc=2,所以办1+°)X1=2,解得a = 3.答案:DC. 2 D・3x —y^O,形，则a 的取值范围是（） A.。

諾 B. 0<^1 4 C. 1勺諾 D. 0GW1或。

考 解析：如图，直线x+y=O 从原点向右移动时，移动到（1，0） 时，再往右移，不等式组所表示的区域就不能构成三角形了.又 （2 2）3. 若不等式组 2x+y W2, 表示的平面区域是一个三角从点也，勺向右移动时，不等式组所表示的区域为整个阴影部分4的三角形.1或°2亍故选D.、答案：D4.若A为不等式组表示的平面区域.则当6/从一j—x<22连续变化到1时，动直线兀+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）3A.& B・ 17C.& D・ 2xWO,解析：在坐标平面内画出不等式组＜y2O, 所表示的平面y—x^2区域，可以看出是一个三角形区域(包括边界).其中三个顶点的坐标分别是O(0,0), C(-2,0), 3(0,2),再画出直线2与直线x+y=l.记直线x+y=l与y~x=2和y轴的交点分别为点(1 3)D, E.则点㊁，寸，E(0,l).结合图形可知，当a从一2连续变化到1时，动直线扫过A中那部分区域是四边形OCDE,因此所求区域的面积等于|x2X2-|x 答案：C7 =才5・已知O是坐标原点，点4（-1,1）.若点施,y）为平面区上的一个动点, 则力•页7的取值范围是（）A. [-1,0] C・[0,2]B. [0,1] D. [-1,2]解析：可行域如下图,2OC凤12)X=1x+y=2M 点落在△FBC 内.设M(JG y),令z=OA OM=~x+y,易得Zmax = ° + 2 = 2, Zmin= — 1 + 1=0,即Z U [0,2]，故选C・答案：C兀三0，6.若不等式组＜x+3y24, 所表示的平面区域被直线、3兀+応44尬+亍分为面积相等的两部分，则k的值是（）3D4解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y=kx+l只需要经过线段AB的中点°即可，此（\ G7时D点的坐标为I），代入即可解得£的值为亍4C33x+y=44答案：A4o；/ / y=kx+^二、填空题：每小题5分，共15分.7.在直角坐标平面上，不等式组”鼻尸'所表示的区IjyW -1乂 + 3域的面积为_________ ・答案：12x+y<4,8.已知点F(x,点O为坐标y)的坐标满足条件< 、兀三1、原点，那么IPOI的最小值为 _________ ,最大值为解析：作岀可行域如图所示，易得A(2,2), OA = 2血 B(l，3), OB=^id, C(l,l), OC=九故IOPI的最大值为训，最小值为边・答案：V10兀三0，9.若a^O, b20,且当＜歹三0,时，恒有ax+byWl,则/+応1以b为坐标的点b）所形成的平面区域的面积为解析:作出可行域，如图(1)所示,由ax+by^ 1恒成立知, 当兀=0时，byWl，恒成立，贝IJOWbWl.同理0\ 5(0,1)x+y=l⑴a=l因此，以(4 b)为坐标的点所形成的平面区域是一个正方形, 如图(2)所示，面积为1.答案：1解：如下图阴影部分所示.点(0,3)到直线y=x—\与直线y=\—x的距离分别为2辺, 血所以阴影部分的面积为4.11.已知区域D是以点4(4,1), 5(-1, -6), C(—3,2)为顶(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B, C分别在直线4x-3y~a = 0的异侧，求a的取值范围.解：(1)用两点式求得直线AB, AC, BC的方程分别为：7x —5y—23 = 0, x+7y—11 =0,4x+y+10=0,因为原点(0,0)在区域D内，7x—5y—23 W0,所以表示区域D的不等式组为x+7y—11W0,、4x+y+10±0・⑵将B的坐标代入4x-3y~a,得14~a.将C的坐标代入4x—3y—a,得一18—a.根据题意，得(14—Q)(—18—°)V0.解得一18V Q V14.12.若直线y=kx~\~ 1 与圆x2~\~y2+Ax+my—4 = 0 相交于F, Q两点，且P, 0关于直线x+y=0对称，则不等式组kx—y+120,< kx-my^0,表示的平面区域的面积是多少？沙0解：P, Q关于直线x+y=0对称，故直线PQ与直线x+y =0垂直，直线P0即是直线y=kx+\,故k=\.又线段P0为圆x2-\-y2-\-kx-\-my—4 = 0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即在直线x+y=O上，又圆心为一y —㊁/. m = 一k=一1,x~y-\-1 三0，・•・不等式组为＜x+yWO,它表示的区域如图所示,x-^+l=O。