反比例函数知识点及题型归纳(培优)练习题

九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案解析一、反比例函数1．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.2．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.3．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.4．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= = = ．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= == ．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tan∠DAC=tan75°= = = = ；方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB= = = ，sin∠BAC= ，即∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB•tan∠DAB= •（）= ，∴DC=DB﹣BC= = ．答：这座电视塔CD的高度为（）米（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C 作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．对于，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF= ，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），则有：，解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为．联立：，消去y，得：，整理得：，∵△= ，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）．【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.5．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），∵F为AB的中点，∴F（6，2），又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，∴该函数的解析式为y= （x＞0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），∴，==== ，∴当k=12时，S有最大值．S最大=3【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面积．【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，∴2= ，解得x=3，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，点A到CD的距离为6﹣2=4，联立，解得（舍去），，∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．8．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

初三培优反比例函数辅导专题训练及答案一、反比例函数1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．4．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .5．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

专题11.31反比例函数（动点问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴负半轴上一个定点，点P 是函数6(0)y x x-=<上一个动点，PB y ⊥轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会()A ．先增后减B ．先减后增C ．逐渐减小D ．逐渐增大2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点．点P 是线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合），过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是（）A ．252B ．253C ．6D ．123．如图，已知A 、B 是反比例函数ky x=（0k >，0x <）图象上的两点，BC x ∥轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是()①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④5．图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(5,0)，点B 是函数6(0)y x x=>图象上的一个动点，过点B 作BC y ⊥轴交函数2(0)y x x=-<的图象于点C ，点D 在x 轴上（D在A 的左侧，且AD BC =，连接,AB CD ．有如下四个结论：①四边形ABCD 可能是菱形；②四边形ABCD 可能是正方形；③四边形ABCD 的周长是定值；④四边形ABCD 的面积是定值．所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．已知反比例函数y =2x和正比例函数y =12x 的图像交于点M ，N ，动点P (m ，0)在x轴上.若△PMN 为锐角三角形，则m 的取值为()A ．-2＜m m ≠0B ．m m ≠0C ．-52＜m ＜m ＜52D ．-2＜m ＜m ＜27．函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图，P 是k y x=的图象上一动点，PC ⊥x轴于点C ，交的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交k y x =的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，下列结论错误的是（）A ．△ODB 与△OCA 的面积相等B ．当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点C ．CA DBPA PB=D ．当四边形OCPD 为正方形时，四边形PAOB 的面积最大8．如图，已知动点P 在函数1(0)2y x x=>的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：1y x =-+交于点E ，F ，则AF BE ⋅的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．129．如图，在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象上有动点A ，连接OA ，y ＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B ，过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x的图象于点C ，过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx的图象于点D ，交x 轴点E ，连接AC ，OC ，BD ，OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1；②S △BOC ＝32；③S △CDF ＝316S △AOC ；④若BD ＝AO ，则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④10．函数4y x =和1y x =在第一象限内的图象如图，点P 是4y x=的图象上一动点PC x⊥轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ．给出如下结论：①ODB △与OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④13CA AP =．其中所有正确结论有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，点A 为反比例函数y ＝kx（k ＜0．x ＜0）图象上的动点，过点A 分别作x 轴，y 轴的平行线交反比例函数y ＝2x于点B 、点C ，若AB •AC ＝9，则k 的值为_____．12．如图，点P 是直线y ＝3上的动点，连接PO 并将PO 绕P 点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线6y x=（x ＞0）上时，点P 的横坐标所有可能值为_____．13．如图，已知点A 是双曲线3y x=在第一象限上的一动点，连接AO ，以OA 为一边作等腰直角三角形AOB （90AOB ∠=︒），点B 在第四象限，随着点A 的运动，点B 的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．14．如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．15．点A （1，3）是双曲线y k x =上一点，点C 是双曲线y kx=上动点，直线AC 交y 轴于点E ，交x 轴于点N ，直线AO 交另一支曲线于点B ，直线BC 分别交x 轴于点M ，交y 轴于点F ，则EF ＝_____．16．在直角坐标系中有过点(3,4)A 的反比例函数(0)k y x x=>，在x 轴上有一点(1,0)P ，在反比例函数图象上有一个动点Q ，以PQ 为一边作一个正方形PQRS ，当正方形PQRS 有两个顶点在坐标轴上时，点S 坐标为__________．17．如图，点P 是反比例函数()0ky x x=<的图象上的动点，点P 绕着定点()0,0O 顺时针旋转45°，得到一个新的点P '，过点P '作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，若OMP ' 的面积是12，则k 的值为______．18．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与版比例函数my x=（x ＞0）的图象交于点P （n ，2），与x 轴交于点A （－4，0），与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC ．（1）求反比例函数的解析式为_____________．（2）根据图象直接写出kx ＋b ＜mx的x 的取值范围为_____________．（3）点D 为反比例函数图象上使得四边形BCPD 为菱形的一点，点E 为y 轴上的动点，当|DE －PE |最大时，求点E 的坐标为_____________．三、解答题19．如图一次函数y kx b =+与反比例函数(0)my x x=>的图象交于(1,6)A ，(,2)B n 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求AOB 的面积．(3)根据图象直接写出mkx b x+>时,x 的取值范围;(4)已知点(0,5)P ,设点D 是坐标平面内一个动点,当点A ,B ,P ,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点D 的坐标.20．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()()1,4,4,A B n -两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接AO 并延长交双曲线于点C ，点D 为y 轴上一动点，点E 为直线AB 上一动点，连接,CD DE ，求当CD DE +最小时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接BD ，点M 为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，一次函数1y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象交于点(),1A n ，()1,B m -．(1)求函数ky x=的表达式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围；(3)点C 是反比例函数ky x=的图象上第一象限内的一个动点，当ABC 的面积等于ABO 的面积时，求C 点的坐标．22．如图，四边形AOBC 是菱形，点B 在x 的正半轴上，直线AB 交y 轴于点D 轴交x 轴于点B ，反比例函数()120y x x=-<的图象经过点(),4A m ．(1)求直线AB 的解析式(2)如图1，点P 是直线AB 上一动点，点M 是x 轴上一动点（点M 不与点O 点重合）．当PO PM +最小时，求点P 的坐标；(3)如图2，点N 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A -C -B 时停止，设点N 的运动时间为t秒， NDC的面积为S，求S与t的函数关系式．23．如图，一次函数112y x=+的图象与反比例函数()0ky xx=>的图象交于点(),3A a，与y轴交于点B．(1)求a，k的值；(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC AD=，连接CB．求ABC的面积；(3)以线段AB为对角线做正方形AEBF（如图），点G是线段BF（不与点B、F重合）上的一动点，M是EG的中点，MN EG⊥交AB于N，当点G在BF上运动时，请直接写出线段MN长度的取值范围．24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．解：过点P作PC⊥x轴于点C，∵点P在y=-6x（x＜0）∴矩形PBOC的面积为6设A的坐标为（a，0），P坐标（x，−6x）（x＜0），△APC的面积为S，当a＜x＜0时，∴AC=x-a，∴PC=-6 x∴△APC的面积为S=12（x-a）•6x-=-3（1-ax）∵a＜0，∴-a＞0，∴-ax在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴1-ax在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴-3（1-ax）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，∴S=S△APC+6∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，当x≤a时，∴AC=a-x，∴PC=-6 x∴△APC的面积为S=12（a-x）•6x-=-3（ax-1）∵a＜0，∴ax在x＜a随着x的增大而增大，∴ax-1在x＜a上随着x的增大而增大，∴-3（ax-1）在x＜a上随着x的增大而减小，∴S=6-S△APC∴S在x＜a上随着x的增大而增大，∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，故选D．【点拨】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高．2．A解：设反比例函数解析式为y =k x ，一次函数解析式为y =ax +b ，将点A （1，12）代入y =k x 中，得k =12，∴反比例函数解析式为y =12x，将点A （1，12）、B （6，2）代入y =ax +b 中，得1226a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得214a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y =﹣2x +14．设点P 的坐标为（m ，14﹣2m ），则S 四边形PMON =S 矩形OCPD ﹣S △OCM ﹣S △ODN =S 矩形OCPD ﹣|k |=m （14﹣2m ）﹣12=﹣2m 2+14m ﹣12=﹣2272m -（）+252，∴四边形PMON 面积的最大值是252．故选A ．点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S 四边形PMON 关于m 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．3．C【分析】根据点P 的位置，分①点P 在OA 上时，②点P 在反比例函数图象AB 段时，③点P 在BC 段，表示出四边形OMPN 的面积，最后判断出函数图象即可得解．解：①当点P 在OA 上运动时，OP t =，•cos sin S OM PM t t αα==⨯，α角度固定，因此S 是以y 轴为对称轴的二次函数，开口向上；②当点P 在AB 上运动时，设P 点坐标为(),x y ，则S xy k ==，为定值，故B 、D 选项错误；③当点P 在BC 上运动时，S 随t 的增大而逐渐减小，故A 选项错误．故选：C ．【点拨】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P 在O →A 、A →B 、B →C 三段位置时四边形OMPN 的面积计算方式．4．B【分析】①显然AO 与BO 不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，12a），A（12b，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．解：①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，∵S△BOE=S△AOF=12k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，∵S△AOP=12OA•PN，S△BOP=12BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，∴PM=PN，∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；④设P（a，b），则B（a，12a），A（12b，b），∵S△BOP=12BP•EO=112·2b aa⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=4，∴ab=4，∴S△ABP=12AP•BP=11212·2b aa b⎛⎫⎛⎫⨯--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8，故④错误，综上，正确的为②③，故选B．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．5．D【分析】根据题意可知AD BC ∥，结合=AD BC ，可知四边形ABCD 是平行四边形，设B 点坐标为6(,)a a ，则C 点坐标为(63a a -,，即可求出BC =43a ，利用勾股定理可得AB =AB ⊥AD ，即有a =5，求出B 点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，过B 点作BF ⊥x 轴于F 点，将四边形ABCD 的面积转化为四边形BCEF 的面积，即可判断．解：：∵BC ⊥y 轴，∴AD BC ∥，∵=AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，设点B 点坐标为6(,)a a，则C 点坐标为(6)3a a -,，结合A 点坐标为(5,0)，∴BC =433a a a +=，AB =①当a =5时，BC =203，AB =65，此时AB ＜BC ，当a =1时，BC =43，AB =AB ＞BC ，随着a 值的变化，显然存在AB =BC 的情况，则平行四边形ABCD 可能是菱形，故①正确；②若平行四边形ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ，此时A 、B 的横坐标相等，∴a =5，此时BC =203，AB =65，AB ≠BC ，故平行四边形ABCD 不可能是正方形，故②错误；③∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 的周长为：2(AB +BC )，当a =5时，BC =203，AB =65，周长为：2(AB +BC )=23615，当a =1时，BC =43，AB =周长为2(AB +BC )=83+，显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；④过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，过B 点作BF ⊥x 轴于F点，如图，则有四边形ABCD 的面积转化为四边形BCEF 的面积，∴ABCD BCEF S S BC BF ==⨯四边形四边形，∵43BC a =，6B a BF y ==，∴4683ABCD BCEF a S S BC BF a ==⨯=⨯=四边形四边形，故面积为定值，故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．6．C【分析】将两个函数联立求解可确定点M 、N 的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围．解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组122y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即122x x =，解得12x =，22x =-，假设M (2,1)，N (-2,-1)，当222PM PN MN +>时，∵()2221PM m =-+，()2221PN m =++，()()222221120MN =+++=，∴()()22212120m m -++++>，∴>mm <，当222PN MN PM +>时，()()22212021m m +++>-+,∴52m >-，当222PM MN PN +>时，()()22212021m m -++>++,∴52m <，综上，52m -<<52m <<．故选C【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．7．D【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是反比例函数k 的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案解：A 、由于点A 和点D 均在同一个反比例函数1y x =的图象上，所以12ODB S = ，12OCA S = ，故ODB △和OCA 的面积相等，故本选项正确；B 、如图，连接OP ，则2ODP OCP k S S == ， A 是PC 的中点，OAP S ∴= 1224OAC k k S =⨯= ，ODB S = 4OCA k S = ，4OBP ODP ODB k S S S ∴=-=，即4OBP ODB k S S == ，∴B 一定是PD 的中点，故本选项正确；C 、设,k P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,m k B k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,,k m m CA PA DB PB m m m m k k ∴==-==-，故1111CA m k PA k m m ==--，11mDB k m PB k m k==--，∴=CA DB PA PB ，故本选项正确；D 、由于矩形OCPD 、三角形ODB 、三角形OCA 的面积为定值，所以四边形PAOB 的面积不会发生变化，故本选项错误；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数综合题，关键是设P 点坐标，利用点与点的坐标关系以及反比例函数的性质表现相关线段的长，要对每一个结论进行判断．8．C【分析】由于P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，那么N 的坐标和M 点的坐标都可以a 表示，那么BN 、NF 的长度也可以用a 表示，接着F 点、E 点的也可以a 表示，然后利用勾股定理可以分别用a 表示AF ，BE ，最后即可求出AF BE ⋅．解：作FG x ⊥轴，P 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，N ∴的坐标为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 点的坐标为(),0a ，112BN a ∴=-，在直角三角形BNF 中，45(1NBF OB OA ∠=︒==，三角形OAB 是等腰直角三角形)，112NF BN a∴==-，F ∴点的坐标为111,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得出E 点的坐标为(),1a a -，2222111(11)()222AF a a a ∴=-++=，2222()()2BE a a a =+-=，22221212AF BE a a∴⋅=⋅=，即1AF BE ⋅=．故选C ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P 坐标，来确定E 、F 两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．9．D 【分析】设4(,A m m ，则OA 的中点B 为1(2m ，2m，即可求得1k =，即可判断①；表示出C 的坐标，即可表示出BC ，求得1323222BOC m S m ∆=⨯⨯=，即可判断②；计算出916CDF S ∆=，3AOC S ∆=，即可求得316CDF AOC S S ∆∆=，即可判断③；先证F 是BD 的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出2BFO CBD BCO COE ∠=∠+∠=∠，根据等腰三角形的性质得出AOC BFO ∠=∠，从而得到2AOC COE ∠=∠，即可判断④．解： 动点A 在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，∴设4(,)A m m，OA ∴的中点B 为1(2m ，2)m ，(0)k y x x => 的图象经过点B ，1212k m m∴=⋅=，故①正确； 过点B 作//BC x 轴交函数4y x =的图象于点C ，C ∴的纵坐标2y m=，把2y m =代入4y x=得，2x m =，2(2,)C m m ∴，13222m BC m m ∴=-=，1323222BOC m S m ∆∴=⨯⨯=，故②正确；如图，过点A 作AM x ⊥轴于M．4(,)A m m ，1(2B m ，2m ，2(2,)C m m ， 过点C 作//CE y 轴交函数k y x=的图象于点D ，交x 轴点E ，1(2,2D m m ∴，∴直线OC 的解析式为21y x m =，直线BD 的解析式为2152y x m m=-+，由221152y x m y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得5454x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，5(4F m ∴，5)4m ，12159()(2)22416CDF S m m m m ∆∴=--=，AOC AOM COE AMEC AMEC S S S S S ∆∆∆=+-= 梯形梯形，142()(2)32AOC S m m m m ∆∴=+-=，316CDF AOC S S ∆∆∴=，故③正确；1(2B m ，2m ，1(2,)2D m m ，5(4F m ，54m，F ∴是BD 的中点，CF BF ∴=，CBD OCB ∴∠=∠，//BC x 轴，COE BCO ∴∠=∠，2BFO CBD BCO COE ∴∠=∠+∠=∠，若BD AO =，则OB BF =，AOC BFO ∴∠=∠，2AOC COE ∴∠=∠．故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．10．C【分析】由于A B 、是反比函数1y x =上的点，可得出12OBD OAC S S ==△△故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA PB ＝，故②错误；根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形PAOB 的面积为定值，故③正确；连接PO ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．解：∵A B 、是反比函数1y x=上的点，12OBD OAC S S ==△△，故①正确；∵由图的直观性可知，P 点至上而下运动时，PB 在逐渐增大，而PA 在逐渐减小，只有当P 的横纵坐标相等时PA PB ＝，故②错误；∵P 是4y x=的图像上一动点，∴矩形PDOC 的面积为4，∴114322ODB OAC PDOC PAOB S S S S =----= 矩形四边形＝，故③正确；连接OP，∴2412POC OAC S PC S AC ===△△，∴1344AC PC PA PC ==，，∴3PA AC=，∴13AC AP =，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C ．【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k 的几何意义是解答此题的关键．11．﹣1或﹣4．【分析】根据反比例函数y ＝k x 解析式设点A 的坐标为（m ，k m ），根据点A 、B 、C 的关系及反比例函数y ＝2x ，求得B （2m k ，k m ），C （m ，2m ），根据题意列方程即可得到结论．解：设点A 的坐标为（m ，k m ），∵过点A 分别作x 轴，y 轴的平行线，交反比例函数y ＝2x 于点B 、点C ，∴B （2m k ，k m ），C （m ，2m ），∴AB ＝2m k −m ，AC ＝k m −2m ，∵AB ∙AC ＝9，∴（2m k−m ）（k m −2m ）＝9，∴k ＝−1或k ＝−4，故答案为：−1或−4．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出关于k 的等式是解题的关键．12．【分析】分点P 在由在y 轴的左侧和点P 在y 轴的右侧两种情况求解即可.解：当点P 在由在y 轴的左侧时，如图1，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过点O′作O′N 垂直于直线y=3于点N，∵∠OPN+∠NP O′=90°，∠P O′N+∠NP O′=90°，∴∠OPN=∠P O′N ，∵直线y=3与x 轴平行，∴∠POM=∠O P N ，∴∠POM=∠P O′N ，在△POM 和△P O′N 中，90POM PO N PMO PNO PO PO ∠=∠'⎧⎪∠=∠'=︒⎨⎪='⎩，∴△POM ≌△P O′N ，∴OM=O′N ，PM=PN ，设点P 的横坐标为t ，则OM=O′N=-t ，PM=PN=3，∴GN=3+t ，∴点O′的坐标为（3+t ，3-t ），∵点O′在双曲线6y x=（x ＞0）上，∴（3+t ）（3-t ）=6，解得，∴点P 的横坐标为当点P 在由在y 轴的右侧时，如图2，过点O′作O′H 垂直于直线y=3于点H ，类比图1的方法易求点P如图3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，过点O′作O′F 垂直于直线y=3于点F ，类比图1的方法易求点P综上，点P 的横坐标为故答案为【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键，解决问题时要考虑全面，不要漏解.13．3y x=-．【分析】设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x =≠，分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于点E ，由全等三角形的判定定理可知△AOD ≌△OBE （ASA ），故可得出OE BE AD OD ⋅=-⋅，即可求得k 的值．解：设点B 所在的反比例函数解析式为()0k y k x=≠，分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于点E ，如图：∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°，∴∠OAD=∠BOE ，同理可得∠AOD=∠OBE ，在△AOD 和△OBE 中，OAD BOE OA OB AOD OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ≌△OBE （ASA ），∵点B 在第四象限，∴OE BE AD OD ⋅=-⋅，即3k x x x x⋅=-⋅，解得3k =-，∴反比例函数的解析式为：3y x=-．故答案为3y x =-．【点拨】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．14．y=﹣8x．【分析】连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，8a ），得出OD=AE=8a，CD=OE=a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，CDO OEA DCO EOACO OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，8a），则OD=AE=8a，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣8a，a），∵﹣8aa∙=﹣8，∴点C在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8 x．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．15．6【分析】设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入求得y＝3x，再求出反比例函数的解析式为y3x=，设C（n，3n），求出直线AC的解析式为y3n=-x33nn++，得到点E（0，33nn+），求出直线BC的解析式为y3n=x33nn-+，得到F（0，33nn-），即可求出答案．解：∵直线AO与反比例函数的图象交于A，B两点，∴设AO的解析式为y＝mx（m≠0），将A（1，3）代入得，3＝m，∴AO的解析式为y＝3x∴B（﹣1，﹣3）∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y 3x =．设C （n ，3n ），直线AC 的解析式为y ＝k 1x+b 1，将A （1，3），C （n ，3n ）代入得：11113k b 3k n b n=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：113k n 33n b n ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为y 3n =-x 33n n++；设直线BC 的解析式为y ＝k 2x+b 2，将B （﹣1，﹣3），C （n ，3n ）代入得：22223k b 3k n b n-=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：223k n 33n b n ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为y 3n =x 33n n -+，∴E （0，33n n +），F （0，33n n -），∴EF 33n 33n n n+-=-=6，故答案为：6．【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数图象与坐标轴交点坐标，两点之间的距离，解题的关键是设点C 的坐标求出函数解析式解决问题．16．(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--【分析】利用待定系数法求出反比例函数表达式，再分情形画出图形分别求解即可解决问题．解： 反比例函数(0)k y x x=>，过点(3,4)A ，12k ∴=，①如图1中，四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，(1,0)P ，(1,12)Q ∴，12PQ ∴=，12PS ∴=，13OS ∴=，(13,0)S ∴．则当S 在负半轴时，(11,0)S -．②如图2中，四边形PQRS 是正方形，Q ∴、S 关于x 轴对称，设(1,)Q m m +代入12y x=中，(1)12m m +=，3m ∴=或4-（舍弃），(4,3)Q ∴，(4,3)S ∴-．③如图3中，作QE x ⊥轴于E ．四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，∠SPQ=90°，∴∠SPO+∠QPE=90°，又∠SPO+∠PSO=90°，∴∠QPE=∠PSO ，又∠POS=∠PEQ ，∴PQE SPO ∆≅∆（AAS ），1EQ OP ∴==，(12,1)Q ∴，11PE SO ∴==，(0,11)S ∴，④如图4中，作QE x ⊥轴于E ，QF y ⊥轴于F ．四边形PQRS 是正方形，∴PQ=RQ ，∠PQR=90°，∴∠FQR+∠FQP=90°，∠EQP+∠FQP=90°，∴∠FQR=∠EQP ，又∠QFR=∠QEP=90°，∴PQE RQF ∆≅∆（AAS ），QE QF ∴=，RF PE =，设(,)Q n n ，则Q ，(0R ∴，1)，设(,)S a b ，102+=1a ∴=-1b =，(1S ∴-1)．综上：点S 的坐标为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--，故答案为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)--．【点拨】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．17．-1【分析】过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M '垂直于二、四象限角平分线于点M ，可证得PNO P MO ' ≌，12PNO P MO S S '== ，再运用三角形面积公式即可求出答案．解：如图：过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M '垂直于二、四象限角平分线于点M ，90PNO P MO '∴∠=∠=︒，根据题意可知：45POP ∠='︒，OP OP '=，OM Q 是二、四象限角平分线，45MON ∴∠=︒，45MON POP ∴'∠=∠=︒，PON POM P OM POM ∴∠+∠=+∠'∠，PON P OM ∴∠='∠，在PNO 与P MO ' 中，PNO P MO PON P OM OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩()PNO P MO AAS '∴ ≌，12PNO P MO S S '∴== ，1122NO PN ∴⋅=，1NO PN ∴⋅=，设点P 的坐标为(x ,y )，NO x ∴=-，PN y =，1xy ∴-=，1xy =-，点P 是反比例函数()0k y x x=<的图象上的动点，1k xy ∴==-，故答案为：-1．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的系数k 与三角形面积的关系，作出辅助线证明三角形全等，从而得到三角形的面积是解决本题的关键．18．8y x =0＜x ＜4E(0,3)．【分析】(1)由AC BC =且CO AB ⊥，利用三线合一得到O 是AB 的中点，求出OB 的长，确定出B 坐标，从而得到P 点坐标，将P 坐标代入反比例解析式求出m 的值，即可确定出反比例解析式；(2)观察图象即可求解；(3)假设存在这样的D 点，是四边形BCPD 为菱形，根据菱形的特点得出D 点的坐标，进而求解．解：(1)∵AC BC =，CO AB ⊥，(4,0)A -，∴O 是AB 的中点，即4OA OB ==，∴(4,2)P ，(4,0)B ，将(4,2)P 代入反比例解析式得：8m =，即反比例解析式为8y m =，(2)观察图象可知：m kx b x<+时x 的取值范围为04x <<，(3)假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，连接DC 交PB 于F，如图所示：∵四边形BCPD 为菱形，∴4CF DF ==，∴8CD =，将8x =代入反比例函数8y x=，得1y =，∴D 点的坐标为(8,1)∴则反比例函数图象上存在点D ，是四边形BCPD 为菱形，此时D 坐标为(8,1)，延长DP 交y 轴于点E ，则点E 为所求，则DE PE PD -=为最大，设直线PD 的表达式为：y sx t =+，将点P 、D 的坐标代入上式得：2418s t s t=+⎧⎨=+⎩，解得：143s b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线PD 的表达式：134=-+y x ，令0x =，则3y =，故点(0,3)E ．【点拨】此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．19．(1)28y x =-+；6y x=；(2)8；(3)0x <或13x <<；(4)点D 的坐标为(2,1)或(4,3)或(2,9)-【分析】（1）将(1,6)A 代入(0)m y x x=>可得m ，将(1,6)A 和(3,2)B 代入y kx b =+可求出一次函数的解析式；（2）设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ，根据1122AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =-=⋅-⋅ 即可求AOB 的面积；（3）观察函数图象，利用数形结合思想即可求解；（4）分三种情况，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解．（1）解：(1,6)A ，(,2)B n 在反比例函数(0)m y x x=>的图象上，166m ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式是6y x=．26n ∴=，解得3n =，(3,2)B ∴， 一次函数y kx b =+与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于A 、B 两点．∴632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为28y x =-+；（2）解：设直线28y x =-+与x 轴相交于点C ，令0y =，得280x -+=，∴C 的坐标是(4,0)，∴4OC =，∴1111464282222AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯= ．（3）解：观察函数图象可知，当13x <<时，直线28y x =-+在(0)m y x x=>图象的上方，另外，当0x <时，直线28y x =-+在第二象限，m y x=在第三象限，因此直线28y x =-+在(0)m y x x =<图象的上方，综上可知，当m kx b x+>时，x 的取值范围为：0x <或13x <<；（4）解：当平行四边形ABDP 中PA 为边，PB 为对角线时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴0352(,)22E ++，即37(,)22E ，∴点D 的横坐标为32122⨯-=，纵坐标为72612⨯-=，∴点D 的坐标为(2,1)；当平行四边形ABDP 中PA ，PB 为边时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴1362(,)22E ++，即(2,4)E ，∴点D 的横坐标为2204⨯-=，纵坐标为2453⨯-=，∴点D 的坐标为(4,3)；当平行四边形ABDP 中PB 为边，PA 为对角线时，如下图所示，(0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B ∴0156(,)22E ++，即111(,)22E ，∴点D 的横坐标为12322⨯-=-，纵坐标为112292⨯-=，∴点D 的坐标为(2,9)-；综上，点D 的坐标为(2,1)或(4,3)或(2,9)-．【点拨】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．20．(1)一次函数的解析式为3y x =+；反比例函数解析式为4y x=；(2)()0,3-；(3)134141342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或134141342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,0-或()0,3-【分析】（1）根据点()1,4A 在反比例函数()220k y k x =≠的图象上，可求出反比例函数解析式为4y x =，从而得到点B 的坐标，再把点A 、B 的坐标代入一次函数()110y k x b k =+≠，即可求解；（2）作点C 关于y 轴的对称点G ，连接DG ，过点G 作FG AB ⊥于点F ，连接FG 交y 轴于点J ，设直线AB 交y 轴于点H ，交x 轴于点L ，则DG CD =，可得当点E 与点F 重合时，CD DE +最小，最小值为FG 的长，再根据双曲线的对称性可得点()1,4C --，从而得到点G 的坐标，再证得JKG 是等腰直角三角形，可得点F 与点L 重合，从而得到此时点D 与点J 重合，即可求解；（3）分两种情况讨论：当以BD 为边时，DN BM =，且,DN BM 互相平分；当以BD 为对角线时，MN BD =，且,MN BD 互相平分，即可求解．（1）解：∵点()1,4A 在反比例函数()220k y k x=≠的图象上，∴2144k =⨯=，∴反比例函数解析式为4y x =，把点()4,B n -代入得：414n ==--，∴点()4,1B --，把点()1,4A ，()4,1B --代入()110y k x b k =+≠得：11414k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为3y x =+；（2）解：如图，作点C 关于y 轴的对称点G ，连接DG ，过点G 作FG AB ⊥于点F ，连接FG 交y 轴于点J ，设直线AB 交y 轴于点H ，交x 轴于点L ，则DG CD =，∴CD DE DG DE FG +=+≥，即当点E 与点F 重合时，CD DE +最小，最小值为FG 的长，对于3y x =+，当0x =时，3y =，当0y =时，3x =-，∴3OL OH ==，∴45OHB ALO ∠=∠=︒，∵连接AO 并延长交双曲线于点C ，点()1,4A ，∴点()1,4C --，∴点()1,4G -，∴1,4KG OK ==，∵FG AB ⊥，∴45KJG HJF ∠=∠=︒，∴JKG 是等腰直角三角形，∴1JK KG ==，∴3OJ =，∴OH OJ =，∴点F 在HJ 的垂直平分线上，即点F 与点L 重合，∴此时点D 与点J 重合，∴当CD DE +最小时点D 的坐标为()0,3-；（3）解：设点4,M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N m n ，当以BD 为边时，DN BM =，且,DN BM 互相平分，即()()22220422413224341m a n a m n a a +-+⎧=⎪⎪⎪-+-+⎪=⎨⎪⎪⎛⎫+--=+++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，解得：3413432a m n ⎧=⎪⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩或3413432a m n ⎧=⎪⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，经检验：是原方程组的解，且符合题意，∴点N的坐标为13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；当以BD 为对角线时，MN BD =，且,MN BD 互相平分，即()()()2222422431224431a m n a a m n a +-⎧=⎪⎪⎪+--⎪=⎨⎪⎪⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，解得：130a m n =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或403a m n =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，经检验：是原方程组的解，且符合题意；∴点N 的坐标为()3,0-或()0,3-；综上所述，点N的坐标为13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13342⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,0-或()0,3-．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21．(1)2y x =；(2)10x -<<或2x >；(3)或()11【分析】（1）点(),1A n ，()1,B m -在一次函数上，求出,m n 的值，待定系数法求出ky x =。

11.1 反比例函数培优第二阶——拓展培优练1．（2022春·广东九年级课时练习）按如图所示的运算程序，能使输出y 值为3的是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =2．（2022·山东·九年级专题练习）下列数表中分别给出了变量y 与x 的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）已知点()1,P a 在反比例函数3y x =的图象上，则点P 关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()1,3--4．（2023春·上海·八年级专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．等边三角形的面积与边长成反比例B ．人的身高与体重成正比例C ．车在行驶中，速度与时间成反比例D ．面积为8平方厘米的长方形的长与宽成反比测 5．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（ ）A ．在21y x =+中，1y -与x 成正比B ．在11y x =+中，1y -与x 成反比C ．若3y x =，则x ，y 成正比D ．若0xy =，则x ，y 成反比6．（2023·陕西榆林·校考一模）已知()()1122A x y B x y ，、，都在6y x =的图像上，若122x x =-，则12y y 的值为_______．7．（2023春·上海·八年级专题练习）若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成_______关系．8．（2022秋·广西北海·九年级统考期中）已知函数()32k y k x-=-（k 为整数），当k 为_____时，y 是x 的反比例函数． 9．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：(1)观察表中数据，x ，y 满足什么关系式？并写出用x 表示y 的函数表达式；(2)若商场计划每天的销售利润为2000元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？。

专题11.25反比例函数（对称性问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，若双曲线(0)ky k x=>与它的一条对称轴y x =交于A 、B 两点，则线段AB 称为双曲线(0)k y k x =>的“对径”．若双曲线(0)ky k x=>的对径长是k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．2．如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①=；②阴影部分面积是（k 1+k 2）；③当∠AOC=90°时，|k 1|=|k 2|；④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①④3．如图，点A 与点B 关于原点对称，点C 在第四象限，∠ACB=90°．点D 是x 轴正半轴上一点，AC 平分∠BAD ，E 是AD 的中点，反比例函数ky x=（0k >）的图象经过点A,E ．若△ACE 的面积为6，则k 的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．124．已知某函数的图象C 与函数3y x=的图象关于直线2y =对称．下列命题：①图象C与函数3y x =的图象交于点3,22⎛⎫⎪⎝⎭；②点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象C 上；③图象C 上的点的纵坐标都小于4，④()11,A x y ，()22,B x y 是图象C 上任意两点，若12x x >，则12y y >．其中真命题是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．如图，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A （﹣2，2），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图象上，则t 的值是（）A ．5B ．2C ．42-D ．56．点()1,3-关于y 轴的对称点在反比例函数ky x=的图像上，下列说法不正确的是（）A ．y 随x 的增大而减小B ．点()1,3在该函数的图像上C ．当1x ≥时，03y <≤D ．该函数图像与直线y x =33337．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(0,3),(0,0),(4,0),(4,3)A O B C ，动点F 在边BC 上（不与B C 、重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若4k =，则OEF 的面积为163；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <<；④若2512DE EG ⋅=，则1k =．其中正确的命题个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知某函数的图象C 与函数3y x=的图象关于直线2y =对称下列命题：①图象C 与函数3y x =的图象交于点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；②1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象C 上；③图象C 上的点的纵坐标都小于4；④()11,A x y ，()22,B x y 是图象C 上任意两点，若12x x >，则12y y >，其中真命题是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①②③④9．如图，一次函数1y x =+和2y x =与反比例函数2y x=的交点分别为点A 、B 和C ，下列结论中，正确的个数是（）①点A 与点B 关于原点对称；②OA OC =；③点A 的坐标是(1,2)；④ABC ∆是直角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，矩形AOBC 的边3OA =，4OB =，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出以下命题：①若6k =，则OEF 的面积为92；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④若256DE EG ⋅=，则2k =；其中正确的命题个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知A 、B 两点为反比例函数()0ky k x=<的图像上的动点，他们关于y 轴的对称点恰好落在直线21y x m =++上，若点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y 且120x x +≠，则1212y y x x +=+________．12．如图反比例函数ky x=的图像经过点A ，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 是y 轴上一点，若ABC ∆的面积为2，则该反比例函数的解析式为_____________13．如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B (2，0)，∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为ky x=.在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是；（2）设P (t ，0)，当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知2CD =．若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，则点的Q 横坐标是_________．15．如图，P 是反比例函数12(0)y x x=>上的一个动点，过P 作PA x ⊥轴，PB y ⊥轴．（1）若矩形的对角线10AB =，则矩形OAPB 周长为________；（2）如图，点E 在BP 上，且2BE PE =，若E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在坐标轴上，连结,,AE AF EF ，则AEF △的面积为___________．16．如图，Rt △AOB 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴上，∠OAB =90°，反比例函数7y x=（0x >）的图象关于AO 所在的直线对称，且与AO 、AB 分别交于D 、E 两点，过点A 作AH ⊥OB 交x 轴于点H ，过点E 作EF //OB 交AH 于点G ，交AO 于点F ，则四边形OHGF 的面积为_________17．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(03)A ，、00O (，)、(40)B ，、(43)C ，，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ，给出下列命题：①若4k =，则OEF 的面积为163；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④若2512DE EG ⋅=，则2k =．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 与菱形GFED 关于点D 成中心对称，点C ，G 在x 轴的正半轴上，点A ，F 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，延长AB 交x 轴于点P （1，0），若∠APO ＝120°，则k 的值是_____________．三、解答题19．综合与探究如图1，反比例函数的图象8y x=-经过点A ，点A 的横坐标是－2，点A 关于坐标原点O 的对称点为点B ，作直线AB ．(1)判断点B 是否在反比例函数8y x=-的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点O 作直线交反比例函数8y x=-的图象于点C 和点D ，点C 的横坐标是4，顺次连接AD ，DB ，BC 和CA ．求证：四边形ACBD 是矩形；(3)已知点P 在x 轴的正半轴上运动，点Q 在平面内运动，当以点O ，B ，P 和Q 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P 的坐标．20．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与双曲线ky x=与相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)当25AB =k 的值；(2)点B 关于y 轴的对称点为C ，连接AC BC ，；①判断ABC 的形状，并说明理由；②当ABC 的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P ，连接AP BP ，，使PAB 的面积等于ABC 面积？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图，矩形ABCD 的面积为8，它的边CD 位于x 轴上．双曲线4y x=经过点A ，与矩形的边BC 交于点E ，点B 在双曲线4ky x+=上，连接AE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点О关于点C 对称，连接BF ，BG ．(1)求k 的值；(2)求BEF △的面积；(3)求证：四边形AFGB 为平行四边形．23．如图，直线y x m =-+与反比例函数ky x=的图象相交于点()2A n -，，与x 轴交于点()20B ，．(1)求m 和k 的值．(2)若点()P t t ，与点O 关于直线AB 对称，连接AP ．①求点P 的坐标；②若点M 在反比例函数ky x=的图象上，点N 在x 轴上，以点A P M N ，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点M 的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，菱形OABC 的点B 在y 轴上，点C 坐标为（12，5），双曲线ky x的图象经过点A ．(1)菱形OABC 的边长为____；(2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B 关于点O 的对称点为D 点，过D 作直线l 垂直于y 轴，点P 是直线l 上一个动点，点E 在双曲线上，当P 、E 、A 、B 四点构成平行四边形时，求点E 的坐标；②将点P 绕点A 逆时针旋转90°得点Q ，当点Q 落在双曲线上时，求点Q 的坐标．参考答案1．B【分析】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA ，由已知的对径长求出OA 的长，过A 作AM 垂直于x 轴，设A （a ，a ）且a>0，在直角三角形AOM 中，利用勾股定理列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出A 的坐标，将A 的坐标代入反比例解析式中，即可求出k 的值．解：过A 作AM ⊥x 轴，交x 轴于点M ，如图所示：设A (a ,a )，a >0，可得出AM =OM =a ，又∵双曲线的对径AB=，∴OA =OB=在Rt △AOM 中,根据勾股定理得：AM 2+OM 2=OA 2，则a 2+a 2=()2，解得：a =2或a =−2(舍去)，则A (2,2)，将x =2,y =2代入反比例解析式得：2=2k，解得：k =4故选B 2．D解：试题分析：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ．∵111··222ABCD CD OB AE OB S ==四边形，∴CD=AE ．由题意，易得四边形ONCD 与四边形OMAE 均为矩形，∴CD=ON ，AE=OM ，∴ON=OM ．∵，CN·ON=2k ，AM·OM=1k ∴12k AMCN k =，结论①正确．由题意1k ＞0，2k ＜0，∴阴影部分的面积为121211()()22k k k k +=-，∴结论②错误．当∠AOC=90°时，易得△CON ∽△OAM ，要使12k k =成立，则需△CON ≌△OAM ，而△CON 与△OAM 不一定全等，故结论③错误．若四边形OABC 为菱形，则OA=OC ，∵ON=OM ，∴Rt △ONC ≌Rt △OMA （HL ），∴1k =2k ，即1k =－2k ，∴两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，结论④正确．考点：反比例函数的性质、三角形全等．3．C【分析】过A 作,AF OD EG OD ⊥⊥,连接OC 、OE ，根据点A 与点B 关于原点对称，∠ACB=90°，AC 平分∠BAD 得出//AE OC ，从而得出三角形AEC 的面积与三角形AOE的面积相等，设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据E 是AD 的中点得出2,2k E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭得出三角形OAE 的面积等于四边形AFGE 的面积建立等量关系求解．解：过A 作,AF OD EG OD ⊥⊥,连接OC ，连接OE ：∵点A 与点B 关于原点对称，∠ACB=90°∴,OA OB OC OCA OAC==∠=∠又∵AC 平分∠BAD ∴OAC CAD =∠∠∴//AE OC ∴AEO AECS S ∆∆=设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据E 是AD 的中点得出:2,2k E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴1622AEO AFGE kk S S m m m ∆⎛⎫==+⨯⨯= ⎪⎝⎭四解得：8k =故答案选：C ．【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，有一定的难度．将三角形AEC 的面积转化与三角形AOE 的面积相等是解题关键．4．A【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y=2的对称点坐标在函数3y x=图象上，即可判定②正确；由3y x=上任意一点为(),x y ，则点(),x y 与2y =对称点的纵坐标为34x-可判断③错误；由关于2y =对称点性质可判断④不正确；解： 点3(2，2)是函数3y x =的图象的点，也是对称轴直线2y =上的点，∴点3(2，2)是图象C 与函数3y x =的图象交于点；∴①正确；点1(2，2)-关于2y =对称的点为点1(2，6)，1(2，6)在函数3y x =上，∴点1(2，2)-在图象C 上；∴②正确；3y x=中0y ≠，0x ≠，取3y x=上任意一点为(),x y ，则点(),x y 与2y =对称点的纵坐标为34x-；∴图象C 上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 关于2y =对称点为1(x ，14)y -，2(B x ，24)y -在函数3y x=上，1134y x ∴-=，2234y x -=，若120x x >>，则12y y >；若120x x >>或120x x >>，则12y y <；∴④不正确；故选A ．【点拨】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．5．A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A 点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-4x，且OB=AB=2，则可判断△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ ⊥OA 可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P ⊥y 轴，则点B 的坐标可表示为（-4t，t ），于是利用PB=PB′得t-2=|-4t |=4t，然后解方程可得到满足条件的t 的值．解：如图，∵点A 坐标为（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函数解析式为y=-4x，∵OB=AB=2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ ⊥OA ，∴∠OPQ=45°，∵点B 和点B′关于直线l 对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P ⊥y 轴，∴点B′的坐标为（-4t，t ），∵PB=PB′，∴t-2=|-4t |=4t，整理得t 2-2t-4=0，解得t1=1，（不符合题意，舍去），∴t 的值为1．故选A ．【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．6．A【分析】先确定对称点坐标为（-1，-3），将其代入反比例函数ky x=中求得k=3，得到函数解析式，根据函数的性质解答.解：点()1,3-关于y 轴的对称点坐标为（-1，-3），将（-1，-3）代入ky x=，得k=(1)(3)3-⨯-=，∴反比例函数解析式为3y x=，∵k=3>0，∴在每个象限内y 随着x 的增大而减小，故A 错误；当x=1时，y=3，故B 正确；当1x ≥时，03y <≤，故C 正确；解方程组3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故函数3y x=图像与直线y x =故D 正确，故选：A.【点拨】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题.7．D【分析】①若4k =，则计算163OEF S ∆=，故命题①正确；②如答图所示，若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点(4,3)C ，所以12k ≠，即可得出k 的范围；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式2512DE EG =，求出1k =，故命题④正确．解：命题①正确．理由如下：4k = ，4(3E ∴，3)，(4,1)F ，48433CE ∴=-=，312CF =-=．1111411843341222223223OEF AOE BOF CEF AOBC AOBC S S S S S S OA AE OB BF CE CF ∆∆∆∆∴=---=-⋅-⋅-⋅=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=矩形矩形，故①正确；命题②正确．理由如下：218k =，7(8E ∴，3)，21(4,)32F ，725488CE ∴=-=，217533232CF =-=．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则3EM =，78OM =；在线段BM 上取一点N ，使得258EN CE ==，连接NF ．在Rt EMN ∆中，由勾股定理得：78MN =，7794884BN OB OM MN ∴=--=--=．在Rt BFN ∆中，由勾股定理得：7532NF ==．NF CF ∴=，又EN CE = ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF 对称，故②正确；命题③正确．理由如下：由题意，点F 与点(4,3)C 不重合，所以4312k ≠⨯=，012k ∴<<，故③正确；命题④正确．理由如下：设12k m =，则(4,3)E m ，(4,3)F m ．设直线EF 的解析式为y ax b =+，则有4343ma b a b m +=⎧⎨+=⎩，解得3433a b m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，3334y x m ∴=-++．令0x =，得33y m =+，(0,33)D m ∴+；令0y =，得44x m =+，(44,0)G m ∴+．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则4OM AE m ==，3EM =．在Rt ADE ∆中，3AD OD OA m =-=，4AE m =，由勾股定理得：5DE m =；在Rt MEG ∆中，(44)44MG OG OM m m =-=+-=，3EM =，由勾股定理得：5EG =．25552512DE EG m m ∴=⨯==，解得112m =，121k m ∴==，故命题④正确．综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，故选：D．【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k 的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．8．A【分析】根据题意画出图形，①将32x =代入3y x =得2y =，从而可判断①正确；②令12x =时，16y =，即162⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于2y =时的对称点为122⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可判断②正确；③根据图形分析可得C 右侧图与x 轴间距离小于4，但y 轴左侧与x 轴距离大于4，从而可判断③错误；④由图像即可判断④错误．解：由图像C 与反比例函数3y x=关于2y =对称可得如下图，①当32x =时，2y =，故①正确；②当12x =时，16y =，即162⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于2y =时的对称点为122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故②正确；③如图：3y x=与2y =之间距离小于2，即C 与x 轴间距离小于4（C 右侧图），但y 轴左侧与x 轴距离大于4，故③错误；④当0x >时，12x x >，则124y y >>；当0x <时，12x x >，则124y y >>；∴当x 1＞0＞x 2时，y 2＞y 1故④错误．故答案为：A ．【点拨】本题考查了反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．9．D【分析】根据题意，由反比例函数的性质和一次函数的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后通过计算，分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，由22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，∴点A 为（1，2），点B 为（1-，2-），∴点A 与点B 关于原点对称；故①③正确；由21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，∴点C 为（2-，1-）；∴OA ==OC ==∴OA OC =，故②正确；∵AC ==，AB ==，BC =∵222=+，∴222AB AC BC =+，∴ABC ∆是直角三角形，故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理求两点间的长度，以及两直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．10．B【分析】①若6k =，则计算92OEF S = ，故命题①正确；②如答图所示，若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点()4,3C ，所以12k ≠，即可得出k 的范围；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式256DE EG ⋅=，求出1k =，故命题④错误．解：命题①正确．理由如下：6k =Q ，()2,3E ∴，34,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，422CE ∴=-=，33322CF =-=，111222OEF AOE BOF CEF AOBC AOBC S S S S S S OA AE OB BF CE CF∴=---=-⋅-⋅-⋅矩形矩形113139433242222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故①正确；命题②正确．理由如下：218k =，7,38E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，214,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，725488CE ∴=-=，217533232CF =-=．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则3EM =，78OM =；在线段BM 上取一点N ，使得258EN CE ==，连接NF ．在Rt EMN △中，由勾股定理得：78MN ==，7794884BN OB OM MN ∴=--=--=．在Rt BFN △中，由勾股定理得：7532NF =．NF CF ∴=，又EN CE = ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF 对称，故②正确；命题③错误．理由如下：由题意，点F 与点()4,3C 不重合，所以4312k ≠⨯=，012k ∴<<，故③错误；命题④错误．理由如下：设12k m =，则()4,3E m ，()4,3F m ．设直线EF 的解析式为y ax b =+，则有4343ma b a b m +=⎧⎨+=⎩，解得3433a b m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，3334y x m ∴=-++．令0x =，得33y m =+，()0,33D m ∴+；令0y =，得44x m =+，()44,0G m ∴+．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则4OM AE m ==，3EM =．在Rt ADE △中，3AD OD OA m =-=，4AE m =，由勾股定理得：5DE m =；在Rt MEG 中，()4444MG OG OM m m =-=+-=，3EM =，由勾股定理得：5EG =．25552512DE EG m m ∴⋅=⨯==，解得112m =，121k m ∴==，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②，共2个，故选：B．【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大．11．1【分析】设点11k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，关于y 轴得对称点11'(,)k A x x -，设点22(,)k B x x ，关于y 轴得对称点22’,k B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入21y x m =++，求出k ，再求1212y y x x ++即可．解：A 、B 两点为反比例函数()0ky k x=<的图像上，点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则点11k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，关于y 轴得对称点11'(,)k A x x -，设点22(,)k B x x ，关于y 轴得对称点22,k B x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭，把A ′、B ′坐标分别代入21y x m =++得，1121k x m x =-++和2221kx m x =-++，两式相减得，1212k kx x x x -=-+，解得12k x x =，则12y x =，21y x =122112121y y x x x x x x ++==++，故答案为1．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数知识，通过设坐标建立等量关系，表示出比例系数．12．2y x=-【分析】根据题意，设点A 为（x ，y ），则AB=2y ，由点C 在y 轴上，则△ABC 的AB 边上的高为x ，结合面积公式，即可求出k 的值.解：∵反比例函数ky x=的图像经过点A ，∴设点A 为（x ，y ），且点A 在第二象限，∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴AB=2y ，∵点C 在y 轴上，∴△ABC 的AB 边上的高为x ，∴1222S y x =⨯⨯=，∴2x y =g ，∵点A 在第二象限，则0x <，∴2x y xy =-=g ，∴2xy =-，即2k =-，∴反比例函数的解析式为：2y x =-.故答案为：2y x=-.【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的几何意义，能根据三角形的面积求出xy 的值是解此题的关键．13．（1）（4，0）；（2）4≤t ≤-t ≤－4【分析】（1）当点O′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，进一步解直角三角形AOB ，利用轴对称的现在解答即可；（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P 的坐标即可．解：（1）当点O´与点A 重合时，∵∠AOB=60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O´B´．AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形，∵B （2，0），∴BO=BP′=2，∴点P 的坐标是（4，0），（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°，∴OM=12t ，OO′=t ，过O′作O′N ⊥X 轴于N ，∠OO′N=30°，∴ON=12t ，NO′=2t ，∴O′（12tt ），根据对称性可知点P 在直线O′B′上，设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得1220tk b tk b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴y=①，∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，∴A （2，∴2，即x 2﹣tx+4=0③，b 2﹣4ac=t 2﹣4×1×4≥0，解得：t≥4，t≤﹣4．又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+12t ，当点B′为直线与双曲线的交点时，由③得，（x ﹣12t ）2﹣24t +4=0，代入，得（1+12t ﹣12t ）2﹣24t +4=0，解得而当线段O′B′与双曲线有交点时，t≥﹣综上所述，t 的取值范围是﹣4．【点拨】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．14．32【分析】过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP ＝2，G 是CD 的中点，所以P （2，D （3，0），E ，待定系数法求出DE 的解析式为y -，联立反比例函数与一次函数即可求点Q 的坐标．解：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∵P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD ＝2，∴BP ＝2，G 是CD 的中点，∴CG=1，CP=2，∴PG∴P （2∵P 在反比例函数ky x=上，∴k ＝∴y =∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,∴D （3，0），E （4设DE 的解析式为y ＝mx ＋b ，∴304m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y -，联立方程y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得32x ±=∵Q 点在第一象限，∴Q点横坐标为32，【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．15．4或163【分析】（1）设矩形OAPB 的两边为m 、n ，利用反比例函数k 的几何意义得到6mn =，再根据勾股定理得到22210m n +=，根据完全平分公式变形得到2()2100m n mn +-=，则可计算出m n +=OAPB 的周长；（2）当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在x 轴上，如图2，AB 与EF 相交于点Q ，利用三角形面积公式得到4ABE S ∆=，再根据对称轴的性质得AB 垂直平分EF ，EQ FQ =，接着证明FQ 垂直平分AB 得到BQ AQ =，所以122AQE ABE S S ∆∆==，则24AEF AQE S S ∆∆==；当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在y 轴上，如图3，证明四边形OAPB为正方形得到P，则可计算出83BEF S ∆=，而2AOE APE S S ∆∆==，于是得到163AEF S ∆=．解：（1）设矩形OAPB 的两边为m 、n ，则12mn =，矩形的对角线10AB =，22210m n ∴+=，2()2100m n mn ∴+-=，2()100212m n ∴+=+⨯，m n ∴+=，∴矩形OAPB 的周长为，故答案为；（2）当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在x 轴上，如图2，AB 与EF 相交于点Q ，矩形OAPB 的面积12=，而2BE PE =，4ABE S ∆∴=，点E 与点F 关于AB 对称，AB ∴垂直平分EF ，EQ FQ =，AE AF ∴=，AEF AFE ∴∠=∠，//PB OA ，AFE BEF ∴∠=∠，BEF AEF ∴∠=∠，FQ ∴垂直平分AB ，BQ AQ ∴=，122AQE ABE S S ∆∆∴==，24AEF AQE S S ∆∆∴==；当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在y 轴上，如图3，点E 与点F 关于AB 对称，BE BF ∴=，AB EF ⊥，BEF ∴∆为等腰直角三角形，AB ∴平分OBP ∠，∴四边形OAPB 为正方形，P ∴，BE BF ∴=1823BEF S ∆∴==，而2AOF APE S S ∆∆==，816122233AEF S ∆∴=---=，综上所述，AEF ∆的面积为4或163，故答案为4或163．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k 的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．16．72【分析】先根据反比例函数的性质可得直线AO 的解析式为y x =，从而可得45AOB ∠=︒，再根据等腰直角三角形的判定可得Rt AEF △是等腰直角三角形，从而可得AG EG FG ==，然后设点A 的坐标为(,)(0)A a a a >，点E 的坐标为7(,)(0)E b b b>，由此可得AG FG EG b a ===-，AH OH a ==，7AG AH GH a b =-=-，从而可得72a b b-=，最后利用Rt AOH 面积减去Rt AFG 面积即可得．解： 反比例函数7y x=的图象关于AO 所在的直线对称，∴直线AO 的解析式为y x =，45AOB ∴∠=︒，AH OB ⊥ ，//EF OB ，,45AH EF AFE AOB ∴⊥∠=∠=︒，Rt AEF ∴ 是等腰直角三角形，AG EG FG ∴==（等腰三角形的三线合一），设点A 的坐标为(,)(0)A a a a >，点E 的坐标为7(,)(0)E b b b>，AG FG EG b a ∴===-，AH OH a ==，7AG AH GH a b=-=-，7b a a b ∴-=-，即72a b b-=，则四边形OHGF 的面积为1122Rt AOH Rt AFG S S AH OH FG AG -=⋅-⋅ ，2211()22a b a =--，1(2)2b a b =-，72=，故答案为：72．【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰直角三角形的三线合一等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．17．①②【分析】①若k ＝4，则计算S △OEF ＝163，故命题①正确；②若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点C （4，3），所以k ≠12，故命题③错误；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式2512DE EG ⋅=，求出k ＝1，故命题④错误．解：命题①正确．理由如下：∵k ＝4，∴E （43，3），F （4，1），∴CE ＝4−43＝83，CF ＝3−1＝2．∴S △OEF ＝S 矩形AOBC −S △AOE −S △BOF −S △CEF＝S 矩形AOBC −12OA •AE −12OB •BF −12CE •CF ＝4×3−12×3×43−12×4×1−12×83×2＝12−2−2−83＝163，故命题①正确；命题②正确．理由如下：∵218=k ，∴E （78，3），F （4，2132），∴CE ＝4−78＝258，CF ＝3−2132＝7532．如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，则EM ＝3，OM ＝78；在线段BM 上取一点N ，使得EN ＝CE ＝258，连接NF ．在Rt △EMN 中，由勾股定理得：MN 2＝EN 2−EM 2=2225()38-，∴MN ＝78，∴BN ＝OB −OM −MN ＝4−78−78＝94．在Rt △BFN中，由勾股定理得：NF 2＝BN 2＋BF 2=22921432⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴NF ＝7532．∴NF ＝CF ，又EN ＝CE ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF 对称，故命题②正确；命题③错误．理由如下：由题意，得点F 与点C （4，3）不重合，所以k ≠4×3＝12，故命题③错误；命题④正确．理由如下：设k ＝12m ，则E （4m ，3），F （4，3m ）．设直线EF 的解析式为y ＝ax ＋b ，则4343ma b a b m ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得3433a b m ⎧-⎪⎨⎪+⎩＝＝，∴y ＝34-x ＋3m ＋3．令x ＝0，得y ＝3m ＋3，令y ＝0，得x ＝4m ＋4，∴D （0，3m ＋3），G （4m ＋4，0）．如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝AE ＝4m ，EM ＝3．在Rt △ADE 中，AD ＝OD −OA ＝3m ，AE ＝4m ，由勾股定理得：DE ＝5m ；在Rt △MEG 中，MG ＝OG −OM ＝（4m ＋4）−4m ＝4，EM ＝3，由勾股定理得：EG ＝5．∴DE •EG ＝5m ×5＝25m ＝2512，解得m ＝112，∴k ＝12m ＝1，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②，故答案为：①②．【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k 的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．18．【分析】连接AB 、BD 交于点N ，作BM x ⊥轴于点M ，设线段PM a =，得BM ，由菱形ABCD 和菱形GFED 关于点D 成中心对称结合120APO ∠=︒可得点A 和点F 的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求a ，最后求得k ．解：连接AB 、BD 交于点N ，作BM x ⊥轴于点M，设PM a =，120APO ∠=︒，BM ∴，2PB a =，菱形ABCD 和菱形GFED 关于点D 成中心对称，点C ，G 在x 轴的正半轴上，AC x ∴⊥轴，AB BC =，30PAC ∴∠=︒，60BAD =∴∠︒，60BCP ∴∠=︒，CM BN ND PM a ∴====，2AC BM ==，∴点(12A a +，)，(15)F a +，点A 和点F 在反比例函数图象上，(12)(15)a a ∴+=+，解得：0a =（舍)或1a =，(3A ∴，，3k ∴=⨯=故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质、含30︒角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点A 和点F 的坐标．19．(1)点B 在反比例函数8y x=-的图象上，理由见分析；(2)见分析；(3)()4,0，()和()5,0【分析】（1）求出点B 的坐标，判断即可；（2）证明OA =OB ，OC =OD ，推出四边形ADBC 是平行四边形，再证明AB =CD ，可得结论；（3）当四边形OBPQ 是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P 的坐标为(,0)m ，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．解：（1）结论：点B 在反比例函数8y x=-的图象上，理由如下：∵反比例函数8y x=-的图象经过点A ，点A 的横坐标是－2，∴把2x =-代入8y x=-中，得842y =-=-，∴点A 的坐标是()2,4-，∵点A 关于坐标原点O 的对称点为点B ，∴点B 的坐标是()2,4-，把2x =代入8y x=-中，得842y =-=-，∴点B 在反比例函数8y x=-的图象上；（2）证明：在反比例函数8y x=-中令x =4则y =-2，∵过坐标原点O 作直线交反比例函数8y x =-的图象于点C 和点D ，∴C ，D 关于原点对称，∴C （4，-2），D （-4，2），OC =OD ，∵A ，B 关于原点对称，∴OA =OB ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵∴AB =CD ，∴四边形ACBD 是矩形；（3）设点P 的坐标为(,0)m ，如图，当四边形OBP 1Q 1是菱形时，可得1OB OP =，∴022m +=，解得4m =，∴P 1()4,0；当四边形OBQ 2P 2是菱形时，可得2OB OP =，∴2OB OP =∴P 2()；当四边形OP 3BQ 3是菱形时，可得33OP BP =,∴m =，解得5m =，∴P 3()5,0，综上所述，满足条件的点P 的坐标分别为()4,0，()和()5,0．【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．20．(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见分析；(2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)-【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求得4(2,E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD =，设点A 的坐标为8(,m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB -=-，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为2y x =-，于是得到结论．（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，∴设点A 的坐标为8(,m m， 点C 关于直线AD 的对称点为点E ，AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，连接CE 交AD 于H ，如图所示：CH EH ∴=，AD x ⊥ 轴于D ，CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒，90CDO ADC ∴∠+∠=︒，CB CD = ，CBO CDO ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，CAD CDA ∴∠=∠，CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，4,H m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4(2,)E m m ∴，428m m⨯= ，∴点E 在这个反比例函数的图像上；（2）解：① 四边形ACDE 为正方形，AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，12CH AD ∴=，设点A 的坐标为8(,)m m ，CH m ∴=，8AD m=，182m m∴=⨯，2m ∴=（负值舍去），(2,4)A ∴，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨⎩，∴12k b =⎧⎨=⎩；②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：CB CD = ，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，PE PD PE PB ∴-=-，则点P 即为符合条件的点，由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，设直线DE 的解析式为y ax n =+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨⎩，解得12a n ==-⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =-，当0x =时，=2y -，即()0,2-，故当PE PB -最大时，点P 的坐标为(0,2)-．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．21．(1)2k =；(2)①ABC 为直角三角形，理由见分析；②点P 的坐标为(222-++，或(22242---，或()2224+-，或()22224---，．【分析】（1）设点B 的坐标为(2)m m ，，则点(2)A m m --，，则22(25)AB =，即可求解；（2）①点A 、C 的横坐标相同，AC y 轴，点B 关于y 轴的对称点为C ，故BC y ⊥轴，即可求解；②过点C 作直线m AB ，交反比例函数于点P ，则点P 符合题设要求，同样在AB 下方等间隔作直线n AB ∥交反比例函数于点P ，则点P 也符合要求，进而求解．（1）解：设点B 的坐标为(2)m m ，，则点(2)A m m --，，则：()()222222(25)AB m m m m =+++=，解得1m =（负值已舍去），故点B 的坐标为(12)，，将点B 的坐标代入反比例函数表达式得∶21k =，解得∶2k =；（2）解：①ABC 为直角三角形，理由∶设点(2)B m m ，，则点(2)(2)C m m A m m ---，，，，。

专题11.37反比例函数（中考真题专练）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．（2018·四川乐山·中考真题）如图，曲线C 2是双曲线C 1：y=6x（x ＞0）绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形，P 是曲线C 2上任意一点，点A 在直线l ：y=x 上，且PA=PO ，则△POA 的面积等于（）A B ．6C ．3D ．122．（2020·广西·统考中考真题）如图，点,A B 是直线y x =上的两点，过,A B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线()10y x x=>于点,C D ．若AC =，则223OD OC -的值为（）A ．5B ．C ．4D ．3．（2020·江苏常州·中考真题）如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，135,2ABD BD ADB S =∠=︒= ．若反比例函数()0k y x x =>的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（）A ．B ．4C ．D ．64．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（）A ．9B ．12C ．15D ．185．（2018·广东深圳·统考中考真题）如图，A 、B 是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是()①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④6．（2021·江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与双曲线()2k y k x =>相交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．设(),2M m 为双曲线()2k y k x=>上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于C ，D 两点，则OC OD -的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．（2019·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 点，D 点分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过矩形对角线的交点E ，若点A(2，0)，D(0，4)，则k 的值为（）A ．16B ．20C ．32D ．408．（2021·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOF S = ，则k 的值为（）A ．73B ．214C ．7D ．2129．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x =>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠= ，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥ ，，则n B （n 为正整数）的坐标是（）A ．B ．C ．D ．10．（2013·重庆·中考真题）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ．C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数()k y k 0x 0x=≠>，的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON=MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON=450，MN=2，则点C 的坐标为()01．其中正确的个数是【】A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．12．（2018·湖北孝感·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(1,1)-，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线6y x=上，过点C 作//CE x 轴交双曲线于点E ，连接BE ，则BCE ∆的面积为__________．13．（2021·四川阿坝·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象交于A ，B 两点，若点P 是第一象限内反比例函数图象上一点，且ABP 的面积是AOB 的面积的2倍，则点P 的横坐标．．．为________．14．（2020·浙江衢州·统考中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块含30°角的三角板EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，三角板的直角边EF 交BC 于点M ，反比例函数y =k x（x ＞0）的图象恰好经过点F ，M ．若直尺的宽CD =3，三角板的斜边FG =83，则k =_____．15．（2018·广东·统考中考真题）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=3xx ＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x 轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x 轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____．16．（2019·四川眉山·统考中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．17．（2019·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数()1k y k x x =>0,>0，()220k y x x =<的图象于点C 和点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，连结,OC OD .若COE ∆的面积与DOB ∆的面积相等，则k 的值是_____.18．（2021·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点a y x =与b y x =（a ＞b ＞0）在第一象限的图象分别为曲线C 1，C 2，点P 为曲线C 1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交C 2于点A ，作x 轴的垂线交C 2于点B ，则阴影部分的面积S △AOB ＝_______．（结果用a ，b 表示）19．（2021·浙江宁波·统考中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC △的面积为_________．三、解答题20．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，OAB 的顶点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图像上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且1AE =．（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若OAB 为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，其面积小于3．①求证：OAE BOF ≌△△；②把1212x x y y -+-称为()11,M x y ，()22,N x y 两点间的“ZJ 距离”，记为,()d M N ，求(,)(,)d A C d A B +的值．21．（2021·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0k y k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE V 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值．22．（2020·四川广元·统考中考真题）如图所示，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于(3,4), (,-1)A B n ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上存在一点C ，使AOC 为等腰三角形，求此时点C 的坐标；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．23．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x =在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN 面积的最小值．24．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．25．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．(1)求a ，k 的值；(2)直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接C B ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．参考答案1．B【分析】将双曲线逆时针旋转使得l 与y 轴重合，等腰三角形△PAO 的底边在y 轴上，应用反比例函数比例系数k 的性质解答问题．解：如图，将C 2及直线y=x 绕点O 逆时针旋转45°，则得到双曲线C 3，直线l 与y 轴重合．双曲线C 3，的解析式为y=-6x，过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，∵PA=PO ，∴B 为OA 中点．∴S △PAB =S △POB ，由反比例函数比例系数k 的性质，S △POB =3，∴△POA 的面积是6.故选B ．【点拨】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k 的几何意义．2．C【分析】设点A 的坐标为(a ，a )，则点C 的坐标为(1a ，a )，设点B 的坐标为(b ，b )，则点D 的坐标为(1b，b )，根据即可得到a ，b 的关系，然后利用勾股定理，即可用a ，b 表示出所求的式子从而求解．解：∵点A 、B 在直线y x =上，点C 、D 在双曲线1y x =上，∴设点A 的坐标为(a ，a )，则点C 的坐标为(1a ，a )，设点B 的坐标为(b ，b )，则点D 的坐标为(1b，b )，∴BD=1 b b -，AC=1a a -，∵，∴11 a b a b ⎫-=-⎪⎭，两边同时平方，得22113a b a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：222211232a b a b ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，由勾股定理知：2221OC a a =+，2221OD b b =+，∴()22232OC OD -=-，∴2234OD OC -=．故选：C ．【点拨】本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用得到a b ，的关系是解题的关键．3．D【分析】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F ，计算出AE 长度，证明BCD AOF ≅△△，得出AF 长度，设出点A 的坐标，表示出点D 的坐标，使用D D A A x y x y =，可计算出k 值．解：作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F∵135ADB ︒∠=∴45ADE ︒∠=∴ADE V 为等腰直角三角形∵2BD S ABD ==△∴122ABD S BD AE =⋅=△，即AE =∴DE=AE=∵BC=AO ，且//BC AO ，//CD OF∴BCD AOF∠=∠∴BCD AOF≅△△∴AF BD ==∴D y =设点A (m ，(D m -(m =-⋅解得：m =∴3226k =⨯=故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．4．C【分析】作'A H y ⊥轴于.H 证明AOB ≌()'BHA AAS ，推出OA BH =，'OB A H =，求出点'A 坐标，再利用中点坐标公式求出点D 坐标即可解决问题．解：作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS ' ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ，∴15k =．故选C ．【点拨】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．B【分析】①显然AO 与BO 不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P 作PM ⊥BO ，垂足为M ，过P 作PN ⊥AO ，垂足为N ，由已知可推导得出PM=PN ，继而可判断③正确；④设P （a ，b ），则B （a ，12a ），A （12b ，b ），根据S △BOP =4，可得ab=4，继而可判断④错误．解：①显然AO 与BO 不一定相等，故△AOP 与△BOP 不一定全等，故①错误；②延长BP ，交x 轴于点E ，延长AP ，交y 轴于点F ，∵AP//x 轴，BP//y 轴，∴四边形OEPF 是矩形，S △EOP =S △FOP ，∵S △BOE =S △AOF =12k=6，∴S △AOP =S △BOP ，故②正确；③过P 作PM ⊥BO ，垂足为M ，过P 作PN ⊥AO ，垂足为N ，∵S △AOP =12OA•PN ，S △BOP =12BO•PM ，S △AOP =S △BOP ，AO=BO ，∴PM=PN ，∴PO 平分∠AOB ，即OP 为∠AOB 的平分线，故③正确；④设P （a ，b ），则B （a ，12a），A （12b ，b ），∵S △BOP =12BP•EO=112·2b a a ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=4，∴ab=4，∴S △ABP =12AP•BP=11212·2b a a b ⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8，故④错误，综上，正确的为②③，故选B ．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k 的几何意义是解题的关键．6．B【分析】根据直线2y x =与双曲线()2k y k x=>相交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限求得222k A k ⎛ ⎝，2,22k B k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，再根据(),2M m 为双曲线()2k y k x =>上一点求得,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；根据点A 与点M 的坐标求得直线AM 解析式为222422k k y x k k k k -=+--进而求得222k k OC k k =-B 与点M 的坐标求得直线BM 解析式为22222kk y x k k k k -=+++2222k k k OD k k -=+OC OD -即可．解：∵直线2y x =与双曲线()2k y k x=>相交于A ，B 两点，∴联立可得：2,,y x k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得：11222k x y k ⎧⎪⎨⎪⎩．或22222k x y k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．∵点A 在第一象限，∴222k A k ⎛ ⎝，2,22k B k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝．∵(),2M m 为双曲线()2k y k x=>上一点，∴2k m =．解得：2k m =．∴,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设直线AM 的解析式为11y k x b =+，将点A ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：1111,2·,2k b k k b =⎨⎪=+⎪⎩解得：11k b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴直线AM的解析式为y x =．∵直线AM 与y 轴交于C 点，∴0C x =．∴0C y =+．∴C ⎛ ⎝．∵2k >，∴OC ==设直线BM 的解析式为22y k x b =+，将点B ⎛ ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：2222·,2·,2k b k k b ⎧⎛=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩解得：22k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BM的解析式为y x =．∵直线BM 与y 轴交于D 点，∴0D x =．∴0Dy=．∴D⎛⎝．∵2k>，∴OD==∴OC OD-=2k k k==22842k kk k-=-()22422k kk k-=-=4．故选：B．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．7．B【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（12x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入kyx=，利用待定系数法求出k.解：∵BD//x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）.∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.∴E为BD中点，∠DAB=90°.∴E（12x，4）∵∠DAB=90°，∴AD 2+AB 2=BD 2，∵A （2，0），D （0，4），B （x ，4），∴22+42+（x-2）2+42=x 2，解得x=10，∴E （5，4）.又∵反比例函数k y x=（k>0，x>0）的图象经过点E ，∴k=5×4=20；故选B.【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键.8．A【分析】延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，则可得△DEA ≌△AGO ，从而可得DE =AG ，AE =OG ，若设CE =a ，则DE =AG =4a ，AD =DC =DE +CE =5a ，由勾股定理得AE =OG =3a ，故可得点E 、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据EOF EOG FOH EGHF S S S S =+- 梯形，即可求得a 的值，从而可求得k 的值．解：如图，延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD 是菱形∴CD =AD =AB ，CD ∥AB∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD∴EG ⊥x 轴，∠D +∠DAE =90゜∵OA ⊥AD∴∠DAE +∠GAO =90゜∴∠GAO =∠D∵OA =OD∴△DEA ≌△AGO (AAS )∴DE =AG ，AE =OG设CE =a ，则DE =AG =4CE =4a ，AD =AB =DC =DE +CE =5a在Rt △AED 中，由勾股定理得：AE =3a∴OG =AE =3a ，GE =AG +AE =7a∴A （3a ,4a ），E (3a ,7a )∵AB ∥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴∴四边形AGHF 是矩形∴FH =AG =3a ，AF =GH∵E 点在双曲线()0k y x x=>上∴221k a =即221a y x=∵F 点在双曲线221a y x =上，且F 点的纵坐标为4a ∴214ax =即214aOH =∴94aGH OH OG =-=∵EOF EOG FOHEGHF S S S S =+- 梯形∴1191211137(74)4224248a a a a a a a ⨯⨯++⨯-⨯⨯=解得：219a =∴217212193k a ==⨯=故选：A ．【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA ≌△AGO ，从而求得E 、A 、F 三点的坐标．9．D【分析】先求出1A 的坐标，由题意容易得到11OA B ∆为等腰直角三角形，即可得到1OB ，然后过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H ，21A H B H x ==，通过反比例函数解析式可求出x ，从而能够得到2OB ，再同样求出3OB ，即可发现规律．解：联立1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1x =，∴1(1,1)A，1OA ，由题意可知11=45A OB ︒∠，∵111B A OA ⊥，∴11OA B ∆为等腰直角三角形，∴112OB ==，过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H ，则容易得到21A H B H =，设21A H B H x ==，则2(,2)A x x +，∴()21x x +=，解得11x =，21x =（舍），∴211A H B H ==，12122B B B H ==，∴222OB =-+=用同样方法可得到3OB =，因此可得到n OB =(0,n B 故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出n OB =10．C【分析】设正方形OABC 的边长为a ，通过△OCN ≌△OAM （SAS ）判定结论①正确，求出ON 和MN 不一定相等判定结论②错误，而MON ODN OAM DAMN DAMNS S S S S ∆∆∆=+-=四边形四边形可得结论③正确，列式求出C点的坐标为()01+可知结论④正确．解：设正方形OABC 的边长为a ，则A （a ，0），B （a ，a ），C （0，a ），M （a ，k a ），N （k a ，a ）．∵CN=AM=k a，OC=OA=a ，∠OCN=∠OAM=900，∴△OCN ≌△OAM （SAS ）．结论①正确．根据勾股定理，ON =，，∴ON 和MN 不一定相等．结论②错误．∵ODN OAM S S ∆∆=，∴MON ODN OAM DAMN DAMN S S S S S ∆∆∆=+-=四边形四边形．结论③正确．如图，过点O 作OH ⊥MN 于点H ，则∵△OCN ≌△OAM ，∴ON=OM ，∠CON=∠AOM ．∵∠MON=450，MN=2，∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．∴△OCN ≌△OHN （ASA ）．∴CN=HN=1．∴k 1k a a=⇒=．由2MN k =-得，()222222a 4a 2a a a 2a 10=-⇒=-⇒--=．解得：2a 12±==∴点C 的坐标为()01+．结论④正确．∴结论正确的为①③④3个．故选C ．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．11．4【分析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ．将C(3,4)代入2y x b =+可得b=-2，然后求得A 点坐标为(1,0)，证明△ABN ≌△BCM ，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A 点向上平移后落在4y x=上，即可求得a 的值.解：分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x=>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=，∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)，∴a=4，故答案为4.【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.12．7解：分析：作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B 作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．详解：如图，过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，设D（x，6 x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，易得△AGD≌△DHC≌△CMB，∴AG=DH=-x-1，∴DG=BM，∴1-6x=-1-x-6x，x=-2，∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-62=4，∵AG=DH=-1-x=1，∴点E的纵坐标为-4，当y=-4时，x=-3 2，∴E （-32，-4），∴EH=2-32=12，∴CE=CH-HE=4-12=72，∴S △CEB =12CE•BM=12×72×4=7.故答案为7．点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．13．2或32-．【分析】分两种情况讨论，（1）当点P 在AB 下方时，作//l AB ，使点O 到直线AB 和到直线l 的距离相等；（2）当点P 在AB 上方时，作//l AB ，使点O 到直线AB 的距离的2倍，是到点O 到直线l 的距离，再分别求得直线AB 与x 轴的交点坐标为(1,0)-，从而得到直线l 与x 轴的交点坐标C ，再分别求出直线l 的解析式，联立直线l 的解析式与反比例函数2y x=，转化为解二元一次方程组，即可得到交点P 的坐标从而解题．解：分两种情况讨论：（1）当点P 在AB 下方时，作//l AB ，使点O 到直线AB 和到直线l 的距离相等，则ABP 的面积是AOB 的面积的2倍，对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；即直线AB 与x 轴的交点坐标为(1,0)-，直线l 与x 轴的交点坐标为(1,0)C ，设直线l 的表达式为：y x b =+，将点(1,0)C 代入得，1b =-∴直线l 的表达式为：1y =x -联立方程组12y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得，1112x y =-⎧⎨=-⎩（舍去），2221x y =⎧⎨=⎩，此时点()21P ，；（2）当点P 在AB上方时，如图，作//l AB ，使点O 到直线AB 的距离的2倍，是到点O 到直线l 的距离，直线AB 与x 轴的交点坐标为(1,0)-，直线l 与x 轴的交点坐标为()3,0C -，设直线l 的表达式为：y x b =+，将点()3,0C -代入得，3b =∴直线l 的表达式为：+3y x =联立方程组+32y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得，113232x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，2232x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），此时点P∴点P 的横坐标为：2．故答案为：2．【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及解二元一次方程组、分类讨论、数形结合等数学思想，正确作出辅助图形、掌握相关知识是解题的关键．14．【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN∴AN=MB设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，M（x+3，∴=（x+3）∴F（5，∴k故答案为：【点拨】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．15．（，0）．解：【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a）．∵点A2在双曲线y=（x＞0）上，x∴（2+a）解得1，或a=1（舍去），∴OB 2=OB 1+2B 1﹣∴点B 2的坐标为（0）；作A3D ⊥x 轴于点D ，设B 2D=b ，则A 3，OD=OB2+B 2，A 2（+b ）．∵点A 3在双曲线（x ＞0）上，∴（）解得b=b=∴OB 3=OB 2+2B 2∴点B 3的坐标为（0）；同理可得点B 4的坐标为（0）即（4，0）；…，∴点Bn 的坐标为（，0），∴点B 6的坐标为（0），故答案为（，0）．【点拨】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B 2、B 3、B 4的坐标进而得出点B n 的规律是解题的关键．16．4【分析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出OCE ∆、OAD ∆、OABC X 的面积与k 的关系，列出等式求出k 值．解：∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=，过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=，解得：4k =．故答案为4【点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．17．2.【分析】过点D 作DF y ⊥轴于F .根据k 的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点D 的坐标，代入()220k y x x=<即可求得k 的值．解：如图，过点D 作DF y ⊥轴于F .把y=0代入112y x =-得：x=2，故OA=2由反比例函数比例系数的几何意义，可得12COE k S ∆=，DOF S k ∆=.∵12DOB COE S S k ∆∆==，∴12DBF DOF DOB DOB S S S k S ∆∆∆∆=-==，∴OB FB =.易证DBF ABO ∆∆≌，从而2DF AO ==，即D 的横坐标为2-，而D 在直线AC 上，∴()2,2D --∴()(22)122k ⨯=⨯--=.故答案为2【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k 的方程．18．12a 22b a-【分析】设B （m ，b m ），A （b n ，n ），则P （m ，n ），阴影部分的面积S △AOB ＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．解：设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ），∵点P 为曲线C 1上的任意一点，∴mn ＝a ，∴阴影部分的面积S △AOB ＝mn 12-b 12-b 12-（m b n -）（n b m-）＝mn ﹣b 12-（mn ﹣b ﹣b 2b mn+）＝mn ﹣b 12-mn +b 22b mn -12=a 22b a-．故答案为：12a 22b a-．【点拨】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn ＝a 可解决问题．19．14或32【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：①当点B 在边DE 上时；②当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC △的面积即可．解：根据题意，∵点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”，∴0x ≠，0y ≠，∴点B 不可能在坐标轴上；∵点A 在函数()20=>y x x的图像上，设点A 为2(,x x ，则点B 为1(,)2x x ，∵点C 为()3,0，∴3OC =，①当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，∴点A 与点B 的纵坐标相同，即22x x =，解得：2x =，经检验，2x =是原分式方程的解；∴点B 为1(,1)2，∴OBC △的面积为：133122S =⨯⨯=；②当点B 在边CD 上时；点B 与点C 的横坐标相同，∴13x=，解得：13x =，经检验，13x =是原分式方程的解；∴点B 为1(3,)6，∴OBC △的面积为：1113264S =⨯⨯=；故答案为：14或32．【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．20．（1）52；（2）①见分析；②8．【分析】（1）由点E 为线段OC 的中点，可得E 点坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可知A 点坐标为：51,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式即可求出k ；（2）①由OAB 为等腰直角三角形，可得AO OB =，再根据同角的余角相等可证AOE FBO ∠=∠，由AAS 即可证明OAE BOF ≌△△；②由“ZJ 距离”的定义可知,()d M N 为MN 两点的水平距离与垂直距离之和，故(,)(,)d A C d A B BF CF +=+，即只需求出B 点坐标即可，设点(1,)A m ，由OAE BOF ≌△△可得(,1)B m -，进而代入直线AB 解析式求出k 值即可解答．解：（1）∵点E 为线段OC 的中点，OC=5，∴1522OE OC ==,即：E 点坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，又∵AE ⊥y 轴，AE=1，∴51,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴55122k =⨯=．（2）①在OAB 为等腰直角三角形中，AO OB =，90AOB ∠=︒，∴90AOE FOB ∠+∠=︒，又∵BF ⊥y 轴，∴90FBO FOB ∠+∠=︒，∴AOE FBO∠=∠在OAE △和BOF 中90AEO OFB AOE FBO AO OB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OAE BOF AAS ≌△△，②解：设点A 坐标为(1,)m ，∵OAE BOF≌△△∴BF OE m ==，1OF AE ==，∴(,1)B m -，设直线AB 解析式为：:5AB l y kx =+，将AB 两点代入得：则551k m km +=⎧⎨+=-⎩．解得1132k m =-⎧⎨=⎩，2223k m =-⎧⎨=⎩．当2m =时，2OE =，OA =532AOB S =<△，符合；∴(,)(,)()()d A C d A B AE CE BF AE OE OF +=++-++111CE OE OE =++-++12CE OE=++1CO OE=++152=++8=，当3m =时，3OE =，OA =53AOB S =>△，不符，舍去；综上所述：(,)(,)8d A C d A B +=．【点拨】此题属于代几综合题，涉及的知识有：反比例函数、一次函数的性质及求法、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形性质等，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．21．（1）=2k ，D 点横坐标为2t ；（2）54【分析】（1）先求出A 点坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值，利用OC =t 和D 点在直线l 上即可得到D 点横坐标；（2）分别用含t 的式子表示出1S 、2S ，得到U 关于t 的二次函数，求函数的最大值即可．解：（1）∵1AB =，∴A 点横坐标为1,∵A 点在一次函数2y x =的图像上，∴21=2⨯，∴()1,2A ,∵A 点也在反比例函数图像上，∴=21=2k ⨯，∴反比例函数解析式为：2y x =，∵OC t =，直线1//l x 轴，∴D 点纵坐标为t ，∵D 点在直线l 上，∴D 点横坐标为2t ，综上可得：=2k ，D 点横坐标为2t ．（2）直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ，∴E 点纵坐标为t ，将纵坐标t 代入反比例函数解析式中得到E 点坐标为2,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22t DE t =-，A 点到DE 的距离为2t -，∴()22122212242t t t t t S t ⎛⎫=⨯--=+-- ⎪⎝⎭，∵AB y ⊥轴于点B ，∴2OB =，∴11122222OB E S C t t=⨯=⨯⨯=，∴2221222115114242224t t t t U S S t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当1t =时，U 最大=54；∴U 的最大值为54．【点拨】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x 轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．22．（1）12y x =，133y x =+；（2）()60，，()50，，2506⎛⎫ ⎪⎝⎭，()50-，；（3）-12<x<0或x>3【分析】（1）因为反比例函数过A 、B 两点，所以可求其解析式和n 的值，从而知B 点坐标，进而求一次函数解析式；（2）分三种情况：OA=OC ，AO=AC ，CA=CO ，分别求解即可；（3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x 的取值范围即可.解：（1）把A （3，4）代入m y x =，∴m ＝12，∴反比例函数是12y x=；把B （n ，-1）代入12y x =得n ＝−12．把A （3，4）、B （-12，−1）分别代入y ＝kx ＋b 中：得34121k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为133y x =+；（2）∵A （3，4），△AOC 为等腰三角形，5=，分三种情况：①当OA=OC 时，OC=5，此时点C 的坐标为()50，，()50-，；②当AO=AC 时，∵A （3，4），点C 和点O 关于过A 点且垂直于x 轴的直线对称，此时点C 的坐标为()60，；③当CA=CO 时，点C 在线段OA 的垂直平分线上，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x ，则AC=x ，在△ACD 中，()22243x x +-=，解得：x=256，此时点C 的坐标为2506⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上：点C 的坐标为：()60，，()50，，2506⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()50-，；（3）由图得：当一次函数图像在反比例函数图像上方时，-12<x<0或x>3，即使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围是：-12<x<0或x>3.【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想.23．(1)16y x=，10y x =-+；(2)(4,4)P --，=54PMN S △．【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形OANM 的面积为38．求出()8,2N ，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）平移一次函数与16y x=在第三象限有唯一交点P ，此时P 到MN 的距离最短，PMN 的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：y x a =-+，联立16y x =，解得：=8-a ，进一步求出：=4x -，即(4,4)P --，连接PM ，PN ，过点P 作⊥PB NA 的延长线交于点B ，作MC PB ⊥交于点C ，根据PMN PMC PNB MCBN S S S S 四边形=+-△△△以及点的坐标即可求出PMN 的面积．（1）解：∵(2,8)M 在2k y x=上，∴216k =，即反比例函数解析式为：16y x =，设16(,)N n n，∵四边形OANM 的面积为38．∴()111628823822⎛⎫⨯⨯++⨯-= ⎪⎝⎭n n ，整理得：221580--=n n ，解得：1=2-n （舍去），=8n ，∴()8,2N ，将()8,2N 和(2,8)M 代入1y k x b =+可得：112882k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1110k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为：10y x =-+．（2）解：平移一次函数10y x =-+到第三象限，与16y x=在第三象限有唯一交点P ，此时P 到MN 的距离最短，PMN 的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：y x a =-+，联立16y x =可得：16-+=x a x ，整理得：216=0-+x ax ，∵有唯一交点P ，∴2=416=01∆-⨯⨯a ，解得：=8-a 或=8a （舍去），将=8-a 代入216=0-+x ax 得：2168=0-+x x ，解得：=4x -经检验：=4x -是分式方程16-+=x a x的根，∴(4,4)P --，连接PM ，PN ，过点P 作⊥PB NA 的延长线交于点B ，作MC PB ⊥交于点C ，则：PMN PMC PNB MCBN S S S S 四边形=+-△△△，∵(4,4)P --，()8,2N ，(2,8)M ，∴()()1=4284=362⨯+⨯+PMC S △，()1=6126=542MCBN S 四边形⨯+⨯，()()1=2484=362⨯+⨯+PNB S △，∴=365436=54PMN PMC PNB MCBN S S S S 四边形=+-+-△△△．【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．24．(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见分析；(2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)-【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求得4(2,E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD =，设点A 的坐标为8(,m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+。

九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数（k 的几何意义）一、单选题1．如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点．若A ky x =AB x ⊥B 的面积为3，则的值是（ ）AOB kA ．4B ．6C ．4或6D ．不确定2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于、两点，过作轴y kx =2y x =-A B A y 的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为( )4y x =C BC ABCA ．B ．C ．D ．23563．以正方形两条对角线的交点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比ABCD 例函数的图象经过点D ，则正方形的面积为（ ）4y x =ABCDA ．12B ．16C ．18D ．204．点P ，Q ，R 在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴，y 轴12y x =的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，1S 2S 3S OF FG GA ==则的值为（ ）123S S S ++A ．10B ．12C ．14D ．165．如图，点B 在反比例函数的图象上，点C 在反比例函数的图()60y x x =>()20y x x =->象上，轴，，垂足为点C ，交y 轴于点A ，则的面积为（ ）∥BC y AC BC ⊥AC ABCA ．3B ．4C ．6D ．86．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A 在反比例函数30OAB ∠=︒的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）()120y x x =>A ．B ．C ．D ．6y x=-4y x=-2y x=-2y x=7．如图，在平面直角坐标系中，，点在反比例函数图像的图xOy (4,0),(4,0)A B -C ky x =像上，且，若线段与轴交于点，则的值为（ ）90ACB ∠=︒AC y (0,2)D kA ．B ．C ．D ．19225892458．如图，A 是双曲线上的一点，点C 是的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂()0ky x x =>OA 足为D ，交双曲线于点B ，且的面积是4，则（ ）ABD △k =A ．4B ．6C ．8D ．109．反比例函数的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，垂直于x 轴，垂足ky x =MN 是点N ，如果，则k 的值为（ ）MON S π=△A ．B ．C ．D ．2π2π-ππ-10．已知点A 、B 分别在反比例函数，的图像上，且，()20=>y x x ()80y x x -=>OA OB ⊥则的值为（ ）OAOBA B ．C D ．31211．如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，分别与A ()10y x x =>A AB x ⊥AC y ⊥函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）．2y x =-B C ABCA ．4B ．C ．6D ．9213212．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在OABC y 轴上，D ，E 分别是中点．过点D 的双曲线与交于点AB OA ，()00x kx k y >=>，BC G ．连接，F 在上，且，连接．若的面积为4，则k DC DC :2:1DF FC =DE EF ，DEF 的值为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点xOy A 6(0)y x x =>AC x ⊥，连接，则面积为________．C OA OAC14．点A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A 作轴，垂足为点B ，AB x ⊥的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．OAB ①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此()1,12y x =(),a b 反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此()--，a b ()()1122,A x y B x y ，，反比例函数的图象上且，则．120x x <<12y y <15．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，OABC O B y A 5y x =-顶点在上，则平行四边形的面积是_____．C 7y x =OABC16．如图，已知在中，点在上，，，，反比例ABO C AB 3BC AC =CO CB =16AOB S =△函数的图象经过点，则的值为_____．ky x =C k17．如图，的边在x 轴上，且，反比例函数的图象与边AOB OB 90∠=︒ABO ()0ky x x =>、分别相交于点C 、D ，连接，已知，的面积为12，若，AO AB BC OC BC =BOC 6AD =直线的函数解析式为 _____．OA18．如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在1l 2l ()2k y k x =<-2y x =-N 上，线段交于点A ，作轴于点C ，交于点B ，延长OB 交于点M ，作1l ON 2l NC x ⊥2l 1l 轴于点F ，下列结论：MF x ⊥①；1OFM S =△②与是位似图形，面积比为；OBC △OMF 2k -③；OA OBON OM =④．AB NM 其中正确的是____________．三、解答题19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，()10y k x b k =+≠()20k y x x =>()1,6A 两点．()3,B m(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x 的取值范围：21k k x b x +<(3)求的面积．AOB 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，O A ()0ky k x =>过点作轴，垂足为，的面积为5．A AB x ⊥B AOB(1)求值；k (2)当时，求函数值的取值范围．<2x -y 21．通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，AC BC CD AB ⊥⊥，C D E 、，AB CE 已知，（）．AD a BD b ==，0a b <<①已知的代数式表示CE 的长；CD a b ，②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．CE CD <>=(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像M N 、1y x =0x >上，横坐标分别为．设，，记．m n ，p m n =+11q m n =+14l pq =①当时， ，当时，；13m n ==，l =22m n ==，l =②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜l 想成立．22．已知，如图点P 是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，24y x =PA x ⊥A PB y ⊥B 、分别交双曲线于点、．求的面积．PA PB 11y x =D C PCD23．如图，在x 轴的正半轴上依次截取，过点1122312n n OA A A A A A A -===⋯==分别作x 轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得123n A A A A ⋯、、、10y x =123n P P P P ⋯、、、直角三角形并设其面积分别111222333441n n n OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，为．123nS S S S ⋯、、、(1)求的坐标23P P Pn 、、、(2)求的值；n S 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，与反比例函数交于点3y kx =+x y B C 、my x =．过作轴于，连接，若，A D 、D DE x ⊥E ,OA OD ()2,A n -:1:2OAB ODE S S ∆∆=(1)求反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；C (3)直接写出关于不等式：的解集为______．x 3mkx x >-25．如图，已知点，过点P 作轴于点M ，轴于点N ，反比例函数()6,3P PM x ⊥PN y ⊥的图象交于点A ，交于点B .若四边形的面积为12.ky x =PM PN OAPB(1)求k 的值；(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.AB y ax b =+kax bx +。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.3．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

26.1.2反比例函数的图象和性质知识梳理与培优练习人教版2024—2025学年九年级下册画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象。

解：（1）列表：（2）描点：（3）连线。

总结：1、形状：图象是________。

2、变化趋势：双曲线无限接近于______轴或________轴,但永远不会与相交。

3、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成_________对称，且关于第一三象限角平分线_______或第二四象限角平分线_______成轴对称；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如： x y 6= 和y = x6-）来说，它们是关于x 轴，y 轴_________。

4、位置及增减性：（1）当0>k 时,双曲线分别位于第________象限内； ____________,y 随x 的增大而________；（2）当0<k 时, 双曲线分别位于第________象限内; _______________,y 随x 的增大而______。

5、反比例函数与三角形面积结合题型。

反比例函数的几何意义：在反比例函数ky x=中，k 的几何意义为：点()y x B , 是双曲线(0)ky k x=≠上任意一点, 则矩形OABC 的面积是k xy y x BA BC ==•=•k xy y x AB OA S OAB 21212121===•=∆ 即：OABC S k =长方形，或2ABO k S ∆=.O xyxyO ABCBAM yN xO图1例1．已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？例2.在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【巩固练习】：1、若反比例函数xky =，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是( )．(A)k ＜0 (B)k ＞0(C)k ≤0 (D)k ≥02、若点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)都在反比例函数xy 5=的图象上，则( )． (A)y 1＜y 2＜y 3 (B)y 2＜y 1＜y 3 (C)y 3＜y 2＜y 1 (D)y 1＜y 3＜y 23、已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数xky =(k ＞0)的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有( )． (A)y 1＜0＜y 2 (B)y 2＜0＜y 1 (C)y 1＜y 2＜0 (D)y 2＜y 1＜0例3.如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【巩固练习】（1）在反比例函数xy 6-=（0<x ）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ．yxOA CB图3图2图4（2） 反比例函数xky =的图象如图1所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，这个反比例函数的解析式为______________ (3)如图2，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． （4）如图3，A 、B 是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥轴，AC ∥轴，△ABC 的面积记为，则（ ）A ．B ．C ．D ．（5）如图4，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy xy 24=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 _____________（6）在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．（6） （7）（7）如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．．2y x=x y S 2S =4S =24S <<4S > 2y x=y OP 1P 2P 3 P 4 1 2342【当堂检测】1.已知反比例函数xky -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大2．函数a ax y +-=与xay -=（0≠a ）在同一坐标系中的图象可能是（ ）3．在平面直角坐标系内，过反比例函数xky =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 4．若函数x m y )12(-=与xmy -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是5．反比例函数xy 2-=，当2-=x 时，=y ；当2-<x 时；y 的取值范围是 ；当2->x 时；y 的取值范围是 6.已知反比例函数()622--=a x a y ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式。