27.2.2相似三角形(1) 课件(新人教版九年级下)

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质

1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,

1.定义: 2.定理(平行法):
3.判定定理一(边边边):
4.判定定理二(边角边):
2、相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等
5.判定定理三(角角):
学习目标:会用相似
三角形的有关性质,测 量一些不能直接测量的 物体的高度和宽度.
1、在同一时刻物体的高度与它的影长 成正比例，一高楼 的影长为60米，那么高楼的高度是多少 米？解:设高楼的高度为X米，则
FH = AH ∴ FK CK 即
8-1.6 FH FH+5 = 12-1.6
解得FH=8
∴当他与左边的树的距离小于8m时，由 于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观 察者的盲区之内，就不能看见右边较高的 树的顶端点C
1. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
例4 为了估算河的宽度,我们可以在河 对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和 S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂 直，接着在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T,确定PT与过点Q且 P 垂直PS的直线 b的交点R.如果测 得QS=45m,ST= b Q R a 90m,QR=60m, S T 求河的宽度PQ.
例2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定
一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC， 然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点 D． 此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．(方法一) A
解： 因为 ∠ADB＝∠EDC,
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。

A1
A2 A3
B1 a
B2 b B3 c
想一想：
1. 如何理解“对应线段〞？
2.“对应线段〞成比例都有哪些表达形式？
练一练
D
如图，AlC1∥l2B∥D l3，以下A比C 例 式BD中错误的选项是 ( ) A. CE DF B. AE BF
C. C E D F AE BF
D. AE BD BF AC
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
A
D
E
B
C
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
由前面的结论可得 A D A E ，需要证明的是
AB AC
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
D
E
A
B
C
B
“A 〞型
C “X 〞型
练一练
1. ：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对3相似
三角形.
相似具有传递性
A
B
2. 假设 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， E 一组对应边的长为AB =3 cm， C A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_4_︰__3_.
AD AE DE ，而除 DE 外，其他的线段都在 AB AC BC
△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？
A
D
E
可以将 DE 平移到
BC 边上去

C′
想一想：如果对应相等的角不是两组对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
【跟踪训练】
下列各组条件中不一定使△ABC与△DEF相似的是（ D ） A.∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE B.∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° C.∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 D.∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是两组对应边的夹角，如果不是夹 角，则它们不一定会相似．
设其他两边分别为x,y ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别
为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形
框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
D
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
A′
B′
C′
A
E
B
C
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角 相等，那么这两个三角形相似 .
A
Q AB AC k
AB AC
B
C
A = A
A′
∴△ABC∽△ ABC.
B′
证明：∵
AB 6 1 , AB 18 3
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
∴
AB BC AC ,

3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 则边长为原来的_____倍，周长为原来的______倍。
六·布置作业
课本42页第6题，第7题。
再见
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

的相似比为 1 . k
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
如果∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F， ABACBCk
DE DF EF
即对应角相等对应边的比相等我们说△ABC与△DEF相似，
记作 △ABC∽△DEF， △ABC和△DEF的相似比为k，
DB
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE,即 50 DE.
AC BC 5030 70 所以,DE 507043.75(cm).
5030
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
线段有什么关系？
通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
ab
A B
E F l1
l2
AD EH等等 由此可得到： BD FH
D
H l3
（2）
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
人教版人教版九年级下课件：27.2.1 相似三 角形的 判定第1 课时
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD
A E C
B O

猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 ,那么， ？ BC 3 EF 3
AB 3 DE 3 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
A B C
l1
l2
D E F
l3
l4
AB DE 即： BC EF
除此之外，还有其他对 应线段成比例吗？
l5
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 还可以得到 l1
1 3E2C，则D3E3=
1 Dn-1B，En-1En= 3
1 E C，则DnEn= 3 n-1
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
第二十七章
相 似
27.2.1
相似三角形的判定（2）
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
平行线分线段成比例定理的推论
F
过E作EF//AB交BC于F， AE BF 则 . AC BC ∵ 四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF， AE DE AD AE DE ， ， AC BC AB AC BC ∴△ADE∽△ABC.
E
C
B
归纳
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似.
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
探究2
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的 各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两 个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形 相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结 论.

AB BC CA k， A'B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
∵△ABC∽△A'B'C'
AD AB k AE AB
B/
A
D
C
A/
D/
C/
归纳
由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也 等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 2 : 3 ，对应边上的中线的比是 __2_:_3__ .
2. 相似三角形有哪些性质？ 对应角相等，对应边成比例
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、 面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些量之间有 什么关系呢？
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并 运用其解决问题 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其 解决问题.
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边 上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_1_6_c_m__ .

27.2.2相似三角形的性质
第二十七章 相似
素养目标
1.掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比；
2.掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等 于相似比的平方； 3.感受几何命题的合理性，培养学生发现问题、解 决问题的能力.
复习巩固 相似三角形的判定方法有哪些？
①定义：对应边 成比例 ，对应角 相等 的两个三角形相似； ② 平行于三角形一边的直线与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似； ③三边 成比例 的两个三角形相似； ④两边 成比例 且夹角 相等 的两个三角形相似； ⑤两角分别 相等 的两个三角形相似； ⑥一组直角边和斜边 成比例 的两个直角三角形相似.
形的面积比是( D )
A.1 : 3
B.1: 4
C.1 : 6
D.1: 9
解析：两个相似三角形的相似比是1: 3， 则这两个相似三角形的面积比是1: 9 ，故选：D.
练习 4 若△ABC ∽△DEF 且面积比为 49 : 25 ，则△ABC 与
△DEF 的周长之比为( C )
A. 49 : 25
B. 7 : 25
C. 7 : 5
D. 5 : 7
解析：∵△ABC∽△DEF 且面积比为 49 : 25 ， ∴△ABC 和△DEF 的相似比为 7 : 5 ， ∴△ABC 和△DEF 的周长比为 7 : 5 . 故选：C.
练习 5 已知两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，若较大三角形的面
积等于18 cm2 ，则较小三角形的面积等于(A )
BC · AD k· k k2 .
BD
C
S△A'B'C' 1 B 'C'· A' D ' B 'C ' A' D '