平面“五色定理”的五色无限点图“四色猜想”证明

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。

汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。

如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。

一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

“四色猜想”论证之“一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域”“四色猜想”：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且不会有两个邻接的区域颜色相同。

被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。

论证命题：一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域论证过程：假设：一个平面上出现了5个彼此相互邻接的区域（无非地，非角接）。

第一步（见图1）：两区域彼此相互邻接A、B两点分别再两区域内，则从A向B画连续的线。

一定可以找到一条线，它两部分分别在两个区域内，不经过第三区域。

第二步（见图2）：三区域彼此相互邻接三区域彼此相互邻接有两种情况，一种情况是第3区域在A、B两区域所围成的内部小封闭空间（见图2-1），另一种情况是第三区域在A、B两区域所围成的外部大空间（见图2-2）。

如图2-1，如果要保证第四区域与这三区域都有邻接的部分，则必须把该区域放在A、B、C三区域围成的内部。

如图2-2，要保证第四区域与这三区域都有邻接的部分，则可以把该区域放在三区域围成的画斜线的部分，或是外部。

第三步（见图3）：四区域彼此相互邻接四区域彼此相互邻接，有三种情况。

我们再把三张图的路线（虚线）提取出来（见下图）：这些路线已经把地球有限的面积分割成四个封闭的区域，抽象出来的图，如图4：第四步：五国版图相互邻接把第五区域安排在1封闭区域内，那么第五区域（E）必定在图1内，并且D点在图1外。

根据：在一个平面里，从封闭区域外的一点向封闭区域内的一点画连续的线，这条线必定与该封闭区域的的边界有交点。

有交点就意谓着要经过第三块区域。

而我们假设是5个区域是彼此相互邻接的，两相互邻接的区域内的点之间画连线是不经过第三区域的。

所以假设错误，原命题正确。

如图5所示：这里仅证明了“一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域”。

四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。

拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。

以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。

2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。

4色定理证明4色定理是图论中的一种定理，它指出，任何一个平面地图，只要它的区域是连续的、有界的，并且不相交或重叠，那么最多只需要4种颜色就可以将这些区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。

这个定理是由英国数学家弗朗西斯·格斯·查普曼在1852年提出的，并在1976年由美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·黑肯证明。

为了更好地理解4色定理的证明过程，我们首先需要了解一些图论的基本概念。

图论是研究图及其性质的数学分支，而图是由顶点和边组成的数学结构。

在这个结构中，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。

证明4色定理的关键在于构建一个特殊的图，这个图称为地图图或平面图。

地图图是由多个区域组成的，每个区域都是一个多边形，而且不相交或重叠。

我们可以将地图图的每个区域看作一个顶点，如果两个区域相邻，则它们之间有一条边。

为了证明4色定理，我们需要进行数学归纳法的推理。

首先，我们选取一个最小的地图图，它只有一个区域。

显然，我们只需要一种颜色就可以将这个区域着色。

接下来，我们假设对于任意一个具有n个区域的地图图，我们最多只需要4种颜色进行着色。

现在，我们考虑一个具有n+1个区域的地图图。

我们可以选择其中一个区域，将它看作是整个地图图的边界。

我们可以通过将这个边界区域所包围的区域进行染色，将这个边界区域看作是一个顶点，而将所包围的区域看作是这个顶点的邻居。

根据我们的归纳假设，这些所包围的区域最多只需要4种颜色进行着色。

而这个边界区域最多只需要3种颜色进行着色，因为它与所包围的区域相邻。

因此，这个具有n+1个区域的地图图最多只需要4种颜色进行着色。

通过数学归纳法的推理，我们可以得出结论：任何一个具有连续、有界、不相交或重叠的区域的平面地图，最多只需要4种颜色进行着色。

这就是4色定理的证明过程。

4色定理的证明对于图论的发展具有重要的意义。

它不仅解决了一个经典的数学难题，而且还为许多实际问题的解决提供了思路和方法。