高二数学段考试题及答案

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知变量和满足关系，变量与正相关.下列结论中正确的是（ ）A ．与正相关，与负相关B ．与正相关，与正相关C ．与负相关，与负相关D ．与负相关，与正相关2..若椭圆交于A ，B 两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则的值是( )3.关于空间两条直线、与平面，下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．，则 D ．若则4. 抛物线的准线方程是A ．B ．C ．D ．5.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A ．B ．C ．D ．6.已知在R上开导，且，若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.若，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．10.下表是之间的一组数据，则的线性回归直线必过点A．B．C．D．11.已知函数，则（）A．32 B．16 C． D．12.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是（）A． B． C． D．13.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于A．4 B．3 C．2 D．14.下列命题中错误的是A．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面15.如右图的流程图，若输出的结果，则判断框中应填A． B． C． D．16.已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A． B． C． D．217.已知各项为正数的等比数列中，，，则等于（）A．B．7C．6D．18.用数学归纳法证明由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．19.a,b,c成等比数列是b=的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20.现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）A．1 m B．1.5 m C．0.75 m D．0.5 m二、填空题21.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是；22.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(¬p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(¬p)∨(¬q)．23.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．24.设f(x)是定义在R上的函数.且满足，如果25.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为________．26.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O27.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为 cm3．28.如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有种.29.已知有限集．如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复合集”有且只有一个，且．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）．30.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角。

2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。

深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。

2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明或演算步骤。

) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。

枣庄三中高二年级10月阶段检测考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设x ，y R ∈，向量(a x = ，1，1)，(1b = ，y ，1)，(2c = ，4-，2)，且a c ⊥ ，//b c，则||(a b += )A ．B C ．4D ．32．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则(m =)A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在3.在正四面体ABC P -中，棱长为2，且E 是棱AB 的中点，则PE BC ⋅的值为（）A ．-1B ．1C ．3D ．374.直线04cos =++y x α的倾斜角的取值范围（）A ．[)π,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π5.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B 1C 1D 1中,E,F 分别为棱AA 1,BB 1的中点,G 为棱A 1B 1上的一点,且A 1G =λ(0≤λ≤1),则点G 到平面D 1EF 的距离为()A B .22C .23D .556.已知长方体1111ABCD A B C D -中，1B C ，1C D 与底面ABCD 所成的角分别为60 和45 ，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为A .4B .14C .6D .67.如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A －MNCB 的体积为A .32B .32C .D .38.已知点o2,−3)，o −3,−2)．若直线G m +−−1=0与线段B 相交，则实数的取值范围是（）A ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,4,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列四个命题，其中正确的命题有()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0AB BC CD DA +++=B ．若两个非零向量,AB CD 满足AB CD +=0 ，则AB CDC ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++(x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面10.已知直线G m ++1=0，1,0，3,1，则下列结论正确的是（）A ．直线l 恒过定点0,1B ．当=0时，直线l 的斜率不存在C ．当=1时，直线l 的倾斜角为34D．当=2时，直线l 与直线B 垂直11.如图，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，则()A ．AF ∶FD ＝1∶1B ．AF ∶FD ＝2∶1C ．若PA ＝1，则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若PA ＝1，则直线PE 与平面ABCD 所成角为30°12.在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题正确的是（）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值B ．直线CD 和平面1BPC 平行C ．直线CP 和平面11ABCD 所成的角为定值D ．三棱锥1D BPC -的体积为定值.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.已知(1A ，2，0)，(3B ，1，2)，(2C ，0，4)，则点C 到直线AB 的距离为_____.14.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．15.若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=.16.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为)0,,,,(0222≠++∈=+++C B A R D C B A D Cz By Ax ,点),,(000z y x P 到平面α的距离222000CB A DCz By Ax d +++++=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________.四、解答题(本大题共6题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在三角形ABC 中，已知点A (4，0)，B (－3，4)，C (1，2)．(1)求BC 边上中线所在的直线方程；(2)若某一直线过B 点，且y 轴上截距是x 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．18．(12分)如图，四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 上的点，且AE ＝BE ，CF ＝2DF ，设DA DB DC ===a,(1)以{}a,b,c 为基底表示FE；(2)若∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝60°，且433DA DB DC == =,,，求FE.19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．（2）求二面角M CB P --的余弦值．20.(12分)已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值．21．(12分)如图所示,在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中,∠ABC =90°,BC =2,CC 1=4,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证:B 1D ⊥平面ABD .(2)求证:平面EGF ∥平面ABD .(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.22．(12分)如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，2ABC BAD π∠=∠=，112SA AB BC AD ====.(1)求证：BD //平面A E G ；(2)求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；(3)在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为6π？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由.枣庄三中高二年级10月阶段检测考试数学答案一单选题DBAC DAAC 二、多项选择题9.BD 10.BD 11.AC 12.ABD 三、填空题13.14.5515.12-16.552四、解答题(17.（1）∵B （－3，4），C （1，2），∴线段BC 的中点D 的坐标为（－1，3），…………………………………………………2分又BC 边上的中线经过点A （4，0），∴y =x －4），即3x +5y －12＝0，故BC 边上中线所在的直线方程3+5−12=0.…………………………………………5分（2）当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y ＝kx ，代入点B （－3，4），则4＝－3k ，解得k =−43，所以所求直线的方程为y =−43x ，即4x +3y ＝0；……………………………………………7分当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为+2=1，代入点B （－3，4），则−3+42=1，解得m =−1，所以所求直线的方程为2x +y +2＝0，………………………………………………………9分综上所述，该直线的一般式方程为4x +3y ＝0或2x +y +2＝0．……………………………10分18.如图所示，连接DE .因为FE ―→＝FD ―→＋DE ―→，FD ―→＝－DF ―→＝－13DC ―→，DE ―→＝12(DA ―→＋DB ―→)，所以FE ―→＝12a ＋12b －13c .………………………………………………………6分|FE ―→|2＋12b －13c ＝14a 2＋14b 2＋19c 2＋12a ·b －13a ·c －13b ·c ＝14＋14×＋19×＋12×××12－13×××12－13×××12＝274.所以|FE ―→|＝332.………………………………………………12分19.（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，…1分由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ，则()2,0,4AP =- ，()2,0,0BC =- ，()1,4,2MB =-，.………………………………2分设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，∴()10,1,2n =.………………………………………………4分∴1114cos ,5AP n AP n AP n ⋅==⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45．.……6分（2）由（1）可得()0,4,4PC =-，.………………………………………………7分设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z=，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴()20,1,1n =，……10分∴12cos ,10n n ==，故二面角M CB P --的余弦值为10……………12分20.解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2·(y －2)，都过点(2,2)，………2分如图：设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a 2∈(0,1)，k 2＝－2a2∈∞∵l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)．…………6分∴S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12(2－a )·2＋12·(2＋a 2)·2＝a 2－a ＋4＋154.……………10分∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.……………………………………12分21.如图所示,建立空间直角坐标系,设A 1(a ,0,0),则B 1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G (2,1,0).(1)B 1D →=(0,2,2),AB →=(-a ,0,0),BD →=(0,2,-2).∴B 1D →·AB →=0+0+0=0,B 1D →·BD →=0+4-4=0.∴B 1D ⊥AB,B 1D ⊥BD.又AB∩BD=B,∴B 1D ⊥平面ABD.………………………………4分(2)∵AB →=(-a ,0,0),BD →=(0,2,-2).GF →=(-2,0,0),EF →=(0,1,-1),∴GF →=12AB →,EF →=12BD →.∴GF ∥AB,EF ∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面EGF ∥平面ABD.…………………………………8分(3)方法一:由(1)(2)知DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段.设B 1H →=λB 1D →=(0,2λ,2λ),则EH →=(0,2λ,2λ-1),EF →=(0,1,-1).∵EH →与EF →共线,∴2λ1=2λ−1−1,即λ=14,∴B H →=(0,12,12),∴HD →=(0,32,32),∴|HD →∴平面EGF 与平面ABD ………………………………12分方法二:由(2)知平面EGF ∥平面ABD,设平面ABD 的法向量为n=(x,y,z),则n ⊥AB →,n ⊥BD →,∴解得x =0,y =z,取z=1,则n=(0,1,1),∵ED →=(0,2,1),∴d=即平面EGF 与平面ABD ………………………………………………12分22.(1)连接FG .在△SBD 中，F 、G 分别为,SD SB 的中点，所以//FG BD .又因为FG ⊂平面A E G ,BD ⊄平面A E G ，所以//BD 平面A E G .……………………4分（2）因为SA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,SA A S B A A D ⊥⊥.又2BAD π∠=，所以AB AD ⊥.以,,AB AD AS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ,()()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,020110,0,,1,0,,2,1,,2B G C D S E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,0CD =-,()1,1,1SC =- .设平面SCD 的一个法向量为(),,m x y z = .则00m CD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y z y z -+=⎧⎨+-=⎩，令1x =,得1,2y z ==.所以平面SCD 的一个法向量为()1,1,2m =.又平面ESD 的一个法向量为()1,0,0AB =.所以cos ,6||||m AB m AB m AB ⋅===⨯ 所以平面SCD 与平面ESD夹角的余弦值为.………………………………………8分（3）假设存在点H ,设11(,2,)22GH GE λλλλ==- ,则1111(,2,)2222BH BG GE λλλλ=+=--+ .由（2）知,平面SCD 的一个法向量为()1,1,2m =.则1sin cos ,62m BH π== ，即2(10)λ-=,所以1λ=.故存在满足题意的点H ,此时||2GH GE == (12)分。

高二数学试题答案及解析1.对于实数“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】略2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略3.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（）A．8B．5C．3D．2【答案】C【解析】略4.已知方程，它们所表示的曲线可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】略5. .如图所示算法程序框图运行时，输入a＝tan315°，b＝sin315°，c＝cos315°，则输出结果为()A．B．－C．－1D．1【答案】C【解析】略6.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．（1）当a＝时，判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值；（2）(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>1恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2.f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)>0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(1)＝；(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>1等价于x2＋x＋a>0，而g(x)＝x2＋x＋a＝2＋a－在[1，＋∞)上递增，所以当x＝1时，g(x)mi n＝2＋a，当且仅当2＋a>0时，恒有f(x)>1，即实数a的取值范围为a>－2.【解析】略7.如图，在长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=，E.F分别是面A1C1.面BC1的中心，求（1）AF和BE所成的角.（2）AA1与平面BEC1所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】略8.如果执行右面的程序框图，那么输出的( )A．2450B．2500 C．2550D．2652【答案】C【解析】略9.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】略10.（理）若关于的方程.有一正一负两实数根，则实数的取值范围_______________【答案】【解析】略11.已知命题甲：，命题乙：点是可导函数的极值点，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分而不必要条件【答案】B【解析】略12.的展开式中第项和第项的二次项系数相等，则______.【答案】2【解析】略13.在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15则第个三角形数为A．B．C．D．【解析】略14.（本题满分12分）袋中有同样的球5个，其中3个红色， 2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.6名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排1名旅客，则不同方法有（ ）种A ．360B ．240C ．540D ．210 2.若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）A ．B ．C ．1D ．2 3.若的内角满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列四个命题中，正确的是( ) A ．第一象限的角必是锐角 B ．锐角必是第一象限的角 C ．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角5.已知集合，．则命题：“若，则”的逆命题是（ ）A ．若则B ．若则C ．若则D ．若则6.设的最小值是（ ）A ．10B ．C ．D ．7.已知函数若对任意的实数，存在实数，使得，则的最小值为（ ）A． B． C． D．8.函数，则导数=（）A．B．C．D．9.曲线在处的切线倾斜角是（）A． B． C． D．10.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．11.条件有意义，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（）年报废最划算。

A．3 B．5 C．7 D．1013.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是（）A．60% B．30% C．10% D．50%14.已知曲线在处的切线方程是，则及分别为（）A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－115.已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．16.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（）A． B． C． D．17.已知随机变量服从正态分布，，则的值等于（）A．0．1 B．0．2 C．0．4 D．0．518.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）19.圆上到直线的距离为的点共有（）A．个B．个C．个D．个20.若函数在（0，1）内有极小值，则实数的取值范围是（）A．（0，1） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（0，）二、填空题21.设向气球内以每秒100立方厘米的速度注入气体，假设气体的压力不变，那么当气球半径为20厘米时，气球半径增大的速度为每秒▲厘米22.各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为____．23.一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为__________.24.已知函数的单调递减区间为，则的值为__________．25.已知x和y之间的一组数据,若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝x＋a，则a的值为___________ .26.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为______；体积为______．27.100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02， (09)第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中是第1组随机抽取的号码的个位数，则当m=4时，从第7组中抽取的号码是．28.如果x-1+yi,与i-3x 是共轭复数则实数x 与y 分别是＿＿＿＿＿＿.29.观察下面一组等式：，，，，根据上面等式猜测，则 __________．30.在三棱锥中，,，两两互相垂直，且，，则的取值范围是__________.三、解答题31.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.32.已知函数．（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？33.设复数，（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若对应的点位于复平面第四象限，求的取值范围．34.设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.①求f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．35.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.参考答案1 .C【解析】略2 .D【解析】试题分析：设，抛物线准线，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为，由抛物线的定义得，利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号，所以，故选D．考点：抛物线的定义及其性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中利用抛物线的准线方程，表示出，再根据抛物线的定义，可知，根据利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号是解答的关键，着重考查了抛物线的定义的灵活应用和学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．3 .D 【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.4 .B【解析】解：因为根据象限角的定义可知，锐角必是第一象限的角，选项A，C,D不符合象限角的定义，因此错误选B5 .C【解析】试题分析：因为命题的逆命题就是将原命题的条件与结论调换位置即可，所以命题：“若，则”的逆命题是“若则”，故选C．考点：命题的逆命题．6 .【解析】试题分析：，当且仅当，即时，等号成立．故答案选．考点：基本不等式．7 .A【解析】设，则，，时，递增，时，递减，，即的最小值为，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最小值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8 .D【解析】试题分析：根据基本初等函数的导数公式可知，，因此可知答案为，选D.考点：导数的运算点评：解决的关键是根据导数的基本初等函数的导数公式来求解，属于基础题。

安徽省2023—2024学年（上）高二冬季阶段性检测数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =，且a b ∥，则x y -=（）A.3B.3- C.9D.9-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量共线求解即可；【详解】因为a b ∥，所以1213x y-==，解得：6,3x y =-=-，所以3x y -=-.故选：B.2.已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为π3，则m =（）A.13B.1C.32D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据倾斜角求出直线斜率，利用斜率建立方程求解即可.【详解】因为直线l 的倾斜角为π3，所以直线l 的斜率为πtan 3=，()1220m y +--=的斜率为21m -，所以21m =-1m =.故选：B3.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c = ，则MB =（）A.1122a b c --B.1122a b c ++C.1122a b c--+ D.1122-++ a b c【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122MB AB AD AA =--，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112MB MB B B D B AA =+=-11111111()()22A B A D AA AB AD AA =--=--111112222AB AD AA a b c =--=-- ，故选：A.4.已知椭圆221169x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A.329B.89C.932-D.98-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用点差法，列式计算即得.【详解】显然点(2,1)P 在椭圆221169x y+=内，设以P 为中点的弦端点1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，由22112222916144916144x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得121212129()()16()()0x x x x y y y y +-++-=，即121236()32()0x x y y -+-=，所以直线AB 的斜率121298y y x x -=--.故选：D5.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，则直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为（）A.23B.33C.13D.63【答案】C 【解析】【分析】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解.【详解】由题意知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.设1AB =，则()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,1P ，()1,1,0C 从而()1,0,1PB =- ，()0,1,1PD =- ，()1,1,1PC =-，设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则·0·0PB n x z PD n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = ，设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则·1sin cos ,3PC n PC n PC nθ===，故C 项正确.故选：C.6.设R m ∈过定点A 的直线0x my m +-=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点P ，则2PA PB +的最大值为（）A.5B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出定点A B 、的坐标，然后根据两直线垂直关系找到222PA PB AB +=，然后根据直线与圆的位置关系求得2PA PB +的最值.【详解】由题意可得动直线0x my m +-=可化为()10x m y +-=，斜率11k m=-，过定点()0,1A ，直线30mx y m --+=可化为()130m x y --+=，斜率2=k m ，过定点()1,3B ，又因为121k k ×=-，故两直线垂直，所以222PA PB AB +=,即225,PA PB +==所以P 点轨迹为圆，结合圆与直线位置关系，设,,PA x PB y ==则有225,x y +=设2t PA PB =+，则有直线方程为()200,0x y t x y +-=≥≥，当直线与圆相切时，20x y t +-=取得最值，根据点到直线的距离d ==，解得：5t =.故选：A.7.已知圆221x y +=与坐标轴的交点为,,,A B C D ，点P 为椭圆22143x y +=上一点，若8PA PB PC PD +++=，则点P 到x 轴的距离为（）A.3B.7C.5D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意，不妨设(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)A B C D --，得到点,A B 恰为椭圆的左右焦点，得出24PA PB a +==，得到4PC PD +=，结合椭圆的定义，得到点P 在以,C D 为焦点的椭圆上，求得点P 的轨迹方程为22143y x +=，联立方程组，即可求解.【详解】由圆221x y +=与坐标轴的交点为,,,A B C D ，不妨设(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)A B C D --，又由椭圆22143x y +=，可得2,a b ==，则1c ==，所以,A B 恰为椭圆的左右焦点，可得24PA PB a +==，因为8PA PB PC PD +++=，可得4PC PD +=，所以42PC PD CD +=>=，所以点P 在以,C D 为焦点的椭圆上，且1124,21a c ==，可得112,1a c ==，则1b ==P 为椭圆22143y x +=，联立方程组2222143143x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2127y =，可得7y =，所以点P 到x轴的距离为7.故选：B.8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则三棱锥1P A BD -的外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.11πD.12π【答案】C 【解析】【分析】首先证明1AP ⊥平面11BB D D ，然后在三角形BDP 中，利用正弦定理求得三角形BDP 的外接圆半径r ，所以三棱锥1P A BD -的外接圆半径R =，最后利用球的表面积公式可得答案.【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，又P 是11B D 的中点，所以111A P B D ⊥，又平面1111A B C D ⊥平面11BB D D ，1A P ⊂平面1111D C B A ，平面1111A B C D 平面1111BB D D B D =，所以1AP ⊥平面11BB D D ，所以在三角形BDP中，BP DP ===，所以sin 3PBD ∠==，所以由正弦定理得：三角形BDP的外接圆半径1322r ==，所以三棱锥1P A BD-的外接圆半径2R ==，所以三棱锥1P A BD-的外接球表面积为224π4π11π2R ⎛== ⎝⎭，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l ：10x my +-=，2l ：()2330m x y -++=，则下列说法正确的是（）A.直线1l 在x 轴上的截距为1B.直线2l 在y 轴上的截距为1C.若12l l ∥，则1m =-或3m =D.若12l l ⊥，则12m =【答案】AD 【解析】【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断；【详解】选项A ：令0y =，代入直线1l ，解得：1x =，选项正确；选项B ：令0x =，代入直线2l ，解得：1y =-，选项错误；选项C ：直线12,l l 的法向量分别为()1,m ，()2,3m -，因为12l l ∥，所以直线的法向量也平行，即：()23m m -=，解得：1m =-或3m =，当1m =-时，12,l l 重合，舍去，故3m =选项错误；选项D ：12l l ⊥，所以直线的法向量也垂直，即()1230m m ⨯-+=，解得：12m =，选项正确；故选：AD.10.已知直线():30R l mx y m m --+=∈及圆()()22:243C x y -+-=，则（）A.直线l 过定点B.直线l 截圆C 所得弦长最小值为2C.存在m ，使得直线l 与圆C 相切D.存在m ，使得圆C 关于直线l 对称【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B 选项，求出圆心和半径，得到当l CM ⊥时，直线l 截圆C 所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C 选项，求出点()1,3M 在圆C 内，故C 错误；D 选项，当直线l 过圆心C 时，满足题意，代入计算即可.【详解】A 选项，由()():30130l mx y m m x y --+=⇒-+-=，得1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点为()1,3，故A 正确；B 选项，由圆的标准方程可得圆心为()2,4C ，半径r =，直线l 过的定点为()1,3M ，当l CM ⊥时，直线l 截圆C 所得弦长最短，因为CM =则最短弦长为2=，故B 正确；C 选项，()()2212343-+-<，故点()1,3M 在圆C 内，所以直线l 与圆C 一定相交，故C 错误；D 选项，当直线l 过圆心C 时，满足题意，此时2430m m --+=，解得1m =，故D 正确.故选：ABD.11.已知O 为坐标原点，F 为抛物线E ：22y x =的焦点，过点()2,0P 的直线交E 于,A B 两点，直线OD AB ⊥于D ，则（）A.90AOB ∠=︒B.FA FB +的最小值为4C.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相离D.存在定点Q ，使得DQ 为定值【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项：设出直线AB 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算即可判断；对于B 选项：利用抛物线的焦半径即可判断；对于C 选项：比较半径2AB 与AB 的中点到准线的距离即可判断；对于D 选项：结合题意可知直线AB 经过定点()2,0P ，利用圆的相关知识，即可找到定点Q ,从而计算出DQ 为定值.【详解】对于A 选项：若直线AB 与x 轴重合，此时，直线AB 与抛物线E 只有一个公共点，不合乎题意，故可设直线AB 为2x my =+，且()()1122,,,A x y B x y ,联立222x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2240y my --=，显然24160m ∆=+>，所以12122,4y y m y y +==-，所以()()()212121211424,224,x x m y y m x x my my +=++=+=++=所以()1212440OA OB x x y y ⋅=+=+-=,所以90AOB ∠=︒，故A 正确；对于B 选项：21212111241522FA FB x x x x m +=+++=++=++≥，故FA FB +的最小值为5，故B 错误；对于C 选项：设AB 的中点为N ,则1212,,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭结合韦达定理()22,N m m +，所以N 到准线的距离为2215222d m m =++=+.而AB =所以2ABd =<，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相离,故C 正确；对于D 选项：因为直线AB 恒过定点()2,0P ，又直线OD AB ⊥于D ,所以D 在以OP 为直径的圆上,OP 的中点()1,0Q 则为圆心，所以112DQ OP ==,故存在定点Q ，使得DQ 为定值,故D 正确.故选：ACD.12.已知在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6BC =，13AA =，P 为矩形1111D C B A 内（含边界）一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=．则（）A.P 在矩形1111D C B A 内的轨迹是抛物线的一部分B.三棱锥11P A BC -体积的最小值是83C.PBD.存在唯一一点P ，满足1PB PC =【答案】ABC 【解析】【分析】作PO ⊥平面ABCD ，分析O 点的轨迹即可判断选项A ，在平面中分析建系，求出三棱锥11P A BC -体积的最小的点P 坐标，即可判断选项B ，结合抛物线的性质即可判断选项C ，结合选项C ，建立空间直角坐标系，利用向量的模即可判断选项D.【详解】如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，再作OE AD ⊥，垂足为E ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，,,PO OE O PO OE ⋂=⊂平面POE ，则AD ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以AD PE ⊥，连接,PE PB ，则PEO α=∠，PBO β=∠，因为αβ=，所以PEO PBO ∠=∠，所以EO BO =，由抛物线定义可知，O 的轨迹为抛物线一部分，所以P 的轨迹为抛物线一部分，A 正确；当点P 到线段11A C 距离最短时，三角形11PA C 面积最小，三棱锥11B PA C -体积最小，建立如图所示直角坐标系，则()()111,0,1,6A C -，直线11A C 的方程为330x y -+=，抛物线方程为24y x =，则)02y y =≤≤，设与11A C 平行且与抛物线有一个交点直线为30x y c -+=，则联立30x y c y -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，得30x c -=，则4120c -=，13c =，联立1303x y y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩得12,93P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以P 到直线11A C的最短距离为15=，因为11A C ==所以1111118332153P A BC B A PC V V --==⨯⨯=，B 正确；因为222PB PO OB =+，所以PB 最小时，OB 最小，且OB 最小为1，所以PB=C 正确；结合上述，建立空间直角坐标系如图，则()()()101,0,3,1,6,0,,B C P x ，PB =1PC =，令1PB PC =，解得0164x=>，所以不存在点P ，满足1PB PC =，D 错.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题属于圆锥曲线、空间几何体、空间向量的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合的数学思想；（2）动点轨迹的转化；（3）三棱锥体积最值的转化等.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()1,1-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线的方程为_________________．【答案】y x =-或1122y x =-+【解析】【分析】根据题意设直线方程为()11y k x -=+，求截距，列式求解即可.【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为()11y k x -=+，令0x =，解得1y k =+；令0y =，解得1k x k+=-；可得()121+-=+k k k ，解得1k =-或12k =-，所以直线方程为y x =-或1122y x =-+.故答案为：y x =-或1122y x =-+.14.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过C 上一点M 向y 轴作垂线交另一支于N 点，若12MN F F =，且12MF NF ⊥，则C 的离心率为_____________．【答案】1+##1【解析】【分析】由题意可知：12MNF F 为正方形，结合通径列式求解即可.【详解】由题意可知：12MN F F =，且12//MN F F ，结合对称性可知12MNF F 为矩形，且12MF NF ⊥，则12MNF F 为正方形，可得2222-==b c a c a a，整理得2210e e --=，解得1e =+或1e =（舍去）.故答案为:1+.15.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足1112A E EC = ，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】在正方体中找到点1A 关于平面1BC D 的对称点，利用几何关系求1A F EF +的最小值.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，1112A E EC = ，所以()2,1,3E ，()13,0,3A ，()0,3,0C ，()10,3,3C ，()3,3,0B ，设直线1AC 与平面1BC D 的交点为H ，由正方体性质可知，111,A C BD A C BC ⊥⊥，1BD BC B = ，BD ⊂平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，所以()13,0,3A 在平面1BC D 的投影为H ，且()1,2,1H ，则()13,0,3A 关于平面1BC D 的对称点即点()13,0,3A 关于()1,2,1H 的对称点，设为G ，则为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为GE ，为=.【点睛】16.已知椭圆221169x y +=，过原点O 作两条互相垂直的射线交椭圆于A 、B 两点，则弦长AB 的取值范围为_____________．【答案】24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】对直线OA 、OB 的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线OA 、OB 分别与两坐标轴重合时，直接求出AB 的值；当直线OA 、OB 的斜率都存在时，设直线()0y kx k =≠，求出AB 关于k 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得AB 的取值范围.【详解】当直线OA 、OB分别与两坐标轴重合时，5AB ===；当直线OA 、OB 的斜率都存在时，设直线()0y kx k =≠，联立22916144y kx x y =⎧⎨+=⎩，可得22144169x k =+，所以，()()222222214411169k OA x y k x k +=+=+=+，同理可得()22222114411441169169k k OB k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，所以，()()()()()222222222221441144136001169169169916k k k AB OA OB k k k k +++=+=+=++++()()()22222236001360077161791716911k k k k k +==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⋅++-+⎣⎦⎣⎦ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0k ≠，则211k +>，令()270,71t k =∈+，令()()()227625169714424f t t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为函数()f t 在70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在7,72⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又因为762524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()07144f f ==，则()6251444f t <≤，此时，()23600576,2525AB f t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则24,55AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，AB 的取值范围是24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．（1）求C 点的坐标；（2）求ABC 的外接圆方程．【答案】（1）()4,2（2）223100x y x y +---=．【解析】【分析】（1）由,AB AC 直线方程联立求交点A ，由,AC AC 边上的中线联立求得AC 的中点M ，进而由中点坐标公式得C 点坐标；（2）联立,AB AC 边上的中线得B 点坐标，设出圆的一般方程，由,,A B C 三点坐标代入待定系数即得.【小问1详解】由36020x y x y --=⎧⎨--=⎩，得02x y =⎧⎨=-⎩，所以A 点的坐标为()0,2-，由2020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，即边AC 的中点为()2,0M ，所以C 与A 关于点M 对称，设()00,C x y ，则00022202x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得0042x y =⎧⎨=⎩，所以C 点的坐标为()4,2．【小问2详解】由36020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，故B 点的坐标为()3,1-，设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，且2240D E F +->，则103042020420D E F E F D E F +-+=⎧⎪-+=⎨⎪+++=⎩，得1310D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则所求圆的方程为223100x y x y +---=．18.如图，在圆锥DO 中，D 为圆锥顶点，AB 为圆锥底面的直径，O 为底面圆的圆心，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为矩形．（1）求证：平面BCD ⊥平面ACE ；（2）若2AE =1AC =，3BC =，求平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）2211．【解析】【分析】（1）首先证明BC ⊥平面ACE ，然后证明平面BCD ⊥平面ACE ；（2）构建空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值；【小问1详解】∵AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，∴BC ⊥AC ．∵四边形OAED 为矩形，OD ⊥平面ABC ，∴AE//OD ，AE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，又∵AE AC A = ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴BC ⊥平面ACE ．又BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACE ．【小问2详解】以C 为坐标原点，AC ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，过点C 且与OD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()1,0,0A -，13,222D ⎛-- ⎝⎭，(2E -，(2AE = ，13,,022ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2CE =- ．设平面ADE 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100AE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1112013022z x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，得13x =)13,1,0n = ．设平面CDE 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200CE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222013022x x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，得23x =，262z =，所以263,1,2n =⎭，所以12121222cos ,111122n n n n n n ⋅<>==⋅ ，所以平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值为22211．19.已知过点()2,2E 且互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与x 轴交于点G ，2l 与y 轴交于点H .（1）求GH 的中点M 的轨迹方程；（2）已知圆C ：()2213x y ++=，在（1）的轨迹上任取一点P ，过P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB 面积的最小值及此时点P 的坐标.【答案】19.20x y +-=20.min 2S =，31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，根据几何关系得EM OM =，代入距离公式化简即可求解；（2）根据四边形的对称性及勾股定理把面积问题转为PA 的最小值问题，利用切线长公式及点到直线距离公式求出最小值，联立直线方程即可求解点的坐标.【小问1详解】如图，设(),M x y ，则()2,0G x ，()0,2H y ，连接EM ，OM .因为12l l ⊥，所以EM OM ==，化简即得点M 的轨迹方程为20x y +-=；【小问2详解】如图，由（1）知点M 的轨迹方程为2y x =-+，则四边形PACB 的面积23PAC S S ==，因为PAC △为直角三角形，所以223PA PC =-，当PC 最小时，切线长PA 最小，显然当PC 垂直于直线2y x =-+时，min 0123222PC --==，所以2min min 632PA PC =-=，所以四边形PACB 的面积最小值为min 163223222S =⨯=.此时，1PC k =，又()0,1C -，所以直线PC ：1y x =-，联立12y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20.已知点()2,0A ，)2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是1．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0F 作相互垂直的两条直线1l 和2l ，且1l 与E 交于C ，D 两点，2l 与E 交于G 、H 两点，求CD GH ．【答案】（1）22122x y -=（x ≠（2）1CD GH=．【解析】【分析】（1）设点坐标，然后根据斜率之积求解出点M 的轨迹方程；（2）设出直线方程1l ：，2x ty =+，2l ：12x y t=-+，0t ≠，联立方程组，然后根据韦达定理求解CD ，GH ，从而求解出1CD GH=.【小问1详解】设(),M x y ，x ≠∵AM k =，BM k =，1AM BM k k ⋅=，1=，整理得222x y -=（x ≠．即点M 的轨迹E 的方程为22122x y -=（x ≠．【小问2详解】当1l 和2l 中一条直线垂直于x 轴时，另一条直线为x 轴，此时不符合题意．当直线1l 和2l 的斜率存在且不为0时，如图，设1l ：，2x ty =+，2l ：12x y t=-+，0t ≠．1l 与E 的方程联立得2222x ty x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221420t y ty -++=，因为1l 与E 交于两点，故1t ≠±，此时()()22216412810t t t ∆=--⨯=+>，设()11,C x y ，()22,D x y ，则12241t y y t-+=-，12221=-y y t ，所以)212211t CD y t +=-==-，同理)2222111111t tGH t t⎫+⎪+⎝⎭==--，所以1CD GH=．21.如图，在三棱锥-P ABC 中，APB △为等腰直角三角形，π2APB ∠=，AB =π4BAC ∠=，且平面PAB ⊥平面ABC ，AC PC ⊥．（1）求AC 的长；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】（1）1;（2）3．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABC ，然后可得AC ⊥平面POC ，再结合条件计算即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAC 的法向量，并利用线面角公式进行计算即可.【小问1详解】APB 为等腰直角三角形，且π2APB ∠=，过点P 作PO AB ⊥于O ，则O 为AB 的中点，AB = ,OA ∴=，连接OC ．平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO AC ∴⊥,又AC PC ⊥，PO PC P = ，PO ⊂平面POC ，PC ⊂平面POC ，AC ∴⊥平面POC ，又OC ⊂平面POC ，AC OC ∴⊥,又π4BAC ∠=，1AC ∴=．【小问2详解】以O 为坐标原点，过点O 作AC 的平行线为x 轴，,OC OP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(P ，()1,1,0A -，()1,1,0B -，()0,1,0C ，∴(1,1,PB =- ，()1,0,0CA =-，(0,CP =-．设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由n CA n CP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，得00n CA n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取y =，得()n = ．设直线PB 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,3PB n PB n PB n θ⋅====⋅ ．故直线PB 与平面PAC所成角的正弦值为3．22.已知圆1F：(2224x y ++=，点M 为圆1F上任意一点，)2F ，2MF 的中垂线交1MF 于点E ．（1）求点E 的轨迹方程．（2）设点()3,0T ，过点T 的动直线交E 的轨迹于P ，Q 两点，在E 的轨迹上是否存在一点A ，使得直线AP 的斜率和直线AQ 的斜率之和为定值？若存在，求出A 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）存在，()2,1±．【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义得到2a =,,a b c 关系即可；（2）设PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算并化简得()()()()20000022200261243623AP AQ x y m x m y x k k x m x +-+-+=-+-，则得到定点坐标.【小问1详解】由题可知2EF EM =，121112EF EF EF EM MF F F +=+===，所以E 点在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，设该椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），半焦距为c （0c >），由2a =a =2c =c =所以b =．故点E 的轨迹方程为22163x y +=．【小问2详解】设()00,A x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 不与x 轴重合时，设PQ 的方程为3x my =+，联立方程得221633x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222630m y my +++=，则12262m y y m +=-+，12232y y m =+，224240m ∆=->，得21m >．()()()()()()01020102010201020102AP AQ y y x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x --+----+=+=----()()()()00012120122012012223x y y x x my y x y y x x x x x x -+++-+=-++()()()()20000022200261243623x y m x m y x x m x +-+-=-+-．若AP AQ k k +为常数，则06120x -=，得02x =，可得01y =±．当()2,1A 时，2AP AQ k k +=-；当()2,1A -时，2AP AQ k k =+．当直线PQ 与x轴重合时，此时可取()),P Q，当()2,1A时，2AP AQ k k +==-；当()2,1A -时，2AP AQ k k +==．则上述结论也成立．所以存在满足题意的点A ，此时点A 的坐标为()2,1±．【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法并联立椭圆方程得到韦达定理式，然后计算并化简()()()()20000022200261243623AP AQ x y m x m y x k k x m x +-+-+=-+-，根据分式的性质得到定点坐标，最后不忘讨论斜率为0的情况.。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2.i 为虚数单位，若，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．23.抛物线的焦点坐标是 （ ） A ．B ．C ．D ．4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5.若是虚数单位，则乘积的值是A ．B ．C ．D ．6.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．7.在等差数列中，已知则等于（ ）A ．15B ．33C ．51D ．638.若DABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（ ） A ． B ． C ．D ．9.在等差数列｛｝中，已知，，则等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．4510.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A ．720 B ．144 C ．36 D ．12 11.在区间上随机取两个数，则事件“≤”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是（ ） A ．a n =2n-1 B ．a n = C ．a n = D ．a n =13.设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．C ．1D ．414.若，则A． B． C． D．15.方程表示的曲线是（）A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆16.的值是( )A． B． C． D．17.若向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件18.椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）A 8B9 C10 D1219.下列推理正确的是（）A．把与类比，则有B．把与类比，则有C．把与类比，则有D．把与类比，则有20.在中，，则的周长为（）A．B．C．D．二、填空题21.如图，在三棱柱中，侧面，且与底面成角，，则该棱柱体积的最小值为．22.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为．23.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．24.对于四面体ABCD，①相对棱AB与DC所在的直线是异面直线；②若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积。

高二数学试题答案及解析1.函数的导函数是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得；故选C.2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．【考点】1．对数的性质；2．充分必要条件．3.设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B.【考点】充要关系4.给定命题：对任意实数都有成立；：关于的方程有实数根．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】若为真，则或即；若为真，则，则，分真假、假真分别进行讨论.试题解析：若为真，则或即；若为真，则，则．又∵为真，为假，则真假或假真．①真假时，解得；②假真时，解得．综上，的取值范围为．【考点】逻辑联结词．5.已知函数的导函数为，且，则__________．【答案】【解析】 ,则，所以 .6.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，即，若，则，即由不一定能推出，故选A。

【考点】（1）不等式的基本性质；（2）充分必要条件的判断。

7.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；8.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.【名师】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.【考点】含一个量词的命题的否定.9.已知点在椭圆上，椭圆离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点，使得为定值.【解析】（1）依题意建立方程椭圆的方程为；（2）假设存在点,使得为定值, 设元和设直线的方程为,联立,存在点,使得为定值恒成立．试题解析：（1）因为点在椭圆上，椭圆离心率为,,解得椭圆的方程为．（2）假设存在点,使得为定值, 设,设直线的方程为,联立,得,,,,要使上式为定值, 即与无关, 应有,解得,存在点,使得为定值恒成立．【考点】1、椭圆的方程及其性；2、直线与椭圆．10.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线：交椭圆于，两不同的点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线不过点，求证：直线，与轴围成等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析．【解析】（Ⅰ）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，由离心率和点的坐标可分别得到关于的关系式，结合可求得值，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，借助于二次方程根与系数的关系可得到坐标与的关系式，证明三角形为等腰三角形转化为证明直线的斜率互为相反数，通过计算两斜率之和为0，来实现结论的证明.（Ⅰ）设椭圆方程为，因为，所以，又椭圆过点，所以，解得，，故椭圆的方程为（Ⅱ）将代入并整理得，再根据，求得.设直线，斜率分别为和，只要证即可.设，，则，，∴而此分式的分子等于可得因此，与轴所围成的三角形为等腰三角形.11.命题的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.【考点】1.全称命题；2.特称命题.12.函数，已知在时取得极值，则= （）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】对函数求导可得，，∵在时取得极值，∴,得故答案为：D.【考点】函数的导数与极值的关系.13.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系为R=R（x）=，则总利润最大时，每年生产的产品数量是．【答案】300．【解析】先根据题意得出总成本函数，从而写出总利润函数，它是一个分段函数，下面求其导数P′（x），令P′（x）=0，从而得出P的最大值即可．解析：由题意，总成本为C=20000+100x．∴总利润为：P=R﹣C=，P′=．令P′=0，即可得到正确答案，即x=300．故答案：300．点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．14.把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是．【答案】2 cm2．【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．令S′=x﹣2=0，则x=2，所以S=2．min故答案为：2 cm2．点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．15.若是假命题，则（）A．是真命题，是假命题B．均为假命题C．至少有一个是假命题D．至少有一个是真命题【答案】C【解析】当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.【考点】命题真假的判断.16.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线为l，分1两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则．又由，可解得，所以，所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设过焦点的直线为．①若的斜率不存在，则，即，显然当在短轴顶点或时，的面积最大，此时，的最大面积为.②若的斜率存在，不妨设为，则的方程为．设．联立方程：消去整理得：，所以则．因为，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．又点到直线的距离，所以，所以.将代入得．令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．显然，所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．17.设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.【考点】原命题与否命题.18.已知；．（Ⅰ）若是的必要条件，求的取值范围；（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可；（2）利用是的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．试题解析：由得，即，又．（1）若p是q的必要条件，则，即，即，解得，即m的取值范围是．（2）∵是的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即，解得或．即m的取值范围是．点睛：根据命题真假求参数的方法步骤（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围19.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，的周长为所求的椭圆成为，故选A．【考点】1.椭圆的几何性质；2. 椭圆的焦点三角形问题；3．椭圆方程的求法．20.已知命题,命题,若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题和，由是的充分不必要条件，可知，从而求出的范围：试题解析：：，解得；：，解得．∵，，∴，故有且两个等号不同时成立，解得，因此，所求实数的取值范围是．【考点】充分条件和必要条件的应用21.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.22.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】由抛物线定义得，选D.【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．2．若P（x0，y）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．23.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.24.已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．【答案】【解析】在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝＝.25.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．26.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率【答案】：【解析】设，则由题意，知．因为垂直于轴，则由双曲线的通径公式知，即，所以．又由，得，所以．【考点】双曲线的性质．【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率的常用方法有两种：（1）求得的值，直接代入求得；（2）列出关于的一个齐次方程（不等式），再结合消去，转化为关于的方程（或不等式）再求解．27.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．28.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A．B．C．或D．或【答案】C【解析】当焦点在轴时，设方程为，代入点，所以方程为，同理焦点在轴时方程为【考点】抛物线方程29.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．30.已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．【答案】3【解析】，所以．【考点】导数的运算．【名师】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．。