勾股定理（一）一、填空题1.._____,13,5)2(._____,3,2190======︒=∠∆b c a c b a C ABC 则若则）若（，中，在,60)5(._____,20,5:3:)4(.______,11,61)3(︒=∠======A b c c a a b c 若则且若则若且AC =7, 则___________,==BC AB .2.如图，2,45,,,//=︒=∠⊥⊥AD BAD AC BA DB AD BC AD , 则AB = , ABC ∆的周长为 .3.如果等边三角形的周长为12.________,2cm cm 则它的面积为4.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ,已知正方形的边长为22cm ，则图中阴影部 分的面积为 cm 2.5.已知直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的值为 .6.直角三角形一条直角边与斜边分别长为8厘米和10厘米，则斜边上的高等于 厘米.7.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是12 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱 爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________.二、单选题1.分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直 角三形的有：（ ）Ａ.４组 Ｂ.３组 Ｃ.２组 Ｄ.１组 2.如图，在直角三角形中，∠C ＝︒90，AC =3，将其绕B 点顺时针旋转一周, 则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ）Ａ.3π Ｂ.３π Ｃ.９π Ｄ.６π3.在△ABC 中，AB =12cm ， BC =16cm ， AC =20cm ， 则△ABC 的面积是( ) A.96cm 2 B.120cm 2 C.160cm 2 D. 200cm 24.如图，以直角三角形的三边为直径作半圆，画出两个月牙形（阴影部 分）.则有（ ）A. ABC S S ∆>阴影B. ABC S S ∆<阴影C.ABC S S ∆=阴影D.不能确定三、解答题1.“中华人民共和国道路交通管理条理”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车 速检测仪”正前方30米处，过了2秒后，测得 “小汽车”与“车速检测仪”间的距离变为 50 米，这辆“小汽车”超速了吗？CABDB2.请用下列图形证明勾股定理.3.某校一块三角形的废地开辟为动物园，如图所示，测得AC =80米，BC=60米，AB =100米. （1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长； （2）若线段CD 是一条小渠，且点D 在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点距A 点多远，水渠的造价最低？最低造价是多少？4.设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……如图所示． （1）设正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方形的边 长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的值； （2）根据以上规律写出n a 的表达式．5.若△ABC 的三边长a , b , c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试判断△ABC 的形状.6.如图所示,在△ABC 中，AB =17，BC =30，BC 边上的中线AD =8， 说明△ABC 是等腰三角形.7.如图是由5个同样大小的正方形组成的图形，将它分成3块，然后 拼成一个大正方形.b bc c c c b b b b a aaaaaabc cbaBCA勾股定理（一） 答案一、1.3714,16,60,12,13、； 2.42,422+； 3.34； 4.）（2-π； 5.52/32； 6.8.4 7.cm 193 二、BCAC三、1.解：m 40,m 30,m 50===BC AC AB )s /m (20240=÷20367003600100070<=÷⨯，故超速了. 2.解：由左图有：ab b a b a 2)(222++=+; 由右图有：421)(22⨯+=+ab c b a 比较两式有：222c b a =+3.解：（1）由︒=∠⇒=+90222C AB BC AC5021==AB EC 米 （2）当AB CD ⊥时，CD 最小，此时CD =48米，AD =64米,最低造价为480元. 4.解：（1）22,2,2432===a a a （2）1)2(-=n n a5.解：0)10()8()6(222=-+-+-c b a︒=∠⇒=+⇒===⇒9010,8,6222C c b a c b aABC ∆为直角三角形6.解：1521,8,17====BC BC AD AB ︒=∠⇒︒=∠⇒+=⇒9090222ADC ADB BD AD ABAC AB CD AD AC =⇒=+=⇒17227.如图，已知Rt △ABC ，以斜边AB 为斜边作等腰直角△ABD ，连接CD . （1）求ACD ∠的度数；（2）若AC =3，BC =5，求△ADB 的面积.解：（1）135°；（2）8.5角平分线定理的逆定理；面积如图，AC =BC ，︒=∠90ACB ，D 在AB 上，CD =CE ，︒=∠90DCE ，F 为AD 的中点，求AEB ∠与AFC ∠的关系. 解：︒=∠+∠180AFC AEB.在△BCD 中，DC =DB ，AD =AB ，连接AC ，∠ACD =30°. 求证：∠BAD =2∠DAC ；已知：OP 为∠MON 的平分线，点A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，BC 平分∠ABN ，交射线OP 于点C ，连接AC .求证：︒=∠+∠90OCB M AC ；证明：OCB OAB ∠=∠2故只要证AC 平分∠MABB图1CC图1BCEBBE CC EBC图1NB勾股定理（二）一、填空题1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、 2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁，想到B 点 去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________dm.2.如图，四边形ABCD ，BD AC ⊥于O , AB =5, AD =7,CD =8, 则BC = .3.如图，学校校园内有一块三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境. 预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资 元（精确到1元,732.13≈）.4.如图，小亮用一个锐角为30°的直角三角尺测量树高. 当他离树10米时，他的视线刚好沿眼前的三角尺的斜边穿过树顶C 点，若三角尺的一边和地面平行且相距 1.5米，这棵树高大约是 米(73.13,41.12≈≈).5.设一个直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ， 那么以c ＋h 、a ＋b 、h 为边构成的三角形形状是 .二、单选题1. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A.13 B.8 C.25 D.642. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ）3.在ΔABC 中∠C =90°，两直角边AC =7，BC =24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A.1B.3C.6D.非以上答案4.三角形的三条边分别为22b a +、22b a -、2ab ，则这个三角形是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定5.已知，如图长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形 折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A.3cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.12cm 2BFEDCBADBAO120︒30m20m72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)三、解答题1.一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为7米. (1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？2.如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为AC =10千米，BD =30千米，且CD =30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、 B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万. 请你在河流CD 上选择水 厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？3.已知:在Rt △ABC 中，、A C ∠︒=∠,90CB ∠∠、的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S , 周长为l .（1）填表：（2）如果m c b a =-+，观察上表猜想=lS（用含m 的代数式表示）. (3)证明（2）中的结论.4.如图，公路MN 上有一拖拉机由P 点向N 点行驶，在公路一侧A 点有一所中学，已知 PA =160m ，且︒=∠30NPA ．假设拖拉机在行驶时，100m 范围以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受影响，己知拖拉机的速度为18km ／h ，那么学校受影响的时间是多少秒？5.如图，CD 是△ABC 的边AB 上的高，且DB AD CD ⋅=2，求证：︒=∠90ACB .D CDBCAS/l 6428、15、175、12、133、4、5a+b-c三边a 、b 、c勾股定理（二） 答案一、1.25； 2.102； 3.7794（45003）； 4. 7.27（5.13310+）； 5.直角三角形提示：2.2222AD BC CD AB +=+ 5.222222)()(2121,h b a h c ch ab c b a ++=+⇒==+ 二、BCBCC提示：3.设这个距离为x ，连PA 、PB 、PC ，有BC AC x CA x BC x AB S S S S ABC PCA PBC PAB ⋅=⋅+⋅+⋅⇒=++∆∆∆∆21212121 3)(=⇒⋅=++⇒x BC AC x CA BC AB 5.设4)9(3,222=⇒-=+=x x x x AE 则 三、1.解：（1）22725-=24(米) （2）87)424(2522=---(米)2.解：如图，作A 关于CD 的对称点A ',连结B A '交CD 于M 即为所求50)1030(3022=++='=+B A BM AM (千米)150503=⨯(万)3.（1）如右表； （2）m 41； （3）证明：S ab c b a c b a c b a lm 42)())((22=--+=-+++=4m l S =⇒4.解：8021==PA AB m<100m ，受影响；如图，AE =AF =100m,则BE =BF =60m,EF =120m,当拖拉机在线段EF 上行驶时学校受噪音影响，时间为 243600181000120=⨯÷÷(秒)5.证明：222CD AD AC +=222CD BD BC +=222222CD BD AD BC AC ++=+⇒2222)(2AB BD AD BD AD BD AD =+=⋅++=︒=∠⇒90ACB30︒F EP NMB A勾股定理（三）一、填空题1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次为._______,,,,43214321=+++S S S S S S S S 则2. 如图，AM 是△ABC 的中线，︒=∠45AMC . 把△ACM 沿AM 对折，点C 落在点之间的和的位置，则C B BC C ''数量关系是 .3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其 中最大的正方形的边长为7cm, 则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ___________cm 2.4. 在一棵树的10米高B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____米.5. 如图，将矩形ABCD 沿BD 折叠，使C 落在C '处，C B '交AB 于E , AB =4, AD =8,则=∆BED S .6. 如图，︒=∠=︒=∠15,12,90B AB C ,那么=∆ABC S .二、单选题1. 在ABC ∆中，AB =15, AC =13,高AD =12,则ABC ∆的周长是（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或332. 已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要 在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最 合理的方案是（ ）C BAEC 'DCBA3. 直角三角形有一条直角边长是11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（ ） A.132 B.121 C.120 D.以上都不对4. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为︒75，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为︒45. 这间房子的宽AB 是（ ）A.米2b a +B.米2b a - C.b 米 D.a 米三、解答题1. 如图，请在坐标轴上标出 （1）表示20的点； （2）表示7的点.2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，M 为AD 的中点，BE ⊥CM 于E, 求BE 的长.3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力. 如图所示，据气象部门观测，在沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心20km,风力就会减弱1级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？4. 如图，在ABC ∆中，E CB CA ACB ,,90=︒=∠、F 是AB 上两点且,45︒=∠ECF 求证：222BF AE EF +=.MEDCBANMCBA75︒45︒FECBA勾股定理（三） 答案一、1.4； 2.C B BC '=2; 3.49; 4.15; 5.10; 6.18 提示：1.根据勾股定理，3,124232221=+=+S S S S 6. 如图给出两种做法：二、CDAD提示：3.设另两边为b 、c ，则⎩⎨⎧=+=-⇒=+-⇒=+121111))((112222b c b c b c b c c b 4.如图，MCN ∆为正三角形MDN MAC ∆≅∆⇒三、1.略2.解：558 3.解：（1）220÷2=110 110÷20=5.5 12-5.5=6.5>4 受影响；（2）154小时 （3）6.5级4. 如图给出两种做法：12DCBA x 3x2x2x126A'D12C BA勾股定理（四）1．（西宁）如图，某建筑物直立于水平地面，9BC =米，30B ∠=°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20阶（最后一阶不足20 1.732）．2. (北京)如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ', 折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则N A '= ; 若 M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数）， 则N A '= （用含有n 的式子表示）. 3．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为 ．4．(哈尔滨)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）.5．（哈尔滨） 图（a ）、图（b ）、图（c ）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸 中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的 图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．6．（哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7．（哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．AC8. 如图，在△ABC 中，AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6，则BC 的 长为 .9. 如图，在等腰Rt ,7,90=∆︒=∠∆PA ABC P C ABC 内一点，是中， PB =3, PC =1, 则APC ∠的度数为 .10. 设正△ABC 的边长为2，M 为AB 边的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记为s 和t , 则22t s -等于（ ）A.32B.33C.34D.以上都不对11. 如图，已知ΔABC 是等边三角形，边长为6，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥A C 于F ，FD ⊥AB 于D ，求AD 的长.12. (1)如图（1），在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ,∠ACD =∠ADC ,求证：AB +AC >22CD BC +(2)如图（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ,试判断2224)(CD AB BC AC ++与的大小.13. 如图，,90︒=∠=∠CAD C BD 交AC 于E , DE =2AB . 求 证:ABC DBC ∠=∠3114.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ， 求证：222BC BA BD +=.PCBA(1)DCBA(2)DCBAE DCBADCBADBCA FEDCBA勾股定理（四）答案1.26；2.n n 12,23-；3.512/25； 4.34+； 5.6.A ；7.640；8.612提示：中线加倍；9.︒135提示：将△ACP 绕C 顺时针旋转90° 至△BCQ ，连PQ ，则由勾股定理的逆定理知，∠PQB =90°；10.C 提示：如图，7)23()25(,3222=+=+=t s ；11.2；12.（1）略；（2）2224)(CD AB BC AC +≥+；证明如下： 如图，AE CE AC ≥+,即224CD AB BC AC +≥+两边平方即得.13.提示：取CD 的中点M ，连AM . 14.证明：向外作正△ABE ，连AC 、CE , 则有正△ACD , ∠EBC =90°，且有 △ABD ≌△AEC ,于是对Rt △EBC 应用勾股定理即得.补充题 如图，在正方形ABCD 中，边长为a 4，F 为DC 的中点，E 为BC上一点，且BC CE 41=.问：AF 与EF 垂直吗？请说明理由.如图，有一张L 型纸片，由5个边长为1的小正方形组成. 通过它的内侧拐角点A 切一刀，将纸片恰好分成面积相等的两部分，那么刀痕MN 的长度是多少？答案：15如图，A B C ∆是等腰直角三角形，AB=AC , D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF , 若BE =12,CF =5,求△DEF 的面积.如图，在ABC ∆中，AB CD B A ⊥∠=∠,2于D ，M 为AB 的中点. 求证：DM =AC 21. FED CBAFEDCBAA勾股定理（例题）例1．（1）直角三角形两条直角边的长为5、12，则斜边上的高是 . （2）等边三角形的面积是23cm ，则它的周长是 . （3）等腰三角形的两条边是，则它的面积是和cm cm 24 . （4）直角三角形的两条边为，则第三条边为和86 .例2.（1）等腰三角形底边上的高为，则三角形的面积为，周长为cm cm 164 . （2）若一个直角三角形三边的长是三个连续的整数，则它的面积为 .例3.（1）已知三角形三边长分别为，、、cm cm cm 321则此三角形最短边上的高为（ ） A.cm 1 B.cm 2 C.cm 3 D.cm 2 （2）是，那么满足，，的三边若ABC c b a c b a c b a ABC ∆++=+++∆108650222（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定例4.（1）如图,四边形4390==︒=∠AB AD BAD ABCD ，，中，， ，，1312==CD BC 求ABCD 四边形的面积.（2）在的面积，求，，中，ABC AB B BAC ABC ∆=︒=∠︒=∠∆64575. （3）如图,四边形，，，，中，126090==︒=∠︒=∠=∠CD AB A D B ABCD 求ABCD 四边形的面积.例5.（1）如图，，是角平分线，，中，5.190=︒=∠∆CD AD C ABC的长，求AC BD 5.2=.（2）矩形纸片ABCD 中，AD =4,AB =10,按如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ,则DE = ,EF = .(3) 如图，，于，，，中，D BC AD BC AC AB ABC ⊥===∆675=AD 则 . 三边5、6、7，求面积（(4)如图，的斜边，中线是ABC AB ∆Rt AD 的长为7，中线BE 的长为4，则AB 的长为多少？（5）如图，正方形ABCD 外有一点P ，5,2,17===PC PB PA 若,则PD 的长为（ ）A.52B.19C.23D.1711111111111111例6. （1）如图，正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为8，一只蚂蚁欲从 点A 沿棱柱的表面到顶点C '处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长 是多少？（2）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于 他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ABCDC /EFDCBAABCDA BCDA B CDABCED/PD CBA例7.（1）如图，在，于的中点为，中E AB DE AC D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 求证：222BC AE BE +=.（2）如图，上任意一点，求证：为底边中，等腰BC P ABC ∆ CP BP AP AB ⋅+=22.例8. 若一个三角形的三边长分别为3、10、13，请在给出的5×5的方格内画出这个三角形，并求出它的面积.例9. 如图，在，求证：的中点为，中DF DE AB D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 222BF AE EF +=.例10. （1）已知直角三角形两直角边长分别为l 、m ,斜边长为n ,且l 、m 、n 均为正整数，l 为质数. 证明：2（l +m +1）是完全平方数.（2）若直角三角形的三边长都为整数，且面积的数值等于周长的数值，那么这样的三角形有几个，分别求出它们的三边长.例11. 如图，已知,17,,111111=∠=∠AA B A BB PP AA B A 均垂直于、、 PB AP B A BB PP +===则,12,20,161111的值是（ ） A.12 B.13 C.14 D.15例12. 如图，CD 是Rt CAB ABC ∠∆斜边上的高，的平分线分别交CD 、BC 于E 、F , EG //AB 交BC 于G , 求证：CF =BG .例13. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，5=PC ，3=PA ，4=PB ，求A P B∠的度数． 例14.,60,45,2,,︒=∠︒=∠=∆APC ABC PB PC BC ABC P 若且上一点边为如图的度数求ACB ∠.新如图，在△ABC 中，︒=∠=90,BCA BC AC ，P 为△ABC 内部一点，且2,135=︒=∠PB BPC ,求△PAB 的面积. 解：2.CADEABCPP 1B 1A 1PBAGFE DCBACABDEFPCBABBQ勾股定理（五）一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（ ） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（ ） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（ ） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后， 能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一 只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测 得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方 向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA勾股定理（五）答案一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺 由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺. 2.解：设点P 到直线AC 的距离为xkm ，则18636,312<+==+x x x ，故有触礁的危险.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF 设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SAEB勾股定理测试一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（ ） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（ ） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（ ） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后， 能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一 只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA答案：一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺 由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺.2.解：作,,PA P l B A A l A ，连于交连的对称点关于河这岸''则 B A PB AP '=+根据两点间线段最短知B A '即为最短路线，由题意，18,15=='BC C A)(178152222km BC C A B A =+=+'='答：最短距离为17千米.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC 64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SA EB。
