3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为
()
aaH++−+=σσλ
ℏ
。如果原子t=0时刻处于激发态|e>，而光场处于相
干态|α>，计算任意时刻t原子处于基态|g>的概率Pg(t)，并作出
图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。为方便取α=1）。
解：用光子数态可将|α>展开为
()
∑
∞
=〉=〉0n
||
nnFα
其中：n!2||-expnFn2αα）（）（=为光子数的统计分布
在相干态|ɑ>中，观察到n个光子的概率P（n）满足泊松分布：
()
()
2
2
exp!αα−=
n
nP
n
在t=0时原子处于激发态|e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为：
()()
∑
∞
=〉=〉〉=〉0n
ne|ne||0|，
Fαψ
在t时刻，由于光场与原子之间的相互作用，假设系统的态矢演化为：
()()()()
[]
∑
∞
=+++=0n
1
1,,ant
ngtbnetFnnψ
由薛定谔方程()()tHtiψψ=（取1=ℏ），根据初始条件
()
()
⎩
⎨
⎧
==+00
10
1
n
n
b
a
易解得系数为：
()
()
()
()
⎩
⎨
⎧
+−=+=+1sin
1cos
1
ntitbnttannλ
λ
处于基态|g>的概率为：
()()
()()
2
2
n2
021021sin)n!2||-exp()(+==∑∑∞=+∞=
nttbnFtPnnngλ
αα
）（
作图：
取λ=0.1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=5用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=10用mathematics作图如下
23、压缩态的另一种定义：|α>g=D(α)S(ξ)|0>。.我们学过的压缩
态为|β>g=S(ξ)D(β)|0>。若|α>g=|β>g，利用它们关于X1=1/2(a+a+)
和X2=-i/2(a-a+)的涨落图，求出α和β的关系。
解：
平移算符为：
()
()
aaD*expααα−=+其中φααie
=
()
()
aaD*expβββ
−=
+
其中
ϕββi
e
=
压缩算符为：
()
⎟⎠⎞⎜
⎝
⎛
−=+22*2121expaaSξξξ其中θξier=
由压缩相干态的两种定义可知：
()()
0ξααSDg=
()()
0βξβDSg=
其中
()
()
()
nnnrerSnnnig22!!2tanhcosh100021∑∞=−==θξ
()
()
()()
()
kmnkmnmnnnrere
Dnmkkmnnnigg+−−−−==∑∑∑=∞=∞=−2!!2!!22!!2tanhcosh10200021212αααα
θ
α
()
∑
∞
=−==0
2
1
!
0
n
n
nneDαββ
α
()
()()∑∑∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==020cosh2sinh21221g!2!sinh·cosh22!)1(
cosh
sinh
)cosh!(
2
*
2
nm
imrreninmnmrernerrernSiπθ
ββ
θ
β
βξβ
θ
定义两个厄米算符：
X1=1/2(a+a+)
X2=-i/2(a-a+)
X1，X2是描述光场的两个正交分量的振幅，且有：
[]
2
,21iXX=
计算求得光场gα、β和gβ的X1，X2分量的量子涨落和期望值分别
为：
()
⎟⎠⎞⎜
⎝
⎛
+=∆−2sin2cos
4
1
2222
2
1
θθ
rr
eeX
()
⎟⎠⎞⎜
⎝
⎛
+=∆−2cos2sin
4
1
2222
2
2
θθ
rr
eeX
φααααcos11==ggXX
φααααsin22==ggXX
ϕββββcos111==XX
ϕββββsin212==XX
()
[]
rhrXXggsinhcoscoscos11ϕθϕβββ
β
−−==
()
[]
rhrXXggsinhsincossin22ϕθϕβββ
β
−−==
用图像描述压缩相干态的产生过程如下：
β
α
X
2
X
2
X
1X1
α
β
1β
1β
D(α)
D(β)
S(ξ)
S(ξ)
因为gα=gβ，所以gα和gβ的期望值相等，即：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
βα
βα
22
11
XX
XX
即：
()
[]
()
[]
⎩
⎨
⎧
−−=−−=rrrrsinhsincoshsinsin
sinhcoscoshcoscos
ϕθϕβφα
ϕθϕβφα
因为φαφααsinicos+=，将上式代入，有：
()[]()
[]
rrrrsinhsincoshsinisinhcoscoshcosϕθϕβϕθϕβα
−−+−−=
可化为：
reisinhcoshr*θββα
−=
