人教B版高中数学必修四高一模块综合检测(C).docx

模块素养评价(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z1=7-6i,z2=4-7i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.z1-z2=(7-6i)-(4-7i)=(7-4)+[-6-(-7)]i=3+i,则z1-z2对应的点为(3,1),在第一象限.2.设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ( )A. B. C. D.2【解析】选C.因为z===i(1-i)=1+i,所以|z|=.3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边长为( )A. B. C. D.【解析】选B.A=180°-(60°+45°)=75°,故最短边为b,由正弦定理可得=,即b===.4.如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9cm3,则其表面积为( ) A.18cm2B.18cm2C.12cm2D.12cm2【解析】选A.设正四面体的棱长为acm,则底面积为a2cm2,易求得高为acm,则体积为×a2×a=a3=9,解得a=3,所以其表面积为4×a2=18(cm2).5.若z=4+3i,则= ( )A.1B.-1C.+iD.-i【解析】选D.==-i.6.在△ABC中,∠B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= ()A.1B.2C.D.2【解析】选C.如图,在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB=.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,所以∠BAD=180°-45°-120°=15°.所以∠BAC=30°,∠C=30°,BC=AB=.在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC=.7.在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A(对应A′)与C的距离为1,则二面角C-BM-A′的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选C.如图所示,由AB=BC=1,∠ABC=90°,得AC=.因为M为AC的中点,所以MC=A′M=,且CM⊥BM,A′M⊥BM,所以∠CMA′为二面角C-BM-A′的平面角.因为A′C=1,MC=A′M=,所以∠CMA′=90°.8.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000米,到达B处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标C的距离为世纪( )A.5000米B.5000米C.4000米D.4000米【解析】选B.如图,在△ABC中,AB=10000米,A=30°,C=75°-30°=45°.根据正弦定理,BC===5000(米).二、多选题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的值可以为( ) A.2D.3【解析】选BC.由题意得⇒⇒2<a<2.故选BC.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,下面选项中正确的有( )A.EF⊥AA1B.EF∥AC;C.EF与AC异面D.EF∥平面ABCD【解析】选AD.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以A选项正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以C选项不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以B选项不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以D选项正确.11.如图,在三棱锥P-ABC中,能推出AP⊥BC的条件是( )A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC【解析】选ACD.对于选项A:因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;对于选项B:由AP⊥PB,BC⊥PB条件不能判断出AP⊥BC.对于选项C:因为平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC, 所以AP⊥BC,故C正确;对于选项D:由A知D正确.12.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是世纪( )A.不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DECB.不论D折至何位置,都有MN⊥AEC.不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥ABD.在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.【解析】选ABD.分别取CE,DE的中点Q,P,连接MP,PQ,NQ,可证MNQP是矩形,所以AB正确;因为MN∥PQ,AB∥CE,若MN∥AB,则PQ∥CE,又PQ与CE相交,所以C错误;当平面ADE⊥平面ABCD时,有EC⊥AD,所以D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.【解析】由题意知,复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i是纯虚数,则实部a+2=0,且虚部1-2a≠0,解得a=-2. 答案:-214.设z2=z1-i(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-i=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.【解析】因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,因为E为AD的中点,所以F为DC中点.故EF=AC=.答案:16.等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长等于________. 世纪【解析】如图,AB=AC=2a,BC=a,设BC中点为D,连接AD,则AD⊥BC.在Rt△ABD中,cosB===.设AB中点为点E,连接CE,则在△BEC中,BE=BC=a,由余弦定理CE2=CB2+BE2-2CB·BE·cosB=a2+a2-2a2·=2a2-a2=a2,所以CE= a.答案: a四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.求:(1)角C的大小.(2)AB的长度.【解析】(1)在△ABC中,cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,又0°<C<180°,所以C=120°.(2)由题设,得所以由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,所以AB=.18.(12分)若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.【解析】方法一:设z=x+yi(x,y∈R),依题意有|x+2+(y-2)i|=1,得(x+2)2+(y-2)2=1 (*).又|z-2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|=,将(*)式代入得|z-2-2i|==.由(*)式知|x+2|≤1,即-3≤x≤-1.故当x=-1时,|x-2-2i|取得最小值3.方法二:设z=x+yi(x,y∈R),则|z+2-2i|=|x+2+(y-2)i|=1表示圆心为A(-2,2),半径为1的圆,而|z-2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|表示圆A上的点到点(2,2)的距离,如图所示,显然其最小值为4-1=3.方法三:|z-2-2i|=|(z+2-2i)-4|≥||z+2-2i|-4|=|1-4|=3.当且仅当z+2-2i=|z+2-2i|=1,即z=-1+2i时,等号成立.故|z-2-2i|的最小值为3.【加练·固】已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数,(1)求m对应的点的轨迹.(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则==,因为为纯虚数,所以即所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,由已知m=z-(3+3i),所以|z-(3+3i)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,以3为半径的圆上.结合图形可知|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB.(2)求四面体N-BCM的体积.【解析】(1)由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=×S△BCM×=.20.(12分)某工程队在某海域进行填海造地工程,欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内),建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B,C两点的视角∠BDC=60°,如图所示,记∠CBD=θ,如何设计θ,使得飞机跑道AD最长?世纪【解析】在△BCD中,BC=1,∠BDC=60°,∠CBD=θ.由正弦定理得=,所以BD==cosθ+sinθ.在△ABD中,AB=1,∠ABD=60°+θ.由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos(60°+θ)=12+(cosθ+sinθ)2-2×1××=1+sin2θ+sinθcosθ=+sin(2θ-30°).所以当2θ-30°=90°,θ=60°时,跑道AD最长.21.(12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.(1)求证:平面EDB⊥平面EBC.(2)求二面角E-DB-C的正切值. 世纪【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.所以△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.所以∠DEC=90°,即DE⊥EC.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,又DE⊂平面D1DCC1,所以BC⊥DE.又EC∩BC=C,所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB,所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为平面ABCD⊥平面D1DCC1,且交线为DC,所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连接EF,所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=,又OE=1,所以tan∠EFO=.22.(12分)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q 为SB的中点.(1)求证:CD⊥平面SAD.(2)求证:PQ∥平面SCD.(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD,并证明你的结论. 世纪【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.(2)取SC的中点R,连接QR,DR.由题意知PD∥BC且PD=BC.在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,所以QR∥BC且QR=BC.所以QR∥PD且QR=PD,则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD,DR⊂平面SCD,所以PQ∥平面SCD.(3)当点N为SC的中点时,平面DMN⊥平面ABCD.证明如下:连接PC,DM交于点O,连接PM,SP,NM,NO,因为PD∥CM且PD=CM,所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.又因为N为SC的中点,所以NO∥SP.因为SA=SD,P为AD的中点,所以SP⊥AD.因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,所以SP⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD.【加练·固】在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于D,E,又SA=AB,SB=BC.(1)求证:BD⊥平面SAC.(2)求二面角E-BD-C的大小.【解析】(1)如图,因为DE⊥SC,且E为SC的中点,又SB=BC,所以BE⊥SC.又DE∩BE=E,根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE,因为BD⊂平面BDE,所以SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以SA⊥BD.又SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角,又△SAC∽△DEC,所以∠EDC=∠ASC.在Rt△SAB中,∠SAB=90°,设SA=AB=1,则SB=.由SA⊥BC,AB⊥BC,AB∩SA=A,所以BC⊥平面SAB,SB⊂平面SAB,所以BC⊥SB.在Rt△SBC中,SB=BC=,∠SBC=90°,则SC=2. 在Rt△SAC中,∠SAC=90°,SA=1,SC=2.所以cos∠ASC==.所以∠ASC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.。

模块综合检测（A ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A ．1213B ．513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( )A ．12B ．－2C ．－7D ．33．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．25B ．－25C ．25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A ．32B ． 3C ．2 3D ．127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C ．34D ．1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4B ．⎣⎡⎦⎤π4，5π12C ．⎣⎡⎦⎤π12，5π12D ．⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin 2010°等于________．14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ等于________．15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的射影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b ．19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )．(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255．(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α．模块综合检测(A) 答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213．]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b ．∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3．]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16．]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α．∴tan α＝－2．∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25．] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π．∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30° ∴a ·b ＝3，故选B ．]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23．]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7．]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14．∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B ．]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB→的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB ．∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，∴∠COM ＝∠CON ＝π6，又∵∠COB ＝π4．∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12．] 13．－12解析 sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12．14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0．∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1．15．2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的射影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105．16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)．17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013． (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12．18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2．(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤42．又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为42．(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b ． 19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45．又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55．(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ．∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12．又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22．20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ．所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12． 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1． 因此1≤g (x )≤1＋22．故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1． 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝3．(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1．22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1， |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35．(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π．由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213．∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365．。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).(·四川高考)设向量＝()与向量＝()共线，则实数＝( )【解析】∵∥，∴×－＝，解得＝.【答案】.如果一扇形的弧长为π ，半径等于，则扇形所对圆心角为( )π .π【解析】θ＝＝＝π.【答案】.设α是第二象限的角，()为其终边上的一点，且α＝，则α＝( ).－.－【解析】∵点()在角α终边上，则有α＝＝.又≠，∴＝，∴＝或－.又α是第二象限角，∴＝－，∴α＝＝＝－.【答案】.(·全国卷Ⅰ)已知函数()＝(ω＋φ)，＝－为()的零点，＝为＝()图象的对称轴，且()在上单调，则ω的最大值为( )【导学号：】【解析】因为()＝(ω＋φ)的一个零点为＝－，＝为＝()图象的对称轴，所以·＝(为奇数).又＝，所以ω＝(为奇数).又函数()在上单调，所以≤×，即ω≤.若ω＝，又φ≤，则ω＝－，此时，()＝，()在上单调递增，在上单调递减，不满足条件.若ω＝，又φ≤，则φ＝，此时，()＝，满足()在上单调的条件.故选.【答案】.(·广东高考)在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，＝(，－)，＝()，则·＝( )【解析】由四边形为平行四边形，知＝＋＝(，－)，故·＝()·(，－)＝.【答案】.(·本溪高一检测)已知＝，则＋＝( ).±.±【解析】∵＝，∴＋＝＋＋＝＝＝＝.【答案】.(·重庆高考)若非零向量，满足＝，且(－)⊥(＋)，则与的夹角为( ).π【解析】由(－)⊥(＋)得(－)·(＋)＝，即－·－＝.又∵＝，设〈，〉＝θ，即－··θ－＝，∴－·θ－＝.∴θ＝.又∵≤θ≤π，∴θ＝.。

模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a+=a-bi不一定为纯虚数;若a+=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0.2.△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )A.4B.5C.5D.6【解析】选C.因为S△ABC=acsin B=2,所以c=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=25,所以b=5.由正弦定理得2R==5(R为△ABC外接圆的半径).3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)= ( )A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.====-i.4.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=1,sin B=,C=,则b的值为( )A.1B.C.或D.±1【解析】选C.在△ABC中,sin B=,0<B<π,所以B=或,当B=时,△ABC为直角三角形,所以b=a·sin B=;当B=时,A=C=,a=c=1.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos =3,所以b=.5.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是( )A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】选D.如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,则AM===a,又AD=a,DM=,所以AD2=DM2+AM2,所以∠AMD=90°.6.如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=120°,若把△ABC绕直线AB旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A.11πB.12πC.13πD.14π【解析】选B.△ABC绕直线AB旋转一周,所形成的几何体如图所示.已知BC=4,∠ABC=120°,所以CO=2,所以几何体的体积V=·π·CO2·AB=12π.【补偿训练】在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为( ) A. B.C. D.【解析】选B.如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接PE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AE∩PA=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.因为AE==,PA=1,所以PE==.7.在△ABC中,三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(b-c)sin B=2csin C且a=,cos A=,则△ABC的面积等于( ) A. B. C.3 D.3【解析】选A.由正弦定理,得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,得b=2c或b=-c(舍).由a2=b2+c2-2bccos A,得c=2,则b=4.由cos A=知,sin A=,S△ABC=bcsin A=×4×2×=.8.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64πC.144πD.256π【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时V O-ABC=V C-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.【补偿训练】如图,在三棱锥A-BCD中,V A-BPQ=2,V C-APQ=6,V C-DPQ=12,则V A-BCD等于( )A.20B.24C.28D.56【解析】选B.由===,所以=.所以V B-PDQ=V C-PDQ=4,因而V A-BCD=2+6+12+4=24.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知i是虚数单位,z=,则下列结论中正确的是( )A.z=-iB.z=iC.=-iD.|z|=1【解析】选BCD.z====i,所以=-i,|z|=1,故BCD正确.10.满足下列条件的三角形有两解的有( )A.b=3,c=4,B=30°B.a=5,b=8,A=30°C.c=6,b=3,B=60°D.c=9,b=12,C=60°【解析】选AB.选项A中csin B<b<c,故有两解;选项B中bsin A<a<b,故有两解;选项C中b=csin B,有一解;选项D中c<bsin C,无解.所以有两解的是选项AB.11.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则错误的是( )A.β内必存在直线与m平行且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选ABD.作两个相交平面,交线为n,使得直线m⊥α,假设β内一定存在直线a与m平行,因为m⊥α,而a∥m,所以直线a⊥α,而a⊂β,所以α⊥β,这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾,所以β内不一定存在直线a与m平行,因为直线m⊥α,n⊂α,又n⊂β,所以m⊥n,所以在β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直.【补偿训练】设a,b为两条直线,α,β为两个平面,则正确的命题是( )A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b【解析】选D.A中,a,b可以平行或异面;B中,a,b可以平行或异面或相交;C中,α,β可以平行或相交.12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值可以为( ) A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选AB.因为S△ABC=2=bcsin A,sin A=,所以bc=6,cos A=,又因为a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知z0=2+2i,|z+z0|=,当z=__________时,|z|有最小值,最小值为__________. 【解析】因为|z+z0|=,所以复数z所对应的点Z在以C(-2,-2)为圆心,半径为的圆上,画出图形(图略),由图形知|z|的最小值为-=,此时,点Z是线段OC与圆的交点,线段OC的方程是y=x(-2≤x≤0),圆的方程是(x+2)2+(y+2)2=2,联立方程组解得所以复数z=-1-i.答案:-1-i14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,C=45°,1+=,则A=______,边c的值为__________.【解析】在△ABC中,因为1+=1+====.由正弦定理得=,所以cos A=,所以A=60°.又因为a=2,C=45°.由=得,=,所以c=2.答案:60°215.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c满足2b=a+c,B=,则cos A-cos C=________.【解析】因为2b=a+c,由正弦定理得2sin B=sin A+sin C,又因为B=,所以sin A+sin C=,A+C=.设cos A-cos C=x,可得(sin A+sin C)2+(cos A-cos C)2=2+x2,即sin2A+2sin Asin C+sin2C+cos2A-2cos Acos C+cos2C=2-2cos (A+C)=2-2cos =2+x2得x2=,所以cos A-cos C=±.答案:±16.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.【解析】由已知连接BD,B1D1,则BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中点E,F.连接EF,D1E,D1F,则D1E=D1F=,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圆的圆心是B1C1的中点O,OE=OF=,球面与侧面BCC1B1的交线是侧面上以O为圆心,为半径的圆弧EF,的长为·2π=π.答案:π四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.(1)求cos ∠CBE的值;(2)求AE.【解析】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°.所以cos ∠CBE=cos 15°=cos (45°-30°)=.(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理,得=,故AE===-.18.(12分)已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数.(1)求m对应点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则==,因为为纯虚数,所以即所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,已知m=z-(3+3i),则|z-(3+3i)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,3为半径的圆上.可知|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.19.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,求V1∶V2的值.【解析】如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,连接A2B2,B2C2,A2C2,则得到三棱柱ABC-A2B2C2,且=,延长B1E,C1F,则B1E与C1F 相交于点A2.因为A2A∶A2A1=1∶2,所以=.又==×==,所以V1=7=,故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.20.(12分)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA=.(1)求角A的大小;(2)当a=时,求c2+b2的最大值,并判断此时△ABC的形状.【解析】(1)由已知及余弦定理,得=,sin A=,因为A为锐角,所以A=60°.(2)由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C=2sin(120°-B).c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]=4=4-cos 2B+sin 2B=4+2sin(2B-30°).由得30°<B<90°,所以30°<2B-30°<150°.当sin(2B-30°)=1,即B=60°时,(c2+b2)max=6,此时C=60°,△ABC为等边三角形.【一题多解】由余弦定理得()2=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=3.因为bc≤(当且仅当b=c时取等号),所以b2+c2-≤3,即b2+c2≤6(当且仅当b=c时取等号).故c2+b2的最大值为6,此时△ABC为等边三角形.21.(12分)如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【证明】(1)如图,设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,所以四边形CEFG为平行四边形,又因为CE=EF=1,所以▱CEFG为菱形,所以EG⊥CF.在正方形ABCD中,AC⊥BD.因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,所以BD⊥平面CEFG,所以BD⊥CF. 又因为EG∩BD=G,所以CF⊥平面BDE.【补偿训练】如图所示,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因为==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF,所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知,BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan 60°=,所以AC==.由AB2=AE·AC,得AE=,所以λ==.22.(12分)如图所示,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.【一题多解】在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.。

必修第四册综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2＋3i ＝z i(其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为( B )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：2＋3i ＝z i ，∴z ＝2＋3i i ＝3－2i ，虚部为－2，故选B.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，A ＝π4，则B ＝( C )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以222＝3sin B ，所以sin B ＝32， 又因为b >a ，所以B >A ，所以B ＝π3或2π3，故选C.3．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误的是( D )A ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nB ．若n ⊥α，n ∥m ，则m ⊥αC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β解析：逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，选项A正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n⊥α，n∥m，则m⊥α，选项B正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，m∥β，则平面β内存在直线l，满足l∥m，则l⊥α，然后利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，选项C正确；在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取平面α，β分别为平面ABCD，ADD1A1，直线m为棱B1C1.满足α⊥β，m∥α，但是不满足m⊥β，选项D错误．故选D.4．复数z＝－21＋3i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z ＝－21＋3i ＝－2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－2＋23i 1－3i 2 ＝－2＋23i 4＝－12＋32i ， 所以复数z 所对应的点为(－12，32)，它在第二象限，故选B.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin A －sin B sin C ≥c －b a ＋b ，则( D )A ．A 的最大值为π6B ．A 的最小值为π6C ．A 的最大值为π3D ．A 的最小值为π3解析：由正弦定理得a －b c ≥c －b a ＋b，化简得b 2＋c 2－a 22bc ≤12，由余弦定理得cos A ≤12，故π3≤A <π，故选D.6．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，所有棱长均为3，P 是底面ABC 中心，则P A 1与平面ABC 所成角大小是( B ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6解析：连接AP ，因为侧棱与底面垂直，所以∠A 1P A 即为P A 1与平面ABC 所成的角，因为P 是底面A 1B 1C 1中心，所以AP ＝23×32×3＝1，在Rt △AP A 1中，tan ∠AP A 1＝AA 1AP ＝3，∠AP A 1＝π3，所以P A 1与平面ABC 所成角大小为π3.故选B.7．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的( C )A ．棱长B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离解析：设正四面体的棱长为a ，∵P 是正四面体内的一点，∴正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m ，n ，p ，q ，棱长为a 的正四面体的四个面的面积都是S ＝12×a ×a ×sin60°＝34a 2.又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为a ×sin60°＝32a ， 故底面中心到底面顶点的距离都是33a .由此知顶点到底面的距离是 a 2－(33a )2＝63a . 此正四面体的体积是13×34a 2×63a ＝212a 3.∴212a 3＝13×34a 2(m ＋n ＋p ＋q )，解得m ＋n ＋p ＋q ＝63a .∴P 到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．故选C.8．已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值X 围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 C ．(0，3) D ．(－1,0)解析：由题意得：b 2－c 2＝a 2－3ac ，即cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π6. sin A －2cos C ＝sin A －2cos(π－A －B )＝sin A ＋2cos(A ＋B )＝sin A ＋2cos A cos B －2sin A sin B ＝sin A ＋3cos A －sin A＝3cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<C ＝5π6－A <π2， 解得：π3<A <π2.∴cos A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴3cos A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32， 即sin A －2cos C 的取值X 围为(0，32)，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z 满足i 2k ＋1z ＝2＋i ，(k ∈Z )，则z 在复平面内对应的点可能位于( BD )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i 2k ＋1z ＝2＋i ，∴z ＝2＋ii 2k ＋1， ∵i 1＝i 5＝…＝i ，i 3＝i 7＝…＝－i.当k 为奇数时，∴z ＝2＋ii 2k ＋1＝2＋i －i ＝(2＋i )i －i ×i＝－1＋2i ， 在复平面上对应的点为(－1,2)位于第二象限；当k 为偶数时，∴z ＝2＋i i2k ＋1＝2＋i i ＝(2＋i )i i ×i ＝1－2i ， 在复平面上对应的点为(1，－2)位于第四象限，故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限．故选BD.10．下列所给的四个命题中，是真命题的为(ABD)A．两个共轭复数的模相等B．z∈R⇔z＝zC．|z1|＝|z2|⇔z1＝±z2D．|z|2＝z·z解析：对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，|z|＝|z|＝a2＋b2两个共轭复数的模相等，故A正确；对于B，z∈R⇔z＝z，故B正确；对于C，例如z1＝1＋i，z2＝2，满足|z1|＝|z2|但不满足z1＝±z2，故C错误．对于D，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，此时，|z|2＝z·z＝a2＋b2，故D正确，故选ABD.11．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法成立的是(ACD)A．水的部分始终呈棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值解析：A 中水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA 1B 1B 平行平面CC 1D 1D 即可判断A 正确；B 中水面四边形EFGH 的面积不改变；EF 是可以变化的，而EH 不变的，所以面积是改变的，B 是不正确的；C 中棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A 1D 1∥EH ，所以结论正确；D 中当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值，水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选ACD.12．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE 、DF 、EF 折起，使A 、B 、C 重合于点P .则下列结论正确的是( ABC )A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．二面角P -EF -D 的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心解析：对于A 选项，作出图形(如图)，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知△BEF 和△DEF 为等腰三角形，故PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确；根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确；根据A 选项可知∠PHD 为二面角P -EF -D 的平面角，设正方形边长为2，因此PE ＝PF ＝1，PH ＝22，DH ＝22－22＝322，PD ＝AD ＝2，由余弦定理得：cos ∠PHD ＝PH 2＋HD 2－PD 22PH ·HD＝13，故C 正确；由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，即D 错误．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin B－a sin A ＝12c sin C, cos A ＝14，则b c 的值为3.解析：由正弦定理可得，b 2－a 2＝12c 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝14，消去a 2，得32c 22bc ＝3c 4b ＝14，所以b c ＝3.14．将若干水倒入底面半径为2 cm 的圆柱器皿中(底面水平放置)，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是6cm.解析：由题意得水的体积为：24π，∵轴截面为正三角形， ∴设倒置圆锥形器皿中水面高度为3a ，底面半径为a ，∴13×πa 2×3a ＝24π，∴a 3＝243，∴33a 3＝216，∴3a ＝6.15．已知三棱锥A -BCD 中，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，平面EFG 将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为V 1，V 2，则V 1V 2＝15；若分别记该四面体和五面体的表面积为S 1，S 2，则S 2>2S 1(填“>”“<”或“＝”)．解析：如图，设三棱锥A -BCD 的体积为V ，因为F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，所以S △AGF ＝14S △ACD ，设B 到面ACD 的距离为h ，所以E 到面ACD的距离为2h 3，所以V 1＝14×23×V ＝V 6，V 2＝5V 6，所以V 1V 2＝15. 因为S △AEG ＝13S △ABC ，所以2S △AEG ＝S 四边形BCGE ，同理2S △AEF ＝S 四边形BDFE,2S △AGF ＝23S 四边形CDFG <S 四边形CDFG ，2S △EFG <S △EFG ＋S △BCD ，所以S 2>2S 1.16．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，若△ABC 的面积为33，则BC 解析：由题意，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，且面积为33，所以12AB ·AC sin A ＝12×3×4sin A ＝33， 解得sin A ＝32.又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3或A ＝2π3.当A ＝π3时，cos A ＝12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×12＝13；当A ＝2π3时，cos A ＝－12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×(－12)＝37.综上，BC 边的长度为13或37.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)设复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i ，问当实数m 取何值时：(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点在复平面的第四象限．解：(1)因为复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3＝0，m 2－m －6≠0⇒m ＝12.(2)因为z 对应的点在复平面的第四象限，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3>0m 2－m －6<0⇒－2<m <12.18．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ，(1)求角A 的大小；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面积．解：(1)由2a sin B＝3b，利用正弦定理得：2sin A sin B＝3sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝3 2，又A为锐角，则A＝π3.(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，即64＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝100－3bc，∴bc＝12，又sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝3 3.19．(12分)已知z为复数，z＋2i和z2－i均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(z＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，某某数a的取值X围．解：(1)由题意，设复数z＝x＋y i(x，y∈R)．因为z＋2i和z2－i均为实数，可得z＋2i＝x＋(y＋2)i∈R，所以y＋2＝0，即y＝－2.z 2－i ＝x＋y i2－i＝(x＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2x－y)＋(x＋2y)i5∈R，即x＋2y＝0，所以x＝4，所以复数z＝4－2i.(2)由(1)知复数z＝4－2i.因为复数(z＋a i)2＝(4－2i＋a i)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i对应的点在复平面位于第一象限，所以16－(a－2)2>0且8(a－2)>0，解得2<a<6.即实数a的取值X围是(2,6)．20．(12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM＝BN.(1)求证：无论M在何处，总有B1C⊥C1M；(2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值．解：(1)证明：要证明无论M在何处，总有B1C⊥C1M，只需证明B1C⊥平面AC1B即可，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩B1B＝B，∴AB ⊥平面BCC 1B ，∴B 1C ⊥AB ，由题知四边形BCC 1B 1为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，又AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面AC 1B ，原命题得证．(2)由三棱锥B -MNB 1的体积为：V 三棱锥B -MNB 1＝V 三棱锥B 1-BMN ＝13×4×12BM ·BN ＝23BM ·BN ≤23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BM ＋BN 22＝83， 当BM ＝BN ＝2时取等号，所以三棱锥B -MNB 1体积的最大值为83.21．(12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝3，求b 2＋c 2的取值X 围．解：(1)由题意，在锐角△ABC 中，满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，根据正弦定理，可得3sin B ＝3sin A cos C ＋3sin A sin C ，解得tan A ＝3，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由正弦定理，可得asin A＝bsin B＝csin C＝332＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(2－cos2B－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝4－cos2B＋3sin2B＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6＋4，又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π2，0<2π3－B<π2可得π6<B<π2，π6<2B－π6<5π6.所以1<2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6≤2，即5<b2＋c2≤6，所以b2＋c2的取值X围(5,6]．22．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE 沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)．G为AE中点．(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥D-ABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为G为AE中点，AD＝DE＝2，所以DG⊥AE，因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG∩平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.(2)在直角三角形ADE中，易求AE＝22，则DG＝AD·DEAE＝2，所以四棱锥D-ABCE的体积为V D-ABCE＝13×(1＋4)×22×2＝53 2.(3)存在．如图，过点C作CF∥AE交AB于点F，则AF FB＝1 3.过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，则DP PB＝1 3. 又因为CF∥AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE，同理FP∥平面ADE.又因为CF∩PF＝F，所以平面CFP∥平面ADE，因为CP⊂平面CFP，所以CP∥平面ADE，所以在BD上存在点P，使得CP∥平面ADE，且BPBD＝34.。

模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [2 018°＝5×360°＋218°，为第三象限角，∴tan 2 018°＝tan 218°>0， cos 2 018°＝cos 218°<0，∴点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第四象限．]2．设α是第二象限的角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43D [∵点P (x,4)在角α终边上，则有 cos α＝x 16＋x 2＝x5. 又x ≠0，∴16＋x 2＝5， ∴x ＝3或－3.又α是第二象限角，∴x ＝－3， ∴tan α＝y x ＝4－3＝－43.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)， 故AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.]4．要得到y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象，可将函数y ＝4sin x cos x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度A [y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，y ＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，所以将y ＝4sin x cos x 的图象向右平行移动π12个单位长度．] 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．2mB ．±2m C.3mD ．±3mC [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3m .]6．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．πA [由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.]7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称D [由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确．]8．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图象是下列图中的( )A [由y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2易知，它是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D 选项；∵－π2<x <π2，∴0<cos x ≤1.∴ln cos x ≤0，故排除C 选项，综上可知选A.]9．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27D ．－27B [因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.]10．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 C [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5. 又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3.] 11．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2πC [由曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6与y ＝1交点中相邻交点最小值为π3正好等于f (x )的周期的13倍，设f (x )的最小正周期为T ，则13T ＝π3，故有T ＝π.]12．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21A [∵AB →⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)， 则AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 夹角为钝角，则x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [当a ∥b 时有1×(－1)－2x ＝0，即x ＝－12，此时b ＝－12a 即a 与b 反向，若向量a 与b 夹角为钝角，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧a·b <0，x ≠－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ≠－12，∴x <2且x ≠－12.]14．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.π4 [由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4＝2π， ∴ω＝2πT ＝1， ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵0<φ<π， ∴π4<π4＋φ<54π.又x ＝π4是f (x )＝sin(x ＋φ)图象的对称轴， ∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋k π， ∵0<φ<π， ∴φ＝π4.] 15．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.5932 [f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，所以f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932.] 16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．2918[取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →， AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712B A →＋BC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC → ＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程演算步骤)17．(本小题满分10分)如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值使．(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB →⊥BC →.[解] (1)利用AB →＝λBC →可得i －2j ＝λ(i ＋m j )， 于是⎩⎨⎧λ＝1，λm ＝－2，得m ＝－2.(2)由AB →⊥BC → 得AB →·BC →＝0，∴(i －2j )·(i ＋m j )＝i 2＋m i ·j －2i ·j －2m j 2＝0， ∴1－2m ＝0，解得m ＝12.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值． [解] (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z . 故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)tan α＝－43，且α是第四象限的角， 所以sin α＝－45，cos α＝35. 故f (α)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α－22cos 2αcos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝2cos 2 α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1＋cos ωx,1)，b ＝(1，a ＋3sin ωx )(ω为常数且ω>0)，函数f (x )＝a ·b 在R 上的最大值为2.(1)求实数a 的值；(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π6ω个单位，可得函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，求ω的最大值．[解] (1)f (x )＝1＋cos ωx ＋a ＋3sin ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1，因为函数f (x )在R 上的最大值为2， 所以3＋a ＝2，故a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，把函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6ω个单位， 可得函数y ＝g (x )＝2sin ωx 的图象． 又因为y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，所以g (x )的周期T ＝2πω≥π，即ω≤2. 所以ω的最大值为2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．[解] (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142 ＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158. 22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调增区间．[解] (1)已知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x ，因为f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝m sin π6＋n cos π6＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝m sin 4π3＋n cos 4π3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋32n ＝3，－32m －12n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， f (x )左移φ个单位后得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6， 设g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(x 0,2)，因为d ＝1＋x 20＝1，解得x 0＝0， 所以g (0)＝2，因为0<α<π，解得φ＝π6，所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， 令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，所以－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。

高中数学 综合模块测试01 新人教B 版必修4一、选择题：（每小题4分，共48分）1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则下列各式中成立的是（ ）A. EF =OF OE +B. EF OF OE =-+C. EF OF OE =-D. EF OF OE =--2．已知O 是△ABC 的所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA +OB +OC =0，那么（ ）A. AO =ODB. AO = 2ODC. AO =3ODD.2AO =OD3．函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+-+++的图象的一条对称轴是（ ） A.直线x =6π B.直线x =4πC.直线x =6π-D.直线x =2π-4．已知向量a 和b 不共线，实数x ,y 满足向量等式(2x -y )a +4b =5a +(x -2y )b ，则x +y 的值等于（ ）A.-1B.1C.0D. 3 5．函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，则θ为（ ）A. ,()k k Z π∈B.,()6k k Z ππ+∈ C.,()3k k Z ππ+∈ D. ,()3k k Z ππ-∈6．已知向量,2,,,1211e e e e =+=∈≠b a λλR 0b a 与则共线的条件是（ ）A. 0=λB.0=2eC.1e ∥2eD. 1e ∥2e 或0=λ 7．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB =（2，4）、AC =（1，3），则BD 等于（ ）A.(-2 ，-4)B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）8．D 为△ABC 中BC 边的中点，已知AB = a , AC = b ,则下列向量与AD 同向的是（ ）A.||b a b a ++ B. ||b b |a |a + C. ||b a b a -- D. ||b b|a |a -9．非零向量a ,b 满足 ｜a ｜=｜b ｜=｜a -b ｜,则向量a + b 与a 的夹角为（ ）A.6π B. 4πC.3πD.2π 10．若OA =8, OB =5,则AB 的取值范围是（ ）A.[]3,13B.（3，13）C. []3,8D.（3，8）11．设a =1,tan 3α⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =3cos ,2α⎛⎫⎪⎝⎭，且a ∥b ，则锐角α的值为（ ） A.12πB.6πC.4π D. 3π 12．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM =34AB + 14AC ,则△ABM 与△ABC 的面积之比等于（ ） A ．34 B. 14 C.13 D.12二、填空题：（每小题4分，共16分）13．3tan 74tan14(tan14tan 74)______.3+-= 14．非零向量a ,b 处于___ _位置时｜a + b ｜=｜a ｜-｜b ｜ （｜a ｜≥｜b ｜）． 15．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA 、OB 、OC 、OD 满足等式OA +OC =OB +OD ，则四边形ABCD 的形状为_____________．16．已知A （2，3）、B （4，-3），点P 在线段AB 的延长线上，且AP =32PB ，则点P 的坐标为_____________．三、解答题：（共56分）17. （10分） 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图所示，小山高BC 为30米，在地平面上有一点D ，测得B 、D 两点间距离为50米，从点D 观测电视发射塔的视角（∠ADB ）为45，求这座电视发射塔的高度为多少米?18．（10分）已知向量a ，b 不共线．⑴若AB =a +b , BC =2a +8b , CD =3(a -b )，求证：D B A ,,三点共线； ⑵求实数k ，使k a +b 与2a +k b 共线．19．（12分）已知1sin(45)sin(45)4αα+-=-，090α<<． ⑴求α的值；⑵求sin(10)13tan(10)αα⎡⎤+--⎣⎦的值．20．（12分）设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ， ⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； ⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标．21．（12分）已知函数()2sincos 442x x xf x =+ ⑴求函数()f x 的最小正周期及最值； ⑵令()()3g x f x π=+，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由．22．附加题（10分）计算下列各式的值cos5cos125cos 245++=_____.cos10cos130cos 250++=_____. cos 20cos140cos 260++=_____.分析等式的共同特点写出能反映一般规律的等式并对等式正确性作 出证明．参考答案一．选择题：1 C 2A 3 D 4 B 5D 6 D 7 B 8 A 9 A 10 A 11 B 12B 二．填空题：13 -1 14 反向 15 平行四边形 16 （8，-15） 三．解答题：17．解：设电视塔高度为x 米，α=∠BDC ， 43tan =α ()403045tan 0+=+x α 4311434030-+=+x250=x 米答：这座电视发射塔的高度为250米。

模块综合检测(C)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( )A ．4 3B ．－43 C.433 D ．－4332．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6 3．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( ) A ．－12 B ．－14 C.12 D.324．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22 B.22C ．－1D ．1 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．37．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π3)的图象( ) A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位 8．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称 C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象 D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 3 D ．3212．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.14．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 15．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.16．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．18．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．19．(12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．20．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．21．(12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)答案1．B [∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3，∴a ＝－4 3.] 2．D [a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.]3．A [∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.] 4．B [∵|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.]5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]6．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.]7．A [方法一 y ＝cos(x －π3)＝sin(x ＋π6)，向右平移π6个单位即得y ＝sin(x －π6＋π6)＝sin x ，故选A. 方法二 y ＝sin x ＝cos(x －π2)，y ＝cos(x －π3)6π−−−−−−→向右平移个单位6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝cos(x －π2)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]8．C [∵f (π3)＝0，∴A 不正确．∵f (π4)＝cos π3＝12≠0，∴B 不正确．f (x )向左平移π12个单位得f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，故C 正确．] 9．A [∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数，∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0. ∴p 与q 所成的角是锐角．]10．D [f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ，∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，故选D.] 11．D [|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤18＝3 2.]12．D [由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．]13.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 14.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 15．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.16.12解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 17．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0. 由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 18．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 19．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). 3 2 0 －120．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 21．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35. ∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310. 22．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32， 此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若sin ,则cos α=()A.-B.-C.D.解析:cos α=1-2sin2=1-2×.故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程可以为()A.x=B.x=C.x=D.x=解析:由2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).当k=0时,x=.答案:A4.当cos 2α=时,sin4α+cos4α的值是()A.1B.C.D.解析:sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-×(1-cos22α)=.答案:C5.已知a=,b=,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=,d=(0,1).cos,解得k=-3或-.答案:C6.如图,在直角三角形PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于A点,若等分△PBO的面积,且∠AOB=α,则()A.tan α=αB.tan α=2αC.sin α=2cos αD.2sin α=cos α解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2,直角三角形PBO中,PB=r tan α,△PBO的面积为r×r tan α,由题意得r×r tan α=2×αr2,∴tan α=2α,故选B.答案:B7.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2解析:由得A=2,m=2.又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D8.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=∈[],即||∈[2-1,2+1].答案:C9.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2 C.1 D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.答案:A10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程x2+x=0的解集为()A.⌀B.{-1}C. D.{-1,0}解析:由于,又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λ-λ=0,由于不共线,又x2+x=0, 所以由于是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以关于x的方程x2+x=0的解集为⌀.答案:A11.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=.答案:D12.已知∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin A n=0,则这个多边形是()A.正六边形B.梯形C.矩形D.含锐角的菱形解析:lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin A n=lg(sin A1sin A2…sin A n)=0,则sin A1sin A2…sin A n=1,又∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,则∠A1,∠A2,…,∠A n∈(0,π),则0<sin A1≤1,0<sin A2≤1,…,0<sin A n≤1,则sin A1sin A2…sin A n≤1,所以sin A1=sin A2=…=sin A n=1,所以∠A1=∠A2=…=∠A n=,则∠A1+∠A2+…+∠A n==(n-2)π,解得n=4,即这个多边形是矩形.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为.解析:∵3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,∴3+2sin x+2cos x≠0,∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x,∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=.∴==2cos2x=.答案:14.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:(k∈Z)15.已知tan=2,则的值为.解析:由tan=2,得tan x=,∴.答案:16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且a n=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N*),则a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015的模为.解析:由题意知a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015=-a n=(-3,-4),所以所求模为5.答案:5三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin.(1)求sin α的值;(2)求的值.解:(1)∵sin+sin,∴sin α=.∴sin α=.(2)∵=,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?解:(1)由图知,A=300,×T=,∴T=,∴ω=,∴π×+φ=0.又|φ|<,∴φ=π,∴I=300sin.(2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值,∴I=A sin(ωt+φ)的周期T≤,即,ω≥300π≈943.∴ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线. (1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解:由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=.∴tan α=7,tan β=.(1)tan(α+β)==-3.(2)∵tan 2β=,∴tan(α+2β)==-1.∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=,||=.由||=||,得sinα=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。

模块综合测评 必修4(B 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B.45 C.25D ．－25解析：据三角函数的定义可知sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.答案：D2．tan(－570°)＋sin240°＝( ) A ．－536B.36C.332D. 3解析：原式＝－tan30°－sin60°＝－33－32＝－536. 答案：A3．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D.2425解析：∵α为第二象限角，sin α＝35，则cos α＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝－2425.答案：A4．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，解得x ＝2. 答案：D5．函数y ＝sin x ＋cos x ，x ∈[0，π]的单调增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4解析：y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .又∵x ∈[0，π]，∴单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.答案：A6．为了得到函数y ＝sin(－3x )的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin(－3x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3x ＝cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝cos3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，∴需向左平移π6－π12＝π12个单位．答案：D7．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x ＋54，则( )A ．最大值是1，最小值是54B ．最大值是1，最小值是14－ 3C ．最大值是2，最小值是14－ 3D ．最大值是2，最小值是54解析：y ＝－cos 2x ＋3cos x ＋54＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos x －322＋2， ∴当cos x ＝32时，y max ＝2，当cos x ＝－1时，y min ＝14－ 3.答案：C8．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →解析：CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.答案：A9．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4解析：由图知T 2＝7π8－3π8＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT＝2.又2×3π8＋φ＝π，∴φ＝π4，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.答案：B10．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：在△ABC 中，tanA ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝__________.解析：由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1， ∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0＜φ＜π，∴φ＝π4.答案：π412．已知|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 上的射影为__________．答案：－113．已知函数f (x )＝sin x cos x ，则f (－1)＋f (1)＝__________. 解析：∵f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴此函数是奇函数，故f (－1)＋f (1)＝0. 答案：014．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为__________．解析：∵α为锐角，即0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜π2＋π6＝23π. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.答案：17250三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知A 是三角形的一个内角，(1)若tan A ＝2，求sin π－A ＋cos －Asin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 的值．(2)若sin A ＋cos A ＝15，判断三角形的形状．解：(1)sin π－A ＋cos －A sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝sin A ＋cos Asin A －cos A＝tan A ＋1tan A －1 ＝2＋12－1 ＝3.(6分)(2)由sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝125，整理得sin A cos A ＝－1225＜0.(10分) ∵0＜A ＜π， ∴sin A ＞0，∴cos A ＜0，故该三角形是钝角三角形．(12分) 16．(12分)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得，x ≠k π，k ∈Z ，所以定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．(2分)因为f (x )＝sin x －cos x 2sin x cos xsin x＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，(4分)所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(6分)(2)由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，(8分)所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(12分)17．(13分)(1)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．(2)已知a ＝(3,1)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，求4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．解：(1)∵tan α＝y x ＝－34，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α ＝－34.(6分)(2)∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＝0， ∴tan α＝3.(8分)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α.(10分)把tan α＝3代入上式得4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.(13分) 18．(13分)设a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a ·b .(1)写出函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图像可由y ＝sin x (x ∈R )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.(4分)最小正周期T ＝2π|ω|＝π.(6分)(2)先将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后再向上平移12个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.(13分)。