全程复习构想高考物理一轮复习 第九章 磁场 专题八 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题课时作业 新人教版

Bqd 2) m (q
为正电荷)或(2－
Bqd 2) m (q
为负电荷)
题型2 磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强 度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多 解．
[示例4] (多选)(2018·商丘模拟)一质量为 m，电荷量为 q 的负
电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的
光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，
且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆
周运动的角速度可能是( )
A.4mqB
B.3mqB
2qB C. m
qB D. m
解析
答 案
[解析] 依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有
两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，
图所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感
应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外．一
带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q>0)．粒
子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度
与 OM 成 30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交
点，并从 OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射
[示例3] 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁场， 磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边 界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子沿图 示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界 NN′ 射出，则粒子入射速率 v 的最大值可能是多少．
[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为 q”，未说明是带哪种电
D．B<
3mv0 ae

以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是
√A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
√B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可
能是
2 3
t0
√C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
图2
D.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是
5 3
t0
(2)定圆旋转法
当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不
同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕
入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也
容易发现“临界点”.
另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图
可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，
如图3.
图3
①适用条件 a.速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场 中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为 v0，由 qv0B＝mRv02得圆周运动 半径为 R＝mqBv0. b.轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 O 为圆心、半径 R＝mqBv0的 圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.
②界定方法 将一半径为 R＝mqvB0的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件， 这种方法称为“平移圆法”.
例2 如图4，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 的大小B＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行.在距ab为l ＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的 速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比mq＝5.0×107 C/kg.现只 考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度. 答案 20 cm

高考物理一轮复习第9章磁场章末知识整合1．安培力的分析与计算思路．(1)掌握安培力的大小和方向．(2)通电直导线在磁场中受安培力作用而运动情况的判断是一个难点．一般按下列程序分析：①用立体图或平面图明确磁场的分布情况．②依据左手定则判断导体所受的安培力的方向．③由受力确定导线或线圈做何种运动，同时应注意掌握分段分析和计算的技巧．(3)通电导线在磁场中的运动，是力、电的综合，解题时要进行受力分析，并结合力学的相关规律进行解答．2．洛伦兹力、带电粒子在匀强磁场中的运动．(1)掌握洛伦兹力的大小和方向．(2)带电粒子在有界磁场中运动的分析方法．带电粒子在垂直射入匀强磁场区域后，将经历一段匀速圆周运动后离开磁场区域，其轨迹是残缺圆．解决这类问题首先要“四掌握”：①掌握圆心的确定方法；②掌握半径的确定和计算方法；③掌握粒子在磁场中运动时间的计算方法；④掌握偏转角的确定方法．再抓住轨迹中可能存在的临界状态，运用几何知识解题．3．带电粒子在复合场中的运动．此类综合性很强，有明显的力学特征，一般要从动力学、能量的角度来分析，结合牛顿运动定律、运动学公式、能量守恒定律等来列式．而正确画受力图、轨迹图等是解题的关键．还要关注STS模型，应用上述知识进行解答．【例❶】如图，是磁电式电流表的结构，蹄形磁铁和铁芯间的磁场是均匀地辐向分布，线圈中a、b两条导线长均为l，通以图示方向的电流I，两条导线所在处的磁感应强度大小均为B.则( )A ．该磁场是匀强磁场B ．线圈平面总与磁场方向垂直C ．线圈将逆时针方向转动D ．a 、b 导线受到的安培力大小总为IlB解析：该磁场是辐射状磁场，磁感应强度大小相等，但方向不同，A 错误；线圈平面总与磁场方向平行，B 错误；根据左手定则知右边导线受到向下的安培力，左边导线受到向上的安培力，因此线框将顺时针转动，C 错误；因为两导线转到任意位置处的磁感应强度都为B ，磁场方向与导线瞬时速度都垂直，故受到的安培力F ＝BIl ，D 正确．答案：D【例❷】 如右图，两个初速度大小相同的同种离子a 和b ，从O 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P 上，不计重力，下列说法正确的有( ) A ．a 、b 均带正电B ．a 在磁场中飞行的时间比b 的短C ．a 在磁场中飞行的路程比b 的短D ．a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近解析：根据题述，由左手定则，带电粒子a 、b 均带正电，选项A 正确．由于a 、b 粒子做圆周运动的半径为：R ＝mvqB 相等，画出轨迹如右图， O 1 、O 2分别为a 、b 粒子运动轨迹所对的圆心，显然a 粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角大于b, 由t ＝θ2πT ＝θmqB 和轨迹图可知，a 在磁场中飞行的时间比b 的长，a在磁场中飞行的路程比b 的长，a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近，选项D 正确，B 、C 两项错误．答案：AD一、选择题1．图中a 、b 、c 、d 为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O 点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是(B )A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右解析：在O 点处，各电流产生的磁场的磁感应强度在O 点叠加．d 、b 电流在O 点产生的磁场抵消，a 、c 电流在O 点产生的磁场合矢量方向向左，带正电的粒子从正方形中心O 点沿垂直于纸面的方向向外运动，由左手定则可判断出它所受洛伦兹力的方向向下，B 选项正确．2．如图是荷质比相同的a 、b 两粒子从O 点垂直匀强磁场进入正方形区域的运动轨迹，则(C )A ．a 的质量比b 的质量大B ．a 带正电荷、b 带负电荷C ．a 在磁场中的运动速率比b 的大D ．a 在磁场中的运动时间比b 的长解析：根据粒子的运动轨迹知带电粒子都受到指向圆心的洛伦兹力，圆心在运动轨迹的下方，根据左手定则知两粒子都带负电，B 错误；由半径公式r ＝mvqB 知，a 粒子的半径大，则a 粒子的速度大，C 正确；由题给条件无法确定两带电粒子的质量关系，A 错误；由周期公式T ＝2πm qB 知，两粒子运动的周期相同，由t ＝θ2πT ，a 粒子的运动轨迹所对应的圆心角小，故运动的时间短，D 错误．3．空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R ，磁场方向垂直于横截面．一质量为m 、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v 0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力．该磁场的磁感应强度大小为(A )A.3mv 03qRB.mv 0qR C.3mv 0qR D.3mv 0qR解析：画出带电粒子运动轨迹示意图，如图所示．设带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r ，根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律，得qv 0B ＝mv 2r ，解得r ＝mv 0qB .由图中几何关系可得：tan 30°＝Rr .联立解得：该磁场的磁感应强度B ＝3mv 03qR，选项A 正确． 4．如图所示，一束质量、速度和电量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，未发生任何偏转．如果让这些不发生偏转的离子进入另一匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入后一磁场的离子，可得出结论(D )A ．它们的动能一定各不相同B ．它们的电量一定各不相同C ．它们的质量一定各不相同D ．它们的电量与质量之比一定各不相同解析：沿直线穿过电磁场区域的离子受力平衡，则Bqv ＝Eq ，因此离子的速度均为v ＝E B ，进入右侧磁场后，分成三束，由R ＝mvBq 可知，离子的电量与质量之比一定不同，则D 正确．5．如图，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q(q>0)、质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R2，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(B )A.qBR 2mB.qBR mC.3qBR 2m D.2qBRm解析：画出粒子运动轨迹，由图中几何关系可知，粒子运动的轨迹半径等于R ，由qvB ＝mv 2R 可得：v ＝qBRm，选项B 正确． 6．1922年英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖．若一束粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是(BD )A ．该束带电粒子带负电B ．速度选择器的上极板P 1带正电C ．在B 2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大D ．在B 2磁场中运动半径越大的粒子，比荷qm越小解析：根据左手定则，可确定粒子带正电，A 错误；由速度选择器中电场力和洛伦兹力方向相反可知，上板P 1带正电，B 正确；据qvB ＝mv 2r ，r ＝mvqB 故可确定C 错误，D 正确．7．设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是(BC )A ．该离子带负电荷B ．A 点和B 点位于同一高度C ．离子在C 点时速度最大D ．离子到达B 点时，将沿原曲线返回A 点解析：根据左手定则，离子带正电，选项A 错误；洛伦兹力不做功，离子A 点和B 点动能都为零，那么离子在A 点和B 点电势能相等，A 点和B 点位于同一高度，选项B 正确；离子的电势能和动能之和是守恒的，离子在C 点时电势能最小，所以动能最大，速度最大，选项C 正确；离子到达B 点时，将向B 的右侧做周期性运动，不会沿原曲线返回A 点，选项D 错误．二、非选择题8．(2014·广东高考)如图所示，足够大的平行挡板A 1、A 2竖直放置，间距6L.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN 为理想分界面．Ⅰ区的磁感应强度为B 0，方向垂直纸面向外．A 1、A 2上各有位置正对的小孔S 1、S 2，两孔与分界面MN 的距离均为L.质量为m 、电量为＋q 的粒子经宽度为d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S 1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN 上的P 点，再进入Ⅱ区．P 点与A 1板的距离是L 的k 倍．不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑．(1)若k ＝1，求匀强电场的电场强度E ； (2)若2<k<3，且粒子沿水平方向从S 2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v 与k 的关系式和Ⅱ区的磁感应强度B 与k 的关系式．解析：(1)粒子在电场中，由动能定理有： qEd ＝12mv 2－0，①粒子在Ⅰ区洛伦兹力提供向心力：qvB 0＝m v2r ，②当k ＝1时，由几何关系得：r ＝L ，③ 由①②③解得：E ＝qB 20L22md.④(2)由于2<k<3时，由题意可知粒子在Ⅱ区只能发生一次偏转，由几何关系可知：(r －L)2＋(kL)2＝r 2；⑤解得：r ＝（k 2＋1）2L.⑥由②⑥解得：v ＝（k 2＋1）qB 0L2m .⑦又因为6L －2kL ＝2x ，根据相似三角形有：kL x ＝R r ，且r ＝mv qB .则Ⅱ区域的磁场与k 的关系为：B ＝kB 03－k .答案：(1)qB 20L 22md (2)v ＝（k 2＋1）qB 0L 2m B ＝kB 03－k9．如图(a)所示，在以O 为圆心，内外半径分别为R 1和R 2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U 为常量，R 1＝R 0，R 2＝3R 0，一电量为＋q ，质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v 1射出，求粒子在A 点的初速度v 0的大小．(2)若撤去电场，如图(b)，已知粒子从OA 延长线与外圆的交点C 以速度v 2射出，方向与OA 延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．(3)在图(b)中，若粒子从A 点进入磁场，速度大小为v 3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？解析：(1)粒子从A 点射入到从外界边界射出的过程，洛伦兹力不做功，电场力做功，由动能定理，得：qU ＝12mv 21－12mv 20，①解得：v 0＝v 21－2qUm.② (2)撤去电场后，作出粒子的运动轨迹如图1，设粒子运动的轨道半径为r ，磁感应强度为B 1，运动时间为t ，由牛顿第二定律，有：qB 1 v 2 ＝m v 22r，③由几何关系可知，粒子运动的圆心角为90°，则 r ＝2（R 2 －R 1 ）2＝2R 0 ，④联立③④得：B 1 ＝2mv 22qR 0.⑤ 匀速圆周运动周期T ＝2πrv 2，⑥粒子在磁场中运动时间t ＝14T ，⑦联立③⑤⑥⑦得：t ＝2πR 02v 2.⑧(3)要使粒子一定能够从外圆射出，粒子刚好与两边界相切，轨迹图如图2，由几何关系可知粒子运动的轨道半径：r 1＝R 2－R 12＝R 0，⑨设此过程的磁感应强度为B 2，由牛顿第二定律，有： qB 2 v 3 ＝m v 23r 1 ，⑩由⑨⑩得：B 2 ＝mv 3qR 0.所以磁感应强度应小于mv 3qR 0 .答案：(1) v 21 －2qU m (2) 2mv2 2qR 02πR 02v 2 (3)mv 3qR 0。

边界上有磁场）．已知O点为坐标原点,N点在y轴上坐标为
（0,d),OP与x轴的夹角为30°,不计重力．
P
N
O
60 0 D
30°
情境四
方法四：空间信息定圆心
如图所示,在半径为R的圆形区域内存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂
直于圆平面向里．一群比荷为
q
的负离子(不计重力)以相同速率
m
,qBR
m
由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中,发生偏转后又飞出磁场,请你任
方法二：弦作中垂线
如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小
为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电
压U加速后,从N点沿NP方向进入磁场；一段时间后,该粒子从
OP 边的中点D射出,从N到D的过程中速度方向偏转了60°．已
知O 点为坐标原点,N点在y轴上坐标为（0,d),OP与x轴的夹角
距离为d,不计重力.求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间.
如图所示,在平面内,有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电
子,形成宽为2b,在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流.电子流沿x方向射入一
个半径为R,中心位于原点o的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xoy平面向里,电子经
（0,d),OP与x轴的夹角为30°,不计重力．
P
N
60 0
O
30°
方法三：速度方向延长线夹角作角平分线
方法三：速度方向延长线夹角作角平分线
如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小
为B,方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压
U加速后,从N点沿NP方向进入磁场；刚好不从OP边飞出（OP