盐城市2009/2010学年度高三年级第一次调研考试(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则AB = ▲ .2．若复数()(1)a i i -+（i 是虚数单位，a R ∈）是纯虚数,则a = ▲ . 是 ▲ .4．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 ▲ .5．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ▲ .6．已知平面向量(1,2)a =，(1,3)b =-，则a 与b夹角的余弦值为 ▲ .7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使 卡片排成的顺序从左向右或从右向左都能够念为“灰太狼”的概率 是 ▲ .（用分数表示） 8．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x，，(,)n n x y,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 ▲ .9．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒 为 ▲ .10．已知n m ,是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ① 若//,//m n αα，则//m n ； ② 若,m n αα⊥⊥，则//m n ； ③ 若//,m n αα⊥，则n m ⊥；④ 若,m m n α⊥⊥，则//n α． 其中真命题的序号有 ▲ .（请将真命题的序号都填上） 11．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则ba = ▲ .12．将正偶数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为*(,)ij a i j N ∈，24 6 8 10 12 14 16 18 20 ……第12题第9题例如4318a =，若2010ij a =，则i j += ▲ .13．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存有一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为 ▲ .14．锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足条件22()4c a b S k--=,又角C 既不是ABC ∆的最大角也不是ABC ∆的最小角,则实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分). 已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，向量(1,3),(sin(),sin())2m n A A ππ==--，m ⊥n .（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数)23cos(sin 22B B y -+=π的值域.16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB AB =，B A AC 11⊥，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：1B C ∥平面BD A 1； （Ⅱ）求证：平面11AB C ⊥平面11ABB A .17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足A CB1AD 1B1C第16题()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.18．(本小题满分16分)已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（Ⅰ）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（Ⅱ）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（Ⅲ）设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存有一定点R ，使得PQPR为定值？若存有，请举出一例，并指出相对应的定值；若不存有，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,求整数q 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列}{n b 中是否存有一项k b ，使得k b 恰好能够表示为该数列中连续(,2)p p N p ∈≥项的和？请说明理由；第18题（Ⅲ）若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=（其中t s r >>，且（s r -）是（t r -）的约数），求证：数列}{n b 中每一项都是数列}{n a 中的项.20．(本小题满分16分)已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠.（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存有12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.盐城市2009/2010学年度高三年级第一次调研考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知OA OB 、是O 的半径，且OA OB ⊥，P 是线段OA 上一点，直线BP 交O 于点Q ，过Q 作O 的切线交直线OA 于点E ，求证：45OBP AQE ∠+∠=︒.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵21 30A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．D.（选修4—5：不等式选讲）已知函数()12f x x x . 若不等式()ab a b a f x ≥(0,,)a a b R 恒成立，求实数x 的范围.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD , 2OA =,M 为OA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.23． (本小题满分10分) 点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e-=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1,2,3,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =. （Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT xT x ++<（1,2,3,n =）.DOMA BC盐城市2009/2010学年度高三年级第一次调研数学参考答案必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. [0,2]2. 1a =-3. 3240x y ++=4. x R ∃∈,sin 1x <-5.5(,)66ππ6.27.13 8. (27,6)- 9.38a 10.②③ 11. 11612. 6013.14. 1,1)- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.15. 解：（Ⅰ）因为(sin ,cos )n A A =-，且m ⊥n ，所以m ·n=sin 0A A =………4分则tan A =A (0,)π∈，所以3A π=…………………………………………………7分（Ⅱ）因为1(1cos 2)(cos 22)22y B B B =-++112cos 22B B =+-1sin(2)6B π=+- ……………………………………………11分 而3A π=，所以203B π<<，则72666B πππ-<-<，所以1sin(2),162B π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦故所求函数的值域为1,22y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦……………………………………………………………14分16. 证明：（Ⅰ）设11AB A B O =，连结OD .因为点O 是1AB 的中点，又D 为AC 的中点，所以1//OD B C ………………………………5分而1B C ⊄平面BD A 1，OD ⊂平面BD A 1，所以1B C ∥平面BD A 1…………………………7分 （Ⅱ）因为1BB AB =，所以是11ABB A 正方形，则11A B AB ⊥， 又11A B AC ⊥,且11,AC AB ⊂平面11AB C ,11AC AB A =，所以1A B ⊥平面11AB C ……12分而1A B ⊂平面11ABB A ，所以平面11AB C ⊥平面11ABB A ……………………………………14分 17．解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--……………………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时取等号……………………………………………………………10分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033………………………………………………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………………14分 18. 解：（Ⅰ）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k，解得815k =……3分 ∴切线l方程为82(4)15y x ±-=- ………………………………………………………5分 （Ⅱ）圆心到直线12-=x y…………………………7分设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r ………………………………………………9分∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x ………………………………………………… 10分（Ⅲ）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ， 根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x …………………………12分即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ ………………………………14分若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或， ∴可以找到这样的定点R ，使得PR PQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2；点R 的坐标为)51,52(时，比值为310…………………………………………………………16分19．解：（Ⅰ）由题意知，12,2n n n a n b q -==⋅，所以由31003252010S a b <+-，得21231003212352010420062010430b b b a b b b b q q ++<+-⇒-+<-⇒-+<……3分解得13q <<，又q 为整数，所以2q =………………………………………………………5分 （Ⅱ）假设数列{}n b 中存在一项k b ，满足121k m m m m p b b b b b +++-=+++⋅⋅⋅+，因为2n n b =，∴11221k m p k m p b b k m p k m p +-+->⇒>⇒>+-⇒≥+（*）…………8分又111212(21)222221m p kmm n p k m m m m p b b b b b ++-+++--==+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-=22m p m +-2m p +<，所以k m p <+，此与（*）式矛盾. 所以，这要的项k b 不存在……11分（Ⅲ）由1r b a =，得21()r s r b b q a q a a s r d ====+-，则(1)r a q d s r-=- ………………12分又22231(1)()()r r t r r r a q b b q a q a a t r d a q a t r s r-====+-⇒-=-⋅-，从而(1)(1)(1)r r t ra q q a q s r-+-=-⋅-，因为12s r a a b b ≠⇒≠，所以1q ≠，又0r a ≠， 故1t rq s r-=--. 又t s r >>,且（s r -）是（t r -）的约数,所以q 是整数,且2q ≥………14分 对于数列}{n b 中任一项i b （这里只要讨论3i >的情形），有11(1)i i i r r r b a q a a q --==+- 2222(1)(1)()(1)i i r r r a a q q q q a d s r q q q --=+-+++⋅⋅⋅+=+-+++⋅⋅⋅+ 22[(()(1)1)1]i r a s r q q q d -=+-+++⋅⋅⋅++-⋅，由于22()(1)1i s r q q q--+++⋅⋅⋅++是正整数，所以i b 一定是数列}{n a 的项……………16分20. 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-…………………………………3分 由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………7分 所以'的变化情况如下表所示：又函数有三个零点，所以方程有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………………………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦…………………………………………16分数学附加题部分21．A .解：证：连结AB ，则AQE ABP ∠=∠…4分， 而OA OB =，所以045ABO ∠=…8分 所以45OBP AQE OBP ABP AQE ∠+∠=∠+∠=∠=︒ …………………………………10分 B ．解：设A 的一个特征值为λ，由题意知：()3.1 , 032 0 31221=-==-⋅-=---λλλλλλ即，所以 ……………………………4分11112 111 ,3 03A x x a y y λ=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时,由得属于特征值的特征向量………………7分 22 3 , 32 113 3 01A x x a y y λ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时,由得属于特征值的特征向量 (10)分C ．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y …………………………………3分)4πρθ=+，即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ……………………………………………6分（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交………10分 D ．解：由()a bab a f x ≥，且0a ≠，得||||()||a b a b f x a ++-≥ ……………………3分又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥……………………………………6分解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分22．解: 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,(222A BP D -,(0,0,2),(0,0,1)OM …………………2分 （Ⅰ）设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵， 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , ∴AB 与MD 所成角的大小为3π…………………5分（Ⅱ）22(0,,2),(2)222OP OD =-=--∵， ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n xy z =,则110,0n OP n OD ==，即 2022022y z x y z -=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，取z =解得1(0,4,n = .…………… 6分易知 平面OAB 的一个法向量为2(0,1,0)n = ………7分 121212.22cos ,3n n n nn n <>==……………………………………………………9分 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为3…………………10分 23．（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以x y e -'=-，则切线n l 的斜率n x n k e -=-，所以切线n l 的方程 为()n x n n y y e x x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+……………………2分 （Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n n nx xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ………………5分 （Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e--++-++---===+---，又1111n n x n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+………………………7分 下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n ee n e +>-+（略）…………………………………………………………………10分。
