行测公式总结

数学基础知识及公式 一、 整数性质： 1. 奇偶性： 加减规律：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇 乘法规律：乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇 结论：奇数个奇数的和=奇数；偶数个奇数的和=偶数；若干个整数相乘，有一个偶数则乘积为偶数，全为奇数则乘积为奇数。 2. 质合性：（结论）只有平方数有奇数个约数，其他整数都有偶数个约数。 3. 整除性质：ア）个位是0、5的数能被5整除； イ）末三位可被8整除的数能被8整除； ウ）各位数字之和是3倍数的数可被3整除； エ）各位数字之和是9倍数的数可被9整除； オ）能同时被2、3整除的数可被6整除。 传递性：若a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除； 可加减性：若a能被c整除，b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。 4. 最大公约数与最小公倍数 二、 比例性质

1. 倍数判定：若a、b是整数，𝑏𝑎=𝑚𝑛，且𝑚𝑛是最简分数，则a是n的倍数，b是m的倍数 2. 连比计算：多个量之间的比例关系 三、 平均数

1. 算术平均数：𝑥̅=𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯+𝑥𝑛𝑛 算术平均数与各数之差的平方和最小

2. 几何平均数：𝑥̅=√𝑥1∙𝑥2∙…∙𝑥𝑛𝑛 √𝑚1∙𝑚2∙…∙𝑚𝑛𝑛≤𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛𝑛 3. 加权平均数：𝑥̅=𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2+⋯+𝑚𝑛𝑥𝑛𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛 注：两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间 4. 十字交叉法：主要用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题。如浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等

结论：a、b均为正数，𝑎+𝑏2≥√𝑎𝑏，当且仅当a=b时等号成立；

a、b、c均为正数，𝑎+𝑏+c3≥√𝑎𝑏𝑐3，当且仅当a=b=c时等号成立 当两个正数的和一定时，它们越接近时乘积越大，当二者相等时乘积最大；同理，当两个正数的积一定时，它们越接近时和越小，当二者相等时和最小。 四、 不定方程：ax+by=c 奇偶性、尾数特点、互质性质

五、 不等式： 不等式性质：若a>b>0，则1𝑎<1𝑏 六、 分段函数 七、 数列 1. 等差数列 通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑 （𝑎1是首项，d是公差） 对称公式：𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑖+𝑎𝑗 （m+n=i+j）

利用通项求和：𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛𝑎1+12𝑛(𝑛−1)𝑑 （𝑎1是首项，d是公差） n𝑎𝑛+12 （n为奇数） 利用中项求和：𝑆𝑛

=

𝑛2(𝑎𝑛2+𝑎𝑛2+1) （n为偶数）

结论：对奇数列1,3,5,7,…，2n-1，其前n项的求和公式可简化为 𝑆𝑛=𝑛2 对偶数列2,4,6,8,…，2n，其前n项的求和公式可简化为 𝑆𝑛

=𝑛2+n

若项数为奇数，则奇数项之和减去偶数项之和为中位数 2. 等比数列 通项公式：𝑎𝑛=𝑎1×𝑞𝑛−1 （𝑎1是首项，q是公比） 对称公式：𝑎𝑚×𝑎𝑛=𝑎𝑖×𝑎𝑗 （m+n=i+j） 𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞， （q≠1）

求和公式：𝑆𝑛

=

n𝑎1 （q=1）

平方数列求和公式：𝑆𝑛

=12+22+32+⋯+𝑛2=16𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

立方数列求和公式：𝑆𝑛=13+23+33+⋯+𝑛3=[12𝑛(𝑛+1)]2 斐波拉契数列：𝑎1=1，𝑎2=1，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2 八、 平面几何 1. 相似与全等 相似：对应角相等、对应边成比例；全等：SAS、AAS、SSS 2. 三角不等式： a+b>c，a−b3. 勾股定理： 𝑎2+𝑏2=𝑐2 4. 公式

三角形 周长 C=a+b+c 面积 S=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12𝑏𝑐sin𝐴=12𝑎ℎ

正方形 周长 C=4a 面积 S=𝑎2 长方形 周长 C=2(a+b) 面积 S=ab

梯形 面积 S=12(a+b)h

平行四边形 面积 S=ah 圆形 周长 C=2πr=πd 面积 S=π𝑟2=14𝜋𝑑2 扇形 面积 S=𝑛°360°𝜋𝑟2=12𝑙𝑟

5. 凸多边形内角和： (n−2)×180° 6. 直线切割平面： n条直线切割平面的区域数： 𝑎𝑛=1+(1+2+⋯+n)=1+(1+𝑛)𝑛2 7. 等周问题 平面图形中，周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。 表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小 九、 立体几何 1. 公式

球形 表面积 S=4π𝑟2 体积 V=43𝜋𝑟3 圆柱体 表面积 S=2π𝑟2+2𝜋𝑟ℎ 体积 V=Sh=π𝑟2ℎ

圆锥 表面积 S=12×2𝜋𝑟×√ℎ2+𝑟2+𝜋𝑟2 体积 V=Sh=13𝜋𝑟2ℎ

2. 正多面体 3. 三视图 十、 解析几何 圆的解析式：(𝑥−𝑥0)2+(𝑦−𝑦0)2=𝑟2 十一、 实际应用： 1. 正方形分割：一个正方形可以分割为除2,3,5外任意数量的小正方形（大小可以不同） 2. 蜂窝覆盖：小圆对一定区域进行无缝隙的完全覆盖，蜂窝状排列时用到的小圆数量最少 3. 立方体染色 十二、 基本行程问题 s=vt 1. 比例关系：时间一定，路程与速度成正比；速度一定，路程与时间成正比；路程一定，速度与时间成反比 2. 平均速度：𝑉̅=𝑆𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝑛=𝑆𝑆1𝑣1+𝑆2𝑣2+⋯+𝑆𝑛𝑣𝑛， 当n=2，且𝑆1=𝑆2时，𝑉̅=21𝑣1+1𝑣2=2𝑣1𝑣2𝑣1+𝑣2

十三、 相遇问题 1. 简单相遇问题：(𝑆1+𝑆2)=(𝑣1+𝑣2

)×𝑡

2. 直线多次相遇：𝑆总=(2n−1)×S

3. 环线多次相遇：𝑆总=𝑛𝑆

十四、 追及问题 1. 简单追及问题：(𝑆1−𝑆2)=(𝑣1−𝑣2

)×𝑡

2. 环线多次追及：𝑆1−𝑆2

=𝑛𝑆

十五、 一些实际问题 1. 青蛙爬井问题

若井深a米，青蛙每天向上爬b米，之后又滑下c米，则它爬出井口的天数为：⌈𝑎−𝑏𝑏−𝑐⌉+1，（⌈𝑥⌉表

示向上取整） 2. 流水问题（船顺水、逆水行驶问题） 𝑉船顺=𝑉船+𝑉水 𝑉船逆=𝑉船−𝑉水

𝑉船=（𝑉船顺+𝑉船逆）÷2 𝑉水=（𝑉船顺−𝑉船逆）÷2 3. 火车问题 ア）火车过桥：S=𝐿车+𝐿桥 イ）火车错车：错车总路程=A车长+B车长=两车速度和×错车时间 即 (𝐿𝐴+𝐿𝐵)=(𝑣𝐴+𝑣𝐵

)×𝑡

ウ）火车与人相对运动：相对运动距离=车长 二者的相对速度=速度和或速度差 十六、 基本工程问题 1. 比例关系：时间一定，工作量与工作效率成正比 效率一定，工作量与工作时间成正比 工作量一定，工作效率与时间成反比 2. 轮流工作：轮流工作除了要计算每轮工作的效率（即几个人的效率和），还要注意最后一轮工作中每个人的实际工作量。在计算工作效率时，工作总量应设为每个人单独完成用时的最小公倍数，这样能避免大量分式相加的计算。 3. 合作：合作效率一般是每个人效率的叠加，合作的重点是求效率和。 十七、 工程问题变形 1. 水管问题 进水量、排水量工作量 进水、排水速度工作效率 进水量(排水量)=|进水速度−排水速度|×时间 2. 牛吃草问题

草生长速度=（吃草速度1×时间1−吃草速度2×时间2时间1−时间2 初始草量=（吃草速度−草生长速度）×时间 十八、 利润问题 1. 收支计算：利润来源于收入与支出之间的差额，因此收支计算最重要的就是有条理地分析清楚每一笔收入与支出，最后相加算得总利润。 2. 利润率计算

成本+利润=售价 利润率=利润成本=售价−成本成本=售价成本−1

3. 折扣率计算 折扣率=售价原价×10

整体打折&部分打折 部分商品打折求整体的折扣率，可用十字交叉法进行求解 十九、 容斥原理（文氏图） 1. 二集合容斥原理：A∪B=A+B−A∩B 2. 三集合容斥原理：A∪B∪C=A+B+C−A∩B−B∩C−C∩A+A∩B∩C 二十、 排列组合 1. 加法原理：体现分类讨论的思想。分类相加。 2. 乘法原理：体现分步讨论的思想。分步相乘。 3. 排列与组合公式： 𝐴𝑛𝑚=𝑛×(𝑛−1)×⋯×(𝑛−𝑚+1) 𝐴𝑛𝑛=𝑛!

𝐶𝑛𝑚=𝐴𝑛𝑚𝐴𝑚𝑚=𝑛×(𝑛−1)×⋯×(𝑛−𝑚+1)𝑚×(𝑚−1)×⋯×1

4. 经典方法 ア）捆绑法：排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。 イ）插空法：排列时如要求几个元素不相邻，则相当于把不能相邻的元素插到其他元素形成的“空隙”中去。 ウ）插板法：若要求把n个元素分成m堆，则把（m-1）个木板插入这n个元素形成的（n-1）个“空隙”中去。与插空法的区别：插空法有（n+1）个空可选；插板法有（n-1）个空可选。 エ）归一法：m个元素中的n个元素相对位置固定，把m个元素进行全排列。n个元素的相对位置

有 𝐴𝑛𝑛 种，排列数为 𝐴𝑚𝑚𝐴𝑛𝑚 种 オ）分析对立面 5. 经典问题模型 ア）环线排列：任取一个元素作为队首，环线排列问题便转化为n-1个元素的直线排列问题。 n个人围成一个圈，不同的排列方式有 𝐴𝑛−1

𝑛−1=(𝑛−1)! 种。

イ） 传球问题：n个人相互传球，经过k次传球，球回到发球人手中的传球方式有 (𝑛−1)𝑘+(−1)𝑘(𝑛−1)𝑛 种。 即，n个人经过k次传球，球回到发球人手上的传球方式有m种，m为第二接近 (𝑛−1)𝑘𝑛 的整数。 ウ） 错位重排： 如，编号是1,2,…,n的封信，装入编号为1,2,…,n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？ 记n封信的错位重拍数为𝐷𝑛，则𝐷1=0，𝐷2=1，𝐷𝑛=(𝑛−1)(𝐷𝑛−2+𝐷𝑛−1

)，可知，n个数的错

位重排数𝐷𝑛是（n-1）的倍数。 二十一、 概率问题 1. 等可能事件概率：把事件空间分成n个等可能的情形（即所有可能的情况），事件A包括了其中的

m个情形，则A发生的概率为 𝐏(𝐀)=𝒎𝒏 对任何一个随机事件而言，其发生的概率与其不发生的概率之和为1。因此，当一个事件的概率不便正面求解时，可以先求其对立面，即它不发生的概率。 2. 条件概率：在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即在B条件下的概率

𝐏(𝐀|𝐁)=𝑷(𝑨𝑩)𝑷(𝑩) 3. 独立重复试验概率：在相同条件下，将某实验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不