行列式的计算

1行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=2443210004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式2 1078255133********-------解：1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391--=------=-------31224210017251307139110172100172513071391-=-----=----=这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式nn n n n ny x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=111111111212221212111解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：0)()(1)()(1)()(1112112122121112111=--+--+--+=y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，))((1111121222122111y y x x y x y x y x y x --=++++这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.3例4 计算行列式ab b b b b a b bb b a=∆解：把所有各列都加到第一列上去， 得：1)]()1([0000001])1([111])1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=∆n b a b n a ba b a b b b b n a ab b b b a bb b b n a ab b b n a b b a b n a b b b b n a3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。

这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式1100010110000012310000000231000000000023100000002312----=+n D 解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，得：3212222216232122222101100000001100000000110000000110000000111232112322+++++-----=---+--+n n n n n n n n n D再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：4 321222221110001011000000011000000001100000001100000001112322++-----=---+n n n n n D按最后一列展开，得)32(3321111110100000000100000000001000000001000000001)32(2+=+=+n nn D3.4 行(列)归一法先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值． 例6 计算n 阶行列式xa a a x a a a x D=解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出x a n +-)1(，得xa a ax a x a n D 111])1[(+-= 将第一行乘a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则1)]()1[(0000111])1[(--+-=--+-=n a x x a n ax a x x a n D4.特殊行列式4.1 爪型行列式形如：512112221112222110122211210,,,a c c cb a b a b a b b b a ac a c a c c a c a c a a b b b a c a c a c b b b a n n nnnn nnn nnn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算． 例7 计算行列式)),2,1(0(2211210n i a a c a c a c b b b a D i nnn=≠=解 当),,2,1(0n i a i =≠时，将第i+1列乘以),2,1)((n i a c ii=-后都加到第1列，得三角型行列式：∑∏∑===-=-=n i a b c n j j nn ni ab c i ii iii a a a a b b a D 1012110)(000000例8 计算行列式yy x x D -+-+=2222222222222222 分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例6结论计算其值． 解221)()(]})()(2)(2)()(2[)2{(0020020022)1(y x y y x y x y x x x x y y x x x x x c c i =-⋅⋅-⋅--⋅+-⋅+--⋅-+=-----+-+4.2 三对角线型行列式D6 形如：nn n n b c a b c a b c a b 113222111---的n 阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明． 例9 计算n 阶行列式)(111b a ba ab b a ab b a ab b a D n ≠++++=解 按第一行展开得21211)(111)1()(--+--+=+++-++=n n n n abD D b a ba ab b a ab b a ab ab D b a D变形),(211----=-n n n n aD D b aD D 由于22221)(,b ab a ab b a D b a D ++=-+=+=，从而利用上述递推公式得n n n n n n n n b aD D b aD D b aD D b aD D =-==-=-=-------)()()(122322112故有nn n n n n n n n n n n n n n n n babb a a b abb aD ab ab D a b b aD a b aD D +++=++++==++=++=+=----------1112211122121 )(例10 证明na aa a a a D n cos cos 211cos 211cos 211cos 211cos ==解 按第n 行展开得721)1(1cos 2110cos 211cos 211cos )1(cos 2---+--=-+=n n n n n n D aD a a a aD D采用第二数学归纳法证明1=n 时，a D cos 1=，结论成立．设k n ≤时，结论成立．则当1+=k n 时，有,)1cos()1cos(cos cos 2cos 211a k a k ka a D aD D k k k +=--=-=-+故有归纳假设知na D n cos = 4.3 Hessenberg 型行列式 形如：nnn nnn n nnnnn c c c a a b a b a b b a b a b a a c c c a c c c b a b a b a a b a b a b c c c a21112222110121211222211210,,,的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg 型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶． 例11 计算n 阶行列式121111a x a a a xxx D n nn +---=-解 按第一列展开得n n n n n n n n n n a xD a xD x x a xD D +=--+=----+=--+-+-111111)1()1(111)1(于是nn n n n n n n n n n n n n n n n a x a xa x a x a xa D x a x a D x a a xD a xD D ++++=+++==++=++=+=----------11112211122121)(例12 计算n 阶行列式8 )1(1)2(222111321---------=n n n n nn D n解 将第1,,2,1-n 列加到第n 列，得1)2(211)1(2)1(01)2(22211132112)1(-----+=-------++n n n n n n n n nn n2)!1()1(1+-=+n n4.4 两线形行列式例13 计算行列式nnn n a b b b a b a D00000000012211-=解： 按第1列展开得n n n n n n nn n b b b a a a b b a b b a b b a a D21121122111221)1(0000)1(0000+-+--+=-+=结论对于形如：nnn n nn n n n n n n n b a a b a a b a b a a b a a b a a b b a a b b b a b a 000000000,000000000,000000000,00000000011211212111121112211------9等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶． 4.5 利用范德蒙行列式计算范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果．例14 设nn x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明，若是)(x f 有1+n 个不同的根，那么)(x f 为零多项式.证明：设121,,+n a a a 为)(x f 的根，且)(j i a a j i ≠≠. 则将根代入多项式得到如下线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00121211022222101212110n n n n n nn n n a c a c a c c a c a c a c c a c a c a c c 以n c c c c ,,,,210 为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：0)(11111121122221211≠-=∏+≤<≤+++n i j jin n n n n na a a a a a a a a a a因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：010====n c c c所以)(x f 为零多项式. 5.降阶法5.1 一般降阶法根据行列式理论中的拉普拉斯定理, 行列式的计算可转化为k 阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和.但此方法计算量偏大, 仅适用于行列式中元素为0 较多的情形. 同时, 涉及一些比较复杂的、元素含文字或未知量的行列式, 仅用此方法是不够的. 例15 计算四阶行列式2014365103107223-----解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将3-也化为零，即10234391783)1()1(2314395100107823201436510310722322------⨯-=------=-----+35814391619)1(143903911619012-=----=---=+5.2 利用公式降阶公式1设A ，B 都是n 阶方阵，则有B A B A AB BA -⋅+=证明：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B BA E E E AB B A E E E n n nn nn 000 两边去行列式，得BA B B A E E E ABB A E E E nnn nnn -+=⋅⋅-000B A B A AB BA -⋅+=例16 计算行列式000a b a a a b b a a a b a解 利用公式1222)4(00220000b a b b b b a a b a b a a a b b a a a b a -=--⋅= 公式2设A ，B ，C 均为n 阶方阵，则BC C B A n ⋅⋅-=2)1(0证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r 行，在它的所有n 阶子式中，除C 外，其余至少包含一列零向量，从而值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行，第n ,,2,1 列，因此B C C BA s ⋅-⋅=)1(0其中偶数+=++++=+++++++++=22)21(2)21()()2()1(n n n n n n n n s即有B C C B A n ⋅⋅-=2)1(0例17 计算行列式0000000000000000333231232221131211ba b a b a a a a a a a a b a a a a解 直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2原式=333000000000)1(2a b aa ba b a b a b ⋅-=⋅⋅-5.3 利用拉普拉斯定理 定理1：设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．证明：设D 中取定k 行后得到的子式为,,,,21t M M M 它们的代数余子式分别为,,,,21t A A A 定理要求证明t t A M A M A M D +++= 2211根据行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中每一项都是行列式D 展开式中的一项，而且符号也一致，所以i i A M 中每一项都是D 中一项而且符号相同，而且i i A M 和)(j i A M j j ≠无公共项．因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了．显然等式左边共有!n 项，为了计算右边的项数，首先来求出t ．根据子式的取法知道)!(!!k n k n t Ck n-==．因为i M 中共有!k 项，i A 中共有)!(k n -项．所以右边共有!)!(!n k n k t =-⋅⋅项．定理得证．例18求行列式131310112104121-=D解：在行列式D 中取定第一、二行．得到六个子式：.1241,1142,2112,1041,2011,1021654321=-=-===-=M M M M M M它们对应的代数余子式为.)1(,)1(,)1(,)1(,)1(,)1(66)43()21(655)42()21(544)32()21(433)41()21(322)31()21(211)21()21(1M M A M M A M M A M M A M M A M M A '='-='-='-='='-='='-='-='-='='-=++++++++++++++++++ 根据拉普拉斯定理.771851681)7(3615)1(1)3(2)8()1(100112413011114210312112311010411130201113311021662211-=--+-+=⨯-+⨯-⨯+-⨯+-⨯--⨯-=⋅+⋅--⋅-+⋅+⋅-⋅-=+++=A M A M A M D 从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的．这个定理主要是理论方面的应用． 6.析因子法如果行列式有一些元素是变量x 的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式)(x f ，然后利用多项式理论，求出)(x f 的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”． 例19 计算行列式：229132513232213211x x --解：可以把原式看成关于变量x 的4次多项式)(x f ．由08132513232113211)1(==±f 及05132513232213211)2(=-=±f知，)(x f 有因式1±x 、2±x ，且)(x f 关于x 的最高次数为4，故)2)(2)(1)(1()(+-+-=x x x x k x f又由原式知，)(x f 中含4x 的项为)9()2(22x x -⋅-及)9()2(422x x -⋅--，故4x 的系数为3-．因此，3-=k ，从而原式)4()1(322-⋅--=x x ．例20 计算行列式：ax n a x n a x n +++3212131321解：可以把原式看成关于变量x 的1-n 次多项式)(x f ，由于0)()3()2(=-==-=-a n f a f a f故)(x f 有因式)2(a x --、)3(a x --、…、)(a n x --，且)(x f 关于x 的最高次数为1-n ，从而，)()3)(2()(n a x a x a x k x f -+-+-+= ，由原式知，原行列式关于x 的最高次项的系数为1，故1=k ．因此，原式)()3)(2(n a x a x a x -+-+-+= ．7.加边法加边法是把原行列式添加一行一列, 且其值不变, 所得的新行列式反而容易求出其值．该方法主适用于除主对角线上元素外, 各行(列)对应的元素分别相同的题型．添加行与列的方式一般有五种: (1)首行首列(2)首行末列(3)末行首列(4)末行末列以及(5)一般行列的位置． (1) 添加在末行末列 例21 计算行列式nn n a a a a D ++++=-1111111111*********解:1111110001000100010001000011111111111111111111121121----=++++=--n n n n n a a a a a a a a D∑∏∏=----=----=+==--ni ia a a a ni i a a a a n i ia a a nn nn 11111111111110100001000001000001111000101001001010001121121)11(11∑∏==+=ni ini i a a（2）添加在一般位置 例 22计算行列式n nn nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解：通过添加行列得：nn nn nn n n n n n n n n n nny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x21111211222221222221211n 1111D --------+=易见1+n D 是范德蒙行列式，则∏∏≤≤=+--=nk j j kni i n x xx y D 111)()(而行列式n D 的值为1+n D 按最后一列展开式1-n y 项的系数乘以12)1(+-n .8.拆分法本法主要依行列式的性质, 将给定的行列式表为几个行列式的和, 使新得的行列式便于计算．如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其中某列的每个元素的第1项（或第2项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例，则一般可考虑用“拆分法”． 例23 计算当3≥n 时nn n n n nn n n c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a D +++++++++=121122221211212111解 按第一列之和分解为nn n n nn n nn nn n n n n nn c b a c b a b c b a c b a b c b a c b a b c c b a c b a c b a c b a c b a c b a a D +++++++++++++=22222221212112222221212111111122221122221211=+=nn nnnn n n n a a b a a ba abc c b c b c b c b c b c b a把某1行( 或列) 的元素写成两数和的形式, 再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式的和, 使问题简化以利于计算. 例24 计算行列式nn n b b bab ba ab a a a D ⨯=0000解：nn n n nn nn nn n a b b b b b a b a a b b b b b a b a a a ab b b b b a b a a a b b b a b b a a b a a a a a b b b a b b a a b a a a D ⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=-=-+++=000001101010000000000000000对上面的第一个行列，将第n 列乘)(b -加到其余各列上，对第二个行列式按第n 列展开，最后可得11)1()1()(000001100101---⨯-⨯--=-------=n n n n nn n aD b a b b b a b a a b a a a b b a b b a b a b a D这样，我们获得一个递推公式：11)(----=n n n aD b a D 如果将n D 按下面方式拆项，又可得到nn nn nn n b b ab a a a a a b b b b ab b a a b a a a b b b b ab ba a ba a a bb D ⨯⨯⨯-=-=000000000000类似于前面的方法可得另一个递推公式：11)(----=n n n bD a b D联立上述两个递推关系式⎪⎩⎪⎨⎧--=--=----1111)()(n n n n n n bD a b D aD b a D 当b a ≠时，解得ba b a ab babb aaab D n n n n n n n n n ---=++++-=--------11123321)1()()1(当b a ≡时，解得n n n n n n n n a a a a a a D 1222221)1()()1(-------=+++-=9.递推与归纳这种方法是根据行列式性质, 把一个n 阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式, 再利用关系式推出这个n 阶行列式的值. 一般情况下, 主要方法有:递推法1) 递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2阶, 1阶)行列式的值求出D 的值.该方法适用于行(列)中0较多的或主对角线上、下方元素相同的题型．归纳法2) 当行列式已告诉其值, 且值与自然数有关时, 一般用数学归纳法证明结果的正确性. 如果未告诉结果, 也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值, 通过观察猜想原行列式的值. 然后用数学归纳法证明猜想的正确性.1） 利用已给的行列式的特点，建立起n 阶行列式与1-n 阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶递推法，常见的有两类： （1）1-=n n lD D 型，此时根据递推关系有：11D l D n n -=（2） )0,2(21≠>+=--q n qD pD D n n n 型，此时我们不妨设α，β是方程02=--q px x 的根，则由根与系数的关系，得q p =-=+αββα,，将其带入21--+=n n n qD pD D 中，有：)2()()()()1()()()(122322211122322211D D D D D D D D D D D D D D D D n n n n n n n n n n n n n n αβαβαβαβαβαβαβ-==-=-=--==-=-=-------------下面分两种情况进行讨论：)(:21,:2)()(:21,:11221121121D D D D Case D D D D D Case n n n n n n αααβαβααββαβα-+==----=≠----）得）和（由（）得）和（由（)()1()(21221112222D D n D D D D n n n n αααααα-++==-+=----（1）利用1,-n n D D 进行递推 例25计算行列式xa a a a a a a a a x a a a a x D n n n n32132121211=+解:n nn nn n n n n n n a x a a a a a a a xa a a x a a a a a a a a a a xa a a a x a x a a a a a a a a a a xa a a a x D -+=-++++=+3213212121321321212132132121211000)(000nn n n n n D a x a a a x a a a a a x a D a x a a a a a a a xa a a xa )(11000101)(1111322322113213212121-+-----=-+=nn ni i n D a x a x a )()(1-+-=∏=而 x D =1))(()()(111112a x a x x a x a x a D +-=-+-=))(()())()(())(()())((2121112212222123a x a x a a x a x a x a x a x a x a D a x a x a x a D --++=+--+--=-+--=根据递推关系式可得)())()((2121n n n a x a x a x a a a x D ---++++=（2）利用 21,,--n n n D D D 进行递推 例26求行列式2100012000002100012100012=n D解： 由于212---=n n n D D D ；则不妨设α，β是方程0122=+-x x 的根，则：1==βα于是：2112211)1()2()1(1)1(1D n D n D D n D D n n n -+-=--+=--其中：3142112,2221=-====D D所以：1324)1()2(21+=+-=-+-=n n n D n D n D n即原行列式=12100012000002100012100012+=n2)归纳法例27计算行列式)(100010001000βαβαβααββααββα≠++++=n D解：按一行展开得11-n 10000001-1000100-++++++=n n D βαβααβαββαβααββαβα）（后一行列式按第一列展开，得递推公式)1()3()(21≥-+=--n D D D n n n αββα易于算出βαβαβαβα--=--=443332D D代入递推公式得βαβαβαβααββαβαβα--=+----+=5533444)(D于是自然猜想βαβα--=++11n n n D 证实这个结论，可以利用第二归纳法．此处从略 10.作辅助行列式例28 设)(,),(),(21x f x f x f n 为次数不超过2-n 的函数，设n ααα,,,21 为任意数，证明:0)()()()()()()()()(212221212111=n n n n n n f f f f f f f f f ααααααααα解法一 设1232211)(----++++=in in n i n i a x a x a x a x f那么，由)()()()()()()()()(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f ααααααααα1110021333222212211222222111211211211nn nn n n n n nn nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a ααααααααα------------⋅=马上得证．解法二 刚才是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式)()()()()()()()()()(2222221211n n n n n n f f x f f f x f f f x f x D αααααα=由题设不难得知n D 是x 的不超过2-n 次的一个多项式，然而它有1-n 个根n ααα ,,32所以：0)(=x D n ．特别有0)()()()()()()()()()(2122212121111==n n n n n n n f f f f f f f f f D αααααααααα证毕．11.滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫作滚动消去法．一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便利用降级法来做．例 29 计算行列式122123123122121321-------=n n n n n n n n n D解：从第二行开始每行减去上一行，有1111111111111111321122123123122121321---------=-------=n n n n nn n n n n n D 2122)1()1(010000001000001132121111120022200021321-+-+-=-=----=n n n n n n n n12.特征值法设n λλλ,,,21 是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式n A λλλ 21=．故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可计算出A 的行列式．例30若n λλλ,,,21 是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全部为零． 证明： 因为n A λλλ 21=，则 A 是可逆的 ),,1(00021n i A i n =≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ 13.微积分法21例31 计算行列式xx x x x D n 00022000000000200002 =解： 易知n D 的结果是一个关于未知参数x 的多项式，根据n 阶行列式求导公式：∑==ni nn n n in i i n nn n n in i i n x f x f x f x f dxdx f dx d x f dxdx f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f dxd 1212111211212111211)()()()()()()()()()()()()()()()()()(下面对它求导：111100020100000200002002000020002-=-=∑∑===n n i n n i x n x xx x xx x xdxd设 )(x f D n =，则1)(-='n nx x f ，所以：c x dx x f x f n +='=⎰)()(又当0=x 时，n n f 2)1()0(1--=，所以n n c 2)1(1--=故原行列式的值为n n n n x D 2)1(1--+=. 14.换元法这种方法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时, 其各元素的代数余子式容易计算的情形．它基于下面的性质，设xa x a x a x a x a x a x a x a x a D a a a a a a a a a D nn n n n n nnn n n n+++++++++==212222*********2222111211,22则∑=+=nj i ijAxD D 1,1，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式．例 32 计算行列式nn a xxxx a x xx x a x x x x a D321=解：把n D 的所有元素都加上x -得：xa x a x a D n ---=000021D 的非主对角线元素的代数余子式等于零, 而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积．所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+---=----+--=+=-∑x a x a x x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a D n n n i ni i n n 111)())(()()()()()()(12111111例 33 求证)()())(()(,)()(21321b a x x x x x x x f ba a bfb af x bbba xb ba a xb a a a x D n n≠---=--==证明 作行列式)(x Dxx xb xb xb x a x x x b xb x a x a xx x b x a x a x a x x D n x ++++++++++++++++=321)( 可见)()(a f a D =-，)()(b f b D =-．根据行列式的性质可知)(x D 是x 的一次多项式，所 以可令d cx D x +=)(，又因为D d D ==)(0，所以23)()();()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-所以：ba a bfb af D --=)()(.注释：以上几种方法已将n 阶行列式的计算方法大部分囊括在内，虽然方法很多，但不难掌握．我们解答问题时，要重视方法分析，着重培养解决问题的能力和技巧，形成良好的数学思维，在今后的数学学习中应该多多注意．参考文献：[1]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）【M 】.北京：高等教育出版社，2003:181~320. [2]钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）【M 】.北京：中英民族大学出版社，2002:189. [3]钱吉林.行列式的计算技巧【J 】.华中师院学报，1840，Vol.16(3):103~111. [4]张军生.一类递归沂列式的计算方法【J 】.唐山师专学报，1998，Vol.20(5):15~16. [5]徐安德.行列式的两种计算方法探究【J 】.科技信息，2011（33）：288~335. [6]杨鹏辉.行列式的计算技巧【J 】.宜春学院学报，2011，Vol.33(4):27~30. [7]丁冰.三线型行列式的计算【J 】.科技通报，2012，Vol.28(2):15~17[8]樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法【J 】.江苏教育学院学报( 自然科学)，2011，Vol.27(1):15~16. [9]王正文. 高等代数分析与研究[M] . 济南: 山东大学出版社, 1994. [10]张禾瑞, 郝新. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983. 130. [11]吴赣昌．线性代数[M]．中国人民大学出版社，2009.[12]陈志杰．高等代数与解析几何：上册[M].2 版．高等教育出版社，2009.[13]段向阳.浅谈行列式的几种计算方法［J ］.湖南冶金职业技术学院学报，2008（12）：42- 45.。