「精品」高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文(1)

, 第九章 平面解析几何)第1课时 直线的倾斜角与斜率（对应学生用书（文）121～122页、（理）126～127页）1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是 Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范围是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范围是 Ｗ.答案：⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：由－1≤k ≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝ Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为 Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知经过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为 Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，所以y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1） 求直线l 的斜率k 的取值范围； （2） 求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. （1） 要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2） 由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范围.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线经过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，所以斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是 Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，所以B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，所以α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎡⎦⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tanθ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，且θ∈[0，π），所以θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x ≥－1）有交点，求实数k 的取值范围.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为 Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为 Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为 Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，所以f （0）＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，所以直线ax －by ＋c ＝0的斜率为ab ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），所以α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4. 4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 Ｗ.答案：⎝⎛⎭⎫π6，π2解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），所以k PA ＝0－（－3）3－0＝33，所以直线l 的斜率范围为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈（－∞，0）.第2课时 直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是 Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件 Ｗ.答案：a ≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为 Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示；④ 经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：对于①②，斜率有可能不存在，对于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是 Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1） 当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3） 当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5） 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2） 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1） 当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2） 显然直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 经过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k ≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k ∈R ）. （1） 求证：直线l 过定点；（2） 若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（3） 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.（1） 证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 无论k 取何值，直线l 总经过定点（－2，1）.（2） 解：由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.（3） 解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1） 求实数m 的取值范围；（2） 若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3） 若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； （4） 若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1） 当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2） 由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4） 因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.所以当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x ≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ·PR ＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n20＝1（0≤m ≤30），∴ n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30. ∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m ≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1） 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；（2） 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1） 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米.（2） 设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，此时a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是 Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为 Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是 Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； （2） BC 边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0， 化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2） 因为BC 边上的中点为（2，3），所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件 Ｗ.答案：m ≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是 Ｗ.答案：⎣⎡⎦⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝⎛⎭⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎨⎧32－t ≥0，－t2≤0，解得0≤t ≤32. 3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为 Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b ≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝⎛⎭⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的 条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1显然平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝ Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4. （必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝ Ｗ.答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a ＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是 Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1） 两点间的距离： 平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式： d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2） 点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B 2.（3） 两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m ∈R 且m ≠C ）. （2） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m ∈R ）. （3） 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2） 直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A ≠0，x 1≠x 2）.特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2） 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1）， ∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.（2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1经过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2经过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2； （2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1） 若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2） 若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点), 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝ －23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1）， 设C （a ，b ）， 则D ⎝⎛⎭⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b 2＋1＝0，得C （5，2）， 由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1） 求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2） 求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1）， 可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2） 过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1） 若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程； （2） 求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1） 由直线l 经过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2） 设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA （当l ⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求： （1） 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2） 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； （3） 直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. （2） 在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′经过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3） 设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享） 光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B （1，1），所以反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝⎛⎭⎫－23，－13. 所以入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2016·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255.2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是 Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345.3. 已知l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是 Ｗ.答案：（2，4）解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，所以四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7）， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1）， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 Ｗ.答案：5 解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 经过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 Ｗ.答案：⎝⎛⎭⎫－16，12 解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1. （若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，所以直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，所以l 的倾斜角为α±π4，所以直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎫α±π4.因为tan α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13， 所以直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时 圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10 解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）经过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一般方程为 Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范围是 Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一般方程知a ∈R ，因为点P 在圆内，所以1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2. 5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为 Ｗ.答案：49 解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，所以d 的最大值为5＋2＝7，所以d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1） 以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2） 特殊的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.（1） 当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 22圆；（2） 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； （3） 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系： （1） 若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ. （2） 若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ. （3） 若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D2. ∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②， 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3）， 即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎨⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫112，－32. ∴ 所求圆的半径r ＝⎝⎛⎭⎫112－82＋⎝⎛⎭⎫－32－62＝1252，∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －1122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1252.变式训练圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1） 若圆的面积最小，求圆的方程；（2） 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1） 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5. （2） 因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为（－1，－2）.根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享）已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3， 在△AOB 中，可求得OA ＝6， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1） 若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值； （2） 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范围. 解：（1） 将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7. （2） 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0. 由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离 d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为（0，1）. 变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且。

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）111～112页 （理）116～117页1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________． 答案：90°解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ＜1解析：tan α＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a .由a －12＋a ＜0，得－2＜a ＜1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．答案：2π3解析：若a ＝0，则B ，C 重合，不合题意，从而由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1.从而B(0，3)，此三点所在直线的斜率为k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－3，而α∈[0，π)，所以α＝2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：由k ＝tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．答案：k 1<k 3<k 2解析：设三条直线的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，另外，tan α2＝k 2>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α3＝k 3>0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，而α3<α2，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以， k 3<k 2.综上，k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解：设直线l 的倾斜角是θ，则直线MN 的倾斜角为2θ，由已知得tan2θ＝k MN ＝15－32＋4＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2， 所以tan 2θ＋tan θ－1＝0，解得tan θ＝－1＋52或tan θ＝－1－52，由tan2θ＝2>0知，2θ必为锐角，从而θ为锐角，故tan θ＝－1＋52.备选变式（教师专享）已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tan θ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴ －1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.备选变式（教师专享）直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝tan α＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 解析：由题意知直线l 恒过定点P(2，1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA ＝－2，k PB ＝12，∴ －2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1x的最大值与最小值．解：y ＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y)的直线的斜率．如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.因此，z max ＝4＋73，z min ＝4－73.4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的斜率．解： 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以射线OA 的方程为y ＝x(x≥0)，射线OB 的方程为y ＝－33x (x≥0)． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．答案：(－23，0)解析：设P(x ，0)，由题意k PQ ＝tan30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为(－23，0)．2. 有以下几个命题：① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：⑤解析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，可知①不正确，⑤正确；x ＝a(a∈R )是垂直于x 轴的直线，所以②错误；直线倾斜角的正切值是斜率，所以③错误；不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示，所以④错误； 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．答案： 3解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴ 所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB相交，即应满足－a≥3＋12或－a≤2＋1－3，得a≤－2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请使用课时训练(B )第1课时(见活页)．第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）113～115页 （理）118～120页1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y ＝－A B x －C B x －C A ＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B ≠0，C ≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y ＝－A B x －C B ，截距式为x －C A ＋y－CB＝1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：直线3x －4y ＋12＝0在x 轴上的截距为－4，在x 轴上的截距为3，因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|－4|×3＝6.3. 下列四个命题：① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋ya ＝1(a≠0)；③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1a －b；④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0解析：① 当直线过原点时，直线方程为y ＝－43x ；② 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a.代入点(3，－4)，∴ a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为y ＋1x －0＝2＋11－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：(1) 当直线l 过原点时，l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直．∵ 直线l 经过点P(5，2)，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k(x －5)(k≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－2k ，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－2k ·|2－5k|＝52，即(5k －2)2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15(x －5)或y －2＝45(x －5)，即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32，∴ 直线方程为y ＝－32x ；(2) l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴ 直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )．(1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M.(1) 解：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴ a＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴ a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴ a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2) 解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴ a≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． (3) 证明：∵ (x－1)a ＋(x ＋y ＋2)＝0，∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.故直线l 恒过定点M(1，－3)．备选变式（教师专享）直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程．解：(1) 如图，设||OA ＝a ，||OB ＝b ，△ABO 的面积为S ，则S ＝12ab ，并且直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a ＋1b＝1，所以a 2＝11－1b＝b b －1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b －1>0.由此得S ＝a 2×b ＝b b －1×b ＝b 2－1＋1b －1＝b ＋1＋1b －1＝b －1＋1b －1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b －1＝1b －1，即b ＝2时，面积S 取最小值4，这时a ＝4，直线的方程为x 4＋y2＝1.即直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则||MA ＝1sin θ，||MB ＝2cos θ， 所以||MA ||MB ＝1sin θ·2cos θ＝4sin2θ， 当θ＝45°时，||MA ||MB 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x ＋y －3＝0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn ≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，可解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0，2＋a)，又a>－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2（a ＋1）×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 备选变式（教师专享）直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：(解法1：借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y －2＝k(x －3)，令x ＝0，则y ＝－3k ＋2；令y ＝0，则x ＝3－2k.由题设可得－3k ＋2＝3－2k ，解得k ＝－1或k ＝23.故l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即直线l 的方程为x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (解法2：利用截距式求解)由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a ＝0，则l 过点(0，0)．又过点(3，2)，∴ l 的方程为y ＝23x ，即l ：2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 为x a ＋ya ＝1.由l 过点(3，2)，知3a ＋2a＝1，故a ＝5.∴ l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．答案：k>12或k<－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k <3，解不等式可得k>12或k<－1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．(填序号)① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0. 答案：②解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，且1n<0，即m>0，且n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选填②.3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵ 直线l 过点P(－5，－4)，∴ －5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab.又由已知有12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案：12解析：由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P(a ，b)在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2]，又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式方程为6x －8y－13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，又直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.1. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．答案：1解析：方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．2. (原创)如果AC<0且BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．答案：二解析：由已知条件知A ，B ，C 均不为0，直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，直线一定过一、四象限，又直线在y 轴上的截距－CB<0，故直线一定过三、四象限，故直线不通过第二象限．3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程． 解：设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0， ∴ A(4x ＋2y)＋B(x ＋3y)＋C ＝0， 整理得(4A ＋B)x ＋(2A ＋3B)y ＋C ＝0，∴ 上式也是l 的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴ A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B ＝－4A ＋B2A ＋3B，∴ A ＝B或B ＝－2A ，∴ 所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．请使用课时训练(A )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）116～118页 （理）121～123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝2，又a ＞0，∴ a ＝2－1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．答案：－1解析：由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 答案：2x ＋y ＋1＝0解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x ＋y －5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．答案：3x ＋2y －1＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，2x －3y ＋8＝0，得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．答案：7x ＋y ＋22＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q(2，0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y ＋92－95－92＝x ＋52175－52，即7x ＋y ＋22＝0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求满足下列条件的m 的值．(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直．解：可先从平行的条件a 1a 2＝b 1b 2(化为a 1b 2＝a 2b 1)着手．由m ＋34＝25＋m，得m 2＋8m ＋7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝－7.由m ＋34＝5－3m 16，得m ＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，a 1a 2≠b 1b 2，l 1与l 2相交．(2) 当m ＝－7时，a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m ＝－1时，a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，l 1与l 2重合．(4) 当a 1a 2＋b 1b 2＝0，即(m ＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m ＝－113时，l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(解法2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1a ＝23.(解法2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0a ＝23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A 、B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 备选变式（教师专享）已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：(解法1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长||AB ＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由||AB ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. (解法2)由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝||1－62＝522，且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图)．设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝52 25＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3，1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5. ①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ②联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x ＝3或y＝1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1) 直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. 又a ＞0，解得a ＝3.(2) 假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝2|x 0＋y 0－1|5×2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 备选变式（教师专享）已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1. 化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k －1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.(解法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等，所以l 有两种情况，如下图：①当P 1、P 2在l 的同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即y －2＝－13(x ＋1)；②当P 1、P 2在l 的异侧时，l 必过P 1、P 2的中点(－1，4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4，3)．∵ m ′经过点N(4，3)，∴ 由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵ P ′在直线l 上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．答案：43解析：以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P(x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4，2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC 上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝－12，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴ A ′(4，－2)．∴ 直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得C(2，4)． ∴ k AC ＝13，k BC ＝－3，∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形． 备选变式（教师专享）已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＋32－4·y′－12＋10＝0，y ′＋1x′－3·14＝－1 A ′(1，7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．答案：－10解析：∵ l 1∥l 2，∴ k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.∵ l 2⊥l 3，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴ m ＋n ＝－10.2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案：(2，4)解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为(2，4)． 3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 答案：3x ＋4y ＋5＝0 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y)＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．① 若m≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m ，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．② 若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．∴ 当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－16.将y ＝－mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m，－4m 4－m ，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴ 当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．答案：3 2解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|m ＝－6，所以l 的方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．答案：－1或2解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．解：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613，4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1） 3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝5－4113－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613(x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5－（－1）－1－0x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．。

2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是 Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范畴是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范畴是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝ Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原先的位置，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，关于一条与x 轴相交的直线，假如把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范畴是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，现在直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 假如三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为 Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，因此α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，因此α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，因此α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，因此α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知通过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为 Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，因此y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34. 整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范畴) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1） 求直线l 的斜率k 的取值范畴； （2） 求直线l 的倾斜角α的取值范畴. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.（1） 要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范畴是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2） 由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°， 因此α的取值范畴是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范畴.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线通过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，因此斜率k 的取值范畴是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范畴是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是 Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，因此B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，因此α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范畴是 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[0，π），因此θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，同时A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，因此y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k 的取值范畴.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为 Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为 Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2 解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为 Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，因此f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此－b ＝a ，因此直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），因此α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4.4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范畴是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），因此k PA ＝0－（－3）3－0＝33，因此直线l 的斜率范畴为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范畴为[0，π），因此满足条件的直线l 的倾斜角的范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，依照该公式可求出通过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，现在直线的倾斜角为90°.2. 要正确明白得倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范畴，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范畴通常需从斜率的范畴入手，而求斜率的范畴则常需考虑倾斜角的取值范畴，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范畴是[0，π），而那个区间不是正切函数的单调区间，因此依照斜率求倾斜角的范畴时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情形讨论.由正切函数图象能够看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈（－∞，0）.第2课时 直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是 Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）假如ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件 Ｗ.答案：a≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为 Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 通过定点P 0（x 0，y 0）的直线都能够用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 通过定点A （0，b ）的直线都能够用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不通过原点的直线都能够用方程x a ＋yb＝1表示；④ 通过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都能够用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：关于①②，斜率有可能不存在，关于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线通过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是 Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1） 当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3） 当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5） 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2） 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1） 当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 只是原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2） 明显直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 通过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k∈R ）. （1） 求证：直线l 过定点；（2） 若直线不通过第四象限，求k 的取值范畴；（3） 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求现在直线l 的方程.（1） 证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 不管k 取何值，直线l 总通过定点（－2，1）.（2） 解：由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不通过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k≥0.（3） 解：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，现在l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1） 求实数m 的取值范畴；（2） 若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3） 若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； （4） 若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1） 当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.因此实数m 的取值范畴是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2） 由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，因此3m 2－4m －15＝0，因此m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4） 因为直线l 的倾斜角是45°，因此斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.因此当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化都市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物爱护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ·PR＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n 20＝1（0≤m≤30），∴ n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30.∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且那个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1） 当∠BAO＝45°时，试求OA 的长；（2） 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1） 由∠BAO＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米. （2） 设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，现在a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是 Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为 Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，因此a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是 Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，现在直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一样式方程和截距式方程； （2） BC 边的中线所在直线的一样式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC 边的中位线确实是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，因此这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2） 因为BC 边上的中点为（2，3），因此BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件 Ｗ.答案：m≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不通过第二象限，则t 的取值范畴是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32－t≥0，－t2≤0，解得0≤t≤32.3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为 Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），因此线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，因此a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b≥2ab 2，因此1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或通过原点的直线.故在解题时，若采纳截距式，应注意分类讨论，判定截距是否为零；若采纳点斜式，应先考虑斜率不存在的情形；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情形.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范畴相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的 条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1明显平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝ Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4.（必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a .1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，同时距离等于3的直线方程是 Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标确实是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解确实是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，现在两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有许多组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1） 两点间的距离： 平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式：d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2） 点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. （3） 两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m∈R 且m≠C）. （2） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m∈R ）.（3） 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2） 直线关于点对称问题的要紧解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A≠0，x 1≠x 2）.专门地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2） 直线关于直线的对称此类问题一样转化为点关于直线的对称来解决，有两种情形：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1），∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. （2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1通过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2通过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2； （2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1） 若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2） 若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，现在a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，现在k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点) , 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝ －23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1）， 设C （a ，b ）， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b2＋1＝0，得C （5，2）， 由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1） 求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2） 求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1）， 可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 现在l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 现在l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2） 过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l⊥OP，得k l k OP ＝－1，因此k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 通过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1） 若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程； （2） 求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1） 由直线l 通过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2） 设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA（当l⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求： （1） 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2） 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； （3） 直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. （2） 在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′通过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3） 设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享） 光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线通过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线通过点A′（－4，－3）和B （1，1），因此反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.因此入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2021·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是 Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345. 3. 已知l 1，l 2是分别通过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），因此k AB ＝－1－10－1＝2，因此两平行直线的斜率为k ＝－12，因此直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是 Ｗ.答案：（2，4） 解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC≥AC，PB ＋PD≥BD，因此四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：能够判定A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7）， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1）， 因此BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 Ｗ.答案： 5解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 通过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范畴是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.（若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，因此直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，因此l 的倾斜角为α±π4，因此直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 因为tan α＝2，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13， 因此直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的依旧平行与垂直，它们是两条直线的专门位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判定两直线平行与垂直时，不要不记得考虑斜率不存在的情形，利用一样式则可幸免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，要紧分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情形下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时 圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 通过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）通过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一样方程为 Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一样方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一样方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范畴是 Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一样方程知a∈R ，因为点P 在圆内，因此1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2.5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为 Ｗ.答案：49解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，因此d 的最大值为5＋2＝7，因此d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最差不多的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1） 以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2） 专门的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一样方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. （1） 当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E22（2） 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；（3） 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系：（1） 若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ.（2） 若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ.（3） 若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求通过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②，又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB⊥l， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3）， 即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴ 所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练圆通过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1） 若圆的面积最小，求圆的方程；（2） 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1） 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，因此所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5.（2） 因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），因此AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.因此圆心为（－1，－2）.依照两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享） 已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，因此∠AOB＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6，因此所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1） 若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；（2） 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范畴.解：（1） 将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，因此a ＝7.（2） 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，因此a 2＋1＞1，因此0＜d ＜1，因此所求距离的取值范畴为（0，1）.变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为 Ｗ. 答案：37解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C （a ，b ），半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，因此b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A （6，1），B （－2，1），目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，因此当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.备选变式（教师专享）设△ABC 顶点坐标为A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆.（1） 求圆M 的方程；（2） 当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由.解：（1） 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵ 圆M 过点A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0）∴ ⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，∴ 圆M 的方程为x 2＋y 2＋（3－a ）y －3a ＝0.（2） 圆M 的方程可化为（3＋y ）a －（x 2＋y 2＋3y ）＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∴ 圆M 过定点（0，－3）., 3 圆方程的应用), 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲通过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发觉在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了爱护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形爱护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东，正北方向上），且要求PQ 与圆A 相切.（1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2） 当公路PQ 长最短时，求OQ 的长.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.9 圆锥曲线中求值与证明问题题型一 求值问题例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程； [切入点：双曲线定义](2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. [关键点：利用等式列式]教师备选已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆C 的一个焦点，点M (0,2)且|MF |＝10.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，且满足|AM |＝|BN |，求l 的方程．解 (1)由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，c 2＋4＝10，b 2＋c 2＝a 2，解得a ＝22，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)根据题意可得，点A 必在点B 的上方，才有|AM |＝|BN |.当l 的斜率不存在时，|AM |＝2－2，|BN |＝2，|AM |≠|BN |，不合题意，故l 的斜率必定存在．设l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0，Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，即k 2>14. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2. 设N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－8k 1＋4k 2. 由|AM |＝|BN |可得，|AB |＝|MN |，所以1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，则x 1＋x 22－4x 1x 2＝|x 0|， 即424k 2－11＋4k 2＝⎪⎪⎪⎪8k 1＋4k 2， 整理得k 2＝12>14， 故k ＝±22，l 的方程为y ＝±22x ＋2. 思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设A (4,0)，直线y ＝kx ＋1与椭圆M 交于C ，D 两点，若直线AC ，AD 均与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切，求k 的值．解 (1)当点P 位于椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，即(12PF F S △)max ＝12·|F 1F 2|·b ＝3， 解得b ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝1，a ＝2，∴椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2， ∵直线AC ，AD 都与圆相切，∴k AC ＋k AD ＝0，即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， ∴y 1x 2－4y 1＋y 2x 1－4y 2x 1－4x 2－4＝0， ∴2kx 1x 2＋(1－4k )(x 1＋x 2)－8＝0，即－83＋4k 2×2k －(1－4k )8k 3＋4k 2－8＝0， 即－24k ＝24，∴k ＝－1.题型二 证明问题例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. (1)解 由题意得， 椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63， 所以a ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±x －2，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34， 所以|MN |＝1＋1·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1， 可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6kb 1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2 ＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧ k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立，所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.高考改编在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点P ，证明：O ，P ，M 三点共线．(1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，P (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 整理得3(m 2y 2＋2my ＋1)＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m 3m 2＋4， x 0＝43m 2＋4， ∴k OM ＝－34m . 直线l 1的方程为x 1x 4＋y 1y 3＝1，① 直线l 2的方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1，② ②－①⇒y 3(y 2－y 1)＝x 4(x 1－x 2) ⇒y x ＝34·x 1－x 2y 2－y 1＝－34m ， ∴y 3x 3＝－34m ＝k OP ， ∴k OM ＝k OP ，即O ，P ，M 三点共线．教师备选(2022·湖南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为 6.(1)求该椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，求证：直线l 与某个定圆E相切，并求出定圆E 的方程．解 (1)∵椭圆的短轴顶点到焦点的距离为6， ∴b 2＋c 2＝a ＝6，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 26＋y 23＝1. (2)∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，则OA →·OB →＝0，①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入椭圆方程得，y ＝±6－t 22， 不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6－t 22，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－6－t 22， 由OA →·OB →＝0得，t 2－3＋t 22＝0，解得t ＝±2， 此时l ：x ＝±2，与圆x 2＋y 2＝2相切；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝6，y ＝kx ＋m 得， (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)>0，化简得m 2<6k 2＋3，①由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－6k 21＋2k 2， 由OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0可得，2m 2－61＋2k 2＋m 2－6k 21＋2k 2＝0， 整理得，m 2＝2k 2＋2，满足①式， ∴|m |k 2＋1＝2，即原点到直线l 的距离为2， ∴直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切．综上所述，直线l 与圆E ：x 2＋y 2＝2相切．思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 跟踪训练2 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切．(1)求C 的离心率；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，过F 点的直线与C 的右支交于M ，N 两点，证明：F 点到AM ，AN 的距离相等． (1)解 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，令点F (c,0)，则c 2＝a 2＋b 2，因为以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切， 则bc a 2＋b 2＝a ， 整理得b ＝a ，c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝ 2. (2)证明 由(1)知，双曲线C 的方程为2x 2－2y 2＝c 2，点A ⎝⎛⎭⎫12c ，0，显然直线MN 不垂直于y轴，设直线MN ：x ＝my ＋c ，因为直线MN 与双曲线右支交于两点，则直线MN 与双曲线的两条渐近线x ±y ＝0在y 轴右侧都相交，于是得－1<m <1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋c ，2x 2－2y 2＝c 2消去x 得2(m 2－1)y 2＋4cmy ＋c 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2cm m 2－1，y 1y 2＝c 22m 2－1， 直线AM 的斜率k AM ＝y 1x 1－12c ＝y 1my 1＋c －12c ＝2y 12my 1＋c ， 同理，直线AN 的斜率k AN ＝2y 22my 2＋c ， 于是得k AM ＋k AN ＝2y 12my 1＋c ＋2y 22my 2＋c＝8my 1y 2＋2c y 1＋y 22my 1＋c 2my 2＋c＝8m ·c 22m 2－1＋2c ⎝⎛⎭⎫－2cm m 2－12my 1＋c 2my 2＋c＝0， 因此，直线AM 与AN 的倾斜角互补，则直线AM 与AN 关于x 轴对称，而点F 在x 轴上， 所以点F 到直线AM 与AN 的距离相等．课时精练1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为A (－1,0)．(1)求C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．求证：1|PM |2＋1|QM |2为定值． (1)解 由题意，可得－p 2＝－1，即p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4my －8＝0，则Δ＝16(m 2＋2)>0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，又|PM |＝1＋m 2|y 1|，|QM |＝1＋m 2|y 2|.∴1|PM |2＋1|QM |2＝11＋m 2y 21＋11＋m 2y 22＝y 21＋y 221＋m 2y 21y 22＝16m 2＋16641＋m 2＝1＋m 241＋m2＝14. ∴1|PM |2＋1|QM |2为定值．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 所以直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305. 所以直线PB 的斜率为2305或－2305.3．(2022·莆田质检)曲线C 上任意一点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比等于22，过点M (4,0)且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点A ，B . (1)求C 的方程；(2)求证：△ABF 内切圆的圆心在定直线上． (1)解 设P (x ，y )，由题意，x －22＋y 2|x －4|＝22⇒(x －2)2＋y 2 ＝12(x －4)2， 化简得x 28＋y 24＝1， 即C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 代入C 得(m 2＋2)y 2＋8my ＋8＝0，∴⎩⎨⎧ Δ＝64m 2－32m 2＋2>0⇒m 2>2，y 1＋y 2＝－8m m 2＋2，y 1·y 2＝8m 2＋2.设直线AF 与BF 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1my 1＋2＋y 2my 2＋2 ＝2my 1y 2＋2y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2 ＝2m ·8m 2＋2＋2⎝⎛⎭⎫－8m m 2＋2my 1＋2my 2＋2＝0. ∴k 1＝－k 2，则∠BFM ＝π－∠AFM ，∴直线x ＝2平分∠AFB ，而三角形内心在∠AFB 的角平分线上， ∴△ABF 内切圆的圆心在定直线x ＝2上．4．(2022·深圳光明区模拟)已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，E (0,1)，过焦点F 2，且斜率为16的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且满足AF 1→＝2BO →. (1)求C 的方程；(2)过点D ⎝⎛⎭⎫－32，0且斜率不为0的直线l 交C 于M ，N 两点，且|EM |＝|EN |，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1ax ， 过F 2(c,0)，且斜率为16的直线方程为 y ＝16(x －c )， 由⎩⎨⎧ y ＝1a x ，y ＝16x －c得A ⎝⎛⎭⎫ac a －6，c a －6， 由⎩⎨⎧ y ＝－1a x ，y ＝16x －c得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋6，－c a ＋6， 由于AF 1—→＝2BO →，即⎝⎛⎭⎫－c －ac a －6，－c a －6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋6，2c a ＋6， 所以－c a －6＝2c a ＋6，解得a ＝2. 所以双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1. (2)设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32(k ≠0)， 由⎩⎨⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32，x 24－y 2＝1，消去y 并化简得(1－4k 2)x 2－12k 2x －9k 2－4＝0，Δ＝144k 4＋4(1－4k 2)(9k 2＋4)＝16－28k 2>0，k 2<47且k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21－4k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋3)＝k ⎝⎛⎭⎫12k 21－4k 2＋3 ＝3k 1－4k 2， 所以M ，N 的中点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 21－4k 2，32k 1－4k 2， 由于|EM |＝|EN |，所以EG ⊥MN ，k EG ·k MN ＝－1，32k 1－4k 2－16k 21－4k 2－0·k ＝－1， 化简得8k 2＋15k －2＝0，(k ＋2)(8k －1)＝0，解得k ＝－2或k ＝18， 由于k 2<47且k ≠0， 所以k ＝18， 所以直线l 的方程为y ＝18⎝⎛⎭⎫x ＋32.。