2018-2019学年湖南省邵阳市隆回县高一下学期期末数学试题一、单选题 1．2cos3π=（ ） A ．12 B ．12-C．2D． 【答案】B【解析】利用诱导公式转化为cos 3π-，根据特殊角三角函数值求得结果.【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，属于基础题. 2．12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果. 【详解】 函数的最小正周期2412T ππ== 故选：D 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解问题，关键是明确正弦型函数的最小正周期2T ωπ=.3．已知向量(11)a =-v，，(12)b =-v，，则(2)a b a +⋅v v v＝（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由向量的坐标运算表示2a b +r r ，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为()1,1a =-r，()1,2b =-r 则()()()21,01,11a b a r r r +⋅=⋅-=；故选C ． 【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．4．若(a =r，)b =r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．120o【答案】A【解析】根据平面向量夹角公式可求得cos θ，结合θ的范围可求得结果. 【详解】设a r与b r的夹角为θcos 2a b a bθ⋅===⋅r r Q r r ，又0180θ≤≤o o 30θ∴=o故选：A 【点睛】本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是熟练掌握两向量夹角公式，属于基础题. 5．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -== 所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.6．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故2112a a q ==,选C. 【考点】本题主要考查等比数列性质及基本运算.7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B =A ．B ．4πC ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得，，由于，，，故答案为C.【考点】正弦定理的应用.9．若0,0a b c d >>>>，则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【答案】C 【解析】由题,可得10cd >,且ac bc bd >>,即11ac bd cd cd⋅>⋅,整理后即可得到作出判断 【详解】由题可得0cd >,则10cd>, 因为a b >,0c d >>则ac bc >,bc bd >,则有ac bd >, 所以11ac bd cd cd ⋅>⋅,即a bd c> 故选C 【点睛】本题考查不等式的性质的应用,属于基础题 10．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A【解析】利用115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ即可 【详解】115212122T πππ=-=，∴2T wππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512x π=得552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，52,()62k k z ππϕπ+=+∈，23k πϕπ=-+，又Q 22ππϕ-<<，3ϕπ∴=-故答案选A 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题二、填空题11．不等式23710x x -≤的解集为______. 【答案】1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】根据一元二次不等式的解法直接求解可得结果. 【详解】由23710x x -≤得：()()2371031010x x x x --=-+≤ 1013x ∴-≤≤即不等式23710x x -≤的解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故答案为：1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查一元二次不等式的求解问题，属于基础题. 12．函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为______. 【答案】()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】令22262k x k πππππ-+≤+≤+，解得x 的范围即为所求的单调区间.【详解】 令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ sin 6y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解. 13．2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为______. 【答案】3【解析】由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值. 【详解】[]cos 21,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q []2cos 211,33x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭，即max 3y =故答案为：3 【点睛】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数()cos x ωϕ+的值域为[]1,1-. 14．已知tan 2α=，则sin 2cos 2αα=______.【答案】43-【解析】利用二倍角公式将所求式子化为正余弦的齐次式，分子分母同除2cos α即可构造出关于tan α的式子，代入可求得结果. 【详解】222sin 22sin cos 2tan 44cos 2cos sin 1tan 143αααααααα====----故答案为：43-【点睛】本题考查正余弦齐次式的求解问题，关键是能够利用二倍角公式将所求式子化为正余弦齐次式的形式.15．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________．【答案】【解析】12a b +≥【详解】∵正实数a，b满足12a b+=12a b+≥，∴ab≥当且仅当1a=2b即且时取等号．故答案为【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．三、解答题16．已知5sin13α=，α为第二象限角.（1）求cosα的值；（2）求tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）1213-；（2）717【解析】（1）根据同角三角函数平方关系即可求得结果；（2）利用同角三角函数商数关系可求得tanα，代入两角和差正切公式可求得结果. 【详解】（1）αQ为第二象限角cos0α∴<12cos13α∴==-（2）由（1）知：sin5tancos12ααα==-5tan tan17412tan54171tan tan1412παπαπα+-+⎛⎫∴+===⎪⎝⎭-+【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.17．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=o ，24AB DC==，3AD =，记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r.（1）用a r ，b r 表示AC u u u r 和BD u u u r；（2）求AC BD ⋅uuu r uu u r的值.【答案】（1）12AC a b =+u u u r r r ，BD b a =-u u u r r r；（2）1【解析】（1）根据向量的线性运算可直接求解得到结果；（2）将所求数量积转化为()12a b b a ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭r r r r，根据数量积运算性质求得结果.【详解】（1）2AB DC =Q 12DC AB ∴=u u u r u u u r1122AC AD DC AD AB a b ∴=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r（2）由（1）得：()22111981222AC BD a b b a b a a b ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r r r r r r r r r【点睛】本题考查利用基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数量积运算的性质.18．已知()()21f x mx m x m =--+（m R ∈且0m ≠）.（1）若()25f =，求m 的值；（2）若()0f x =没有实数根，求m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()1,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭U 【解析】（1）由()25f =可构造方程求得结果；（2）根据一元二次方程无实根可知∆<0，解不等式求得结果. 【详解】（1）()2422725f m m m m =-++=-=Q 1m ∴= （2）由题意知：()()2100mx m x m m --+=≠无实数根()222143210m m m m ∴∆=--=--+<，解得：1m <-或13m >m ∴的取值范围为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【点睛】本题考查根据函数值求解参数值、根据一元二次方程无实根求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解问题，属于基础题.19．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 【答案】（1）22n a n =+；（2）63【解析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式； （2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.20．已知ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）4π21 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件转化为只含角的等式，再利用三角形内角和为180︒，消去多余的变量，可得B; （Ⅱ）根据三角形的面积公式1sin 2S ac B =,余弦定理及基本不等式关系可求得ABC ∆面积的最大值. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得：sin sin cos sin sin A B C C B =+sin()sin cos cos sin sin cos sin sin B C B C B C B C C B ∴+=+=+ sin 0C ≠Q cos sin B B ∴=又(0,)B π∈4B π∴=.（Ⅱ）Q 1sin 24S ac B == 由余弦定理可得2242cos 4a c ac π=+-，又222a c ac +≥故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立.所以14S ac =≤.1. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，属于中档题.解题时要根据具体的条件，利用正弦定理或余弦定理，将条件统一成只含边或角的等式.。
