勾股定理2

第一章勾股定理一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。

这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面乃几千年来前人所发现的证明方法。

【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180°―90°= 90°又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90°∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌RtΔADE，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ≌RtΔABG ≌RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上，所以a^2+b^2=c^2【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴即a的平方+b的平方=c的平方【证法5】欧几里得的证法《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。

蜂蜜具有润肠通便、美颜、助睡眠的作用。表弟在收到一窝蜂后，勾起了他做一个养蜂人的愿望，于是他掏钱从陇县、环县等地方买来了8窝优质蜜蜂开始养蜂。一段时间后，他给我发信息：姐姐， 我养了几窝蜂，滴了些蜂蜜，你把地址给我我给你寄几斤你尝尝。我给了他地址说，要是真好不愁卖钱，现在拿钱买不到好蜂蜜。表弟说，我不做假东西，人不能坏良心。
从那以后，家里再也没有养过蜜蜂，也很少吃蜂蜜。长大后，有了收入想吃蜂蜜时，就从商城买蜂蜜，但是味道不大好，想着从路边养所谓的洋 槐蜜或者枣花蜜灌到瓶子里，满心欢喜拿回家喝蜂蜜水，却总不是纯正的蜂蜜的味道，知道买了假蜂蜜。从网上看，方知不良商家为了增加收入，在蜂蜜里面掺水、加白糖、加玉米面等，难怪呢。好怀 念儿时家里的蜜蜂和蜂蜜，好想再喝到那种有着浓郁蜂蜜味道的乡土蜂蜜。七7星娱乐手机官网
表弟是姑姑的孩子，比我小三岁，忠厚善良，寡言少语。小时候寒暑假我们经常在一起玩耍，关系很亲密。
不几日，蜂蜜收到了，黄橙橙、粘稠的样子惹人馋，打开一瓶蜂蜜尝一下，唇齿留香，果然是小时候吃过的味道。照了照片发了朋友圈，一时间许多朋友进来定蜂蜜，说是尝尝要好了就再要。吃过 蜂蜜的朋友，交口称赞就是小时候吃过的蜂蜜味道。有些朋友对价格有些接受不了，说是在外面买一斤15元，这种蜂蜜好是好就是太贵吃不起，也就不吃了。吃了表弟蜂蜜的，百分之九十的都成了回头 客。一下要七八斤的，但是表弟的蜂蜜每次都割不够，就给朋友们匀着分一些，零零星星给朋友把预定的蜂蜜分够，又有几位朋友预定了几十斤蜂蜜，表弟说没有蜂蜜，得等秋后再割，就一直等着，等 的天都冷了，再问表弟，说他第一次割蜂蜜不懂，割得迟了，冻住了，蜂蜜已经割不下来了，得到过年后割了蜂蜜再给邮寄过来。

（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.部分学生可能在理解实际问题与勾股定理之间的联系时遇到困难；
2.学生在解题过程中可能会出现计算错误或步骤遗漏；
3.课堂时间有限，可能无法充分照顾到每个学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上：
1.及时观察学生的学习反应，通过提问和个别指导来帮助学生解决理解上的困难；
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生已经掌握了勾股定理的基本概念和应用，具备了一定的前置知识。但可能存在以下学习障碍：
1.对于勾股定理在实际问题中的运用，部分学生可能难以将理论知识与实际问题相结合；
2.在解决实际问题时，学生可能对题目中给出的信息理解不充分，导致无法正确运用勾股定理；
3.部分学生可能在计算过程中出现失误，影响解题效果。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受到勾股定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的学习积极性；
2.设计具有挑战性的问题，引导学生主动探索，激发学生的求知欲；
3.采用小组合作、讨论交流的形式，鼓励学生积极参与课堂活动，提高学生的团队协作能力；
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将采用开放式问题引导学生思考，鼓励学生表达自己的观点，及时给予反馈和鼓励，形成积极的师生互动。
2.生生互动：通过小组合作学习，让学生在小组内讨论问题、分享解题思路，促进生生之间的交流和合作。同时，组织小组间的竞赛活动，激发学生的学习积极性，培养团队协作能力。在小组活动中，我会适时给予指导和评价，确保互动的有效性。
四、教学过程设计