2021-2022年高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第23练数列的证明通项与求和练习文

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考什么 怎么考 怎么思
①判断(证明)等差(或等比)数列的通项公式或数列求和；②数列分 组方法；③归纳推理，数学运算． ①以等差(等比)数列为基本关系，确定等差或等比数列的项，并求 其和；②将非等差(等比)数列转化为等差(等比)数列． 第(1)问，设出公比，代入等式，求出通项公式；第(2)问，观察归纳 等比数列的各项与给定区间的关系，从而确定当m∈[2n，2n＋1)时， bm＝n，再根据数列{bm}各项的特点求和.
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①－②，得23Tn＝131＋132＋133＋…＋13n－n13n＋1＝3111－－3113n－n13n＋1＝21－3＋62n× 13n，易错点：错位相减，系数易错
∴Tn＝43－3＋42n×13n.卡壳点：Tn的变形 ∵S2n＝34－14×13n－1＝34－34×13n，且 3＋2n＞3，卡壳点：放缩关系 ∴当 n 为正整数时，Tn＜S2n.
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[思维拓展] [变条件、变问题]设{an}是公比不为 1 的等比数列，且 a1＝1.3a1，4a2， a3＋13 成等差数列，数列{bn}满足 anbn＝log4an＋1.数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
求证：Tn<196. 证明：由题意得 8a2＝3a1＋a3＋13， 即 8q＝3＋q2＋13， ∴q＝4，∴an＝4n－1. 因为 anbn＝log4an＋1，即 4n－1·bn＝log44n，所以 bn＝4nn－1，则 Tn＝1＋24＋432＋…＋n4－n－12 ＋4nn－1，①
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2022届高考数学二轮复习
第2讲 数列求和与综合应用(小题速做，大题细做)
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C 领悟
高考怎么考 1核心考点
考点一 分组转化法求和 ——同类为“组”，分别求和

(二)立体几何与空间向量1．(2021·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A —PB —C 的余弦值．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ， 由于AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，AP ，DP ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD .由于AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)解 在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .以点F 为坐标原点，F A →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz . 由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，1，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， 所以PC →＝⎝⎛⎭⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)，P A →＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0. 所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·P A →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.易知A —PB —C 为钝二面角， 所以二面角A －PB －C 的余弦值为－33. 2.(2021·泉州质检)如图，在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，∠CBD ＝60°，BD ＝2BC ＝4，点E 在CD 上，DE ＝2EC . (1)求证：AC ⊥BE ；(2)若二面角E —BA —D 的余弦值为155，求三棱锥A —BCD 的体积． (1)证明 取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，EO . 由于AB ＝AD ，BO ＝OD ， 所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又BE ⊂平面BCD ，所以AO ⊥BE . 在△BCD 中，BD ＝2BC ，DE ＝2EC ， 所以BD BC ＝DEEC＝2，由角平分线定理，得∠CBE ＝∠DBE . 又BC ＝BO ＝2，所以BE ⊥CO ，又由于AO ∩CO ＝O ，AO ⊂平面ACO ，CO ⊂平面ACO ， 所以BE ⊥平面ACO ，又AC ⊂平面ACO ，所以AC ⊥BE .(2)解 在△BCD 中，BD ＝2BC ＝4，∠CBD ＝60°，由余弦定理，得CD ＝23，所以BC 2＋CD 2＝BD 2，即∠BCD ＝90°，所以∠EBD ＝∠EDB ＝30°，BE ＝DE ，所以EO ⊥BD ，结合(1)知，OE ，OD ，OA 两两垂直，以O 为原点，分别以OE →，OD →，OA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，设AO ＝t (t >0)， 则A (0,0，t )，B (0，－2,0)，E ⎝⎛⎭⎫233，0，0， 所以BA →＝(0,2，t )，BE →＝⎝⎛⎭⎫233，2，0， 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋tz ＝0，233x ＋2y ＝0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－2t y ，令y ＝－1，得n ＝⎝⎛⎭⎫3，－1，2t . 由于OE ⊥平面ABD ，所以m ＝(1,0,0)是平面ABD 的一个法向量． 又由于二面角E —BA —D 的余弦值为155， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝33＋1＋4t2＝155， 解得t ＝2或t ＝－2(舍去)．又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A —BCD 的高， 故V A —BCD ＝13·AO ·S △BCD＝13×2×12×2×23＝433. 3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长． 解 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， P (0,0,2)．(1)由于AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)． 由于PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为33. (2)由于BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)， 又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.由于y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又由于BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.4.(2021届锦州质检)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若二面角M —BQ —C 的大小为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴QD ∥BC 且QD ＝BC ， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ .∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面P AD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解 ∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面P AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ， ∴PQ ，QA ，QB 两两垂直，如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，设M (x ，y ，z )，则PM →＝(x ，y ，z －3)， MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t1＋t，y ＝3t 1＋t ，z ＝31＋t，在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t . ∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t )． ∵二面角M —BQ —C 为30°， ∴cos 30°＝n·m|n||m |＝t3＋0＋t 2＝32，∴t ＝3.5．(2021届北京市朝阳区模拟)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，点F ，G 分别为线段CD ，BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使∠A 1DC ＝60°.点Q 为线段A 1B 上的一点，如图 2.(1)求证：A 1F ⊥BE ；(2)线段A 1B 上是否存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE ？若存在，求出A 1Q 的长，若不存在，请说明理由； (3)当A 1Q →＝34A 1B →时，求直线GQ 与平面A 1DE 所成角的大小．(1)证明 由于A 1D ＝DC ，∠A 1DC ＝60°， 所以△A 1DC 为等边三角形． 又由于点F 为线段CD 的中点， 所以A 1F ⊥DC .由题可知ED ⊥A 1D ，ED ⊥DC ， A 1D ∩DC ＝D ，A 1D ，DC ⊂平面A 1DC ， 所以ED ⊥平面A 1DC .由于A 1F ⊂平面A 1DC ，所以ED ⊥A 1F . 又ED ∩DC ＝D ，ED ，DC ⊂平面BCDE ， 所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE .(2)解 由(1)知，A 1F ⊥平面BCDE ，FG ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，则F (0,0,0)，D (0，－1,0)，C (0,1,0)，E (1，－1，0)，A 1(0,0，3)，B (2,1,0)． 设平面A 1DE 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，A 1D →＝(0，－1，－3)，DE →＝(1,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·DE →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝0，x ＝0.令z ＝1，则y ＝－3，所以n ＝(0，－3，1)． 假设在线段A 1B 上存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE .设A 1Q →＝λA 1B →，λ∈(0,1)．又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝(2λ，λ，－3λ)． 所以Q (2λ，λ，3－3λ)．则FQ →＝(2λ，λ，3－3λ)． 所以FQ →·n ＝－3λ＋3－3λ＝0， 解得λ＝12.所以在线段A 1B 上存在中点Q ，使FQ ∥平面A 1DE ， 且A 1Q ＝ 2.(3)解 由于A 1Q →＝34A 1B →，又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝⎝⎛⎭⎫32，34，－334.所以Q ⎝⎛⎭⎫32，34，34.又由于G ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以GQ →＝⎝⎛⎭⎫0，34，34. 由于n ＝(0，－3，1)，设直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为θ，则sin θ＝|GQ →·n ||GQ →||n |＝⎪⎪⎪⎪0－334＋342×234＝12.所以直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为30°.。

阶段评估卷(一)专题一、二(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2022·宜昌模拟)已知集合A={y|y=2-x,x＜0},B={x|y=12x}，则A ∩B=( )(A)［1，+∞) (B)(1，+∞) (C)(0，+∞) (D)［0，+∞)2.设复数z=()22i1i++(i为虚数单位)，则复数z的虚部是( )(A)12 (B)-1 (C)-i (D)13.函数y=x,sin x x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( )4.已知a∈R,则“a＞2”是“a2＞2a”成立的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.(2022·武汉模拟)已知向量a=(2,-1),a·b=10,|a-b|=5,则|b|=( )(A)20 (B)40 (C)210 (D)256.执行下面的程序框图，假如输出的是a=341，那么推断框中应填( )(A)k＜4？ (B)k＜5？ (C)k＜6？ (D)k＜7？7.由直线x=,3π-x=,3πy=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为( ) (A)12 (B)1 (C)338.(2022·广东高考)已知变量x,y满足约束条件y2x y1,x y1≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+y的最大值为( )(A)12 (B)11 (C)3 (D)-19.(2022·荆州模拟)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］＜0恒成立，则不等式f(1-x)＜0的解集为( )(A)(1，+∞) (B)(-∞，0)(C)(0，+∞) (D)(-∞，1)10.设f(x)是R上的可导函数，且满足f′(x)>f(x)，对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是( )(A)f(a)<e a f(0) (B)f(a)>e a f(0)(C)f(a)<()af0e (D)f(a)>()af0e二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.(2022·孝感模拟)已知2a-bc且a·c=3,|b|=4,则b与c的夹角为______.12.已知函数f(x)=22log x,x0,1x,x0,-⎧⎨-≤⎩＞则不等式f(x)＞0的解集为______.13.已知函数f(x)=21mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.14.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=()()()2log1x,x0,f x1f x2,x0-≤⎧⎪⎨---⎪⎩＞则f(2021)=______.15.(2022·济南模拟)下列正确命题的序号是________.(1)“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的必要不充分条件；(2)∃a∈R,使得函数y=｜x+1｜+｜x+a｜是偶函数；(3)不等式：111111111111,1,121233224435≥+≥+++（）（）（）≥1111,,3246++⋯（）由此猜想第n个不等式为111111111(1)() n1352n1n2462n +++⋯+≥+++⋯++-；(4)若二项式n22xx+（）的开放式中全部项的系数之和为243,则开放式中x-4的系数是40. 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={y｜y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)＞0},B={y｜y=215x x,22-+0≤x≤3}.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围；(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求(R A)∩B.17.(12分)(2022·宁德模拟)已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈［0,+∞)都有f(x)＞2-x成立，求实数k的取值范围.18.(12分)设f(x)=22xx1+，g(x)=ax+5-2a(a＞0).(1)求f(x)在x∈［0,1］上的值域；(2)若对于任意x1∈［0,1］,总存在x0∈［0,1］,使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.19.(12分)(2022·杭州模拟)已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1,g(x)= (lnx-1)e x+x(其中e为自然对数的底数).(1)推断函数f(x)在区间(0,e］上的单调性；(2)是否存在实数x0∈(0,e］，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.20.(13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为)x万元.假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？21.(14分)已知函数f(x)=px-p x -2lnx,g(x)=2e,x(1)若p=2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；(3)若p 2-p ≥0,且至少存在一点x 0∈［1,e ］，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求实数p 的取值范围.答案解析1.【解析】选B.集合A=(1，+∞)，B=［0，+∞)，故答案为B.2.【解析】选B.z=()22i2i 12i,2i 21i ++-==+故复数z 的虚部是-1.3.【解析】选C.因函数y=x sin x 是偶函数，故排解A,又x ∈(0,2π)时，x ＞sin x ，即xsin x＞1,排解B ，D ，故选C.4.【解析】选A.a ＞2可以推出a 2＞2a;a 2＞2a 可以推出a ＞2或a ＜0，不肯定推出a ＞2.“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件.5.【解析】选D.|a -b |=()22225-=-+=，a b a a b b 解得|b |=2 5.6.【解析】选C.由程序框图知 k=1时，执行第一次a=1；k=2时，a=5； k=3时，a=21； k=4时，a=85； k=5时，a=341， 所以推断框中应填k ＜6?7.【解析】选D.由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为33cos xdxππ-⎰=230cos xdxπ⎰=2sin x 3π=2(sin3π-sin 0)=3,故选D.8.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y 经过点B(3，2)时，z 取得最大值，最大值为11.9.【解析】选B.f(x+1)是奇函数，即其图象关于点(0，0)对称，将f(x+1)向右平移1个单位长度，得f(x)，故f(x)的图象关于点(1，0)对称，由(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＜0恒成立，知()()1212x x 0f x f x 0-⎧⎪⎨-⎪⎩＞＜或1212x x 0f x f x 0-⎧⎨-⎩＜，（）（）＞f(x)为R 上的减函数；又因f(1)=0，则不等式f(1-x)＜0即f(1-x)＜f(1)，有1-x ＞1，故x ＜0.10.【解析】选B.令g(x)=()x f x ,e则g ′(x)=()()x x x 2f x e e f x e '-（）=()()xf x f x ,e '-又f ′(x)>f(x),e x >0,∴g ′(x)>0，故g(x)在R 上为增函数，∴当a>0时,g(a)>g(0),即()()a0f a f 0,e e >∴f(a)>e a f(0).11.【解析】∵2a -bc ∴(2a -b )·c =2a ·c -b ·c ·(1)=2, 又∵a ·c =3，∴b ·c =4， ∴cos 〈b ,c 〉=b cb c=41.422=⨯所以b 与c 的夹角为.3π 答案：3π12.【解析】当x ＞0时，-log 2x ＞0,即x ＜1, ∴0＜x ＜1,当x ≤0时，1-x 2＞0,即-1＜x ＜1, ∴-1＜x ≤0,∴不等式f(x)＞0的解集为(-1，1). 答案：(-1，1)13.【解析】f ′(x)=mx+1x -2≥0对一切x ＞0恒成立，m ≥212(),xx -+令g(x)=212()x x -+，则当1x =1时，函数g(x)取得最大值1，故m ≥1. 答案：［1,+∞)【易错提示】解答本题时易得到错误答案(1,+∞)，出错的缘由是对导数和单调性的关系没有真正搞明白.14.【解析】当x ＞0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2)， ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1)，∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)， ∴f(x+6)=f(x)，即当x ＞0时， 函数f(x)的周期是6.又∵f(2021)=f(335×6+3)=f(3)， 由已知得f(-1)=log 22=1，f(0)=0， f(1)=f(0)-f(-1)=0-1=-1， f(2)=f(1)-f(0)=-1-0=-1， f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0， ∴f(2021)=0. 答案：015.【解析】当m=-2时，两直线为y=12和x=34-，此时两直线垂直，“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的充分不必要条件，所以(1)错误；当a=-1时，y=｜x+1｜+｜x-1｜为偶函数，所以(2)正确；由归纳推理可知，(3)正确；令x=1,则得全部项系数为3n =243,解得n=5,二项式的通项公式为5k 5kk k 53k kk 1522T C x ()C x 2,x --+==令5-3k=-4,得k=3,所以T 4=3435C x 2,-所以x-4的系数为335C2=80,所以(4)错误.正确的命题为(2)(3). 答案：(2)(3)16.【解析】A={y｜y＜a或y＞a2+1},B={y｜2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时，2a14, a2,⎧+≥⎨≤⎩a≤2或a≤∴a的取值范围是(-∞,2］.(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2.∴a的最小值为-2.当a=-2时，A={y｜y＜-2或y＞5}.∴R A={y｜-2≤y≤5}.∴R(A)∩B={y｜2≤y≤4}.17.【解析】(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，x∈R, 即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),∴(1+k)+(k+1)·22x=0对一切x∈R恒成立，∴k=-1.(2)∵x∈［0,+∞)，均有f(x)＞2-x，即2x+k·2-x＞2-x成立，∴1-k＜22x对x≥0恒成立，∴1-k＜(22x)min. ∵y=22x在［0,+∞)上单调递增，∴(22x)min=1,∴k＞0.18.【解析】(1)∵f′(x)=()()224x x12xx1+-+=()222x4xx1++≥0在x∈［0,1］上恒成立,∴f(x)在［0,1］上单调递增.又∵f(0)=0,f(1)=1,∴f(x)在x∈［0,1］上的值域为［0,1］.(2)f(x)的值域为［0,1］,g(x)=ax+5-2a(a＞0)在x∈［0,1］上的值域为［5-2a,5-a］.由条件,只需［0,1］⊆［5-2a,5-a］.∴52a05a1-≤⎧⎨-≥⎩⇒52≤a≤4.∴a的取值范围是[5,24].19.【解析】(1)∵f(x)=ax+lnx-1,∴f′(x)=22a1x a.x x x--+=令f′(x)=0,得x=a.①若a≤0,则当x∈(0，e］时f′(x)＞0,f(x)在区间(0,e］上单调递增.②若0＜a＜e,当x∈(0,a)时，f′(x)＜0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减，当x∈(a,e］时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a,e］上单调递增.③若a≥e,则当x∈(0，e］时f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e］上单调递减.(2)∵g(x)=(lnx-1)e x+x,x∈(0,e］,g′(x)=(lnx-1)′e x+(lnx-1)(e x)′+1=xex+(lnx-1)e x+1=(1x+lnx-1)e x+1.由(1)可知，当a=1时，f(x)=1x +lnx-1.此时f(x)在区间(0,e ］上的最小值为ln1=0，即1x +lnx-1≥0. 当x 0∈(0,e ］时,0x e ＞0,01x +lnx 0-1≥0, ∴g ′(x 0)=(01x +lnx 0-1)0xe +1≥1＞0.曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x)=0有实数解. 而g ′(x 0)＞0，即方程g ′(x 0)=0无实数解.故不存在x 0∈(0,e ］，使曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直. 20.【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n+1)x=m,即n=mx -1,所以=m m256(1)(2x x -+=256m2m 256.x +-(2)由(1)知，f ′(x)=122256m 1mx x 2--+ =322m(x 512).2x -令f ′(x)＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x<64时，f ′(x)<0,f(x)在区间(0，64)上为减函数；当64<x<640时，f ′(x)>0,f(x)在区间(64，640)上为增函数，所以f(x)在x=64处取得最小值，此时n=m 64011x 64-=-＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.21.【解析】(1)当p=2时，函数f(x)=2x-2x -2lnx, f(1)=2-2-2ln1=0.f ′(x)=2+222.x x - 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f ′(1)=2+2-2=2.从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2.(2)f ′(x)=222p 2px 2x pp .x x x -++-=令h(x)=px 2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 只需h(x)≥0，即h(x)=px 2-2x+p ≥0⇔p ≥22x,x 1+故正实数p 的取值范围是［1,+∞). (3)∵g(x)=2ex 在［1，e ］上是减函数，∴x=e 时，g(x)min =2； x=1时,g(x)max =2e,即g(x)∈［2，2e ］,①当p ＜0时，h(x)=px 2-2x+p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=1p 在y 轴的左侧，且h(0)＜0，所以f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数.当p=0时，h(x)=-2x,由于x ∈［1，e ］,所以h(x)＜0,f ′(x)=2x -＜0,此时，f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数，故当p ≤0时， f(x)在［1,e ］上单调递减⇒f(x)max =f(1)=0＜2,不合题意;②当p ≥1时，由(2)知f(x)在［1，e ］上是增函数，f(1)=0＜2,又g(x)在［1，e ］上是减函数，故只需f(x)max ＞g(x)min ,x ∈［1，e ］,而f(x)max =f(e)=p(1e e -)-2,g(x)min =2,即p(1e e -)-2＞2,解得p ＞24e,e 1-所以实数p 的取值范围是(24e,e 1-+∞).。

江苏2022高考数学二轮专项复习：第23讲高考题中的解答题解法江苏高考数学试卷是由填空题和解答题两部分构成，其中填空题14小题，每小题5分，总分70分，文科考生只要做解答题中的15～20共计6题，总分90分，试卷总分160分．解答题确实是给出一定的题设条件(即已知)，然后提出一定的要求(即结论)．它要求考生能依照题设，运用已知的一切条件(含公理、定理、性质、定义、公式等)，通过推理和运算最终达到要求的目标．在卷面上要求考生必须要将整个过程有条理、合乎逻辑、完整地陈述出来(包含添加的辅助线、引用的结论等)．试卷中前160分的6道解答题可分为中低档题(前3题)，中高档题(后3题)，其中三角、向量与解三角形，立体几何，解析几何可归结为前一类，应用题，数列题，函数、方程及不等式类题可归结为后一类问题，因此这也不是绝对的，应用题和解析几何题也是能够对调位置的，这要看整个试卷的知识点分布，纵观最近几年的江苏高考题，我们感受到8个“C”级考点一定会在试卷中有所表达．试卷采纳设点把关，注重层次性，即使是最后两题即所谓压轴题也不是高不可攀；试卷注重对基础知识的考查，既全面又突出重点；试卷注重对数学思想方法的考查，对学生的数学的学习能力、综合应用能力都有充分的要求．在解答题的应试过程中，考生要依照自己的实际情形，选择适合自己的应试策略．1. 已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sinxcosx ＋1)，f(x)＝OA →·OB →＋m.(1) 求y ＝f(x)的单调递增区间；(2) 若f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤π2，π，值域为[2,5]，求实数m 的值．2.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1) PA ⊥平面EBO ； (2) FG ∥平面EBO.3.二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b ∈R )满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－18.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设数列{a n }的前n 项积为T n, 且T n ＝⎝⎛⎭⎫45f(n),求数列{a n }的通项公式.4.如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y.(1) 按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．【例1】 已知集合A ＝{x|x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)<0，x ∈R }，集合B ＝{x|x －ax －(a 2＋1)<0，x ∈R }．(1) 当4B 时，求实数a 的取值范畴； (2) 求使B A 的实数a 的取值范畴．【例2】 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：关于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．【例3】 关于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的“一阶差分数列”，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．(1) 若数列{a n }的通项公式a n ＝52n 2－132n(n ∈N *)，求{Δa n }的通项公式； (2) 若数列{a n }的首项是1，且满足Δa n －a n ＝2n .① 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列；② 设{a n }的前n 项和为S n ，求S n .【例4】 函数f(x)＝lnx －a (x －1)x (x>0，a ∈R )．(1) 试求f(x)的单调区间；(2) 当a>0时，求证：函数f(x)的图象存在唯独零点的充要条件是a ＝1； (3) 求证：不等式1lnx －1x －1<12关于x ∈(1,2)恒成立．1. (2011·重庆)设a ∈R ，f(x)＝cosx(asinx －cosx)＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f(0)，求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．2. (2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？ (2) 某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出现在包装盒的高与底面边长的比值．3.(2011·安徽)设f(x)＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1) 当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2) 若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范畴．4.(2011·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a(a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判定：关于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．(2011·苏锡常镇调研)(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x(x －1)2，x>0. (1) 求f(x)的极值；(2) 设0<a ≤1，记f(x)在(0，a]上的最大值为F(a)，求函数G(a)＝F (a )a 的最小值； (3) 设函数g(x)＝lnx －2x 2＋4x ＋t(t 为常数)，若使g(x)≤x ＋m ≤f(x)在(0，＋∞)上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．解：(1) f ′(x)＝(3x －1)(x －1), (1分)令f ′(x)＝0，得x 1＝13，x 2＝1. x ⎝⎛⎭⎫0，1313 ⎝⎛⎭⎫13，11 (1，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)增极大值减极小值增∴ 当x ＝13时，有极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427；(2分) 当x ＝1时，有极小值f(1)＝0. (3分)(2) 易知f(x)在⎝⎛⎦⎤0，13上递增，⎝⎛⎦⎤13，1递减，(1，＋∞)递增．(4分)∴ 当0＜a ≤13时，G(a)＝f (a )a ＝(a －1)2≥49， (5分) 专门当a ＝13时，有G(a)＝49； (6分)当13＜a ≤1时，F(a)＝f ⎝⎛⎭⎫13，则G(a)＝f ⎝⎛⎭⎫13a ＝427a ≥4271＝427.(7分) 故对任意的0＜a ≤1，G(a)的最小值为427. (8分)(3) 由已知得h 1(x)＝x ＋m －g(x)＝2x 2－3x －lnx ＋m －t ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 由h ′1(x)＝(4x ＋1)(x －1)x，(9分) 得x ∈(0,1)时，h ′1(x)＜0，x ∈(1，＋∞)时，h ′1(x)＞0， 故x ＝1时，h 1(x)取极小值，也是最小值．从而当且仅当h 1(1)＝m －t －1≥0，m ≥t ＋1时，h 1(x)≥0在(0，＋∞)恒成立．(11分) 同样的，h 2(x)＝f(x)－x －m ＝x 3－2x 2－m ≥0， 在(0，＋∞)恒成立．由h ′2(x)＝3x(x －43)得x ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，h ′2(x)＜0，x ∈(43，＋∞)时，h ′2(x)＞0， 故x ＝43时，h 2(x)取极小值，也是最小值． 从而当且仅当h 2⎝⎛⎭⎫43＝－3227－m ≥0，m ≤－3227时， h 2(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(13分) ∴ t ＋1≤m ≤－3227.(14分)由m 的唯独性知t ＝－5927，现在m ＝－3227. (16分)第23讲 高考题中的解答题解法1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1) 若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA ，求A 的值； (2) 若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值．点拨：本题要紧考查三角函数的差不多关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是C 级要求，但属容易题．解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨．解：(1) 由题意知sinAcos π6＋cosAsin π6＝2cosA ，从而sinA ＝3cosA ，因此 cosA ≠0，tanA ＝ 3.因为0＜A ＜π，因此A ＝π3.(2) 由cosA ＝13，b ＝3c ，及a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＝a 2＋c 2，因此△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，因此sinC ＝cosA ＝13.2. 如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB ＝1米，高0.5米，CD ＝2a ⎝⎛⎭⎫a ＞12米．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑操纵其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是能够沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．(1) 设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S(平方米)表示成关于x 的函数S ＝f(x)；(2) 当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？求出那个最大面积．解：(1) ① 0≤x ＜12时，由平面几何知识，得MN －12a －1＝x 12.∴ MN ＝2(2a －1)x ＋1，S ＝f(x)＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14.② 12＜x ＜a ＋12时，S ＝f(x)＝12·2a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12.∴ S ＝f(x)＝⎩⎨⎧－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，x ∈⎣⎡⎭⎫0，12，a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12，x ∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12.(2) ① 0≤x ＜12时，S ＝f(x)＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14. ∵ a ＞12，∴ a －12(2a －1)－12＝－a 2(2a －1)＜0，∴ a －12(2a －1)＜12. (i) 12＜a ≤1，当x ＝0时，[f(x)]max ＝f(0)＝14.(ii) a ＞1，当x ＝a －12(2a －1)时，[f(x)]max ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －12(2a －1)＝a 24(2a －1). ② 12＜x ＜a ＋12时， S ＝f(x)＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝⎝⎛⎭⎫x －122⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －122 ≤⎝⎛⎭⎫x －122＋⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －1222＝12a 2，等号成立⎝⎛⎭⎫x －122＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122x ＝12(2a ＋1)∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12. ∴ 当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22.(i)12＜a ≤1时，∵ a 22－14＝12⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22， ∴ 12＜a ≤22时，当x ＝0，[f(x)]max ＝f(0)＝14， 22＜a ≤1时，当x ＝12(2a ＋1)，[f(x)]max ＝a 22. (ii) a ＞1时，12a 2－a 24(2a －1)＝4a －34(2a －1)a 2＞0. 当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22.综上，12＜a ≤22时，当x ＝0时，[f(x)]max ＝f(0)＝14，即MN 与AB 之间的距离为0米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为14平方米．a ＞22时；当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22， 即MN 与AB 之间的距离为x ＝12(2a ＋1)米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为12a 2平方米．基础训练1. 解：(1) f(x)＝2sin 2x －23sinxcosx ＋1＋m ＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＋m. 由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z )，得y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )． (2) 当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6，∴ －1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤12，∴ 1＋m ≤f(x)≤4＋m ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝2，4＋m ＝5，解得m ＝1. 2. 证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形，△ABC 为等边三角形． (1) 因为O 为边AC 的中点，因此BO ⊥AC.因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，BO 平面ABC ，因此BO ⊥面PAC.因为PA 平面PAC ，因此BO ⊥PA.在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点， 因此OE ⊥PA.又BO ∩OE ＝O ，因此PA ⊥平面EBO.(2) 连AF 交BE 于Q ，连QO.因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，因此AOOG ＝2，且Q 是△PAB 的重心，因此AQ QF ＝2＝AOOG ，因此FG ∥QO.因为FG平面EBO ，QO 平面EBO ，因此FG ∥平面EBO.(注：第(2)小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH ∥平面EBO 证得)3. 解：(1) 由题知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＞0，－b 24a ＝－18，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12，故f(x)＝12x 2－12x.(2) T n ＝a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫45n 2－n2，T n －1＝a 1a 2…a n －1＝⎝⎛⎭⎫45(n －1)2－(n －1)2(n ≥2)， ∴ a n ＝T n T n －1＝⎝⎛⎭⎫45n －1(n ≥2)．又a 1＝T 1＝1满足上式，因此a n ＝⎝⎛⎭⎫45n －1(n ∈N *)．4. 解：(1) ① ON ＝3－x 2，OM ＝33x ，MN ＝3－x 2－33x ，∴ y ＝x ⎝⎛⎭⎫3－x 2－33x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32.② PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝33×3sin θ＝sin θ， MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)＝3sin θcos θ－3sin 2θ，⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(2) 选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－32.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴ 2θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴ 2θ＋π6＝π2即θ＝π6时，y max ＝32. 例题选讲例1 解：(1) 若4∈B ，则4－a3－a 2＜0a ＜－3或3＜a ＜4. ∴ 当4B 时，实数a 的取值范畴为[－3，3]∪[4，＋∞)． (2) A ＝{x|(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x|a ＜x ＜a 2＋1}． ① 当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)． 要使BA ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，现在－1≤a ≤－12；② 当a ＝13时，A ＝，使B A 的a 不存在； ③ 当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)． 要使BA ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，现在2≤a ≤3. 综上可知，使B A 的实数a 的取值范畴是[2,3]∪⎣⎡⎦⎤－1，－12. 例2 解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0.∵ 直线与圆相切，∴|－b|22＋12＝3，得b ＝±35， ∴ 所求直线方程为y ＝－2x±3 5. (2) (解法1)假设存在如此的点B(t,0)．当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0关于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，∴ PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925， 从而PB PA ＝35为常数．(解法2)假设存在如此的点B(t,0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2， ∴ (x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 因此存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0关于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. 例3 (1) 解：依题意Δa n ＝a n ＋1－a n ，∴ Δa n ＝⎣⎡⎦⎤52(n ＋1)2－132(n ＋1)－⎣⎡⎦⎤52n 2－132n ＝5n －4.(2) ①证明：由Δa n －a n －a n ＝2n 得a n ＋1－2a n ＝2n ，即a n ＋1＝2a n ＋2n .∴ a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12，即a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12.∵ a 1＝1，∴ a 12＝12.∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列．②解：由①得a n 2n ＝12＋12(n －1)＝n 2，∴ a n ＝n 2·2n ＝n·2n －1. ∴ S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1·20＋2·21＋…＋n·2n －1， ∴ 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋n·2n ， 两式相减得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝1－2n1－2－n·2n ， ∴ S n ＝n·2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.例4 (1) 解：f ′(x)＝1x －a x 2＝x －ax 2(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a ＞0时，x ∈(0，a)，f ′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调减，x ∈(a ，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)在(a ，＋∞)上单调增．综上，a ≤0时f(x)的单调区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2) 证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，f(x)在x ＝1处有极小值也是最小值， 即f min (x)＝f(1)＝0.而f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在(0，＋∞)上有唯独的一个零点x ＝1.必要性：f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯独解，且a>0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即lna －a ＋1＝0. 令g(a)＝lna －a ＋1，g ′(a)＝1a －1＝1－a a .当0＜a ＜1时，g ′(a)＞0，在(0,1)上单调递增；当a>1时，g ′(a)＜0，在(1，＋∞)上单调递减．g max (a)＝g(1)＝0，g(a)＝0只有唯独解a ＝1.f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯独解时必有a ＝1. 综上：在a>0时，f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯独解的充要条件是a ＝1. (3) 证明：∵ 1<x<2，∴ 1lnx －1x －1＜12(x ＋1)lnx －2(x －1)＞0.令F(x)＝(x ＋1)lnx －2(x －1)，∴ F ′(x)＝lnx ＋x ＋1x －2＝lnx ＋1x －1.由(1)知，当a ＝1时，f min (x)＝f(1)＝0， ∴ f(x)≥f(1)＝0，∴ lnx ＋1x －1≥0.∴ F ′(x)≥0，∴ F(x)在(1,2)上单调递增，∴ F(x)＞F(1)＝0，∴ (x ＋1)lnx －2(x －1)＞0，∴ 1lnx －1x －1＜12(1＜x ＜2)．高考回忆1. 解：f(x)＝asinxcosx －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin2x －cos2x. 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f(0)得－32·a 2＋12＝－1，解得：a ＝2 3.因此f(x)＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f(x)为增函数；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f(x)为减函数．因此f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2，因此f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.2. 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1) S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，因此当x ＝15时，S 取得最大值．(2) V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x(20－x)．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时V ′＜0.因此当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．现在h a ＝12，即包装装盒的高与底面边长的比值为12.3. 解：对f(x)求导得f ′(x)＝e x (1＋ax 2－2ax )(1＋ax 2)2.①(1) 当a ＝43，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x⎝⎛⎭⎫－∞，12 12 ⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x)＋ 0 － 0 ＋f(x) 极大值 极小值因此，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2) 若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号，结合①与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.4. 解：(1) 由已知a n ＋1＝rS n 可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得a n ＋2－a n ＋1＝r(S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1.又a 2＝ra 1＝ra ，因此r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…；当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，∴ a n ≠0(n ∈N *)．因此由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)，a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，∴ 当n ≥2时，a n ＝r(r ＋1)n －2a.综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，r (r ＋1)n －2a ，n ≥2，n ∈N *. (2) 关于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a m ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(m ＝1)0，(m ≥2，m ∈N *) ∴ 关于任意的m ∈N *且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，当r ≠0，r ≠1时，∵ S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，则S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ，∴ 2S k ＋2a k ＋1＋a k ＋2＝2S k ，即a k ＋2＝－2a k ＋1.由(1)知，a 2，a 3，…，a n ，…的公比r ＋1＝－2，因此关于任意的m ∈N *且m ≥2，a m ＋1＝－2a m ，从而a m ＋2＝4a m ，∴ a m＋1＋a m＋2＝2a m，即a m＋1，a m，a m＋2成等差数列，综上，关于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．。