四川省中考数学专题突破复习题型专项(二)方程(组)、不等式(组)的解法试题【含解析】

聚焦新中考·必备考点透析
第二章
方程（组）与不等式（组）
2.3 分式方程
2025
数 学
目录
1 紧贴课标·考点过关
2 聚焦题型·重难突破
3 四川中考真题精练
紧贴课标·考点过关
1. 分式方程的定义
①
分母
中含有未知数的方程叫作分式方程.
返回目录
3
2. 分式方程的解法
（1）基本思路：将分式方程化为②
整式方程
能灯，一年用电16 000千瓦时，后购进一批相同数量的 B 型节能灯，一年
用电9 600千瓦时.一盏 A 型节能灯每年的用电量比一盏 B 型节能灯每年用
电量的2倍少32千瓦时.求一盏 A 型节能灯每年的用电量.
分析：设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦时，则一盏 A 型节能
灯每年的用电量为（2 x －32）千瓦时，根据 A 型和 B 型节能灯的数量相
同列分式方程求解.
返回目录
17
解答：设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦时，则一盏 A 型节能
灯每年的用电量为（2 x －32）千瓦时.


根据题意，得
＝
.
−

解得 x ＝96.
经检验， x ＝96是原分式方程的解，且符合题意.
∴2 x －32＝160.
即一盏 A 型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
（2）设未知数.
（3）根据题意找相等关系，列出（分式）方程.
（4）解方程，并验根.
（5）作答.（与列整式方程解应用题的步骤基本一致）
返回目录
9
易错提示：列分式方程解应用题，有两个“检验”，一个是在“解”
中，检验是否是所列分式方程的解（检验是解分式方程的一步）；另一

第二单元方程与不等式第5讲一次方程（组)1．（2016·大连）方程2x＋3＝7的解是( D )A．x＝5 B．x＝4 C．x＝3.5 D．x＝2 2．（2015·河北)利用消元法解方程组错误!下列做法正确的是（ D ）A．要消去y,可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×23．方程组错误!的解是（ B )A.错误! B。

错误! C.错误! D.错误! 4．（2016·宁夏)已知x,y满足方程组错误!则x＋y的值为（ C ）A．9 B．7 C．5 D．3提示：可用整体思想，两式相加求得4x＋4y＝20，则x＋y＝5。

5．(2016·毕节）已知方程x2m－n－2＋4y m＋n＋1＝6是关于x，y的二元一次方程,则m,n的值为( A ）A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1C．m＝错误!，n＝－错误! D．m＝－错误!，n＝错误! 6．(2016·哈尔滨)某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是（ C )A．2×1 000(26－x）＝800xB．1 000(13－x)＝800xC．1 000（26－x)＝2×800xD．1 000(26－x)＝800x7．(2015·淄博）已知错误!是二元一次方程组错误!的解,则2m－n的平方根为( A )A．±2 B.错误! C．±错误! D．28．(2016·常州)若代数式x－5与2x－1的值相等，则x的值是－4．9．(2016·龙东）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是180元．10．解下列方程（组)：（1)（2016·贺州)错误!－错误!＝5；解：去分母,得2x－3(30－x）＝60。

为 x ＝3.
9
11.
2

（2024·陕西中考）解方程： 2 ＋
＝1.
−1
−1
解：去分母，得2＋ x （ x ＋1）＝ x2－1.去括号，得2＋ x2＋ x ＝ x2－1.移
项、合并同类项，得 x ＝－3.检验：当 x ＝－3时，（－3＋1）
（－3－1）＝8≠0.故原分式方程的解为 x ＝－3.
10
12. （2024·江苏扬州中考）为了提高垃圾处理效率，垃圾处理厂购进
A 、 B 两种机器， A 型机器比 B 型机器每天多处理40吨垃圾， A 型机器处
理500吨垃圾所用天数与 B 型机器处理300吨垃圾所用天数相等. B 型机器
每天处理多少吨垃圾？
解：设 B 型机器每天处理 x 吨垃圾，则 A 型机器每天处理（ x ＋40）吨垃
新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全
域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买 A 、 B 两种绿植，已知 A
种绿植单价是 B 种绿植单价的3倍，用6 750元购买的 A 种绿植比用3 000元
购买的 B 种绿植少50株.设 B 种绿植单价是 x 元/株，则可列方程是
（
（
D ）
A. 0.2千米/分钟
B. 0.3千米/分钟
C. 0.4千米/分钟
D. 0.6千米/分钟
7
7.

+1
（2024·湖北武汉中考）分式方程
＝
的解是
−3
−1
8.
1

（2023·湖南永州中考）若关于 x 的分式方程
－
＝1（ m 为常
−4
4−
x ＝4
数）有增根，则增根是

2024成都中考数学复习逆袭卷专题二方程(组)与不等式(组)考点1等式与不等式的性质(针对诊断小卷二第1题)1.(诊断小卷二第1题变式练—变为考查变形依据)如图所示为解方程x －32＝2x ＋13的步骤，其中第③步变形的依据是()第1题图A.乘法分配律B.分式的基本性质C.等式的基本性质1D.等式的基本性质22.(创新考法·跨学科)在物理学中，力对物体所做的功W 跟力在物体运动方向上的大小F ，物体运动的距离S 之间有以下关系：W ＝FS ，等式两边同时除以S ，得F ＝WS，则变形的依据是()A.等式的基本性质1B.等式的基本性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质23.若x ＞y ，则mx ＜my 成立的条件是()A.m ≤0B.m ＜0C.m ≥0D.m ＞04.(结合数轴)已知a ，b 两点在数轴上的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是()第4题图A.a －1＜b －1B.2a ＜2bC.a 2＞b 2D.a －b ＜05.(创新考法·开放性)下面是两位同学对某个一元一次不等式的讨论：甲：不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向；乙：不等式的解集为x ≥2；根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是()A.－3x ≥6B.3x ≥6C.－3x ≥－6D.－3x ≤－66.(创新考法·注重过程性学习)下面是王老师在批改作业时，小华同学解一元一次不等式的解题过程，请认真阅读并解决以下问题．解不等式2x －3＜x ＋1.解：2x －x ＜1＋3，第一步x ＜4.第二步任务：解不等式2x －3＜x ＋1过程中的第一步依据的不等式的基本性质是____________．考点2方程(组)与不等式(组)的解法针对考向1一次方程(组)的解法(针对诊断小卷二第2题)1.(诊断小卷二第2题变式练—结合新定义)创新考法·阅读理解定义：对于两个不相等的有理数m ，n ，min{m ，n }表示m ，n 中较小的数，例如min{3，5}＝3.根据定义，已知一元一次方程min{6，2}＋x ＝3x －a 的解为x ＝－2，则a 的值为()A.2B.4C.－4D.－62.(结合代数式求值)已知关于x ，y x ＋3y ＝13ax －by ＝5＋2ay ＝8x －10y ＝－22有相同的解，则2a ＋b 的值为________.3.解方程：(1)2x －5(x ＋2)＝2;(2)x ＋15－1＝x －14.4.解方程组：x ＋2y ＝－1－4＝2y；3（y ＋1）＝－2－y3＝－16.针对考向2分式方程的解法(针对诊断小卷二第7题)5.(考查去分母变形)解分式方程x 2x ＋1＝1＋26x ＋3时，去分母后的整式方程为()A.3x ＝3(2x ＋1)＋2B.x ＝3(2x ＋1)＋2C.2x＝3(2x＋1)＋2D.3x＝1＋2(2x＋1)6.(考查增根)若关于x的分式方程k－xx＋3＝3x＋3有增根，则k的值为()A.－3B.0C.3D.47.(诊断小卷二第7题变式练—结合新定义)创新考法·阅读理解对于实数a，b，定义一种新运算“∞”：a∞b＝ba＋1，这里等式右边是实数运算，例如1∞2＝21＋1＝1，则方程x∞4＝3x－1的解为________．8.(考查无解)若关于x的分式方程mxx－2－1＝4－x2－x无解，则m的值为________．9.(考查特殊解)若关于x的分式方程x－ax＋1＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是________．10.解下列分式方程：(1)x＋1x－3－2x＝1;(2)3x＋2＋6x2＋2x＝1x.针对考向3一元二次方程的解法(针对诊断小卷二第11题)11.(考查配方法)用配方法解方程3x2－6x－4＝0时，配方后所得的方程是()A.(x＋1)2＝－13B.(x－1)2＝13C.(x－1)2＝73D.(x＋1)2＝－7312.(诊断小卷二第11题变式练)用合适的方法解下列方程：(1)(3x＋5)2＝49;(2)x(x－4)＝2－8x.13.(创新考法·注重过程性学习)观察下面解一元二次方程的过程，回答下列问题．小明和小亮在学习一元二次方程时，解方程3(x＋2)＝(x＋2)2的过程如下：小明：解：3(x＋2)＝(x＋2)2两边同时除以(x＋2)，得3＝x＋2，解得x＝1.小亮：解：3(x＋2)＝(x＋2)2移项，得3(x＋2)－(x＋2)2＝0，提取公因式，得(x＋2)(3－x＋2)＝0，则x＋2＝0或3－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝5.问题：(1)小亮解方程的方法是________；(2)小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程．针对考向4不等式(组)的解法(针对诊断小卷二第3，8，12题)14.(结合解集确定字母取值范围)若关于x x－2<5x－6>a的解集是x＞2，则a的取值范围是()A.a＞2B.a≥2C.a≤2D.a＜215.(诊断小卷二第3题变式练—结合新定义)创新考法·阅读理解在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝b－3a，例如：3△4＝4－3×3＝－5.已知不等式x△y＞0的解集在数轴上的表示如图所示，则y的值是()第15题图A.6B.3C.2D.－216.(诊断小卷二第8题变式练—变为求取值范围)若关于x －a≤0－2x<1的整数解共有5个，则a的取值范围是________．17.x＋3>x＋6①（x－1）<10②，请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得________；(2)解不等式②，得________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；第17题图(4)原不等式组的解集为________；(5)原不等式组的整数解为________．18.(诊断小卷二第12题变式练)创新考法·注重过程性学习下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．1）<2x＋6①x②.解：由不等式①，得4x－4<2x＋6，第一步解得x<5，第二步由不等式②，得x＋3≤2x，第三步移项，得x－2x≤－3，第四步解得x≤3，第五步∴原不等式组的解集是x≤3.第六步任务一：(1)小明的解答过程中，第________步开始出现错误，错误的原因是____________；(2)第三步的依据是____________________；任务二：(3)这个不等式组正确的解集是____________．考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系针对考向1一元二次方程根的判别式(针对诊断小卷二第9题)1.(常数项含字母)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则m的值可能是()A.4B.3C.2D.02.(一次项系数及常数项含字母)若关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－5＝0有两个相等的实数根，则k的值为()A.－3B.3C.－4D.43.(判断已知方程根的情况)一元二次方程x2－3x＋4＝0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根4.(一次项系数含字母)关于x的一元二次方程5x2＋kx－1＝0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根5.(创新考法·阅读理解)定义新运算：a*b＝ab＋a－b，例如2*3＝2×3＋2－3＝5，则方程x*(x －2)＝1的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.(已知根的情况选择方程)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是()A.x2－8x＋15＝0B.2x2＋x－1＝0C.x2＋2x＝0D.x2＋4x＋4＝07.(创新考法·代数推理)探讨关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋bx－1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a＝b；乙：a，b异号；丙：a＝－b.则其中符合的条件是() A.只有甲不正确 B.只有乙不正确C.甲，乙，丙都不正确D.甲，乙，丙都正确8.(诊断小卷二第9题变式练—变为常数项含字母)若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．9．(二次项系数含字母)若关于x的一元二次方程ax2－2x－3＝0有实数根，则a的取值范围为______．针对考向2一元二次方程根与系数的关系【2022年版课标调整：由选学内容调整为必学内容】(针对诊断小卷二第5题)10.(诊断小卷二第5题变式练—变代数式为分式形式)已知m，n是一元二次方程2x2＋6x－7＝0的两个根，则代数式1m＋1n的值为()A.67B.－67C.76D.－7611.()若x＝3是一元二次方程x2－ax＋3＝0的一个根，则方程的另一个根为()A.－3B.0C.1D.312.(结合根的判别式)关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2－1＝0的两个实数根是a，b，且a2＋2ab＋b2＝9，则k的值为()A.－1或5B.1或－5C.5D.－113.(结合代数式求值)已知一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个根分别是x1，x2，则2x1＋2x2－5x1x2的值为________．14.(结合含参代数式求值)已知x1，x2是一元二次方程x2＋2mx＋m2－m－2＝0的两个实数根，且x1－x2＝4，则(x1－3)(x2－3)的值为________．15.(常数项含字母)已知关于x的一元二次方程x2－4x－k2＋1＝0.(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个实数根的平方和为22，求k的值．16.(二次项系数含字母)已知关于x的一元二次方程(a－2)x2－4x－1＝0有实数根．(1)求实数a的取值范围；(2)若该方程的两个根是x1，x2,且x21x2＋x1x22＝－2，求a的值．考点4方程(组)与不等式(组)的实际应用针对考向1行程问题(针对诊断小卷二第4题)1.(涉及单位换算)周末，小明和小红相约去市图书馆学习，小明骑自行车从家出发，同时小红乘坐公交车从家出发，小明骑自行车的平均速度是小红乘公交车的平均速度的0.5倍，小红比小明早到10min.已知小明家距图书馆9km ，小红家距图书馆12km ，设小红乘公交车的平均速度为x m /min ，则根据题意可列方程为()A.90000.5x －10＝12000x B.90.5x －10＝12x C.9000x ＋10＝120000.5xD.9x ＋10＝120.5x2.(诊断小卷二第4题变式练—变素材)创新考法·数学文化《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？现增加一条件：若大雁的速度提升至原来的32倍，野鸭的速度保持不变，问经过多少天野鸭与大雁能相遇，设经过x 天相遇，则根据题意可列方程为________．3.(不同时间相向而行)甲、乙两辆汽车分别从A ，B 两地相向而行，甲车出发0.5小时后乙车出发，经过2小时后甲乙两车相遇，已知甲车的速度是乙车速度的0.9倍，A ，B 两地之间的路程为340km ，则甲车的速度为________km/h.4.已知甲、乙两个码头之间的路程为48km ，一艘轮船从甲码头顺流行驶至乙码头的平均速度是从乙码头返回甲码头逆流而行的平均速度的2倍，且从甲码头到乙码头所用时间比返回时少用1小时．则轮船从乙码头返回甲码头时的平均速度为________km/h.5.(不同地不同时同向而行)地铁是在城市中修建的快速、大运量、用电力牵引的轨道交通，为人们的出行带来了极大的便利．小明家和小丽家与学校的位置如图所示，且两家相距5km ，两人在某一天乘坐同一趟地铁去学校，已知小明乘坐地铁的时间是小丽乘坐地铁时间的54倍，该趟地铁的平均速度为40km/h ，请利用方程的知识求小丽乘坐地铁的时间．第5题图6.已知A ，C 两地的路程为400km ，B ，C 两地的路程是A ，C 两地的路程的0.8倍，某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A ，B 两地出发向C 地运送货物，已知甲车比乙车早出发1小时，两车用相同的速度行驶，结果两车同时到达C 地．请用方程的知识求甲车从A 地到C 地所用的时间．针对考向2购买、销售利润问题(针对诊断小卷二第10，14题)7.(诊断小卷二第10题变式练)某商店进购一批玩具，每件进价为40元，商店的标价是60元，后来由于商品积压，商店准备打折销售，为了保证利润率不低于20%，则该商品最多打几折()A.6折B.7折C.8折D.9折8.(创新考法·数学文化)《九章算术》中有这样一个“盈不足术”的问题：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？现增加条件：若店家准备给每个买羊的人优惠1元．设买羊人数为x人，则在增加条件后可列方程为()A.4x＋3＝6x－45B.4x－45＝6x－3C.4x－3＝6x＋45D.4x＋45＝6x＋39.(逆向考查)某企业为员工购买了甲、乙两种医用口罩，购买甲口罩花费了10000元，购买乙口罩所花的钱数为甲口罩的40%，且购买甲口罩的盒数是乙口罩盒数的2倍，每盒乙口罩比每盒甲口罩便宜2元．根据题意可列方程100002a－2＝10000×40%a，则方程中a表示的是()A.购买甲种口罩的盒数B.购买乙种口罩的盒数C.每盒甲种口罩的价格D.每盒乙种口罩的价格10.某超市出售A，B两种香蕉，A种香蕉每千克的售价比B种香蕉每千克的售价贵2元，用40元购买A种香蕉和用24元购买B种香蕉的重量相同，设A种香蕉每千克的售价为x 元，则下列方程符合题意的是()A.40x＝24x＋2B.40x＋2＝24xC.40x＝24x－2D.40x－2＝24x11.(折扣问题)某网店销售一款运动衫，顾客购买时可以在标价的基础上领券结算，如果是平台会员，则在标价的基础上可以打九五折，然后领券结算，若一位会员顾客领取了10元面额的抵用券，购买一件该款运动衫实际付款142元，求该款运动衫的标价是多少元？(领券结算：应付金额－抵用券＝实付金额)12.(利润问题)某眼镜店用1200元购入一批太阳镜，并以每副75元的价格全部售出，紧接着进行第二批采购，第二批采购的单价比第一批采购的单价贵2元，所购太阳镜的数量是第一批的1.6倍，共用去了2000元，出售第二批购进的太阳镜的定价与第一批的保持相同，当这批太阳镜售出45时，出现滞销，该眼镜店老板决定以定价的五折售完剩余太阳镜，问眼镜店老板销售第二批购进的太阳镜是赚钱了还是赔钱了，赚(赔)了多少?13.(结合方程)组某文具官方旗舰店销售A，B两款文具套餐，连续两个月的销售情况如下表所示：销售量(套)销售额(元)A款文具套装B款文具套装第一个月20010017000第二个月30040038000(1)求A款文具套装和B款文具套装的销售单价；(2)已知A款文具套装和B款文具套装的成本分别为40元/套和35元/套．为回馈新老客户，旗舰店决定在第三个月对A款文具套装降价10%后再销售，若第三个月销售A，B两款文具套装的数量均与第二个月销售A，B两款文具套装的数量分别相同，求该旗舰店在第三个月的销售利润．14.(诊断小卷二第14题变式练—体现体育)为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．已知购买3个足球和2个篮球共需460元；购买1个足球比购买1个篮球多花20元．(1)求足球和篮球的单价分别是多少元？(2)学校准备购买这两种球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案．15.(方案设计)某滑雪俱乐部准备购买两种型号的滑雪板，已知每个乙种型号的滑雪板比甲种型号的滑雪板便宜150元，并且用24000元购买甲种型号的滑雪板与用21000元购买乙种型号的滑雪板的个数相等．(1)求每个甲种型号的滑雪板与每个乙种型号的滑雪板的价格分别为多少元？(2)该俱乐部计划购买甲种型号的滑雪板与乙种型号的滑雪板共20个，且总费用不超过21750元，那么该俱乐部最多能购买多少个甲种型号的滑雪板？针对考向3工程问题(针对诊断小卷二第13题)16.(设问为列方程)如今地铁越来越成为人们日常出行中不可或缺的交通工具，也成为了城市建设发展的重要标识．某市正在修建地铁，还有200m未施工，为了加快施工进度，工程小队每天的工作效率提升为原计划的1.25倍，最终工程小队提前2天完成施工，设工程小队效率提升后每天修建x m，则下列方程符合题意的是()A.200x－2001.25x＝2 B.2001.25x－200x＝2 C.200x－250x＝2 D.250x－200x＝217.(设问为求工作时间)某校为增强学生的实践能力，在植树节期间，学校采购一批树苗，并组织八年级同学去郊外植树．已知男生单独种植完该批树苗需要6小时，女生单独种植完该批树苗需要9小时，则男女生合作种植完该批树苗需要的时间为________小时．18.(设问为求工作效率)临近雨季，某市计划对一条长为3600米的河道进行加固，为了加快施工进度，雇佣甲、乙两个工程队从河道两端同时施工，需要9天可以完成，根据甲、乙两队的施工情况发现，若先由甲工程队单独施工5天，再由乙工程队单独施工15天，也可以完成．求甲、乙两个工程队每天各加固河道多少米？19.(诊断小卷二第13题变式练)某汽车加工厂为了解决一款汽车零件库存紧张的问题，调动员工紧急生产该零件，计划每天生产该零件7200个，但因某些原因，有5名员工没法参与工作，每日的生产工作由剩下的员工加班完成，由原来的8小时增加到9小时，且每名员工每小时完成的工作量均相同，恰好能完成该零件每天的生产任务．(1)求该汽车加工厂当前参与生产的员工有几人？(2)生产一段时间后，未到的5名员工均到岗投入工作，每人每天的工作时间仍为9小时．请通过计算说明，汽车加工厂在全员到岗的情况下能否在20天内完成160000个该零件的生产任务？针对考向4增长(下降)率问题(针对诊断小卷二第6题)20.(增长率问题列方程)据统计局统计数据显示，2019年国内农业总产值为66066亿元，2021年国内农业总产值为78340亿元，假设2019年至2021年国内农业总产值的年平均增长率相同，且年平均增长率为x，则x满足的方程为()A.66066(1＋x)2＝78340B.78340(1－x)2＝66066C.66066(1＋2x)＝78340D.78340(1－2x)＝6606621.(诊断小卷二第6题变式练)某种药品半年内经历了三次调价，调价前该药品单价为250元，第一次调价方式为按原价的百分之八十出售，后两次调价使得该药品单价降为180.5元，且后两次降价的百分率相同，那么后两次降价的百分率为________．22.(增长率问题的应用)某店铺新进一批保温杯，今年10月卖出保温杯100个，12月份卖出了121个，已知11月份和12月份的月平均增长率相同，设11月份的月增长率为x.(1)求x的值；(2)结合市场需求，店铺老板将次年1月份的销量目标定为130件，若1月份的增长率保持与12月份相同，通过计算说明该店铺1月份能否完成销量目标？拓展考向1分配、配套问题1.(配比问题)生产一种新产品需要使用A，B两种原料，且原料A与原料B的配比为1∶2.某工厂计划生产该新产品，现安排机器生产A原料和B原料．现有10台机器参与生产A，B两种原料，每台机器一天可以生产A原料1吨或B原料3吨，且每台机器每天只能生产一种原料，要使一天生产的A，B两种原料恰好符合生产新产品的配比，则安排生产A原料的机器有()A.3台B.4台C.5台D.6台2.(座位问题)某中学八年级的同学在老师的带领下去省博物馆参观学习，如果租用每辆56座的大巴车若干辆，每一辆车均坐满，则剩余6人没有座位；如果租用每辆53座的大巴车，且租用53座车的数量比56座车的数量多1辆，则只有一辆车空5个座位，其余均坐满，求该中学八年级这次去省博物馆参观学习的师生共有多少人？拓展考向2比赛积分问题3.小华和小丽两人相约进行羽毛球比赛，每场都分胜负．两人的胜负和得分情况如下表：胜场数负场数得分小华6422小丽4618则胜一场和负一场的得分分别为()A.3分，1分B.2分，1分C.3分，2分D.2分，0分拓展考向3阶梯费用问题4.(创新考法·真实问题情境)为回馈广大新老顾客，某商场在“周年庆活动”中推出如下优惠酬宾活动：打折前一次性购物总金额优惠政策不超过300元不优惠超过300元，但不超过500元按总金额打九折超过500元，其中500元的部分打八折，超过500元的部分打六折按上述优惠政策，小颖第一次一次性购物实际付款288元，第二次一次性购物实际付款460元．(1)小颖第一次一次性购物打折前的购物金额是多少元？(2)试通过计算判断，在优惠活动中小颖将这两次购买的物品按照一次性购买是否更划算？拓展考向4图形面积问题5.(创新考法·数学文化)李冶，宋元时期的数学家，著有数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，王老师将其中一个问题改编如下：现有一圆形草地内部有一方形水池，其中水池边缘与圆形之间的面积为25024亩，若正方形水池的四个顶点到圆形草地边缘的最近距离均为二十步，则方形水池的面积为________亩(注：240平方步为1亩，圆周率取3计算).6.(结合赵爽弦图)如图，一水产养殖基地计划在一块边长为16m 的正方形空地上，修建一个面积为160m 2的正方形池塘，且正方形池塘的四个顶点分别在正方形空地的边上，池塘四周剩余的4个全等的直角三角形空地均铺满草坪，当直角三角形草坪的直角边长分别为多少米时，才能修建成符合要求的池塘？第6题图拓展考向5每每问题7.(结合分类讨论)某运动乐园为了吸引游客，现进行促销活动：若同行游玩人数不超过十人，人均票价为100元；若超过十人，每增加一人，人均票价降低2元，但每人的票价不能低于50元．小明与朋友一同去该运动乐园游玩，共支付1350元，那么小明一行人共有人数________人．8.(结合利润)某网店老板以13元的单价出售成本为4元的五色荧光笔套装，每月能出售2000套．统计发现，该荧光笔套装的销量与售价有如下关系：当售价每下降1元时，每月的销量就增加400套．(1)若荧光笔套装的销售单价下降3元，求每月的销售利润；(2)如果网店老板想要销售总利润为19600元，那么每套荧光笔应该定价多少元？拓展考向6比赛、握手问题9.(体现体育)为倡导“我运动，我健康，我快乐”的全民健身理念，丰富社区居民的业余文化生活，某小区举办了一次乒乓球友谊赛，每人之间仅比赛一次，共进行了190场比赛，那么共有______人参加了这次友谊赛．参考答案与解析考点1等式与不等式的性质[逆袭必备]不等式的性质：性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即如果a >b ，那么a ±c >b ±c.性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即如果a >b ，c >0，那么ac >bc (或a c >b c).性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即如果a >b ，c <0，那么ac <bc (或a c <b c).1.C 【解析】等式的基本性质1，等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，等式仍然成立；等式的基本性质2，等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．第③步为移项，移项这一步骤的依据是等式的基本性质1.2.B 【解析】等式的两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，用到的依据是等式的基本性质2.3.B【解析】∵x ＞y ，∴满足mx ＜my 的条件是m ＜0.4.C 【解析】由题图可知，a ＞b ＞0，A.∵a ＞b ，∴a －1＞b －1，故本选项不合题意；B.∵a ＞b ，∴2a ＞2b ，故本选项不合题意；C.∵a ＞b ，∴a 2＞b2，故本选项符合题意；D.∵a ＞b ，∴a －b ＞0，故本选项不合题意．5.D 【解析】A.－3x ≥6，解得x ≤－2，不符合题意；B.3x ≥6，未知数系数为正数，不需要改变不等号的方向，不符合题意；C.－3x ≥－6，解得x ≤2，不符合题意；D.－3x ≤－6，解得x ≥2，符合题意．6.不等式的基本性质1[或不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变)].考点2方程(组)与不等式(组)的解法针对考向1一次方程(组)的解法1.D2.3【解析】x ＋3y ＝13x －10y ＝－22与题中二元一次方程组的解相同，＝2＝3，将x ，yax －by ＝5＋2ay ＝8a －3b ＝5b ＋6a ＝8＝1＝1，∴2a ＋b ＝2×1＋1＝3.3.解：(1)去括号，得2x －5x －10＝2，移项、合并同类项，得－3x ＝12，系数化为1，得x ＝－4；(2)去分母，得4(x ＋1)－20＝5(x －1)，去括号，得4x ＋4－20＝5x －5，移项，得4x －5x ＝－5－4＋20，合并同类项，得－x ＝11，系数化为1，得x ＝－11.4.解：(1)x ＋2y ＝－1①－4＝2y ②，由②，得x －2y ＝4，③①＋③，得6x ＝3，解得x ＝12，把x ＝12代入②，得12－4＝2y ，解得y ＝－74，＝12＝－74；(2)＋3y ＝－5①x －4y ＝－2②，①×3，得3x ＋9y ＝－15③，③－②，得9y ＋4y ＝－13，解得y ＝－1，将y ＝－1代入①，得x ＋3×(－1)＝－5，解得x ＝－2，＝－2＝－1.针对考向2分式方程的解法[逆袭必备]解分式方程的一般步骤：5.A【解析】方程两边乘3(2x＋1)，得3x＝3(2x＋1)＋2.6.B【解析】增根：使原分式方程的分母为0的根．根据题意可得，分式方程的增根为x ＝－3，方程两边乘(x＋3)，得k－x＝3，∴x＝k－3，根据题意可得，分式方程的增根为x ＝－3，∴k－3＝－3，∴k＝0.7.x＝7【解析】根据新运算可得x∞4＝4x＋1，∵x∞4＝3x－1，∴4x＋1＝3x－1，方程两边乘(x＋1)(x－1)，得4(x－1)＝3(x＋1)，解得x＝7，检验：当x＝7时，(x＋1)(x－1)≠0，∴原分式方程的解为x＝7.8.－1或2【解析】分式方程无解有两种情况：①分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但所求的解使最简公分母为0，即所求的解为原分式方程的增根，方程无解．方程两边乘(x－2)，得mx－(x －2)＝x－4(注意常数项不能漏乘最简公分母)，整理得(m－2)x＝－6，分两种情况：①原分式方程有增根x＝2，将x＝2代入(m－2)x＝－6中得(m－2)×2＝－6，解得m＝－1，∴当m ＝－1时，原分式方程无解；②原分式方程去分母后的整式方程无解，即方程(m－2)x＝－6无解，∴m－2＝0，解得m＝2，∴当m＝2时，原分式方程无解；综上所述，m的值为－1或2.9.a>－12且a≠0【解析】分式方程有解，则整式方程有解且最简公分母不为0.方程两边乘(x＋1)(x－1)，得(x－a)(x－1)＋a(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，解得x＝2a＋1，∵原分式方程的解是正数，∴2a＋1>0，2a＋1≠±1，∴a>－12，a≠0，a≠－1，综上所述，a的取值范围是a>－12且a≠0.10.解：(1)方程两边同时乘x(x－3)，得x(x＋1)－2(x－3)＝x(x－3)，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，x(x－3)≠0，∴原分式方程的解为x＝－3.(2)方程两边同时乘x(x＋2)，得3x＋6＝x＋2，解得x＝－2，检验：当x＝－2时，x(x＋2)＝0，∴x＝－2不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．针对考向3一元二次方程的解法11.C12.解：(1)观察方程两边均可开方，故用直接开方法解该方程．开方，得3x＋5＝±7，解得x1＝23，x2＝－4；(2)移项，得x(x－4)－2＋8x＝0，去括号，得x2－4x－2＋8x＝0，合并同类项，得x2＋4x－2＝0，∴a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24，∴x＝－b±b2－4ac2a＝－4±242×1＝－2±6，∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6.13.解：(1)因式分解法；(2)小明与小亮的解法均不正确；正确的解法为：移项，得3(x＋2)－(x＋2)2＝0，提取公因式，得(x＋2)(3－x－2)＝0，则x＋2＝0或3－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.针对考向4不等式(组)的解法[逆袭必备]不等式组的解法及解集表示：先分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示出各个不等式的解集或根据口诀确定解集的公共部分．温馨提示：在数轴上表示解集时，要注意“＜”和“＞”在数轴上表示为空心圆圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点．14.C【解析】解不等式3x－2<5x－6，得x＞2，∵x＞a且不等式组的解集为x＞2，∴a≤2.15.A【解析】已知不等式的解集求字母的值，首先需解不等式，将解集用含字母的式子表示．观察数轴可知，不等式的解集为x<2，由题意可得，x△y＝y－3x＞0，即x＜y3，由不等式的解集为x＜2得，y3＝2，解得y＝6.16.9≤a＜10【解析】－a≤0①－2x<1②，解不等式①得x≤a，解不等式②得x＞4，∵不等式组有5个整数解，∴原不等式组的解集是4＜x≤a.∴整数解是5，6，7，8，9，∴9≤a＜10.17.解：(1)x>3；(2)x<6；(3)不等式①和②的解集在数轴上表示如解图；第17题解图(4)3<x<6；(5)4和5.18.解：(1)五；不等式的两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变；(2)不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变(或不等式的性质2)；(3)3≤x<5.【解法提示】由不等式①，得4x－4<2x＋6，解得x<5，由不等式②，得x＋3≤2x，移项，得x－2x≤－3,解得x≥3，∴原不等式组的解集是3≤x<5.考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系针对考向1一元二次方程根的判别式[逆袭必备]判断一元二次方程实数根的情况或根据一元二次方程根的情况求字母的取值、取值范围时，主要运用的是一元二次方程根的判别式：Δ＝b2－4a c.Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．1.D2.B3.B4.C5.A6.D7.B【解析】一元二次方程(a＋1)x2＋bx－1＝0的根的判别式为b2＋4(a＋1)，若a＝b，b2。