二次函数和一次函数交点问题

相交点的坐标可以通过解方程组得到
二次函数与一次函数图像相交的点为方程组的解
相交点的个数取决于方程组的解的个数
垂直关系
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过求导数的方法来判断。如果两个函数的导数相等，则它们的图像平行；如果一个函数的导数为0，另一个函数的导数不为0，则它们的图像垂直。
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过代入法来判断。将一次函数的解析式代入二次函数的解析式中，得到一个关于x的二次方程，如果该二次方程的判别式Δ=0，则说明两个函数的图像垂直。
奇偶性的判断方法
代数法：通过代入特殊值或化简函数表达式来判断函数的奇偶性
性质法：利用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性
定义法：根据奇偶性的定义来判断函数的奇偶性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性
奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
利用奇偶性简化函数表达式
利用奇偶性求解函数值域
利用奇偶性分析函数的单调性
定义法：利用函数单调性的定义，通过比较自变量取值范围内任意两点处的函数值大小来证明函数的单调性。
导数法：利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来证明函数的单调性。
图像法：利用函数图像的走势来判断函数的单调性，通过观察图像在自变量取值范围内的变化趋势来证明函数的单调性。
05
二次函数与一次函数的奇偶性
相切关系
在切点处，二次函数的导数等于一次函数的斜率，即切线的斜率。
二次函数与一次函数相切时，它们的图像在切点处相切，切线的斜率等于一次函数的斜率。
二次函数与一次函数相切的条件是二次函数的导数等于一次函数的斜率。
当二次函数与一次函数相切时，它们的交点只有一个，即切点。
相交关系

中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．2．如图，已知二次函数y＝12x2－x－32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．3．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y 轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求∠MBC的面积．4．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值.5．已知，二次三项式﹣x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围.6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.（1）求A，B两点的坐标.（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.7．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣4n﹣2﹣101234…y…8 4.520.500.52 4.58…；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为．（4）进一步探究函数的图象发现：①若点A（x a，y a），点B（x b，y b）在函数y= 12x2的图象上；当x a＜x b＜0时，y a与y b的大小关系是；当0＜x a＜x b时，y a与y b的大小关系是；②直线y1恰好经过函数的图象上的点（﹣2，2）与（1，0.5）；当y＜y1时，x的取值范围是．8．如图所示，将抛物线y＝12x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE∠CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．9．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG∠AB于点G．求出∠PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得∠ABM与∠ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C （0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM∠BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若∠BCD和∠ABC面积满足S∠BCD= 35S∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5 3个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．14．如图，二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C。

中考数学《二次函数与一次函数的综合应用》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，y =−34x 2+94x +3与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 是BC 上方抛物线上一点，连结AP 交BC 于点D ，连结AC ，CP ，记△ACD 的面积为S 1，△PCD 的面积为S 2，则S1S 2的最小值为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．12．若b ＜0，则一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ． .C ．D ．3．在直角坐标系中，函数y= 3x 与y= －x 2+1的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．4．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．45．如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝13（x+1）2于B，C两点，若线段BC的长为6，则点A的坐标为（）A．（0，1）B．（0，4.5）C．（0，3）D．（0，6）6．函数y=k x与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则y=kx−b的大致图象为（）A．B．C．D．7．如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①M的最大值是2；②使得M=1的x值是−12或√2．其中正确的说法是（）2A．只有①B．只有②C．①②都正确D．①②都不正确8．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴()A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点10．如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1，5)、B(9，2)两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为()A．−1≤x≤9B．−1≤x<9C．−1<x≤9D．x≤−1或x≥9 11．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=14(x−4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（）A．5B．225C．4D．17﹣4π12．如图,抛物线y=12x2+72x+3与直线y=−12x−12交于A,B两点,点C为y轴上点,当△ABC周长最短时;周长的值为（）A．√73+5√3B．√73+3√5C．√43+3√5D．√43+5√3二、填空题13．如图所示，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n<ax2+bx+c的解集是14．如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：或34；①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；②当x＜0时，M=y1；③使得M= 14的x的值是﹣√32④对任意x的值，式子√(M−1)2=1﹣M总成立．其中正确的是（填上所有正确的结论）15．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B （8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是．16．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为.17．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是.18．如图，抛物线y=ax2经过矩形OABC的顶点B，交对角线AC于点D．则ADAC的值为．三、综合题19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=√(x1−x2)2+(y1−y2)2）．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x－5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM＝ON，过P、Q作直线l（1）探究与猜想：①取点M(0，1)，直接写出直线l的解析式；取点M(0，2)，直接写出直线l的解析式.②猜想：我们猜想直线l的解析式y＝kx＋b中，k总为定值，定值k为，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想（2）如图2，连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式21．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)和B(3,0)两点，交y轴于点E.（1）求此抛物线的解析式.（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求ΔADE 的面积.22．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．23．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求△MBC的面积．24．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．参考答案1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】B 13．【答案】-1<x<4 14．【答案】①②③④ 15．【答案】x ＜﹣2或x ＞8. 16．【答案】x 1=−2 17．【答案】﹣3＜m ＜﹣ 15818．【答案】√5−1219．【答案】（1）解：A （1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0）则B 的坐标是（﹣3，0） 根据题意得： {−3m +n =0n =3解得 {m =1n =3则直线的解析式是y=x+3； 根据题意得： 解得： {9a −3b +c =0a +b +c =0c =3则抛物线的解析式是y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小． 把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得，y ＝−1＋3＝2 ∴M （−1，2）即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（−1，2）；（3）解：如图，设P （−1，t ） 又∵B （−3，0），C （0，3）∴BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t−3）2＝t 2−6t ＋10 ①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2即：18＋4＋t 2＝t 2−6t ＋10解之得：t ＝−2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2即：18＋t 2−6t ＋10＝4＋t 2解之得：t ＝4③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2即：4＋t 2＋t 2−6t ＋10＝18解之得：t 1＝ 3+√172，t 2＝3−√172； ∴P 的坐标是（﹣1， 3+√172 ）或（﹣1， 3−√172）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．20．【答案】（1）PQ ：y ＝6x －29；PQ ：y ＝6x －26；6（2）解：∵S △ABP ＝3S △ABQ ∴y P ＝－3y Q ∴kx P ＋b ＝－3(kx Q ＋b) ∵k ＝6 ∴6x P ＋18x Q ＝－b ∴6(5＋n)＋18(5－n)＝4b ，解得b ＝3n －30∵x P ·x Q ＝－(5＋b)＝－5－3n ＋30＝(5＋n)(5－n)，解得n ＝3 ∴P(8，27) ∴直线PQ 的解析式为y ＝6x －2121．【答案】（1）解：∵抛物线 y =x 2+bx +c 与 x 轴交于 A(−1,0) 和 B(3,0) 两点∴{1−b +c =09+3b +c =0 ，解得： {b =−2c =−3故抛物线解析式为： y =x 2−2x −3 ； （2）解：根据题意得： {y =x 2−2x −3y =x +1 解得： {x 1=−1y 1=0∴A(−1,0)对于直线 y =x +1 ，当 x =0 时， y =1 ，∴F(0,1) 对于 y =x 2−2x −3 ，当 x =0 时， y =−3 ，∴E(0,−3) ∴EF =4过点 D 作 DM ⊥y 轴于点 M .∴S ΔADE =12EF ⋅(DM +AO)=10 .22．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴有两个交点 ∴△=42+4m ＞0∴m ＞﹣4（2）解：∵二次函数的图象过点A （6，0）∴0=﹣9+6+m·∴m=12∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+4x+12令x=0，则y=12∴B （0，12）设直线AB 的解析式为：y=kx+b∴{6k +b =0b =12, 解得： {k =−2b =12，∴直线AB 的解析式为：y=﹣2x+12∵抛物线y=﹣x 2+4x+12的对称轴为：x=2∴把x=2代入y=﹣2x+12得y=8∴P （2，8）．（3）解：根据函数图象可知：x ＜0或x ＞6．23．【答案】（1）解：把（-1，0）、（3，0）代入y=x 2+bx+c 中，得 {1−b +c =09+3b +c =0解得 {b =−2c =−3故b=-2，c=-3；（2）解： 过M 作MD 垂直于y 轴，垂足为D ．求出抛物线的顶点 M(1，−4) ；△MBC 的面积=梯形MDOB-△OBC-△CMD= 12×(1+3)×4−12×3×3−12×1×1 =3．24．【答案】（1）解：由x=0得y=0+4=4，则点C 的坐标为（0，4）； 由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A 的坐标为（﹣4，0）； 把点C （0，4）代入y=x 2+kx+k ﹣1，得k ﹣1=4解得：k=5∴此抛物线的解析式为y=x 2+5x+4∴此抛物线的对称轴为x=﹣ 52×1 =﹣ 52． 令y=0得x 2+5x+4=0解得：x 1=﹣1，x 2=﹣4∴点B 的坐标为（﹣1，0）（2）解：∵A （﹣4，0），C （0，4）∴OA=OC=4∴△OCA=△OAC．∵△AOC=90°，OB=1，OC=OA=4∴AC= √OA2+OC2=4 √2，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．∵点D在y轴负半轴上，∴△ADC＜△AOC，即△ADC＜90°．又∵△ABC＞△BOC，即△ABC＞90°，∴△ABC＞△ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD△△ABC∴CDAC=CAAB，即CD4√2= 4√23解得：CD= 32 3∴OD=CD﹣CO= 323﹣4=203∴点D的坐标为（0，﹣20 3）．。

一、选择题1．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ）A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位2．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x =5．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)6．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m <<7．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >>8．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a bx a+=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =412．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<二、填空题13．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．14．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____． 15．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．16．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ． （1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．22．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 23．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小． （3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．24．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ． （1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．25．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C . （1）如图，已知AD CD ⊥于D ，以D 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B 的坐标为________； （2）小明此次投掷的成绩是多少米？26．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A 'B 'O ．一抛物线经过点A '、B '、B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB 'A 'B 的面积是△A 'B 'O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y 1）到直线x=1的距离小于点（4，y 2）到直线x=1的距离相等， ∴y 1＞y 2，所以②正确； ∵x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，所以④正确． 故选：A ． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．3．C解析：C 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2ba＞0，c ＜0， 即b ＜0， ∴abc ＞0， ∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确； 由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0， 故③正确；由图象可得，当0<x<-2ba时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．解析：D 【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案． 【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．5．A解析：A 【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标． 【详解】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1）， ∵A 1A 2∥OA ， 设直线A 1A 2为y ＝x ＋b 把A 1（−1，1）代入得1=-1+b 解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2， 解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴A 2（2，4）， ∴A 3（−2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6 ∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6， 解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36）∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112）， 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．6．B解析：B 【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ． 【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <； 第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；综上所述得12m <． 故选：B ． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．7．C解析：C 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，可判断y 2>y 1>y 3． 【详解】由二次函数y =a (x +3)2+k 可知对称轴为x =−3，根据二次函数图象的对称性可知，()22,B y -与2(4,)D y -对称，∵点()15,A y -，()36.5,C y -， 2(4,)D y -)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5，∴y 2>y 1>y 3， 故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.8．C解析：C 【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．9．B解析：B 【解析】 解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误． 故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．10．B解析：B 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案． 【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：12ba-< 由抛物线的图象可知：a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故①正确；②当x=1时，y=a+b+c=0，当y=ax 2+bx+c=0，∴x=1或x=m ，∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；③由图象可知：x=-1，y=2，即a-b+c=2，∵a+b+c=0，∴b=-1，∴c=1-a∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；④由于a+b=-c=a-1，∵c ＜0，∴a-1＞0，∴a ＞1，∴0＜11a< ∵x 0=111,a a a--=-+ ∴-1＜-1+1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．11．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 12．C解析：C【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2b x a =-，在x 轴的正半轴上， 故02b x a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确； C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 二、填空题13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小 解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．【详解】解：根据题意得：24(6)4c --=±3， 解得：c =6或12．故答案为：c =6或12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．15．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 16．4【分析】根据函数关系式当h=0时0=20t-5t2解方程即可解答【详解】由题意得：20t-5t2=0解之：t1=0（不符合题意）t2=4∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒故答案为：4【点睛】本解析：4【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t-5t 2，解方程即可解答．【详解】由题意得：20t-5t 2=0，解之：t 1=0（不符合题意），t 2=4.∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查 解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（21），或（2，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得12=2+222x x =，P 点坐标为（2，1），或（2，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（21），或（2，1）故答案为：(2，-1)或（2，1），或（2，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤【分析】（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；【详解】（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=+，∴4x =-，∴点A 的坐标是()4,2--， 设(),2Bb -，点A 与点B 关于1x =-对称，则()()141b ---=--， ∴2b =，∴()2,2B -；（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-， 则222b b x a =-==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，∴顶点坐标为(),2m m +，∴抛物线的解析式可化为()22y x m m =--++， 把点()4,2A --代入解析式可得，()2242m m -=---++，13m =-，24m =-，∴43m -≤≤-，把点()2.2B -代入解析式得， ()2222m m ---++=-， 30m =，45m =，∴0＜5m ≤；综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．22．223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．23．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可． 【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =． （2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >， 当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >． ．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2，12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍） 若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤， 当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =， 不符合32m <-， 故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．24．（1）见解析；（2）1；（3）m =或13m <或1m <- 【分析】（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可：【详解】解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+ ∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)- 把点(1,1)-代入抛物线2221y x x m =--+中，解得21m =∴抛物线方程为22(2)y x x x x =-=-∴抛物线与x 轴的交点分别为(0,0)和(2,0)∴2AB = ∴1121122ABC C S AB y =⋅=⨯⨯= （3）当0x =时，2y =-，则N 为(0,2)- 当0y =时，20x -=，即M 为(2,0)∵拋物线的对称轴为1x =∴分两种情况：①由22221y x y x x m =-⎧⎨=--+⎩，得22330x x m --+=∴()22(3)410m ∆=---+=，解得2m =±时， 线段MN 与抛物线有且只有一个公共点；②当2210m --+<，解得13m <或1m <-时，线段MN 与抛物线有且只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围是m =或13m <或1m <-．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的性质，有一定的难度．25．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米 【分析】 （1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =- 2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍）答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键26．（1）22y x x =-++；（2）存在，P （1，2）．【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（−1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可．【详解】解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（−1，0），B′（0，2），∵A′（−1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x＋1）（x−2）将B′（0，2）代入得出：2＝a（0＋1）（0−2），解得：a＝−1，故抛物线的解析式为y＝−（x＋1）（x−2）＝−x2＋x＋2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y＝−x2＋x＋2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B＝S△B′OA′＋S△PB′O＋S△POB，＝12×1×2＋12×2×x＋12×2×y，＝x＋（−x2＋x＋2）＋1，＝−x2＋2x＋3，∵A′O＝1，B′O＝2，∴△A′B′O面积为：12×1×2＝1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4＝−x2＋2x＋3，即x2−2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，此时y＝−12＋1＋2＝2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换−旋转，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．。