山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学(文)试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分240分。

考试用时150分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（必做，共87分）注意事项：1．第I卷共20小题。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题（本题包括13小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列关于生物体内水分和无机盐的叙述，错误的是（）A．干种子内结合水的相对含量较低，不能进行旺盛的生命活动B．旱生植物比水生植物具有较强的抗旱能力，其原因之一是结合水的相对含量较高C．镁离子是叶绿素的重要成分，缺镁会造成叶片发黄D．生理盐水能维持人体渗透压的平衡，防止细胞过度吸水而涨破【答案】A 主要考查生物体内水分和无机盐的作用。

干种子内结合水的相对含量高，自由水的相对含量低，因此不能进行旺盛的生命活动。

植物体内结合水的相对含量高，则植物的抗旱、抗寒能力强。

镁离子是构成叶绿素的重要成分，缺镁不能合成叶绿素，导致叶片发黄。

生理盐水是人体细胞的等渗溶液，能维持细胞的渗透压，防止细胞过度吸水而涨破。

2．下列关于细胞器的叙述，正确的是（）A．细胞器中能进行碱基互补配对的只有线粒体和叶绿体B．蛔虫体细胞内无线粒体，但能进行有氧呼吸C．根尖分生区细胞无大液泡，因此不能作为观察质壁分离与复原的实验材料D．呼吸酶需要内质网和高尔基体的加工修饰后才具有生物活性【答案】C 本题考查细胞器的结构与功能。

除了线粒体和叶绿体外，核糖体也有碱基互补配对。

蛔虫细胞内无线粒体，只进行无氧呼吸，属于厌氧性生物。

根尖分生区细胞无大液泡，因此不能作为观察质壁分离与复原的实验材料。

需要在细胞内发挥作用的酶（如呼吸酶）不需要内质网和高尔基体的加工，但要分泌到细胞外发挥作用的酶需要内质网和高尔基体的加工，如消化酶。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，文1)复数z ＝22i i(-)(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．A ．25 B．5 D2．(2013山东，文2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且(A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩＝( )．A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．3．(2013山东，文3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－24．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．A．8B．83C．，83D ．8,85．(2013山东，文5)函数f (x )的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )．A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.87．(2013山东，文7)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，bc ＝( )．A．．2 C．18．(2013山东，文8)给定两个命题p ，q ．若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2013山东，文9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( )．A ．1169B ．367C ．36 D．11．(2013山东，文11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A．16 B．8 C．3 D．312．(2013山东，文12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )．A ．0B ．98C ．2D ．94第2卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360,20,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是__________． 15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为__________．16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2(1)从该小组身高低于(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f (x )2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点． (1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足1212112n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小．22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝tOE，求实数t 的值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C解析：44i 134i43i i iz ---==--，所以|z | 5.故选C. 2． 答案：A解析：∵(A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}． 又∵B ＝{1,2}，∴A 一定含元素3，不含4. 又∵＝{3,4}，∴A ∩＝{3}．3． 答案：D解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2.4．答案：B解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE所以V ＝13×4×2＝83，S ＝1422⨯5．答案：A解析：由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．6． 答案：C解析：第一次：a ＝－1.2＜0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a ＝－0.2＋1＝0.8＞0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2＜0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2. 7． 答案：B解析：由正弦定理sin sin a b A B =得：1sin A =，又∵B ＝2A ，∴1sin A ==∴cos A A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c 2. 8． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝p q ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A.9．答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 10． 答案：B解析：∵模糊的数为x ，则：90＋x ＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x ＝4，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为s 2＝222229091291912949187917(-)+(-)+(-)+(-)＝367.11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p⎛⎫== ⎪⎝⎭，故M 点切线的斜率为0x p =M 1,36p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.由1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得p D. 12．答案：C解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥-=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，z xy有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：解析：如图，当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短，AC ＝=CB ＝r ＝2，∴BA =BD ＝14．解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，即d min=. 15．答案：5解析：∵OA ＝(－1，t )，OB＝(2,2)，∴BA ＝OA－OB ＝(－3，t －2)．又∵∠ABO ＝90°，∴BA ·OB＝0，即(－3，t －2)·(2,2)＝0， －6＋2t －4＝0， ∴t ＝5. 16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12. (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310. 18．解：(1)f (x )2ωx －sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--ωx －12sin 2ωx＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝πsin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.当π≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤f (x .故f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，－1.19．(1)证法一：取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE 平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD . 证法二：连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ， 所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD .又CF 平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又EF 平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ， 所以CE ∥平面PAD .(2)证明：因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得：11114684,212211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知1212112n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *， 当n ＝1时，1112b a =；当n ≥2时，111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.所以12n n n b a =，n ∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝212nn -，n ∈N *. 又T n ＝23135212222nn -++++ ，231113232122222n n n n n T +--=++++ ， 两式相减得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--， 所以T n ＝2332nn +-. 21．解：(1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝221ax bx x+-.①当a ＝0时，f ′(x )＝1bx x-.若b ≤0，当x ＞0时，f ′(x )＜0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)． 若b ＞0，当0＜x ＜1b时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 当x ＞1b时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a ＞0得x 1＝4b a -x 2＝4b a-.显然，x 1＜0，x 2＞0.当0＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞x 2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当a ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. (2)由题意，函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由(1)是f (x )的唯一极小值点，故4b a-＝1，整理得2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝14xx-， 令g ′(x )＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞14时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此g (x )≤14g ⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋1ln 4＝1－ln 4＜0，故g (a )＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，即ln a ＜－2b . 22解：(1)设椭圆C 的方程为2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)，由题意知222,222,a b c ca b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得a b ＝1.因此椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.(2)当A ，B 两点关于x 轴对称时， 设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意m ＜0或0＜m将x ＝m 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y |所以S △AOB ＝|m =. 解得m 2＝32或m 2＝12.① 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB + ＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 因为P 为椭圆C 上一点，所以22mt ()＝1.② 由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t ＝3. 当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h . 将其代入椭圆的方程22x ＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2， 此时x 1＋x 2＝2412kh k -+，x 1x 2＝222212h k -+， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2212h k +，所以|AB |＝因为点O 到直线AB 的距离d， 所以S △AOB ＝1|AB |d又S △AOB||h =③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝243h ， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝243h .④ 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB + ＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝222,1212kht ht k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以2222212121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即222112h t k =+.⑤将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t ＞0，故t ＝2或t .经检验，适合题意．综上所得t ＝2或t ＝3.。

山东省2013届高三高考模拟卷（四） 数学（科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则的值为 A．2 B．1 C． D． 2．定义运算，则符合条件的复数是 A． B． C． D． 3．“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为 A．13 B．11 C．8 D．4 5. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 6．已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，的值为 A． B． C． D．5 7. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 A．50种 B．60种 C．120种 D．210种 8．设两个向量和，其中为实数，若，则的取值范围是 A． B．[4，8] C． D． 9．设，函数的图象可能是 10．已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 A． B． C．或 D．或 11. 在△ABC中，已知，，且最大角为，则这个三角形的最大边等于 A．4 B．14 C．4或14 D．24 12．已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则 A． B． C． D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13．由曲线和直线围成的封闭图形的面积为_______。

14．已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_______． 15. 已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______． 16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： … … 根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置． 17．（本小题满分12分） 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为，且，． (1)求cosC的值； (2)当时，求函数的最大值． 18. (本小题满分12分) 已知数列满足：，，．数列的前项和为，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令数列满足，求数列的前项和． 19．(本小题满分12分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是． (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)求二面角的余弦值． 21.（本小题满分13分） 已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由， 22．(本小题满分13分) 设函数，． (1)当且时，直线与函数和函数的图象相切于同一点，求直线的方程． (2)若函数在区间[2，4]上为单调函数，求实数的取值范围．山东省2013届高三高考模拟卷（四） 数学（理科）参考答案 一，所以．又因为，而B中最多有两个元素，所以，所以．选B． 2.A【解析】设．根据定义运算得，即，根据复数相等的定义得得所以． 3．B【解析】由得，；由得．因此“”是“”成立的必要不充分条件，所以选B． 4．A 【解析】原式1)=13． 5．C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C． 6．A【解析】圆C的方程可化为，所以圆心C的坐标为，又直线恒过点，所以当圆心C到直线的距离最大时，直线CA应垂直于直线，因为直线CA的斜率为，所以，． 7.C【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法共有6种，甲任选一种为，然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法种，故选C． 8．A【解析】根据已知条件得，又，所以，，于是，即，故，即，解得，故，故选A． 9．C【解析】由解析式可知，当时，，由此可以排除A、B选项．又当时，，从而可以排除D．故选C． 10．D【解析】抛物线的焦点坐标是，直线的方程是，令，得，故，所以△OAF的面积为，由题意，得，解得．故抛物线方程是或．故选D． 11．B 【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以大于，则，由余弦定理得 ，所以，所以或（舍去）． 12．D【解析】由题意知，所以 ，所以．当时，，则，，令0，得，又，所以．当0时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，所以得． 二、【解析】由，得或，则曲线与直线围成的图形的面积． 14．9【解析】先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线与的交点为，观察图形可知目标函数在点处取得最小值，即，解得． 15．【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得，所以、在△PMN中，由余弦定理可得，当且仅当PM=PN时取等号，所以，所以底面△PMN的面积，当且仅当PM=PN时取最大值，故三棱锥的体积． 16．11【解析】由，，，…，可知．由，可知，易知，则21是53的分解中最小的正整数，可得．故． 三、，所以．（2分） 又，， 所以，或（舍），（4分） 所以．（6分） (2)由(1)知，（7分）所以 ，（10分） 又，所以．（12分） 18．【解析】(1)由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1． ∴数列的通项公式为．（2分） ∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分） 又，∴，∴数列的通项公式为．（6分） (2)由已知得：． ∴，∴，（8分） ∴两式相减得 ．（10分） ∴数列的前项和．（12分） 19．【解析】(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B， 则， （3分） 事件相互独立， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 ．（6分） (2)由题知的所有可能取值是1，2． ，，（9分） 则的分布列为 所以．（12分） 20．【解析】(1)法一 如图，取AB的中点F，连接DF，EF． 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以， 所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．（2分） 在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB． 又因为DFEF=F，PBBC=B，所以平面DEF∥平面PBC． 因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．（4分） 法二 取PB的中点M，连接CM，ME． 在△PAB中，PE=EA，PM=MB，所以． 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2， 故，所以，（2分） 所以四边形CDEM为平行四边形，故DE∥CM． 因为CM平面PBC，DE平面PBC， 所以DE∥平面PBC．（4分） (2)取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，则ON∥AB． 在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，， 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， 所以PO⊥平面ABCD．（6分） 如图，以O为坐标原点；分别以OA，ON，OP所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，． 因为E为PA的中点，所以，故，．（8分） 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO⊥AD， 所以PO⊥平面ABD，故为平面ABD的一个法向量． 设平面EBD的法向量为， 由，得，即， 令，则，，所以为平面EBD的一个法向量．（10分） 所以． 设二面角的大小为，由图可知，所以．（12分） 21．【解析】(1)因为椭圆C的离心率，所以，即．（4分） 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点， 所以，所以，．所以椭圆C的方程为．（6分） (2)(i)当直线的斜率不存在时． 因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为． 由不妨设，， 则以AB为直径的圆的方程为．（6分） (ii)当直线的斜率为零时． 因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为． 由不妨设，， 则以AB为直径的圆的方程为． 显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分） (iii)当直线的斜率存在且不为零时． 设直线的方程为． 由消去，得， 所以设，，则，． 所以． 所以．①（11分） 因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离， 整理，得， ② 将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分） 22．【解析】(1)由题易得，， 因为直线与函数的图象相切于同一点， 则令，解得，或，或(舍去)．（2分） 易得，，；，． ，；，．（3分） ①当时，，易知直线的斜率为2，且直线过点(1，1)，则直线的方程为；（4分） ②当时，因为， 则，即，(*) 令，则， 易得方程(*)在且上一定有解，且直线以为斜率，过点，所以直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或．（6分） (2)由题易知，，要使在区间[2，4]上为单调递增函数，需在[2，4]时恒成立， 即在时恒成立，即在时恒成立， 即．（9分） 设，则，易知当时，，所以在[2,4]上单调递减，则，即， 所以， 所以当时，在区间[2，4]上为单调递增函数．（11分） 要使在区间[2，4]上为单调递减函数，需在[2，4]时恒成立，易得． 综上所述，若在区间[2，4]上为单调函数，则的取值范围为．（13分）。

2013年4月高三理科数学二轮复习试题(含答案)山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题（理工类）2013.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于A．{6,8}B．{5,7}C．{4,6,7}D．{1,3,5,6,8}2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A．B．C．D．3．函数y=与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4.已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋15.阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写A．iC．i6.函数f(x)=A．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C．在上递增，在上递减D．在上递增，在上递减7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．13B．23C.1D.28.已知点是边长为1的等边的中心，则等于A．B．C．D．9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有A．96种B．144种C．240种D．300种10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A．95B．91C．88D．7511.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于A．3B.4C.D.12.设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m的取值范围是A．(-1,1)B.C.D.或（第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________________.14.已知向量则的值为.15.在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为。