七年级数学第二章有理数综合练习题21(附答案)

第二章单元测试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作＋100元．那么－80元表示(C )A ．支出20元B ．收入20元C ．支出80元D ．收入80元 2. 下列说法正确的是(A )A ．分数都是有理数B ．－a 是负数C ．有理数不是正数就是负数D ．绝对值等于本身的数是正数 3. －5的相反数是(B )A ．－5B ．5C ．－15D .154. 下列各对数是互为倒数的是(C )A ．4和－4B ．－3和13C ．－2和－12D ．0和05. 下列运算错误的是(A )A .13÷(－3)＝3×(－3)B ．－5÷(－12)＝－5×(－2) C ．8－(－2)＝8＋2 D ．0÷3＝06. 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是(C ) A ．864×102 B ．86.4×103 C ．8.64×104 D ．0.864×1057. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，在－a ，b －a ，a ＋b ，0中，最大的是(D )A ．－aB ．0C ．a ＋bD ．b －a 8. 下列说法中，正确的是(B )A ．若a≠b，则a 2≠b 2B ．若a>|b|，则a>bC ．若|a|＝|b|，则a ＝bD ．若|a|>|b|，则a>b9. 已知|x|＝4，|y|＝1，且x>y ，则x ＋y 的值为(D ) A ．5 B ．3 C ．－5或－3 D ．5或310. 在某一段时间里，计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是2，那么输出的数是(C )A ．－54B ．54C ．－558D ．558二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 小雷同学准备在教师节时和几位同学一起去看小学的老师，约定在中午12点到，提前到的时间记为正，若小雷到的时间记为－0.5 h ，则小雷到的时间是12：30.12. 计算：－32＋12＝－1；－5－|－9|＝－14.13. 已知有理数＋3，－8，－10，＋12，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，这个最大值是33.14. 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，则(a ＋b)cd －8m 的值是8或－8.15. 已知a ，b 满足|a ＋3b ＋1|＋(2a －4)2＝0，则(ab 3)2＝4.16. 已知下列一组数：－1，34，－59，716，－925，1136……，则第9个数与第10个数之和为－1618100.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分) 17. 把下列各数填入它所属的集合内：5．2，0，π2，227，＋(－4)，－234，－(－3)，0.25555…，－0.030030003…(1)分数集合：{5.2，227，－234，0.25555…}；(2)非负整数集合：{0，－(－3)}； (3)有理数集合：{5.2，0，227，＋(－4)，－234，－(－3)，0.25555…}． 18. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“>”把它们连接起来． －(－412)，－2，0，(－1)2，|－3|，－313.解：如图所示：－(－412)>|－3|>(－1)2>0>－2>－31319. 计算：(1)－52－16×(－12)3＋33; (2)(－2)3×5－|－2.8|÷(－2)2.解：4 解：－40.7四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示－112，设点B 所表示的数为m.(1)求m 的值；(2)求|m －1|＋(m －6)2的值．解：(1)m ＝12(2)|m －1|＋(m －6)2＝30.7521. 某自行车厂一周计划生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况(超产记为正，减产记为负，单位：辆)：(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆；(2)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？解：(2)该厂本周实际生产自行车1410辆，因为1410>1400，所以超额完成10辆．则该厂工人这一周的工资总额是30×1410＋10×20＝42300＋200＝42500(元)22. (1)已知a |a|＋b |b|＝0，求ab|ab|的值；(2)已知a ，b ，c 是不为0的有理数，求a |a|＋b |b|＋c|c|的值．解：(1)由a |a|＋b |b|＝0可知a ，b 异号，则ab<0，故|ab|＝－ab ，所以ab |ab|＝ab－ab ＝－1(2)当a ，b ，c 均大于0时，原式＝1＋1＋1＝3；当a ，b ，c 中有两个大于0时，原式＝1＋1－1＝1；当a ，b ，c 中有一个大于0时，原式＝－1－1＋1＝－1；当a ，b ，c 均小于0时，原式＝－1－1－1＝－3五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 10月1日这一天下午，公安局警车司机小张在东西走向的世纪大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下(单位：千米)：＋5，－4，＋3，－6，－2，＋10，－3，－7(1)最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？(2)若警车每行驶10千米的耗油量为1升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ (3)如现在油价为每升7.34元，那么花费了多少油钱？解：(1)＋5＋(－4)＋(＋3)＋(－6)＋(－2)＋10＋(－3)＋(－7)＝－4，所以小张在距离出发点的西边4千米处(2)(|＋5|＋|－4|＋|＋3|＋|－6|＋|－2|＋|＋10|＋|－3|＋|－7|)÷10×1＝4(升)(3)7.34×4＝29.36(元)24. 流花河的警戒水位是33.5米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末(星期六)的水位达到警戒水位，(正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降)．(1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？ (2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？ (3)以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况．解：(1)周日的水位是33.5＋0.3＝33.8(米)，周一的水位是33.8＋0.81＝34.61(米)，周二的水位是34.61－0.32＝34.29(米)，周三的水位是34.29＋0.04＝34.33(米)，周四的水位是34.33＋0.27＝34.6(米)，周五的水位是34.6－0.35＝34.25(米)，周六的水位是34.25－0.02＝34.23(米)，所以本周周一河流的水位最高，周日河流的水位最低(2)因为34.23＞33.5，所以与上周末相比，本周末河流的水位上升了(3)折线统计图如图：25. 观察下列两组算式： ①22×32与(2×3)2； ②(－12)2×22与[(－12)×2]2.(1)每组两个算式的结果是否相等？(2)根据(1)的结果猜想a n b n等于什么？ (3)用(2)的结论计算(15)2018×(－5)2018.解：(1)因为22×32＝4×9＝36，(2×3)2＝62＝36，(－12)2×22＝14×4＝1，[(－12)×2]2＝(－1)2＝1，所以每组两个算式的结果是相等的(2)根据(1)的结果，可得a n b n ＝(ab)n(3)(15)2018×(－5)2018＝[15×(－5)]2018＝(－1)2018＝1。

一、选择题1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣化简结果为( )A．2a+b−c B．2a+b+c C．b+c D．3b−c2.如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA=OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC=AB，若点A表示的数是a，则点C表示的数是( )A．2a B．−3a C．3a D．−2a3.一个点在数轴上距原点3个单位长度开始，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是( )A．6B．0C．−6D．0或64.已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，b≥−c>∣a∣，且a，b，c与0的大小关系是( )A．a<0，b>0，c<0B．a>0，b>0，c<0C．a≥0，b<0，c>0D．a≤0，b>0，c<05.当式子∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值时，x的取值范围为( )A．−2≤x<5B．−2<x≤5C．x=2D．−2≤x≤56.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21=222=423=8⋯新运算log 22=1log 24=2log 28=3⋯指数运算31=332=933=27⋯新运算log 33=1log 39=2log 327=3⋯根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，② log 525=5，③ log 212=−1，其中正确的是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9. 【例 9−2 】已知 ∠AOB =60∘，∠AOC =13∠AOB ，射线 OD 平分 ∠BOC ，则 ∠COD 的度数为( ) A ． 20∘ B ． 40∘ C ． 20∘ 或 30∘ D ． 20∘ 或 40∘10. 下面四个数中，最大的数为 ( ) A ． (−1)2021B ． −∣−2∣C ． (−2)3D ． −12二、填空题11. 若 a +b +c >0，且 abc <0 则 a ，b ，c ，中有 个正数．12. 电子跳蚤落在数轴上的某点 k 0，第一步从 k 0 向左跳 1 个单位到 k 1，第二步由 k 1 向右跳 2个单位到 k 2，第三步由 k 2 向左跳 3 个单位到 k 3，第四步由 k 3 向右跳 4 个单位到 k 4，⋯，按以上规律跳了 140 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k 140 所表示的数恰是 2019．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 ．13. 现定义某种运算“∗”，对给定的两个有理数 a ，b (a ≠0)，有 a ∗b =a −a b ，则 (−3)∗2= ．14. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x =−1，则最后输出的结果是 ．15. 已知实数 a ，b ，定义运算：a ⋇b ={a b ,a >b 且 a ≠0b a,a ≤b 且 a ≠0，若 a ⋇(a −3)=1，则 a = ．16. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，⋯根据你发现的规律写出272019的末位数字是．17.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，⋯，则第2017输出的结果为．三、解答题18.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1) 数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．(2) 数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．(3) 代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．(4) 求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．19.计算下列各式的值．(1) −3−(−8)−(+7)+5．(2) 49÷74×(−47)÷(−16)．(3) 7−(156−23−34)÷124．(4) −32÷(−3)2+3×(−2)+∣−1∣．20.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，(1) Q点出发3秒后所到的点表示的数为；此时P，Q两点的距离为．(2) 问当点Q从A点出发几秒钟时，能追上点P？(3) 问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数．21.已知两点A，B在数轴上，AB=9，点A表示的数是a，且a与(−1)3互为相反数．(1) 写出点B表示的数；(2) 如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=2时，求点P，Q所表示的数；(3) 如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当∣OM−ON∣=2时，求动点P，Q运动的速度．22.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣，．若a>b，则可简化为AB=a−b，线段AB的中点M表示的数为a+b2【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为−10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．【综合运用】(1) A，B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；(2) 点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；(3) P，Q两点经过多少秒会相遇？23.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)，(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]，(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]，(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]，0∗(−5)=+(−5)∗0=(−5)2，(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2，0∗0=02+02=0．归纳∗运算的法则（用文字语言叙述）：(1) 两数进行∗运算时，．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，．(2) 计算：(−3)∗[0∗(+2)]=．(3) 是否存在有理数m，n，使得(m+1)∗(n−2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．24.若有理数x，y满足∣x∣=5，∣y∣=2，且∣x+y∣=x+y，求x−y的值．25.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．(1) 对于数阵A，2∗3的值为．若2∗3=2∗x，则x的值为．(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】观察数轴可得：−1<a<0<b<c，∣a∣<∣b∣<∣c∣，∴∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣=−a+b+a+b−(c−b)=3b−c．【知识点】绝对值的化简、利用数轴比较大小2. 【答案】B【解析】∵OA=OB，点A表示的数是a，∴点B表示的数为−a，AB=−2a，∵BC=AB，∴点C表示的数是−3a．【知识点】数轴的概念3. 【答案】D【解析】∵该点距离原点3个单位，∴该点表示的数是3或−3，①若该点表示的数是3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=6；②若该点表示的数是−3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=0；故选D．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小、有理数的加法法则及计算5. 【答案】D【解析】利用数轴，设A点表示的数为−2，B点表示的数为5，P点表示的数为x，则∣x+2∣+∣x−5∣=PA+PB，∴当P在A，B之间时，PA+PB最小，∴当−2≤x≤5时，∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值．【知识点】绝对值的几何意义6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简8. 【答案】B【知识点】有理数的乘方9. 【答案】D【解析】当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60∘−13×60∘=40∘，∴∠COD=12∠BOC=20∘；当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60∘+13×60∘=80∘，∴∠COD=12∠BOC=40∘．综上，∠COD=20∘或40∘．故选：D．【知识点】角的计算10. 【答案】D【解析】 (−1)2021=−1；−∣−2∣=−2；(−2)3=−8；且 −8<−∣−2∣<(−1)2021<−12， ∴ 最大的数是 −12，故选D ．【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简二、填空题 11. 【答案】 2【解析】 ∵ 有理数 a ，b ，c 满足 a +b +c >0，且 abc <0， ∴a ，b ，c 中负数有 1 个，正数有 2 个． 【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法12. 【答案】 1949【解析】由题意可知：k 140=k 0−1+2−3+4−⋯−139+140=2019， 即 k 0+(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−139+140)=2019， k 0+1+1+⋯+1⏟70 个 1=2019，∴k 0+70=2019，解得：k 0=1949．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 1949． 【知识点】有理数的加法法则及计算13. 【答案】 −12【解析】 ∵a ∗b =a −a b ， ∴(−3)∗2=(−3)−(−3)2=(−3)−9=−12.【知识点】有理数的乘方14. 【答案】−22【解析】把x=−1代入计算程序中得：(−1)×6−(−2)=−6+2=−4>−5，把x=−4代入计算程序中得：(−4)×6−(−2)=−24+2=−22<−5，则最后输出的结果是−22．【知识点】有理数的乘法15. 【答案】3或±1【解析】∵a>a−3，a⋇(a−3)=1，根据题中的新定义得：a a−3=1，∴a−3=0或a=1或a=−1，∴a=3或±1．【知识点】有理数的乘方16. 【答案】3【解析】272019=(33)2019=36057，末位的循环为3，9，7，1，6057÷4=1514⋯1，所以末位为3．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1【解析】根据题意，x=16，第一次输出结果为：8，第二次输出结果为：4，第三次输出结果为：2，第四次输出结果为：1，第五次输出结果为：4，第六次输出结果为：2，第7次输出结果为：1，第8次输出结果为：4，由上规律可知：从第二次输出结果开始，每3次输出后重复一次，故(2017−1)÷3=672，故输出结果为：1．【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 5(2) ∣x−7∣(3) −8；−3或−13(4) 如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．【解析】(1) ∣3−(−2)∣=5．【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法法则及计算19. 【答案】(1) 原式=−3+8−7+5=5−7+5=−2+5=3.(2) 原式=49×47×47×116=1.(3) 原式=7−(116−23−34)×24=7−(116×24−23×24−34×24) =7−(44−16−18)=7−10=−3.(4) 原式=−9÷9+(−6)+1 =−1−6+1=−6.【知识点】有理数的除法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的乘法20. 【答案】(1) −17；10(2) Q点出发时，PQ两点距离为(−10)−(−26)=16，Q点速度比P点速度快(3−1)=2个单位/秒，162=8秒，∴当Q从A出发8秒钟时，能追上点P．(3) 设A点出发t秒，点P和Q相距2个单位长度，当Q点还没追上P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)−2=14，解得t=7，Q点在数轴上表示的数为−26+3×7=−5，当Q点超过P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)+2=18，解得：t=9，−26+3×9=1．故Q点在数轴上表示的有理数为1．综上所得，当Q从A出发7或9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时Q表示数轴的有理数为−5或1．【解析】(1) P到B点时，Q从A出发，Q点速度为每秒3个单位长度，3秒运动距离为3×3=9，−26+9=−17，∴Q点出发3秒后所到的点表示为−17，3秒钟P点运动距离为3×1=3，又−10+3=−7，PQ两点距离为−7−(−17)=10，∴Q点出发3秒后所到点表示数为−17，此时P，Q两点的距离为10．【知识点】数轴的概念21. 【答案】(1) ∵a与(−1)3互为相反数，∴a=1，∵AB=9，∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9=10，如图1所示；②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1−9=−8，如图2所示．故点B所表示的数为10或−8．(2) 当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10．设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．∵3秒后两动点相遇，∴3(x+2x)=9，解得：x=1．∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．运动t秒后PQ=2有两种情形：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t=73；∴点P表示的数为：1+2×73=173，点Q表示的数为：10−73=233；②相遇后，再运动y秒，P，Q两点相距2，由题意有：y+2y=2，解得：y=23．∴点P表示的数为：1+3×2+23×2=253，点Q表示的数为：10−3×1−23×1=193．(3) 根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度．∴点Q的运动速度为：9÷5=1.8．设点P的速度为v，∵∣OM−ON∣=2，∴∣9+1−(5v+1)∣=2，解得：v=75或115．∴点P的速度为75或115．【知识点】数轴的概念、相遇问题22. 【答案】(1) 18；−1(2) −10+5t；8−3t(3) 依题意有5t+3t=18，解得t=94．故P，Q两点经过94秒会相遇．【解析】(1) A，B两点的距离为8−(−10)=18，线段AB的中点C所表示的数[8+(−10)]÷2=−1．(2) 点P所在的位置的点表示的数为−10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8−3t（用含t的代数式表示）．【知识点】绝对值的几何意义23. 【答案】(1) 同号得正、异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数得平方(2) −25(3) ∵(m+1)∗(n−2)=0，∴±[(m+1)2+(n−2)2]=0，∴m+1=0，n−2=0，解得m=−1，n=2，即m=−1，n=2即为所求．【解析】(1) 由题意可得：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加0和任何数进行运算，或任何数和0迸行∗运算，等于这个数的平方．(2) (−3)∗[0∗(+2)]=(−3)∗(+2)2=(−3)∗(+4)=−[(−3)2+(+4)2]=−25.【知识点】有理数的乘方24. 【答案】∵∣x∣=5，∴x=±5，又∣y∣=2，∴y=±2，又∵∣x+y∣=x+y，∴x+y≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x−y=5−2=3，当x=5，y=−2时，x−y=5−(−2)=7．【知识点】有理数的减法法则及计算25. 【答案】(1) 2；1或2或3(2) ①是．② ∵1∗2=2∴2∗1=(1∗2)∗1，∵(a∗b)∗c=a∗c，∴(1∗2)∗1=1∗1，∵a∗a=a，∴1∗1=1，∴2∗1=1．③方法一：不存在理由如下：若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，这说明数阵每一列的数均相同．∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【解析】(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，第2行第3列所对应的数是2，∴2∗3=2．∵2∗3=2∗x，∴2∗x=2，由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，∴x=1，2，3．(2) 方法二：不存在理由如下：由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．例如考虑1∗2：情形一：1∗2=1．若满足交换律，则2∗1=1，再次计算1∗2可知：1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．情形二：1∗2=2，由（2）可知，2∗1=1，1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．情形三：1∗2=3，若满足交换律，即2∗1=3，再次计算2∗2可知：2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【知识点】有理数的乘法。

北师大版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2．4 有理数的加法同步练习题1. 若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于()A ．－1B ．0C ．1D ．22. 计算：|－5＋3|的结果是( )A ．－2B ．2C ．－8D ．83. 下列运算正确的有( )①(－2)＋(－2)＝0；②(－6)＋(＋4)＝－10；③0＋(－5)＝－5； ④(＋56)＋(－16)＝23；⑤－(－34)＋(－734)＝－7.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 在一条东西方向的跑道上，小亮先向东走了8 m ，记作“＋8 m ”，又向西走了10 m ，此时他的位置可记作()A ．＋2 mB ．－2 mC ．＋18 mD ．－18 m5. 一天早晨的气温是－7 ℃，中午的气温比早晨上升了11 ℃，中午的气温是()A ．11 ℃ B．4 ℃ C．18 ℃ D．－11 ℃6. 在5，－5，－6这三个数中，任意两数之和的最大值是()A ．0B ．－1C ．11D ．－117. 若两个有理数的和为负数，那么这两个有理数()A ．一定是负数B ．一正一负，且负数的绝对值大C ．一个为零，另一个为负数D ．至少有一个为负数8. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ＋b 的值()A．大于0 B．小于0 C．小于a D．大于b9. 两个有理数相加，如果和比其中任何加数都小，那么这两个加数()A．都是正数 B．都是负数C．互为相反数 D．异号10. 若b＝－5，则a，a＋(－b)，a＋b中最大的是()A．a B．a＋(－b) C．a＋b D．还要看a的符号才能确定11. 一个数是－10，另一个数比－10的相反数小2，则这两个数的和为() A．18 B．－2 C．－18 D．212. 下列结论不正确的是()A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．若a＜0，b＜0，则a＋b＜0C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＞013. 已知a＞b且a＋b＝0，则()A．a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．a＞014. 计算：(1)(＋2)＋(＋3)＝____；(2)(－3)＋(－5)＝____．15. 如图，数轴上点A，B所表示的两个数的和的绝对值是____．16. 已知两个数是15和－21，那么这两个数和的绝对值是____，绝对值的和是____．17. 计算：|－2|＋2＝____．18. 已知a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝1，求a＋b的值．19. 下表列出了几个城市与北京的时差(带“＋”号的数表示同一时刻比北京时间早的小时数)．城市时差(小时)伦敦－8华盛顿－13东京＋1开罗－6列式计算解答下列问题：(1)如果现在北京时间是8：00时，那么现在东京是什么时间？(2)如果现在北京时间是15：00时，那么现在华盛顿是什么时间？(3)如果现在伦敦时间是12：00时，那么现在北京是什么时间？20. 若|a－2|与|b＋5|互为相反数，求a＋b的值．参考答案：1---13 BBCBB ADADB BDD14. (1) ＋5(2）－815. 116. 6 3617. 418. 解：由数轴可知，a＜0，b＞0.而|a|＝2，|b|＝1.所以a＝－2，b＝1.所以a＋b＝(－2)＋1＝－119. 解：(1)8＋1＝9.东京是9：00(2)15＋(－13)＝2.华盛顿是凌晨2：00(3)12＋8＝20，北京是20：0020. 解：因为|a－2|≥0，|b＋5|≥0，所以：a－2＝0，b＋5＝0，即：a＝2，b＝－5，a＋b＝2＋(－5)＝－3。

七年级数学第二章《有理数》拓展提优一．填空题1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离不小于26，那么n的最小值是．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为．二．解答题5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；＜＜＜＜＜（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝，PC＝．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A 的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x ﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：，式子|x+3|+|x+2|的最小值是．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝＝（）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝，a⊕b＝．（2）若a≠b，则a⊕b b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．16．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求|m|﹣+﹣cd的值．17．若a，b互为相反数且都不为零，c，d互为倒数，m与最小的正整数在数轴上对应点间的距离为2，求（a+b）•+mcd+的值．18．定义☆运算，观察下列运算：（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．19．定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝73⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝115⊙4＝5×4+4＝24（﹣4）⊙（﹣3）＝﹣4×4﹣3＝﹣19完成下列题目（1）2⊙（﹣3）＝，（﹣5）⊙（﹣2）＝（2）计算并比较1⊙[（﹣2）⊙1]与（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]的大小（3）计算1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）的值．20．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数1表示的点与﹣1表示的点重合，则数轴上数﹣5表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是．③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示）21．阅读下列材料，回答提出的问题我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，|a|在数轴上含义是：表示a这个数的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这样就把|a|与数轴上的点建立了一种联系（这正是绝对值的几何意义），比如说|2|的几何意义就是：数轴上表示2这个数的点到原点的距离，它是2，所以说|2|＝2，|﹣2|表示﹣2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说|﹣2|＝2，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为|a﹣0|，但平时我们都写成|a|，原因你明白．（1）若给定|x|＝3，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x；（2）实际上，对于数轴上任意两个数x1，x2之间的距离我们也可以表示为|x1﹣x2|，反过来，|x1﹣x2|这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示x1与x2这两个数的点之间的距离，你能结合上面的叙述，解释|5﹣2|＝3的几何意义吗？请按你的理解说明：|5+2|＝7呢？如果能解释这个，你了不起；（3）若|x﹣2019|＝1，请直接写出x的值．22．如图，数轴上每相邻两刻度线间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中5个点表示的数的乘积是多少？（3）求|x+1.5|+|x﹣0.5|+|x﹣4.5|的最小值．23．已知数轴上两点A，B对应的是﹣2和4，点P为数轴上一动点，（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数．（2）若点P在点A和点B之间，且将线段AB分成1：3两部分，求点P对应的数．（3）数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离与到点B的距离之比为1：2？若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．24．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若两点之间的距离为2，那么x值为；（2）在（1）的条件下，是否存在点P，使得点P到点A的距离等于点P到点B的距离的三倍．答案与解析一．填空题（共4小题）1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是﹣1008．【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2018次右移后，点A向右移动1×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019个单位，故点A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+2．【解答】解：第n次移动n个单位，第2019次左移2019×1个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位，所以A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+1＝﹣1008．故答案为：﹣1008．【点评】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于26时，n的最小值是17．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，A14表示的数为19+3＝22，A16表示的数为22+3＝25，A18表示的数为25+3＝28，所以点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17，故答案为：17．【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是﹣2．【分析】设点C表示的数是x，利用AB＝AC﹣BC＝1，列出方程解答即可．【解答】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣9）＝x+9，BC＝4﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+9﹣（4﹣x）＝2x+5＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x 的式子表示出线段的长度．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为7或﹣1．【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，b＞0，c＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＞0，原式＝1+1+1+1+1+1+1，＝7；②a、b、c中有两个正数时，不妨设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，abc＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1，＝﹣1；③a、b、c有一个正数时，不妨设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1，＝﹣1；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1，＝﹣1；综上所述，原式的值为7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．二．解答题（共19小题）5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜ 2.5＜3（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；（3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案【解答】解：（1）如图；，（2）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜2.5＜3，故答案为：﹣4，﹣3，﹣1.5，0，2.5，3，（3）对．﹣4与﹣3之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5．或者﹣4与﹣1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为﹣24，点B表示的数为﹣12．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝2t，PC＝36﹣2t．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q 点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数﹣24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：﹣24+12＝﹣12．（2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数﹣24+2t（0≤t≤18，令﹣24+2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A 表示数﹣24，点C表示数12，所以PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．（3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，点P表示的数是﹣12+2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后．【解答】解：（1）设A表示的数为x，设B表示的数是y．∵|x|＝24，x＜0∴x＝﹣24又∵y﹣x＝12∴y＝﹣24+12＝﹣12．故答案为：﹣24；﹣12．（2）由题意可知：∵t秒后点P表示的数是﹣24+2t（0≤t≤18），点A表示数﹣24，点C 表示数12∴PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．故答案为：2t；36﹣2t．（3）设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是﹣12+2m．①当m≤9，m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，则PQ＝|﹣24m+4m﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝5或7，此时P表示的是﹣2或2；②当m＞9时，m秒后点Q表示的数是12﹣4（m﹣9），则PQ＝|12﹣4（m﹣9）﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝，此时点P表示的数是．答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点表示的数分别是﹣2，2，．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N 的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB＝3PA；②PA ＝3PB；可以得出结论．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：3；﹣1．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）求出所有数的绝对值的和即可．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+11）+（﹣9）+（﹣7）+（+12）+（﹣10）＝（6+11+12）﹣（3+9+7+10）＝29﹣29＝0答：守门员最后回到了球门线的位置．（2）由观察可知：6﹣3+11＝14米．答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．（3）|+6|+|﹣3|+|+11|+|﹣9|+|﹣7|+|+12|+|﹣10|＝6+3+11+9+7+12+10＝58米．答：守门员全部练习结束后，他共跑了58米．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．关键是根据题意，正确列出算式．9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x ＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x ＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．【分析】（1）根据绝对值的意义进行计算即可；（2）（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算得结果；（3）根据abcd≠0，得出共有5种情况，然后分别进行化简即可．【解答】解：（1）①|x|＝1，x＝±1；②|x﹣2|＝2，x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，所以x＝4或0，③|x+1|＝3，x+1＝3或x﹣1＝﹣3，所以x＝2或﹣2，（2）当abc≠0时，①a，b，c三个都是负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c三个都是正数时，＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，＝﹣1+1+1＝1．故的值为±1，或±3．（3）①若a，b，c，d有一个负数，三个正数，则+＝﹣1+3＝2；②若a，b，c，d有二个负数，二个正数，则+＝﹣2+2＝0；③若a，b，c，d有三个负数，一个正数，则+═﹣3+1＝﹣2；④若a，b，c，d有四个负数，则+═﹣4；⑤若a，b，c，d有四个正数，则+═4；故+的值为：±2，±4，0．【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c、d的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是2，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x﹣3|或|3﹣x|；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：5，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是7．【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；（2）要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可．【解答】解：（1）根据题意知﹣3和﹣5的两点之间的距离可表示为：|﹣3﹣（﹣5）|＝2；数x和3的两点之间的距离|x﹣3|或|3﹣x|；故答案为2，|x﹣3|或|3﹣x|；（2）①∵﹣3≤x≤2，∴x+3≥0，x﹣2≤0，∴|x+3|+|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝5所以当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为5．|x+3|+|x+2|是表示x到A、C的距离之和，可观察下图．当﹣3≤x≤﹣2时，由①可知|x+3|+|x+2|＝1当﹣2＜x≤2时，|x+3|+|x+2|＝|x+2|+1+|x+2|＝2|x+2|+1＞1∴当﹣3≤x≤﹣2时，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．故答案为5，1．②画出图形，则可知，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|是表示x的点到A、B、C三点距离之和．如下图分区间来讨论，可以得出当﹣3≤x≤2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3﹣x+2＝﹣x+9，可见x＝2取得最小值，﹣x+9＝7；当2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3+x﹣2＝x+5，x＝2时取得最小值，x+5＝7．所以式|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|当x等于2时，最小值是7．故答案为2，7．【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值【分析】（1）从数轴上的标示可知c＜0＜a＜b，由此去掉绝对值符号化简即可；（2）分区间进行去绝对值化简比较即可．【解答】解：（1）根据数轴上的标示知，c＜0＜a＜b，∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b＝a﹣2b﹣3c．（2）①当x≤c时，y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝c时最小，最小值为：a+b﹣2c，②当c≤x≤a时，y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+a﹣c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：a﹣c，③当a≤x≤b时，y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，④当x≥b时，y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，从以上讨论中可知，只有当c≤x≤a时y的值是a﹣c，小于其他最小值，所以当c≤x≤a时y有最小值是a﹣c．【点评】本题不仅考查了数轴上的点的正、负和大小的判定，更重要的是考查了含绝对值符号的一元一次函数的极值问题，运用分类讨论的方法和函数的增加性来得出函数的极值的解题能力．12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝4；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．【分析】（1）根据规定的运算方法，依次计算出a2、a3；（2）进一步计算出a4、a5，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2018除以3，根据规律，即可得出答案．【解答】解：（1）a2＝＝，a3＝＝4．故答案为，4；（2）∵a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝＝﹣，a5＝＝，…∴这列数以﹣，，4三个数依次不断循环出现；2018÷3＝672…2，a2018＝a2＝．【点评】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．【分析】（1）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字之和再加1；（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．【解答】解：（1）1+2+3+…+11+1＝6×11+1＝67；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝＝78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (54)（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）＝276+1485＝1761．另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+．+11为11层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n＝．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝64＝（8）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：n（n+2）+1＝（n+1）2．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+（1+）＝，利用此规律计算．【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+（1+）＝××××××…××＝是解题的关键．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝19，a⊕b＝|4a﹣b|．（2）若a≠b，则a⊕b≠b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的新定义和（1）中的结果，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的式子可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）（﹣4）⊕3＝|（﹣4）×4﹣3|＝19，a⊕b＝|4a﹣b|，故答案为：19，|4a﹣b|；（2）∵a⊕b＝|4a﹣b|，b⊕a＝|4b﹣a|，a≠b，∴（4a﹣b）﹣（4b﹣a）＝4a﹣b﹣4b+a＝4（a﹣b）+（a﹣b）＝5（a﹣b）≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：≠；。