分式方程有无解专项训练整理

苏科版八年级下册数学第十章分式压轴专项训练题型一：分式方程增根、解范围、有解、无解1.若分式方程2+1−kx x−2=12−x 无解，则k 的值为___________.2.关于x 的分式方程3x =a x−4有解，则字母a 的取值范围是____________.3.若解分式方程k x−2=k−x 2−x −3产生增根，则k 的值为____________.4.若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 无解，则实数a 的取值是___________.5.若关于x 的分式方程m x−2+32−x =1的解为正实数，则实数m 的取值范围是_____________.题型二：新定义6.定义：若分式P 与分式Q 的差等于它们的积，即P −Q =PQ ，则称分式P 与分式Q 互为“关联分式”．如3x x+2与3x 4x+2，因为3x x+2−3x 4x+2==3x x+2×3x 4x+2，所以3x x+2与3x 4x+2互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．(1)请通过计算判断分式2a 2+1是不是分式2a 2+3的“关联分式”．≠0的“关联分式”．我们定义：形如mn x m n x +=+（m，n 不为零），且两个解分别为1x m =，2x n =的方程称为“十字分式方程”．例如65x x +=为十字分式方程，可化为2323x x ⨯+=+，∴12x =，23x =．再如78x x +=-为十字分式方程，可化为()()()()1717x x-⨯-+=-+-．∴11x =-，27x =-．应用上面的结论解答下列问题：(1)若127x x+=-为十字分式方程，则1x =______，2x =______．(2)若十字分式方程65x x -=-的两个解分别为1x a =，2x b =，求1b a a b++的值．(3)若关于x 的十字分式方程220232022202320221k k x k x --=--的两个解分别为1x ，2x （2k >，12x x >），求124044x x +的值．7.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x 2−8x x−2==4x ，则称分式4x 2−8x x−2是“巧分式”，4x 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①(x−1)(2x−3)(x+2)(x−1)(x+2)；②2x+5x+3；③x 2−y 2x+y ．(2)若分式x 2−4x+m x+3（m 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x −7，求m 的值：(3)若分式−2x 3+2x A 的“巧整式”为1−x ．①求整式A．②2x 3+4x 2+2x A 是“巧分式”吗？8.定义：若分式A 与分式B 的差等于它们的积，即A B AB -=，则称分式B 是分式A “友好分式”．如11x +与12x +，因为()()1111212x x x x -=++++，()()1111212x x x x ⨯=++++，所以12x +是11x +的“友好分式”．(1)分式225y +______223y +分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；(2)琪琪在求分式221x y +的“友好分式”时，用了以下方法：设221x y +的“友好分式”为N ，则222211N N x y x y -=⨯++，∴2222111N x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，∴2211N x y =++．请你仿照琪琪的方法求分式3x x -的“友好分式”．(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式b ax b +的“友好分式”：______．②若22n mx m n +++是21m mx n -+的“友好分式”，则m n +的值为______．9.阅读材料1：已知关于x 的方程x +1x =c +1c 的解是x =c 或x =1c ，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”x +1x =3+13的解是x =3或x =13．阅读材料2：将分式x 2+2x−5x+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x +3，可设，x 2+2x −5=(x +3)(x +a)+b ，∴x 2+2x −5=(x +3)(x +a)+b =x 2+ax +3x +3a +b =x 2+(a +3)x +(3a +b)∵对于任意x 、上述等式均成立，∴a +3=23a +b =−5解得：a =−1b =−2∴x 2+2x −5x +3=(x +3)(x −1)−2x +3=(x +3)(x −1)x +3−2x +3=x −1−2x +3这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．根据上述材料，回答下列问题：(1)“对称方程”y −2+1y−2=5+15的解是______．(2)将分式x 2−6x−2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为______．(3)解关于x 的“对称方程”：x +19x+6=a 2−2a+13a （a 为常数且a ≠0）题型三：探究题10.对于正数x，规定：f（x）＝．例：f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝．（1）求值：f（3）+f（）＝；f（4）+f（）＝；（2）猜想：f（x）+f（）＝，并证明你的结论；（3）求f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2016）+f（2017）值．11.阅读下面材料，并解答问题.≥0解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=+4x+2=2+4x+2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是≥0的最大值是4.解答下列问题：≥3的最大值是____________；(2)求分式2x2+5x2+1的最大值；(3)若分式x2−4x+2x−4的值为整数，请直接写出整数x的值.。

分式方程无解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢分式方程的增根与无解例谈分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例 1 解方程．①解：方程两边都乘以，得2-4x=3．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．例 2 解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程无解，则m=——————．解：原方程可化为－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a为何值时，关于x 的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转化后的整式方程x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：当a－1＝0时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

分式方程无解题型训练
【原创版】
目录
1.分式方程无解题型的概念和特点
2.分式方程无解题型的解法及训练方法
3.总结与展望
正文
一、分式方程无解题型的概念和特点
分式方程无解题型，是指在分式方程中，由于分母的特殊性质，导致方程无法求得解析解的情况。

这类题目在初等数学中比较常见，对于提高学生的数学思维能力和解题技巧具有重要的意义。

分式方程无解题型的特点主要包括：分母中存在无解的因式、分母中存在不可约因子等。

二、分式方程无解题型的解法及训练方法
1.观察法：通过观察分式方程的特点，发现分母中存在无解的因式或者不可约因子，直接判断方程无解。

这种方法适用于较简单的分式方程无解题型。

2.代数法：将分式方程转化为整式方程，通过求解整式方程来判断分式方程是否有解。

这种方法适用于较为复杂的分式方程无解题型。

3.几何法：将分式方程的问题转化为几何问题，利用几何知识来求解。

这种方法适用于具有几何背景的分式方程无解题型。

针对分式方程无解题型的训练方法主要包括：加强基本功训练，熟练掌握分式方程的基本解法；多做习题，积累经验，提高解题技巧；学会灵活运用观察法、代数法和几何法等。

三、总结与展望
分式方程无解题型是初等数学中的一个重要课题，对于培养学生的数学思维能力和解题技巧具有重要意义。

在解决这类问题时，需要灵活运用观察法、代数法和几何法等方法，加强基本功训练，多做习题，积累经验。

分式方程1. 关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =-------答案：7 2. 解关于x 的方程15mx =-下列说法正确的是（C ）A.方程的解为5x m =+B.当5m >-时，方程的解为正数C.当5m <-时，方程的解为负数D.无法确定3.若分式方程1x aa x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-14 若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为-------------答案：-15.分式方程121mx x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 6. 关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1 7. 若分式方程x aa a+=无解，则a 的值是----------答案：08.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-29. 若关于x 的方程(1)5321mx m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10 10. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解，求m 的值为-------答案：分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？练习、 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。