例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

１) ａ ｎ ≥( ａ ＋ １) ａ ｎ .
(２) 因为 Ａ９ － Ａ７ ＝ ａ８ ＋ ａ９ ꎬＡ８ － Ａ９ ＝ ａ９ ꎬａ８ ＋ ａ９ ＝
－ ａ９ ꎬ所以公比 ｑ ＝１４ｎFra bibliotek１ ｎ
１ － æç － ö÷
è ２ ø
＝
ａ９
１
１
＝ － . ∴ ａ ｎ ＝ æç － ö÷ ꎬｂ ｎ ＝
ａ８
２
è ２ ø
１
ꎬ数列 { ｂ ｎ } 的前 ｎ 项的和为
ａｎ ａｎ ＋ １
１
.
２
为 ２ 的 等 差 数 列ꎬ 由 ２
ａ ｎ ＝ ２ｎ － １.
Ｓ１ ＝ ａ１ ＋ １ 得 ａ１ ꎬ 所 以
１
１
(２) ｂ ｎ ＝
＝
ａ ｎ ａ ｎ ＋ １ (２ｎ － １) (２ｎ ＋ １)
１
１ ö÷
１
－
＝ æç
ꎬ
２ è ２ｎ － １ ２ｎ ＋ １ ø
列ꎬ即指数列{ ａ ｎ } 满足条件 ａ ｎ ＋ １ － ａ ｎ ＝ ｆ( ｎ) ) 求和
或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.
Ｓ１ ＋
Ｓ２ ＋ ＋
Ｓｎ <
Ｓｎ ＋ １ － １
２
.
２ａ１ ꎬ∵ ａ１ > ０ꎬ ∴ ａ１ ＝ １. 又 由 条 件 ａ２ｎ ＋ ａ ｎ ＝ ２Ｓ ｎ 有
ａ２ｎ ＋ １ ＋ ａ ｎ ＋ １ ＝ ２Ｓ ｎ ＋ １ ꎬ上述两式相减ꎬ又 ａ ｎ ＋ １ ＝ Ｓ ｎ ＋ １ －
＝
＝
ꎻ
２
２ ２
２
Ｓ１ ＋
Ｓ２ ＋ ＋
ｎ
<
２
Ｓｎ ＝

点P处的切线。
单切线放缩
例1.求证:当x>0时，1+2x<e2x
例1：
单切线放缩
例2：
注：（1）该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反
的问题（拆成两个函数）； ----数形结合
（2）两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础。引入
一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传
递性即可；
明.
小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲（原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正
（负）--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，
但是有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
----以直代曲
（3）难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
单切线放缩
例3：
略，
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
单切线放缩
例4：
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
双切线放缩
例5：
a>1
注：含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数, )，
告知方程f(x)=b有两个实根，要证明两个实根之差小于
(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并
求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线
方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直
线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上
方或下方，进而对, 作出放大或者缩小，从而实现证
导数的应用
--切线放缩法证明不等式
复习引入：曲线在某一点处的切线的定义

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放缩法证明数列不等式的方法与策略
作者：张日堂
来源：《理科考试研究·高中》2019年第02期

摘要：放缩法是证明数列不等式的常用方法，如何让学生掌握放、缩的“度”是一个难点.在
知识和方法的迁移应用中，思维发生的过程尤为重要.本文既从数列中常用的裂项相消法、等
比数列求和公式、数学归纳法，又从不等式的性质、基本不等式，还从函数的单调性方面一一
去展现放缩的思维过程.

关键词：放缩;数列不等式;方法与策略
证明数列不等式的思维跨度大，构造性强，需要较高的解题技巧，注重对知识和方法的迁
移使用，能综合考查学生的数学素养，因此成为高考压轴题和各级各类竞赛题的好素材，常用
的方法是“放缩法”。由于“放缩法”灵活多变，如何让学生掌握放、缩的“度”是一个难点.波利亚
说：“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识”因此“度”的把握不能只靠妙手偶得，更需
要知识与经验的丰富积累和思维能力的锤炼.本文以一些例题为引，谈谈如何合理的利用放缩
法证明数列不等式，，展现各种解法中，奇思妙想背后的思维过程，揭开其“神秘的面纱”.

参考文献：
[1]王洪军.放缩法证明数列不等式的策略分析[J].数学通讯，2017（4）：1-4.
[2]魏立国.暴露思维过程案例分析[J].中学数学研究，2010（8）：11-12.

第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++∙ 1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。