最新2019高一数学集合知识点总结

学习总结 工作总结 高一数学集合知识点总结

一.知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u} 学习总结 工作总结 注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若 ， ，则 ; ③若 且 ，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n∈z} 学习总结 工作总结 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n， = p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ，则( b ) =n n m d. 解： 当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b 【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b的子集个数为 a)1 b)2 c)3 d)4 分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。 解答：∵a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={1,7}，有两个学习总结 工作总结 元素，故a*b的子集共有22个。选d。 变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为 a)5个 b)6个 c)7个 d)8个 变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a. 解：由已知，集合中必须含有元素a,b. 集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 . 【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。 解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3. ∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a ∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1， ∴ ∴ 变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值. 解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5 学习总结 工作总结 ∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴ 又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1 分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。 解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。 综合以上各式有b={x|-1≤x≤5} 变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。 解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m ①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ② 综①②得：所求集合为{-1，0， } 【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，学习总结 工作总结 再利用参数分离求解。 解答：(1)若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数 (a)4 (b)5 (c)6 (d)7 2.集合{1，2，3}的真子集共有 (a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个 3.集合a={x } b={ } c={ }又 则有 (a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个 4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是 (a)cua cub (b)cua cub=u 学习总结 工作总结 (c)a cub= (d)cua b= 5.已知集合a={ }， b={ }则a = (a)r (b){ } (c){ } (d){ } 6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为 {1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正确的是 (a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3) (c)只有(2) (d)以上语句都不对 7.设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令x=s 那么s∪x= (a)x (b)t (c)φ (d)s 8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a (a)r (b) (c){ } (d){ } 填空题 9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 10.若a={1,4,x},b={1,x2}且a b=b，则x= 11.若a={x } b={x },全集u=r，则a = 12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 学习总结 工作总结 13设集合a={ },b={x },且a b，则实数k的取值范围是。 14.设全集u={x 为小于20的非负奇数}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，则a b= 解答题 15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。 16(12分)设a= ， b= ， 其中x r,如果a b=b，求实数a的取值范围。 四.习题答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 c c b c b c d d 填空题 9.{(x,y) } , 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11} 解答题 =-1 16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a (ⅰ)b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1) (ⅱ)b={0}或b={-4}时， 0 得a=-1 (ⅲ)b={0，-4}， 解得a=1