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【历年经典】2009年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2log 0a <，1()12b>，则【 D 】A ．1a >,0b >B ．1a >,0b <C 、01a <<, 0b >D 、01a <<, 0b <2．对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B 、必要不充分条件C ．充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】A ．6π B ．56π C 、76π D.116π4．如图1，当参数12,λλλ=时，连续函数0)y x =≥ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则【 B 】A ．120λλ<< B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<<5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．286．已知D 是由不等式组20,30x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为【 B 】A ．4π B ．2π C ．34π D ．32π1 7．正方体1111ABCD A BC D-的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【 C 】A．2 B．3 C． 4 D．58．设函数()y f x=在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().Kf x f x Kf xK f x K≤⎧=⎨>⎩取函数()f x=2xx e---。

若对任意的(,)x∈-∞+∞，恒有()Kf x=()f x，则【 D 】A．K的最大值为2 B．K的最小值为2C．K的最大值为1 D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10．在333(1)(1(1x+++的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答).11．若(0,)2xπ∈，则2tan tan()2x xπ+-的最小值为12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线C的离心率为13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 40 。

14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15．将正ABC∆分割成2*(2,)n n n N≥∈个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()f n，则有(2)2f=，(3)f=103 ，… ，()f n = 1(1)(2)6n n ++ .C 三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos bc A =，所以cosA =又(0,),A π∈因此6A π=23AB AC BC ⋅=得2bc =，于是2sinsin C B A ⋅==所以5sin sin()64C C π⋅-=，1sin (cos )224C C C ⋅+=， 因此22sin cos 20C C C C C ⋅+==，既si n (2)03C π-=. 由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===。

17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望。

解: 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,i i i A B C i=1，2，3.由题意知123,,A A A 相互独立，123,,B B B 相互独立，123,,C C C 相互独立，,,i j k A B C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且111(),(),().236i i i P A P B P C ===（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233!()P A B C 1236()()()P AP B P C =11116.2366=⨯⨯⨯= （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知， ηB （3，13），且ξ=3-η。

所以P （ξ=0）=P （η=3）=3331()3C =127， P （ξ=1）=P （η=2）=23C 21()3 2()3=29，P （ξ=2）=P （η=1）=13C 1()322()3=49，P （ξ=3）=P （η=0）= 03C 32()3= 827.故ξ的分布列是ξ的数学期望E ξ=027⨯+19⨯+29⨯+327⨯=2.解法2: 记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件i D ，i=1,2,3 、由已知，123,,D D D 相互独立，且P （i D ）=（i i A C +）= P （i A ）+P （i C ）=12+16=23， 所以ξ2(3,)3B ,即3321()()()33k k k P k C ξ-==，0,1,2,3.k =故ξ的分布列是18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，点D 是11A B 的中点，点E 在11AC 上，且DE AE ⊥（I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；（II ）求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

解：（I ） 如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C .又DE ⊂平面111A B C ，所以DE ⊥1AA .而DE ⊥AE ，1AA AE=A ，所以DE ⊥平面11ACC A .又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面11ACC A （2）解法1： 如图所示，设F 是AB 的中点，连接DF ，DC 1，C 1F ，由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，11A B ⊥C 1D ，11A B ⊥DF又C 1D DF=D ，所以11A B ⊥平面C 1DF.而AB ∥11A B ， 所以AB ⊥平面C 1DF.又AB ⊂平面ABC 1，故平面AB C 1⊥平面C 1DF 。

过点D 做DH 垂直C 1F 于点H，则DH ⊥平面AB C 1。

连接AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角。

由已知AB=2A A 1，不妨设 A A 1=2，则AB=2，DF=2，D C 1=3，C 1F=5，3，DH=F C DCDF 11·=532⨯=530.ACAC 1ACA C 1所以 sin ∠HAD=AD DH =510。

即直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为510. 解法2： 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A 1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B （3，0，0）， C 1（0，1，2）， D （23，12-，2）。

易知AB =(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， AD =(23，12-，2）.设平面ABC 1的法向量为(,,)n x y z =r,则有1·30,·20.n ABx y n AC y⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩解得,.3x y z =-=故可取(1,n =r.所以，cos ,n AD n AD n AD⋅=⋅r uuu rr uuu r r uuu r =31032⨯=510。

由此即知，直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为510。

19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y 万元。

（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：（Ⅰ）设需新建n 个桥墩，则(1)1mn x m x+=-，即n=， AA所以()y f x =(2m mx x x+-1)+2562256.mm x=+- （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2132222561'()(512).22m mf x mx x xx-=-+=- 令'()0f x =，得32512x =，所以x =64.当0<x <64时，'()f x <0，()f x 在区间（0，64）内为减函数；当64640x <<时，'()f x >0、()f x 在区间（64，640）内为增函数. 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时640119.64m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。

20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d 、当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。

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2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）设集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，全集 ∪ ，则集合∁ （ ∩ ）中的元素共有（）． 个 ． 个 ． 个 ． 个．（ 分）已知 ，则复数 （）．﹣ ． ﹣ ． ． ﹣．（ 分）不等式＜ 的解集为（）． ＜ ＜ ∪ ＞ ． ＜ ＜ ． ﹣ ＜ ＜ ． ＜．（ 分）已知双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为（）． ． ． ．．（ 分）甲组有 名男同学， 名女同学；乙组有 名男同学、 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 名同学，则选出的 人中恰有 名女同学的不同选法共有（）． 种 ． 种 ． 种 ． 种．（ 分）设、、是单位向量，且，则 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．﹣ ． ﹣．（ 分）已知三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）． ． ． ．．（ 分）如果函数 （ ）的图象关于点（， ）中心对称，那么 的最小值为（）． ． ． ．．（ 分）已知直线 与曲线 （ ）相切，则 的值为（）． ． ．﹣ ．﹣．（ 分）已知二面角 ﹣ ﹣ 为 ，动点 、 分别在面 、 内， 到 的距离为， 到 的距离为，则 、 两点之间距离的最小值为（）． ． ． ．．（ 分）函数 （ ）的定义域为 ，若 （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，则（）． （ ）是偶函数 ． （ ）是奇函数 ． （ ） （ ） ． （ ）是奇函数．（ 分）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，右准线为 ，点 ∈ ，线段 交 于点 ，若 ，则 （）． ． ． ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ ﹣ ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于．．（ 分）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．．（ 分）直三棱柱 ﹣ 的各顶点都在同一球面上，若 ，∠ ，则此球的表面积等于． ．（ 分）若，则函数 的最大值为．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在△ 中，内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，已知 ﹣ ，且 ，求 ． ．（ 分）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， ， ，点 在侧棱 上，∠（ ）证明： 是侧棱 的中点；（ ）求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 局中，甲、乙各胜 局．（ ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（ ）设 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望．．（ 分）在数列 中， ， （ ） ．（ ）设 ，求数列 的通项公式；（ ）求数列 的前 项和 ．．（ 分）如图，已知抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点．（ ）求 的取值范围；（ ）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 的坐标．．（ 分）设函数 （ ） 在两个极值点 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ， ．（ ）求 、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ ， ）的区域；（ ）证明：．年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷 ）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）设集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，全集 ∪ ，则集合∁ （ ∩ ）中的元素共有（） ． 个 ． 个 ． 个 ． 个【分析】根据交集含义取 、 的公共元素写出 ∩ ，再根据补集的含义求解．【解答】解： ∪ ， ， ， ， ， ，∩ ， ， ∴∁ （ ∩ ） ， ， 故选 ．也可用摩根律：∁ （ ∩ ） （∁ ）∪（∁ ）故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知 ，则复数 （） ．﹣ ． ﹣ ． ． ﹣【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求 ．【解答】解：，∴故选．（ 分）（ 全国卷 ）不等式＜ 的解集为（） ． ＜ ＜ ∪ ＞ ． ＜ ＜ ． ﹣ ＜ ＜ ． ＜【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜ ，∴ ＜ ﹣ ，∴ ＜ ﹣ ．∴ ＜ ．∴不等式的解集为 ＜ ．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为（） ． ． ． ．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 ，找到 和 的关系，从而推断出 和 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得 ﹣ ，因渐近线与抛物线相切，所以 ﹣ ，即，故选择 ．．（ 分）（ 全国卷 ）甲组有 名男同学， 名女同学；乙组有 名男同学、 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 名同学，则选出的 人中恰有 名女同学的不同选法共有（）． 种 ． 种 ． 种 ． 种【分析】选出的 人中恰有 名女同学的不同选法， 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（ ）甲组中选出一名女生有种选法；（ ）乙组中选出一名女生有 种选法．故共有 种选法．故选．（ 分）（ 全国卷 ）设、、是单位向量，且，则 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．﹣ ． ﹣【分析】由题意可得 ，故要求的式子即 ﹣（） ﹣ ﹣ ，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， ．∴ ﹣（） ﹣（） ﹣﹣ ≥．故选项为．（ 分）（ 全国卷 ）已知三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）． ． ． ．【分析】首先找到异面直线 与 所成的角（如∠ ）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出 的长度即可；不妨设三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长为 ，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设 的中点为 ，连接 、 、 ，易知 ∠ 即为异面直线 与 所成的角；并设三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长为 ，则 ， ， ，由余弦定理，得 ．故选 ．．（ 分）（ 全国卷 ）如果函数 （ ）的图象关于点（， ）中心对称，那么 的最小值为（）． ． ． ．【分析】先根据函数 （ ）的图象关于点中心对称，令 代入函数使其等于 ，求出 的值，进而可得 的最小值．【解答】解：∵函数 （ ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知直线 与曲线 （ ）相切，则 的值为（）． ． ．﹣ ．﹣【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点 （ ， ），则 ， （ ），又∵∴∴ ， ﹣∴ ．故选项为．（ 分）（ 全国卷 ）已知二面角 ﹣ ﹣ 为 ，动点 、 分别在面 、 内， 到 的距离为， 到 的距离为，则 、 两点之间距离的最小值为（）． ． ． ．【分析】分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连 ， 则∠ ∠ ，在三角形 中将 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连 ， 则∠ ∠ ，，∴又∵当且仅当 ，即点 与点 重合时取最小值．故答案选 ．．（ 分）（ 全国卷 ）函数 （ ）的定义域为 ，若 （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，则（）． （ ）是偶函数 ． （ ）是奇函数 ． （ ） （ ） ． （ ）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求 （ ）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵ （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，∴函数 （ ）关于点（ ， ）及点（﹣ ， ）对称，∴ （ ） （ ﹣ ） ， （ ） （﹣ ﹣ ） ，故有 （ ﹣ ） （﹣ ﹣ ），函数 （ ）是周期 ﹣（﹣ ） 的周期函数．∴ （﹣ ﹣ ） ﹣ （ ﹣ ），（﹣ ） ﹣ （ ），（ ）是奇函数．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，右准线为 ，点 ∈ ，线段 交 于点 ，若 ，则（）． ． ． ．【分析】过点 作 ⊥ 轴于 ，设右准线 与 轴的交点为 ，根据椭圆的性质可知 ，进而根据，求出 ， ，进而可得 ．【解答】解：过点 作 ⊥ 轴于 ，并设右准线 与 轴的交点为 ，易知 ．由题意，故 ，故 点的横坐标为，纵坐标为±即 ，故 ，∴．故选二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）（ ﹣ ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于﹣ ．【分析】首先要了解二项式定理：（ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，各项的通项公式为： ﹣ ．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（ ﹣ ） 的展开式中含 的项为 ﹣ （﹣ ） ﹣ ，含 的项为 ﹣ （﹣ ） ﹣ ．由 知， 与 的系数之和为﹣ ．故答案为﹣ ．．（ 分）（ 全国卷 ）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．【分析】由 解得 即可．【解答】解：∵∴∴故答案是．（ 分）（ 全国卷 ）直三棱柱 ﹣ 的各顶点都在同一球面上，若 ，∠ ，则此球的表面积等于 ．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 △ 中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ 中 ，∠ ，可得由正弦定理，可得△ 外接圆半径 ，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 △ 中，易得球半径，故此球的表面积为故答案为：．（ 分）（ 全国卷 ）若，则函数 的最大值为﹣ ．【分析】见到二倍角 就想到用二倍角公式，之后转化成关于 的函数，将 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令 ，∵，∴故填：﹣ ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）在△ 中，内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，已知 ﹣ ，且 ，求 ．【分析】根据正弦定理和余弦定理将 化成边的关系，再根据 ﹣ 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ 中∵ ，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得： （ ﹣ ） ．又由已知 ﹣ ∴ ．解得 或 （舍）；法二：由余弦定理得： ﹣ ﹣ ．又 ﹣ ， ≠ ．所以 ①又 ，∴ （ ） ，即 由正弦定理得，故 ②由①，②解得 ．．（ 分）（ 全国卷 ）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， ， ，点 在侧棱 上，∠（ ）证明： 是侧棱 的中点；（ ）求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．【分析】（ ）法一：要证明 是侧棱 的中点，作 ∥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于 ，连 、 ，则 ⊥面 ， ⊥ ，设 ，则 ，解 △ 即可得 的值，进而得到 为侧棱 的中点；法二：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，并求出 点的坐标、 点的坐标和 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（ ）我们可以以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，我们可以利用向量法求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．【解答】证明：（ ）作 ∥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于 ，连 、 ，则 ⊥面 ， ⊥ ，设 ，则 ，在 △ 中，∵∠ ∴．在 △ 中由 ∴解得 ，从而∴ 为侧棱 的中点 ．（ ）证法二：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，则．设 （ ， ， ）（ ＞ ， ＞ ），则，，由题得，即解之个方程组得 ， 即 （ ， ， ）所以 是侧棱 的中点．（ ）证法三：设，则又故，即，解得 ，所以 是侧棱 的中点．（ ）由（ ）得，又，，设分别是平面 、 的法向量，则且，即且分别令得 ， ， ， ，即，∴二面角 ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）（ 全国卷 ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 局中，甲、乙各胜 局．（ ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（ ）设 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望．【分析】（ ）由题意知前 局中，甲、乙各胜 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（ ）由题意知 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 、 ，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记 表示事件：第 局甲获胜，（ 、 、 ）表示第 局乙获胜， 、（ ）记 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前 局中，甲、乙各胜 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴由于各局比赛结果相互独立，∴ （ ） （ ） （ ） （ ）× × × × ×（ ） 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 、由于各局相互独立，得到 的分布列（ ） （ ）（ ） ﹣ （ ） ﹣∴ × × ．．（ 分）（ 全国卷 ）在数列 中， ， （ ） ．（ ）设 ，求数列 的通项公式；（ ）求数列 的前 项和 ．【分析】（ ）由已知得 ，即 ，由此能够推导出所求的通项公式．（ ）由题设知 ﹣，故 （ ）﹣（ ），设 ，由错位相减法能求出 ﹣．从而导出数列 的前 项和 ．【解答】解：（ ）由已知得 ，且 ，即 ，从而 ，，﹣ （ ≥ ）．于是 ﹣（ ≥ ）．又 ，故所求的通项公式为 ﹣．（ ）由（ ）知 ﹣，故 （ ）﹣（ ），设 ，①，②①﹣②得，﹣﹣ ﹣﹣，∴ ﹣．∴ （ ） ﹣ ．．（ 分）（ 全国卷 ）如图，已知抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点．（ ）求 的取值范围；（ ）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 的坐标．【分析】（ ）先联立抛物线与圆的方程消去 ，得到 的二次方程，根据抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 的范围．（ ）先设出四点 ， ， ， 的坐标再由（ ）中的 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 的坐标．【解答】解：（ ）将抛物线 ： 代入圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）的方程，消去 ，整理得 ﹣ ﹣ （ ）抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（ ）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（ ）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线 、 的方程分别为 ﹣ （ ﹣ ）， （ ﹣ ），解得点 的坐标为（， ），则由（ ）根据韦达定理有 ， ﹣ ，则∴令，则 （ ） （ ﹣ ）下面求 的最大值．由三次均值有：当且仅当 ﹣ ，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点 的坐标为．．（ 分）（ 全国卷 ）设函数 （ ） 在两个极值点 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ， ．（ ）求 、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ ， ）的区域；（ ）证明：．【分析】（ ）根据极值的意义可知，极值点 、 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（ ）先用消元法消去参数 ，利用参数 表示出 （ ）的值域，再利用参数 的范围求出 （ ）的范围即可．【解答】解：（ ） （ ） ，（ 分）依题意知，方程 （ ） 有两个根 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ，等价于 （﹣ ）≥ ， （ ）≤ ， （ ）≤ ， （ ）≥ ．由此得 ， 满足的约束条件为（ 分）满足这些条件的点（ ， ）的区域为图中阴影部分．（ 分）（ ）由题设知 （ ） ，则，故．（ 分）由于 ∈ ， ，而由（ ）知 ≤ ，故．又由（ ）知﹣ ≤ ≤ ，（ 分）所以．。

2009年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案

2009年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案

（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =（ ） （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

2009年高考理科数学(全国)卷(I)

2009年高考理科数学(全国)卷(I)

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （A B ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知1iZ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（A （B （C (D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β，Q到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为(B)2 (C) (D)4 （11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

2009年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2009年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、=( )A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i2、设集合A={x|x＞3},B={x|},则A∩B=()A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)3、已知△ABC中，,则cosA=( )A. B. C. D.4、曲线在点（1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=( )A. B. C.5 D.257、设a=log3π,,,则( )A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a8、若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则ω的最小值为…()A. B. C. D.9、已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种11、已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点.若，则C的离心率为( )A. B. C. D.12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、（)4的展开式中x3y3的系数为___________.14、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3.则=___________.15、设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.16、已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_____________.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19、(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1-2a n,证明数列{b n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式.20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21、(12分)已知椭圆C:(a ＞b ＞0)的离心率为,过右焦点F 的直线l与C 相交于A 、B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)C 上是否存在点P,使得当l 绕F 转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由.22、(12分)设函数=x 2+aln(1+x)有两个极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2.(Ⅰ)求a 的取值范围,并讨论的单调性;(Ⅱ)证明: ()21224In f x ->.2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) A解析:.故选A.2、(5分) B解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B.3、(5分) D解析:∵,∴A为钝角.又∵,∴.代入sin2A+cos2A=1,求得.故选D.4、(5分) B解析:∵,∴y′|x=1=-1.∴切线的斜率k=-1.∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选B.5、(5分) C解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角. 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则,,,.∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=.故选C. 6、(5分) C解析:设b=(x,y),由得解方程组得或则|b|=.故选C.7、(5分) A解析:∵a=log3π＞log33=1,,.∴a＞b＞c.故选A.8、(5分) D解析:将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位,得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合,∴(k∈Z),即,∴当k=0时,,即ω的最小值为.故选D.9、(5分) D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.得-1＜k＜1,即0＜k＜1,,x1x2=4.又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.代入x1·x2=4,得x22+x2-2=0,∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0).∴x1=2×1+2=4.∴.∴.又0＜k＜1,∴.故选D.10、(5分) C解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.11、(5分) A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由, 得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),∴y1=-4y2.设过F点斜率为的直线方程为, ∴则有∴将y1=-4y2分别代入①②得化简得∴.化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).∴25c2=36a2.∴,即.12、(5分) B解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B.二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、(5分) 6解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,由展开式中的通项,得=.令,得r=2.∴系数为.14、(5分) 9解析:由a5=5a3,得,.15、(5分) 8π解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB 中,d2=R2-BN2.①又∵π·BN2=,∴.在△ONM中,d=OM·sin45°=,②将②代入①得,∴R2=2.=4πR2=8π.∴S球16、(5分) 5解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3. 在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴.同理在△OBP中,.S四边形=S△CAD+S△CAB====.当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.故,或(舍去),于是或.又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以.18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EF DA.连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC,(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知∠AGC=60°.设AC=2,则.又AB=2,,故.由AB·AD=AG·BD得,解得,故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF. 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.连接CH,则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,,故EH=1,又,所以∠ECH=30°,即B1C与平面BCD所成的角为30°.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,·=0,求得b=1,所以AB=AC.(Ⅱ)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0.又=(-1,1,0), =(-1,0,c).故令x=1,则y=1, , =(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60°知,〈〉=60°,故·=||·||·cos60°,求得.于是=(1,1,), =(1,-1,),cos〈,〉=,〈,〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°.19、(12分) 解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又a n+2=S n+2-S n+1=4a n+1+2-(4a n+2)=4a n+1-4a n;于是a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n),即b n+1=2b n.因此数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{b n}中b1=3,公比q=2,所以a n+1-2a n=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,,所以a n=(3n-1)·2n-2.20、(12分) 解:(Ⅰ)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.(Ⅱ)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.A i与B独立,i=0,1,2.P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=,P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()=,P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=,P（ξ=2)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)］=.故ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.21、(12分) 解:(Ⅰ)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,故,c=1.由,得,.(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，由（Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0.①将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是,,y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入①解得k2=2,此时,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P（,).因此，当时，P(,),l的方程为;当时，P(,)，l的方程为.(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立,综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.22、(12分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域是x＞-1,,且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a＞0,即,且,.①又x1＞-1,故a＞0.因此a的取值范围是(0,).当x变化时,与f′(x)的变化情况如下表:x (-1,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞) f′(x)+ 0 - 0 +极大值极小值因此在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数，在区间（x1,x2)上是减函数. (Ⅱ)由题设和①知＜x2＜0,a=-2x2(1+x2),于是f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2).设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).当时,g′(t)=0;当t∈(,0)时,g′(t)＞0,故g(t)在区间［,0)上是增函数.于是,当t∈(,0)时,.因此.。