C++完全数的判断（证明完全平⽅数不可能是完全数）
C++ 完全数的判断
对于⾃然数n，其除了⾃⾝以外的所有因数的和，等于其⾃⾝的，称n为完全数。在C++中可以通过遍历1到n找出所有因数，然后求和验证。
但n次遍历往往⽆法满⾜时间复杂度的要求。
注意到，对⾃然数n，假设其存在因数a，则必存在因数b=n/a，且min(a,b)不⼤于√(n)。利⽤这条性质可以将原本需要的n次遍历减少为√(n)次遍历。
int n, sum = 1;
cin >> n; // n为输⼊的⾃然数n
for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ){
if (n % i == 0){
sum += (i + n / i);
}
}
⼀般的代码中都没有考虑i=n/i的情况，即n为完全平⽅数的情况。如何证明完全平⽅数不可能是完全数？
证明：完全平⽅数不可能是完全数
对⼤于3的正整数n，其除了⾃⾝的约数的和sum(n)有：
sum(n)
对于⼀个完全平⽅数$ k = n * n ，如果其为完全数，则 n 的约数和sum(n) = k - n = n^2 - n$，显然不可能。所以完全平⽅数
不需要特别处理。
C++ 程序
#include
#include
using namespace std;
int main(){
int n;
cin >> n;
while(n--){
int x, sum = 1;
cin >> x;
for (int i = 2; i < sqrt(x); i ++){
if (x % i == 0){
sum += i;
sum += x / i;
}
}
if (x != sum || x == 1)
printf("%d is not perfect\n", x);
else
printf("%d is perfect\n", x);
}
return 0;}
Processing math: 100%
数字之间的规律
数字之间有着丰富的规律和关系，它们是数学中的重要研究对象。以下将介绍一些数字之间常见的规律。
一、自然数的规律
自然数从1开始，依次递增，每个自然数都可以通过前一个自然数加1得到。例如，2是1加1得到，3是2加1得到，以此类推。这是最基本的自然数规律。
二、奇数和偶数的规律
自然数中，可以被2整除的数字称为偶数，不能被2整除的数字称为奇数。奇数和偶数之间交替出现，例如1是奇数，2是偶数，3又是奇数，4又是偶数，以此类推。
三、素数的规律
素数是指只能被1和自身整除的自然数，除了1以外的最小素数是2。素数的规律是不可预测的，它们在自然数中分布随机而稀疏。例如，2、3、5、7、11、13等都是素数。
四、完全数的规律
完全数是指除自身外所有因子的和等于自身的自然数。最小的完全数是6，因为6的因子1、2、3的和等于6。完全数的规律非常罕见，目前只知道少数几个完全数，如6、28、496等。
五、斐波那契数列的规律
斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项的和。斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21等。斐波那契数列的规律在自然界中广泛存在，如植物的叶子排列、兔子繁殖等。
六、等差数列的规律
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差相等。例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。等差数列的规律可以用一个通项公式来表示，如第n项为a+(n-1)d，其中a为首项，d为公差。
七、等比数列的规律
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比相等。例如，1、2、4、8、16就是一个公比为2的等比数列。等比数列的规律可以用一个通项公式来表示，如第n项为a*r^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
八、黄金分割的规律
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长的比等于另一部分与这部分的比。黄金分割的比例约为1:1.618。黄金分割在艺术、建筑等领域被广泛应用，被认为是一种美学上的最佳比例。
奇妙而神秘的完全数
华兴恒
（安徽省灵璧县黄湾中学，２３４２１３）
在自然数中，“６”这个数是非常普通的一个数，
然而它却隐藏一个不被人们注意的特性．这就是６
的因数有四个，即１，２，３，６．除了它本身以外，其
它三个因数的和恰好等于６这个数本身，具有这样
特点的数，人们称之为完全数．
在数学中，如果一个自然数等于除它本身以外
的所有正因数之和，则这个数叫做完全数．６是最小
的一个完全数．有人做过统计：
６＝１＋２十３．
２８＝１十２＋４＋７＋１４．
４９６＝１＋２＋４＋８十１６＋３１十６２＋１２４＋２４８．
８１２８：１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２７＋２５４＋
５０８＋１０１６＋３０３２＋４０６４．
由此可见，一位数中只有一个完全数６，二位数
中也只有一个完全数２８，三位数中只有一个完全数
４９６，四位数中只有一个完全数８１２８．
以上所说的四个完全数，其中的６，２８，４９６这三
个早在公元前６００年，毕达哥拉斯就已发现，古希腊
人早在二世纪也发现了．如果把这三个完全数分别
改写成下面的表现形式：
６＝２×（２ 一１），
２８＝２２×（２３—１）．
４９６＝２ ×（２ 一１）．
则可以猜想在２ 一１是质数时，２ （２ 一１）
是完全数．可以证明这个猜想是正确的．并且这个猜 想早在几何学的鼻祖欧几里德的《几何原本》第九卷
中就有记载．
人们为了寻找更大的完全数却历经了漫长的
１２００多年的时问，直到１４６１年才有人找到了第五
个完全数３３５５０３３６．在十六世纪人们又发现了下面
三个完全数，它们分别是十位数８５８９８６９０５６，十二 位数１３７４３８６９１３２８以及十九位数．在此后的三个世
纪里，人们只找到了一个三十七位的完全数，这就是
２６５８４５５９９１５６９８３１７４４６５４６９２６１５９５３８４２１７６．由此可 见，对完全数的探索进程不仅非常缓慢，而且十分的
艰辛．同时这也说明了完全数稀罕、奇妙，还说明了
完全数的六个否定命题
完全数问题是一个古老是数学问题，至今还不知道偶数完全数有有限个，还是无穷多；也不知道存不存在奇数是完全数。本人经过思考给出5个判断奇数不是完全数的命题：
命题1如果n是一个奇素数的方幂，则n不是完全数。
证：n=pm其中p是奇素数，m是自然数
σ(n)=σ(pm)=1+p+L+pm=pm+1-1p-1
σ(n)-2n=(pp-1-2)pm-1p-1＜(11-1p-2)pm(1)
又因为p>2，所以1p＜12推出1-1p＞12推出11-1p＜2推出(1)＜0，因此n不是一个奇素数。证毕。
本例也可以用别的方法证明，比如数学归纳法，在此就不一一写出。
命题2如果n=pmqn，其中p，q为互不相同的奇素数，m，n是自然数，则不是奇完全数。
证：反证法，假设n是完全数，有σ(n)=2n，
σ(n)=σ(pmqn)=(1+p+p2+Λ+pm)(1+q+q2+Λ+qn)
2n=2pmqn由σ(n)=2n有 σ(n)=σ(pmqn)=(1+p+p2+Λ+pm)(1+q+q2+Λ+qn)=2pmqn
有；2=(1+p+Λ+pm)(1+q+q2+Λqn)pmqn=Σmi=01piΣnj=01pj(1)
又因为Σ∞i=01pi收敛，且Σ∞i=01pi=11-1p=pp-1，所以Σ∞i=01pi<pp-1(2)
同理Σ∞j=01qj收敛，Σ∞j=01qj=11-1q=qq-1，也有Σ∞j=01qj<qq-1(3)
考察函数f(x)=xx-1，因为导函数f´(x)=-1(x-1)2，当x>1有f´(x)＜0，所以函数f(x)是单减的，且p，q是互不相同的素数，有：
Σmi=01piΣnj=01pj<(pp-1)(qq-1)<33-1Ｘ55-1=32Ｘ54=158＜2也就是说
（1）<2即2<2矛盾。所以假设错误，命题正确，即n不是奇完全数。证毕。
