初中数学常用辅助线
一．添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们 把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：
1平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
2等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;
3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形; 4直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;
5三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;
6全等三角形：
全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
专题 证明圆的切线的常用的方法
★★★方法指引：
证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接
起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.
2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的
垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”. 类型一：有公共点：连半径，证垂直
●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
求证：EF是⊙O的切线；
【分析】连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性
质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，即可解答；
【解答】证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵OB＝OF，EF＝EC，
∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC
，题型一 利用等角代换法证明垂直∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，
∵OF是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线：
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键．
【变式1-1】 （2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行
线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．
求证：BD是⊙O的切线；
【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
..
;,. D A
B C E F
M N
A
B D C
E
A
B C D E F
M 辅助线的作法
正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：
方法一：从已知出发作出辅助线：
例1．已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=FC21
分析：题设中含有D是BC中点，E是AD
中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密
切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：
（1）过D点作DN∥CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=FC21，再证△AEF≌△DEN，则有AF=DN，进而有AF=FC21
（2）过D点作DM∥BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=FC21
方法二：分析结论，作出辅助线
例2：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，
求证：AB·AC=AE·AD
分析：要证AB·AC=AE·AD，需证ACAEADAB
（或ACADAEAB），需证△ABE∽△ADC（或△ABD∽△AEC），
这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得
∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C（或∠B=∠E）
因而得证。
方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线
例3：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；
求证：AE∶ED=2AF∶FB
分析：已知D是BC中点，那么在
三角形中可过中点作平行线得中位线； ..
;,. A B C D E O ·
A B C D
O 1 2 3 ·
A B C O A
B C D E 1 2 · O 若要出现结论中的AE∶ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DM∥EF交AB于M，可得FMAFFMAFEDAE22，再证BF=2FM即可。
证明圆的切线的七种常用方法
证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
类型一、有公共点：连半径，证垂直
方法1、勾股定理逆定理法证垂直
1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．
方法2、特殊角计算法证垂直
2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求∠P的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若PD＝5，求⊙O的直径．
方法3、等角代换法证垂直
3、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E。求证：DE是⊙O的切线；
方法4、平行线性质法证垂直
4、如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．且30E，点B是的中点
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）求证CF=OC
（2）若半圆O的半径为6，求DC的长．
方法5 全等三角形法证垂直
5、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，交OC的延长线于点F，连接BF，求证：BF是⊙O的切线。
A BO D C F 类型二、无公共点：做垂直，证半径
方法6 角平分线的性质法证半径
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝2．
