2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课时跟踪检测理

1 课时跟踪检测（二十一） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2015·全国卷Ⅰ改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.

解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.

答案：12

2．已知sin 2α＝13，则cos2α－π4＝________.

解析：依题意得cos2α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.

答案：23

3．已知sinπ2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cosα－π3＝________.

解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，

∴cosα－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.

答案：－12

4．(2016·南京调研)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.

解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tanβ－α＋tan α1－tanβ－α·tan α＝17.

答案：17

5．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．

解析：由题可知，tan α＝sin

αcos α＝2，

∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.

答案：－43 2 二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2015·南通一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝________.

解析：∵ 2sin 2α＝1＋cos 2α，sin22α＋cos22α＝1，

∴ sin 2α＝0，cos 2α＝－1或 sin 2α＝45，cos 2α＝35，

∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.

答案：0或43

2．已知cosx－π6＝－33，则cos x＋cosx－π3＝________.

解析：∵cosx－π6＝－33，

∴cos x＋cosx－π3＝cos x＋cos x·cosπ3＋sin xsinπ3＝32cos x＋32sin x＝332cos

x＋12sin x

＝3cosx－π6＝3×－33＝－1.

答案：－1

3．(2016·南京四校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin2π4－α＝________.

解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.

答案：1718

4．已知sinα－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________.

解析：由sinα－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①

由cos 2α＝725得cos2α－sin2α＝725， 3 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725， ②

由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③

由①③可得sin α＝35.

答案：35

5．在等式tan 95°－tan 35°－ ＝ tan 95°tan 35°中，根号下的表示的正整数是________．

解析：由tan 95°－tan 35°－ ＝ tan 95°tan 35°，得 ＝tan 95°－tan 35°1＋tan 95°tan 35°＝tan 60°＝3，所以 表示3.

答案：3

6．已知tan α，tan β是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.

解析：由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，

∴由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，

∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.

答案：1

7．计算sin250°1＋sin 10°＝________.

解析：sin250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝

1－cos90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.

答案：12

8．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．

解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，

所以sinα＋π6＝35，sin 2α＋π6＝2425，

cos 2α＋π6＝725， 4 所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4

＝2425×22－725×22＝17250.

答案：17250

9．已知α∈0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin2α＋π3的值．

解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan

α1－tan2α＝2×121－14＝43，

且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，

又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈0，π2，

∴sin α＝55，cos α＝255.

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝45－15＝35，

∴sin2α＋π3＝sin 2αcosπ3＋cos 2αsinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.

10．已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.

(1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cos β的值．

解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，

两边同时平方，得sin α＝12.

又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin2α＝－32.

(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.

又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 5 所以cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.

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1．化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．

解析：法一：原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α

＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos 2α·cos π3－sin2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.

法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.

答案：12

2．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．

解析：由题意知f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[φ＋(x＋φ)]－2sin

φcos(x＋φ)＝sin φcos(x＋φ)＋cos φsin(x＋φ)－2sin φcos(x＋φ)＝cos φsin(x＋φ)－sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，即f(x)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.

答案：1

3．(2016·合肥质检)已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－1tan α的值．

解：(1)cosπ6＋α·cosπ3－α＝cosπ6＋α·sinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，

即sin2α＋π3＝－12.

∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3， 6 ∴cos2α＋π3＝－32，

∴ sin 2α＝sin2α＋π3－π3

＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.

(2)∵α∈π3，π2，∴2α∈2π3，π，

又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.

∴tan α－1tan α＝sin

αcos α－cos

αsin α＝sin2α－cos2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝23.