二次函数教案修改

待定系数法求二次函数解析式专题

一、教学目标

（1）通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法

（2）能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

（3）从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

二、教学重点：用待定系数法求函数解析式。

三、教学难点：根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。

四、教学课时：2课时

五、教学方法：归纳法、讲练结合法

六、教学过程：

1、知识梳理：

（1）待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法。一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.

（2）二次函数 待定系数法确定函数解析式

① 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

② 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

③ 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

2、典型精析 、合作探究

（1）一般式：

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.abcabcabc 解得1,0,2.abc

∴解析式为y=x2+2.

变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.abcabcabc 解得1,0,2.abc

∴解析式为y=x2+2.

（2）顶点式：

例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。

变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。

解法1: 由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).•

设解析式为y=a(x-h)2+k,

即y=a(x-1)2-8.

把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.

即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2: 设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

解法3: ∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式

为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

∵函数有最小值-8.

∴24(3)(2)4aaaa=-8.

又∵a≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.

变式2： 已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，

因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，

又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得

－b2a＝29a＋3b＝6 解这个方程组，得：a＝－2b＝8

所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。

解法二：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，

由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到

a(3－2)2＋k＝1a(0－2)2＋k＝－5 解这个方程组，得：a＝－2k＝3

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。

变式3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得

－b2a＝24ac－b24a＝－4c＝4 解这个方程组，得：a＝2b＝－8c＝4

所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。

变式4：一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，。求这条抛物线的解析式。

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出mn,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点(,),(,)032432的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解：抛物线yxmxn142经过点（032,）和(,)432，

这条抛物线的对称轴是直线x2。

设所求抛物线的解析式为yxh1422()。

将点(,)032代入，得1402322()h，解得h12。

这条抛物线的解析式为yx142122()，即yxx14322。

点评：当点M（xy11,）和N（xy22,）都是抛物线上的点时，若yy12，则对称轴方程为xxx122，这一点很重要也很有用。

（3）两根式：

例3：已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。

解: 由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),

设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

变式： 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

想一想:还有其它方法吗?

点评: 一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).

（4）根据图像求解析式：

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到

64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解这个方程组，得2341ba

所以，所求二次函数的关系式是y＝－14x2＋32x＋4.