2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷 (3)

2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．每小题有且只有一个正确选项）

1． 已知,,abc为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc．

(1) 若a与b是异面直线，则c至少与a、b中的一条相交；

(2) 若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

(3) 若a∥b，则必有a∥c；

(4) 若ab，ac，则必有MN．

其中正确的命题的个数是

（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 ［答］ ( C )

2． 已知22(,),(,)()AaaBbbab两点的坐标满足2sincos1aa，2sincos1bb，记原点到直线AB的距离为d，则其的取值范围适合（ B）

(A)1d (B)1d (C)1d (D)不能确定

3．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1=22，AD1=17。则AC的取值范围是（ C）

(A)1725AC (B) 31722AC

(C) 35AC (D) 17221722AC

4．过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点。那么，线段PQ中点的轨迹方程是

( B)．

(A)221yx (B)222yx (C)221yx (D)222yx

5． 四面体S-ABC中，三组对棱的长分别相等，且分别为34、41、5，则此四面体的体积为 （ A ）

(A) 20 (B) 710 (C) 320 (D) 30

6． 一圆台的上底半径为cm1，下底半径为cm2，母线AB为cm4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B点爬行的最短路线是 (A)．

(A)3234 (B)3434 (C)3232 (D)3432

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．过点(1,1)M的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3，这样的直线有 4 条.

8．已知点P为椭圆1322yx在第一象限部分上的点，则yx的最大值等于 2

9．设椭圆12222byax的离心率23e，已知点23,0P到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b=41

10． 如图，正四面体ABCD的棱长为8cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若3AECFcm，则线段EF的长为 34

cm．

11．如图，已知椭圆221,,,2xyDAABCBAB且2,23CBDA，动ABCFDE

点P在AB上移动，则PCD的面积的最小值是 46 ．

12已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____ 29 ______.

三、解答题（共4小题，满分48分）

14.（本题满分15分）如图，已知三棱锥P—ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

（I）求证：//DM平面PAC；

（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（Ⅲ）若M为PB的中点，求三棱锥M—BCD的体积．

（1）【证明】∵△PAB中， D为AB中点，M为PB中点，∴//DMPA

∵DM平面PAC，PA平面PAC，∴//DM平面PAC

（2）【证明】∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，

∴.10AB21ADDBPD

∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，

又∵AP⊥PC，.PPCPB

∴AP⊥平面PBC．

∴AP⊥BC．

又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC．

∵.ABCBC平面

∴平面PAC⊥平面ABC．

（3）【解】由（1）知//DMPA，由（2）知

PA⊥平面PBC，

∴DM⊥平面PBC．

∵正三角形PDB中易求得53DM，

2211114104221.2224BCMPBCSSBCPC

∴.7102123531BCMDBCDMVV

已知椭圆159x22y的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线交椭圆于A、B两点，过2F的直线交椭圆于C、D两点，且CDAB，垂足为P．

（1）设P点的坐标为),(00yx，求592020yx的最值；

（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

解：（１）由已知得1F（－２，０），2F（２，０），Ｐ1F⊥Ｐ2F，

∴Ｐ),(00yx满足220202xy， A B C D P A1 B1 C1 D1

∴4x0,4y202020且x，∴592020yx＝20x45454，

∴它的最小值为94，最大值为54．

（２）若直线AB的斜率k存在且不为０，因CDAB，∴直线AB的方程为2)k(xy，直线CD的方程为2)(xk1-y．

联立159x22y和2)k(xy，消去y得：0453636)5(9k2222kxkx，0)1(3022k，

设),A(x11y，),(22yxB，则5936x2221kkx，5945362221kkxx，

AB=59)130(k22k；

联立159x22y和2)(xk1-y，消去y得：0453636)9(5k222kxx，0)1(30222kk，

设),C(x33y，),(44yxD，则2435936xkx，2243594536kkxx，

CD=2259)130(kk；

2222222222)59()59()1(450)59)(59()1(45021kkkkkkCDABSACBD=49450，

当1k时等号成立．

当k为0或不存在时，10310621SACBD49450；

综上，四边形ACBD的面积的最小值为49450．

15． （本题满分12分）椭圆C：22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知12PFPF的最大值为3，最小值为2．

(１) 求椭圆C的方程；

(２) 若直线l：ykxm与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

解：(1) P是椭圆上任一点,12||||2PFPFa且1||acPFac，

121212||||cosyPFPFPFPFFPF

222121[||||4]2PFPFc

222111[||(|2||)4]2PFaPFc

2221(||)2PFaac．

当1||PFa时，y有最小值222ac；当2||PFac或ac时, y有最大值22ac．

2222322acac， 2241ac， 2223bac．

椭圆方程为22143xy．

(2) 设11(,)Mxy，22(,)Nxy，将ykxm代入椭圆方程得

222(43)84120kxkmxm．

21212228412,4343kmmxxxxkk．

11ykxm，22ykxm，22121212(2)()yykxxkmxxm，

MN为直径的圆过点A0AMAN，2271640mkmk，

27mk或2mk都满足0，

若2mk直线l恒过定点(2,0)不合题意舍去，

若27mk直线l：2yk(x)7恒过定点2(,0)7．

17． （本题满分13分）

设,199}{1,2,3,I，I},,,,{A100321aaaa，且A中元素满足：对任何100ji1，恒有200jiaa．

（1）试说明：集合A的所有元素之和必为偶数；

（2）如果10002100321aaaa，试求2100232221aaaa的值．

解：（1）将集合,199}{1,2,3,I的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．

∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，

∴集合A的所有元素之和必为偶数．

（2）不妨设9921,,,aaa为依次从以上前99个集合中选取的元素，100100a，

且记各集合的落选元素分别为9921,,,bbb，则200iiba，)99,,2,1(i，

由于2222321n=6)12)(1(nnn

∴ )(2100232221aaaa+)(2992221bbb

=2222199321=6)11992)(1199(199=2646700，……①

而)(9921aaa+)(9921bbb=1980099200＝，

)(9921aaa=10002-100=9902，

∴ )(9921bbb=19800-9902=9898

∴ )(2100232221aaaa-)(2992221bbb