2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.4直线与平面的垂直关系学案湘教版选修2_1

3．4 直线与平面的垂直关系1.掌握直线与平面垂直的定义．2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活运用定理证明直线与平面垂直．3．理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线l 与一个平面α相交，并且垂直于平面α内所有的直线，就称直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α.(2)判定定理①文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直．②符号语言：若直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，l ⊥a ，l ⊥b ，a ∩b ＝O ，则l ⊥α. 2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．下列命题中正确的有( )①如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ③如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B.只有③正确．2．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.PA →与CD → 解析：选A.可用排除法．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，PA →·CD →＝0，排除D. 又因为AD ⊥AB ， 所以AD ⊥PB ，所以DA →·PB →＝0，同理PD →·AB →＝0，排除B ，C ，故选A.3．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .求证：PB ⊥平面EFD .证明：建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a . 连接AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得P (0，0，a )，D (0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，B (a ，a ，0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，所以PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →， 即PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ， 且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .直线与平面垂直的有关概念下列命题中，真命题的个数为( )(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内；(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 (1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面，因此(1)假．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为假命题．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题为真命题．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面唯一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，所以该命题为真命题．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c ，且a ，b ，c 共点于O .因为a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝O ，所以b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面．所以该命题为真命题．【答案】 C注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与平面内任意一直线垂直．直线与平面垂直的判定在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC . 【证明】 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)， E (2，2，1)，F (1，1，2)．所以EF →＝(1，1，2)－(2，2，1) ＝(－1，－1，1)，AB 1→＝(2，2，2)－(2，0，0)＝(0，2，2)，AC →＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)．所以EF →·AB 1→＝(－1，－1，1)·(0，2，2)． ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF →·AC →＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .直线与平面垂直的判定方法(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．(2)建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱B 1C 1、B 1B 的中点．求证：CF ⊥平面EAB .证明：在正方形B 1BCC 1中， 因为E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， 所以△BB 1E ≌△CBF . 所以∠B 1BE ＝∠BCF ， 所以∠BCF ＋∠EBC ＝90°， 所以CF ⊥BE .因为AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1，所以AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面EAB .三垂线定理(逆定理)的应用如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC ，若O 、Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心，求证：OQ ⊥平面PBC .【证明】⎭⎪⎬⎪⎫O 是△ABC 的垂心⇒BC ⊥AE Q 是△PBC 的垂心⇒BC ⊥PE⇒BC ⊥平面PAE .因为OQ ⊂平面PAE ，所以OQ ⊥BC .因为PA ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以BF ⊥PA . 又因为O 是△ABC 的垂心，所以BF ⊥AC .所以BF ⊥平面PAC ，则FM 是BM 在平面PAC 上的射影， 因为BM ⊥PC ，根据三垂线定理的逆定理， 得FM ⊥PC ，从而PC ⊥平面BFM . 又OQ ⊂面BFM ， 所以OQ ⊥PC ， 又PC ∩BC ＝C ， 所以OQ ⊥平面PBC .三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝1，棱BB 1＝2，连接B 1C ，过B 作B 1C 的垂线BE交CC1于E，交B1C于F.求证：A1C⊥平面EBD.证明：如图，连接AC，则AC⊥BD.因为AC是A 1C在平面ABCD内的射影，所以A1C⊥BD.又A1B1⊥平面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影为B1C，因为B1C⊥BE，所以A1C⊥BE.又因为BD∩BE＝B，所以A1C⊥平面EBD.1．判定线面垂直的步骤与方法(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和这两条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)判定线面垂直的方法有①利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面；②利用线面垂直的判定定理；③证明线线(或线面)垂直时，除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等)之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．2．三垂线定理及其逆定理的应用(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直；(2)立体几何中的计算问题(后面学习)．应用三垂线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理时要抓住以下三个环节：①确定射影面；②作出垂线；③确定射影．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：选B.因为B1D1∥BD，B1D1⊥A1C1，而A1C1为CE在上底面的射影(图略)，由三垂线定理知CE⊥B1D1，所以CE⊥BD，故选B.2．一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况中：①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．不能保证该直线与平面垂直的是( ) A．①③B．②C．②④D．①②④解析：选C.②④中不能确定两条边是否相交，故不能保证该直线与平面垂直．3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，若PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数为______．解析：BC ⊥AC ，BC ⊥PA .所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC .所以∠PAC ＝∠PAB ＝∠PCB ＝∠ACB ＝90°.答案：4[A 基础达标]1．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于( )A ．(337，－157，4)B ．(407，－157，4)C ．(407，－2，4)D ．(4，407，－15)解析：选B .AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1，1，1)，向量b ＝(1，－1，0)和向量c ＝(0，1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．以上都不对解析：选A.因为(1，1，1)·(1，－1，0)＝0，(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以a ⊥b ，a ⊥c ，又b 与c 不平行且b 、c 所在的直线都与平面α平行，所以l ⊥α.3．若平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直解析：选C.若β内存在直线与m 平行，则必有β⊥α，但α与β不一定垂直，故否定A 、D ；在β内必存在与m 在β内的射影垂直的直线，由三垂线定理可知此直线必与m 垂直，否定B ，故选C.4．如图，ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°解析：选D.以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)．BD →＝(－1，－1，0)，AC 1→＝(－1，1，1)，CD 1→＝(0，－1，1)，B 1D 1→＝(－1，－1，0)，CB 1→＝(1，0，1)．对于选项A ，由B 1D 1→＝BD →知结论正确；对于选项B ，由AC 1→·BD →＝(－1，1，1)·(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C ，由选项B ，再由AC 1→·B 1C →＝(－1，1，1)·(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D ，由cos 〈AD →，B 1C →〉＝AD →·B 1C →|AD →||B 1C →|＝22，知结论不正确．(其中〈AD →，B 1C →〉是AD →与B 1C 所成的角)5．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，BP ⊥α，C 是α内异于点B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点解析：选B.由图可知BC 为PC 在底面α上的射影，由三垂线定理可知BC ⊥AC .所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，但C 与A 、B 不重合，所以C 在平面α内的轨迹是一个圆，但要去掉两个点．6．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于______．解析：因为C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，所以C 1B 1⊥MN .又因为MN ⊥MB 1，所以MN ⊥平面C 1MB 1，所以MN ⊥C 1M ，所以∠C 1MN ＝90°.答案：90°7.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的点E 有两个时，a 的取值范围是________．解析：PE ⊥DE ，根据三垂线定理，则DE 垂直于PE 在平面ABCD 上的射影AE .所以在矩形ABCD 中，∠AED ＝90°，满足条件的点E 有两个，故以AD 为直径的圆与BC 相割．所以圆心到直线的距离d <R ，即3<AD2，a >6.答案：a >68.如图所示，VC 是△ABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在△ABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠DMC ＝∠VNC ，求证：VC ⊥平面ABM .证明：因为VN ⊥平面ABC ，CD ⊥AB ，且N 在CD 上，所以由三垂线定理知，AB ⊥VC ， 又因为VN ⊥平面ABC ，所以VN ⊥DC . 因为∠DMC ＝∠VNC ＝90°，即VC ⊥DM . 又因为AB ∩DM ＝D ， 所以VC ⊥平面ABM .9.如图所示，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ，AM ⊥PB 于M ，AN ⊥PC 于N ，连接MN .求证：(1)BC ⊥平面PAC ； (2)PB ⊥平面AMN .证明：(1)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC .在Rt △ABC 中，AB 为斜边， 所以BC ⊥AC . 又PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .(2)因为BC ⊥平面PAC ，AN ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥AN .又AN ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ， 所以AN ⊥平面PBC . 所以AN ⊥PB .又因为PB ⊥AM ，AM ∩AN ＝A ， 所以PB ⊥平面AMN .[B 能力提升]10.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.11．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－312．(选做题)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，BC ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是AC 的中点，问在侧棱AA 1上是否存在点P ，使CP ⊥平面BDC 1，并证明你的结论．解：不存在．证明如下：以C 1为原点，C 1A 1，C 1C ，C 1B 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，3，2)，C (0，3，0)，D (1，3，0)，所以C 1B →＝(0，3，2)，C 1D →＝(1，3，0)．假设侧棱AA 1上存在一点P (2，y ，0)(0≤y ≤3)使CP ⊥平面BDC 1，CP →＝(2，y －3，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧CP →·C 1B →＝0，CP →·C 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3（y －3）＝0，2＋3（y －3）＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，y ＝73，这样的y 不存在．所以侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥平面BDC 1.。