Jensen不等式及不等式综合自主招生
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·1· 琴生Jensen不等式
一、函数的凹凸性：
定义：设连续函数()fx的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有
1212()()()22xxfxfxf ①
则称()fx为 (a，b)上的下凸函数．
注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()fx为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数）
2．下凸函数的几何意义：过()yfx曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．
二、琴生不等式：
若()fx是区间 (a，b) 上的凸函数，则对任意的点x1，x2，„，xn(a，b)，有
12121()[()()()]nnxxxffxfxfxnn
取“=”条件：x1 = x2 = „ = xn
证明：
注：更一般的情形：
设()fx是定义在区间 (a，b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有
1212()()()pfxpfxfpxqx（其中1pqRpq，，），则称()fx是(a，b) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：
设12121nnqqqRqqq，，，，且，若()fx是区间 (a，b) 上的下凸函数，则对任意的x1，x2，„，xn(a，b)有11221122()()()()nnnnfqxqxqxqfxqfxqfx．
取“=”条件：12nxxx
说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．
例1 证明：(1) ()sinfxx在[0)，上是上凸函数
(2) ()lggxx在(0)，上是上凸函数
(3) ()tan)2hxx在[0，上是下凸函数
证明：(1) 对12[0)xx，，
121212121212()()1(sinsin)sincossin()222222fxfxxxxxxxxxxxf
(2) 对12[0)xx，，+
121212lglglglg22xxxxxx
即：1212()()()22gxgxxxg．
(3) 当1202xx，时
1212121212121212sinsinsin()2sin()tantancoscoscoscoscos()cos()xxxxxxxxxxxxxxxx
1212122sin()2tancos()12xxxxxx （∵sintan1cos2）
即：1212()()()22hxhxxxh． ·2· 例2 用琴生不等式证明均值不等式nnAG，即：1212nninaaaaRaaan，则．
证：∵iaR
设()lgfxx，则()fx为(0)，上的上凸函数
由琴生不等式：
12121(lglglg)lgnnaaaaaann
即1212nnnaaaaaan
例3 abcR，，，且a + b + c = 3，求证：8181819abc．
证明：设()81fxx，则()(0)fx为，+上的凹函数．
由琴生：1[()()()]()(1)333abcfafbfcff
∴ ()()()9fafbfc．
例4 ()fx定义在 (a，b) 上，()fx在 (a，b) 上恒大于0，且对12()xxab，，有
21212()()[()]2xxfxfxf．
求证：当12()nxxxab，，，时，有1212()()()[()]nnnxxxfxfxfxfn．
证明：由题：对12()xxab，，，有21212()()[()]2xxfxfxf，两边取常对：
则有1212lg()lg()2lg()2xxfxfxf
即1212lg()lg()lg()22fxfxxxf
于是：令()lg()gxfx，则()gx为(a，b) 上的凸函数
由琴生不等式：对12()nxxxab，，，，有
1212lg()lg()lg()lg()nnfxfxfxxxxfnn
即1212()()()[()]nnnxxxfxfxfxfn． 三个重要的不等式强化练习
（均值、柯西、排序不等式）
1． 用柯西不等式证明：
若(1)iaRin，求证：21212111()()nnaaanaaa．
证：由柯西
22222221212111[()()()][()()()]nnaaanaaa．
2． 设1211inaRinaaa，，且．
求证：222221212111(1)()()()nnnaaaaaan
证明：由柯西：
22221111111111()1[1()][][11]nnnnnniiiiiiiiiiiiiaaaaaaa
222111[1](1)nniiiiana
∴ 222111()(1)niiianan．
3． 设a1，a2，„，an是n个互不相等的正整数．
证明：32122211112323naaaann．
证明：设b1，b2，„，bn是a1，a2，„，an的一个排序，且b1 < b2 < „ < bn
又由于221112n，由排序不等式
1212222211111122nnbbbaaann ①
(反序和) (乱序和) ·3· 另一方面，∵ 1212nbbbn，，，
∴ 212211122nbbbnn ②
由①②知：212211122naaann
其中，ak = bk = k时，取“=”号．
4． 若abcR，，，求abcbccaab的最小值．
解：不妨设111abcbccaab，则
由排序不等式，有
abcbcabccaabbccaab（同乱）
abccabbccaabbccaab（同乱）
两式相加，可得
32abcbccaab
当且仅当a = b = c时取“=”号．
