2016江苏高考数学压轴题含答案

2016年江苏省高考数学压轴试卷(解析版)2016年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若复数+m（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m=．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．6．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．7．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）=．8．如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为9．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为．10．不等式组所表示的区域的面积为．11．已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则=．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．14．设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x ∈[0，+∞）恒成立，则a2b=．二、解答题15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．17．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM 为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．18．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P （1，）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=e x|x2﹣a|（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调减区间；（2）若存在m＞0，方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．20．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k 1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE•CE=EF•EA．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．四.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．26．若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j ≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n 为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．2016年江苏省高考数学压轴试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B={1} ．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={1}，故答案为：{1}．2．若复数+m（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．解：∵+m==m+1+2i，由复数+m为纯虚数，得m+1=0，解得m=﹣1．故．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，4．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．【解答】解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n 的值，当n=6时，满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1, x=，n=2, 不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4, 不满足条件n＞5，x=，n=5, 不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．6．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，7．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）=﹣7．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由两角差的正切求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴，∴，则=，故答案为﹣7．8．如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高PO，则O为底面中心，作OE⊥AB于E，根据侧面积计算PE，利用勾股定理计算PO，带入体积公式计算体积．【解答】解：过P作底面ABCD的垂线PO，则O为底面正方形ABCD的中心，过O作OE⊥AB于E，连结PE．则OE==．∵PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB，又AB⊥OB，PO⊂平面POE，OE⊂平面POE，PO∩OE=O，∴AB⊥平面POE，∵PE⊂平面POE，∴AB⊥PE．∴正四棱锥的侧面积S 侧=4S△PAB=4×=8，解得PE=2．∴PO==1．∴正四棱锥的体积V=S 正方形ABCD•PO=（2）2×1=4．故答案为：4．9．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y=0，可得b=2a，c=a，即可求出双曲线的离心率．解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y=0，∴b=2a，c=a，∴离心率是e==．10．不等式组所表示的区域的面积为16．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，【解答】解：由不等式组作出平面区域如图所示（阴影部分），则由，，得A（﹣1，1），B（3，5），C（3，﹣3），所以，11．已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则=12．【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，三角形ABC为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．【解答】解：如图所示，△A BC的外接圆的半径为2，且，∴（﹣）+（﹣）=2，∴+=2+2=，∴O为BC的中点，即AB⊥AC；又||=||，∴△ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理得，AC==2，则•=||•||•cos∠ACB=2×4×=12．故答案为：12．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B 3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为200．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1=185，从而求得．【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a中，故a中=20（舍去）；故设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，其中（0＜m＜9，m∈N*）故10a n+×2﹣a m+n=185，即10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1=185，故m=9n﹣43，故n=5，m=2；故10×a5+×2=110+90=200；14．设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x ∈[0，+∞）恒成立，则a 2b=9．【分析】利用换元法设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，若b=0，则g（x）=x2＞0，函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；∵函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，则（﹣，+∞））上f（x）＜0，而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）＜0，则（，+∞）上g（x）＞0，∴要使（ax+3）（x 2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣=，∴a2b=9．故答案为：9．二、解答题15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．∴S△ABC===．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…17．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM 为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，求出Q（4，2），得直线AQ的方程，从而求出水上旅游线AB的长，由此能求出游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行时间．（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，分别求出直线AB的方程和直线PC的方程，联立直线AB和直线PC 的方程组，能求出点C的坐标．【解答】解：（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，…1分设Q（x1，2），（x1＞0），由及x1＞0，得x1=4，∴Q （4，2），…3分∴直线AQ的方程为y=﹣（x﹣6），即x+y﹣6=0，…5分由，得，即B（﹣3，9），…6分∴AB==9，即水上旅游线AB的长为9km．游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行30分钟时间．…8分（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C． (10)分由（1）知直线AB的方程为x+y﹣6=0，P（4，8），则直线PC的方程为x﹣y+4=0，…12分联立直线AB和直线PC的方程组，得点C的坐标为C（1，5）．…14分18．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P （1，）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意：C1： +=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=﹣=﹣，∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），化简得：x2x+y2y=，①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，﹣n），点E在x轴上，设点E（t，0），则圆E的方程为：（x﹣t）2+y2=（m﹣t）2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P 1E|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2=（x﹣t）2+y2=，当x=m时，|ME|2最小，∴m=﹣，③，又圆E过点F，∴（﹣）2=（m﹣t）2+n2，④点P1在椭圆上，∴，⑤由③④⑤，解得：t=﹣或t=﹣，又t=﹣时，m=﹣＜﹣2，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（﹣，0）．19．已知函数f（x）=e x|x2﹣a|（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调减区间；（2）若存在m＞0，方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；分段函数的应用．【分析】（1）求出a=1的f（x）的解析式，分别求出各段的导数，解不等式即可得到减区间；（2）讨论a=0，a＞0，通过导数判断单调区间和极值，由方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，即可求得m的范围，进而得到m的最大值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，当|x|＞1时，f′（x）=e x（x2+2x﹣1），由f′（x）≤0得﹣1﹣≤x≤﹣1+，所以f（x）的单调减区间是（﹣1﹣，﹣1）；当|x|≤1时，f′（x）=﹣e x（x2+2x﹣1），由f′（x）≤0得x≥﹣1+或x≤﹣1﹣．所以f（x）的单调减区间是（﹣1+，1）；综上可得，函数f（x）的单调减区间是（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，1）；（2）当a=0时，f（x）=e x•x2，f′（x）=e x•x（x+2），当x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）递增，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增．f（﹣2）为极大值，且为4e﹣2，f（0）为极小值，且为0，当a＞0时，f（x）=同（1）的讨论可得，f（x）在（﹣∞，﹣﹣1）上增，在（﹣﹣1，﹣）上减，在（﹣，﹣1）上增，在（﹣1，）上减，在（，+∞）上增，且函数y=f（x）有两个极大值点，f（﹣﹣1）=，f（﹣1）=，且当x=a+1时，f（a+1）=e a+1（a2+a+1）＞（﹣1）＞，所以若方程f（x）=m恰好有正根，则m＞f（﹣﹣1）（否则至少有二个正根）．又方程f（x）=m恰好有一个负根，则m=f（﹣﹣1）．令令g（x）=e﹣x（x+1），x≥1．g′（x）=﹣xe﹣x＜0，g（x）在x≥1递减，即g（x）max=g（1）=，等号当且仅当x=1时取到．所以f（﹣﹣1）max=（）2，等号当且仅当a=0时取到．且此时f（﹣﹣1）=（﹣1）=0，即f（﹣﹣1）＞f（﹣1），所以要使方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为．20．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b 3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f（n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n 中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE•CE=EF•EA．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】欲证明BE•CE=EF•EA．在圆中线段利用由切割线定理得EB2=EF•FA，进而利用四边形BODE中的线段，证得BE=CE即可．【解答】证明：因为Rt△ABC中，∠ABC=90°所以OB ⊥CB, 所以CB为⊙O的切线, 所以EB2=EF•FA连接OD，因为AB=BC, 所以∠BAC=45°, 所以∠BOD=90°, 在四边形BODE中，∠BOD=∠OBE=∠BED=90°所以BODE为矩形, 所以, 即BE=CE．所以BE•CE=EF•EA．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量．【解答】B．矩阵A的特征多项式为，…由f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3．．…当λ1=2时，特征方程组为故属于特征值λ1=2的一个特征向量；…当λ2=3时，特征方程组为故属于特征值λ2=3的一个特征向量．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，直线的参数方程为普通方程，利用圆心距半径半弦长满足勾股定理求解弦长即可．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，圆心为（1，1），半径为，直线的直角坐标方程为x﹣y﹣=0，所以圆心到直线的距离为d==，所以弦长=2=．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．【分析】因为x＞y，所以x﹣y＞0，所以不等式左边减去2y 得：2x+=（x﹣y）+（x﹣y）+，这样便可证出本题．【解答】证明：由题设x＞y，可得x﹣y＞0；∵2x+﹣2y=2（x﹣y）+=（x﹣y）+（x﹣y）+；又（x﹣y）+（x﹣y）+，当x﹣y=1时取“=“；∴2x+﹣2y≥3，即2x+≥2y+3．四.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．【考点】随机事件；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．由此能求出比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=+++= =，P（ξ=1）=+++=，P（ξ=3）==，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==1．26．若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j ≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n 为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．【分析】（1）利用新定义，分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）利用数学归纳法进行证明即可．【解答】解：（1）当n=2时，取数a1=1，a2=2，因为=3∈Z，当n=3时，取数a1=2，a2=3，a3=4，则=﹣5∈Z，=﹣7∈Z，=﹣3∈Z，即a1=2，a2=3，a3=4可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当n=2，3时均存在，②假设命题当n=k（k≥2，k∈Z）时，存在k个不同的正整数a1，a2，…，a k，使得对任意1≤i＜j≤k，都有∈Z成立，则当n=k+1时，构造k+1个数A，A+a1，A+a2，…，A+a k，（*）其中A=1×2×…×a k，若在（*）中取到的是A和A+a i，则=﹣﹣1∈Z，所以成立，若取到的是A+a i和A+a j，且i＜j，则=+，由归纳假设得∈Z，又a j﹣a i＜a k，所以a j﹣a i是A的一个因子，即∈Z，所以=+∈Z，所以当n=k+1时也成立．所以对任意正整数，均存在“n 个好数”．。

一条高考压轴题的解法赏析笔者近来查阅江苏2016年高考数学题时，发现其14题与课本必修４116P 例4结论有渊源，依托深刻的三角理论根基，显示出知识发展的源与流，对考生的思维爬坡，运算准确提出新挑战．【题源】在斜三角形ABC 中，求证：CB AC B A tan tan tan tan tan tan ++=⋅⋅【考题】(2016年江苏数学14)在锐角三角形ABC 中，若C B A sin sin 2sin ⋅=，则C B A tan tan tan ⋅⋅的最小值是.【分析】本题考查了三角公式及不等式的最值．思路开阔，多解频生．对考生的运算能力、符号处理能力、把握数学本质的能力、良好的思维品质及应试策略等数学素养是有较高的要求。

【解法一】在锐角三角形ABC 中，由CB A sin sin 2sin ⋅=及()C B C B C B A sin cos cos sin sin sin +=+=，得C B C B tan tan tan tan 2+=⋅，又C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++=⋅⋅，则1tan tan tan tan 21tan tan tan tan tan -⋅⋅=-⋅+=C B C B C B C B A ，今01tan tan >-⋅=C B x 则()842212tan tan tan 2≥+++=⋅xx x x C B A ，（仅当1=x 即2tan tan =⋅C B 时等号成立）．所以C B A tan tan tan ⋅⋅的最小值是8．【点评】本题是三角的常见题型，需要学生有一定的转化能力，将正弦化正切，有一定难度．【解法二】在锐角三角形ABC 中C B A ,,均为锐角，所以()0cos ,0cos ≠+≠C B A ，则由C B A sin sin 2sin ⋅=可得()CB C B C B C B C B A A cos cos sin sin sin sin 2cos sin sin 2cos sin ⋅-⋅⋅=+-⋅=，所以1tan tan tan tan 2tan -⋅⋅=C B C B A ，即C B A C B A tan tan 2tan tan tan tan ⋅+=⋅⋅，因为C B A C B A tan tan 2tan 2tan tan 2tan ⋅+≥⋅+，所以C B A C B A tan tan 2tan 2tan tan tan ⋅+≥⋅⋅，解得8tan tan tan ≥⋅⋅C B A ，（仅当4tan tan 2tan =⋅=C B A 时等号成立）．所以C B A tan tan tan ⋅⋅的最小值是8．【点评】本题要求学生具备很高的素质才能在短时间内完成，培养学生细心的思维品质。

2016年⾼考数学江苏卷压轴题详解今年的江苏卷较之去年要简单不少．填空题倒数第⼆题考查向量的“极化恒等式”，在江苏的各类模拟卷中已知屡见不鲜了，对认真复习的同学没有什么难度．填空题最后⼀题将三⾓恒等变换和不等式有机的结合起来，是⼀道不错的题⽬．不过设问⽅式以及所求结论的形式可能会让⼤部分同学“⼼中⼀凛”，难度还是不⼩的．直线与圆的⼤题⽐2013年的要逊⾊不少，函数⼤题的答案很容易猜到，稍加论证即可．压轴题明显较去年温柔很多，不仅给了充⾜的提⽰，⽽且最后⼀⼩题把解题⽤到的字母都预留好了……附加卷的两道题中规中矩，配合整卷完成了对知识的全⾯考查．总的来说，今年江苏卷命题⽔平在全国九卷中还是稳居前三的．第13题（填空倒数第⼆题）：如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是______．解　极化恒等式　我们熟知极化恒等式利⽤它可以将不好计算的数量积转化为好计算的线段长度．本题中有⽽于是不难计算得，，进⽽基底化　设，，根据题意有整理得于是第14题（填空压轴题）：在锐⾓三⾓形中，若，则的最⼩值是_______ ．解　注意到题中条件两边的次数不齐，考虑将改写为，于是有朝结论靠拢，有我们熟知在锐⾓中有于是从⽽等号当时取得．经验证，当，，时可以取得等号，因此的最⼩值是．拓展　在⾮直⾓中，有整理即得这个三⾓恒等式曾多次在各个⾼校的⾃主招⽣试题中出现．第18题（解析⼏何）：如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知以为圆⼼的圆及其上⼀点．(1) 设圆与轴相切，与圆外切，且圆⼼在直线上，求圆的标准⽅程；(2) 设平⾏于的直线与圆相交于两点，且，求直线的⽅程；(3) 设满⾜：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．解　(1) 将圆的⽅程整理为标准⽅程：．由于圆与圆的圆⼼连线与轴垂直，于是圆与轴和圆的切点分别是和，进⽽其标准⽅程为(2) 由题意，，于是圆⼼到直线的距离为⼜直线的斜率为，设其⽅程为，则有解得或，因此直线的⽅程是或．(3) 由题意，．⽽可以在圆上任取，因此可以表⽰任何长度不超过圆的直径的向量．于是问题等价于点在圆的圆内部(包含边界)，即解得因此实数的取值范围是．第19题（导数）：已知函数()．(1) 设，．(i) 求⽅程的根；(ii) 若对于任意，不等式恒成⽴，求实数的最⼤值；(2) 若，，函数有且只有个零点，求的值．解　(1)(i) ⽅程即，也即，因此它的根是．(ii) 原命题即也即对⼀切实数均成⽴．由第(1)⼩题，当时，，此时右侧函数取得最⼩值为．因此实数的最⼤值是．(2) 函数的导函数令，则单调递增，且有唯⼀零点，其中满⾜进⽽函数在处取得极⼩值，亦为最⼩值．由于，进⾏如下讨论．情形⼀　．此时必然有，取，，则显然有，且，此时函数在区间和区间内都存在零点，不符合题意．情形⼆　．此时函数在上单调递减，在上单调递增，⽽，因此函数有唯⼀零点，符合题意．综上所述，，进⽽可得，从⽽．第20题（压轴题）：记．对数列()和的⼦集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设()是公⽐为的等⽐数列，且当时，．(1) 求数列的通项公式；(2) 对任意正整数()，若，求证：；(3) 设，，，求证：．解　(1) 根据题意有，从⽽，因此所求通项公式为(2) 根据题意，有因此命题得证．(3) 设集合集合则因此条件即，⽽当时命题显然成⽴，接下来考虑的情形．设此时集合中的最⼤元素为，集合中的最⼤元素为，则由于和没有公共元素，因此．情形⼀　．此时由第(2)⼩题结论，有⽭盾．情形⼆　．此时与第(2)⼩题的论证过程类似，有因此有，命题得证．综上所述，原命题得证．第22题（解析⼏何）：如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知直线，抛物线()．(1) 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的⽅程；(2) 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．(i) 求证：线段的中点坐标为；(ii) 求的取值范围．解　(1) 直线的横截距为，于是，从⽽抛物线的⽅程为．(2)(i) 设，，则的斜率从⽽，因此线段的中点的纵坐标，进⽽由中点在直线上可得其坐标为．(ii) 由(i)，可得因此题意即圆()和直线有两个公共点．进⽽可得解得的取值范围是．第23题（附加卷最后⼀题）：(1) 求的值；(2) 设，，求证：解　(1) ，⽽，于是(2) 在第(1)⼩题的提⽰下，我们可以证明，于是⼜由于，于是这样就证明了题中的等式．注　考虑到欲证明结论是⼀个有关正整数的等式，因此(2)必然可以⽤数学归纳法证明．助⼒2017领新书优惠码。

201６年高考数学选填压轴题真题(含答案)一.选择题(共２3小题)１．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交Ｃ的准线于D、Ｅ两点.已知|AＢ|＝4,|DE｜＝２,则C的焦点到准线的距离为（)A.2B.4ﻩC．6 D．８２.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A．1７πﻩB.18πﻩC.20π D.28π3.平面α过正方体ABCＤ﹣A１B1Ｃ1D1的顶点Ａ，α∥平面CB１D１，α∩平面ABCD ＝m,α∩平面AＢB1Ａ1=n，则m、n所成角的正弦值为( ）A．ﻩB.ﻩC．D．4.已知函数ｆ(x)=sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ|≤），x=﹣为f（x)的零点,x=为y ＝f(x）图象的对称轴，且f（x)在（，)上单调，则ω的最大值为( ）A．1１B．9ﻩC.7 D.55．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（)A．20πＢ．２４πﻩC．28π D.32π6．已知F1，F2是双曲线Ｅ：﹣＝1的左，右焦点,点M在E上,ＭF1与x轴垂直,sin∠MＦ2F1=，则Ｅ的离心率为( ）A.Ｂ．ﻩC．ﻩＤ．２７.已知函数f（x)（x∈Ｒ）满足f（﹣ｘ)=2﹣f(x)，若函数y＝与ｙ=ｆ(x)图象的交点为(ｘ1，ｙ1),（x２，y2),…,（x m,y m),则（x i＋y i)=（)A.0B.mﻩC．2ｍﻩD．4m8．若函数f(x）＝x﹣sin2x＋ａsiｎx在(﹣∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( ）A.[﹣1，1］ﻩB.［﹣1，］ﻩC．[﹣,]ﻩD.[﹣1，﹣]｝如下：{a n｝共有2m项,其中m项为０,ｍ项为1，且９.定义“规范01数列”{aｎ对任意k≤2ｍ,a1，a2，…,aｋ中0的个数不少于1的个数,若m=4，则不同的“规范01数列”共有( ）A.18个ﻩＢ．16个Ｃ.１４个Ｄ.1２个１0．已知O为坐标原点，F是椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左焦点,A，B分别为C的左，右顶点.Ｐ为C上一点，且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（)A.ﻩB.ﻩC.ﻩD.11.在封闭的直三棱柱ＡBC﹣Ａ1Ｂ１C1内有一个体积为V的球，若ＡB⊥BＣ,AB＝6，BC=8,AA1=３，则V的最大值是()Ａ．4πB． C.６π D.12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ）。