绝对值习题精讲答案与解析

2.3 绝对值

学习目标

1．会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。

2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。

3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小。

知识详解

1．相反数

（1）相反数的定义

像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。

相反数的理解：①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分。

（2）相反数的求法

求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数。

一个有理数a，它的相反数是多少呢?

有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．

（3）相反数的几何意义

一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

2．绝对值

（1）绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4②绝对值是一个距离。

（2）绝对值的表示方法

一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|。

（3）绝对值的代数意义

①一个正数的绝对值是它本身；

②一个负数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0。 用式子表示为：|a|＝ a，a>0，0，a＝0，－a，a<0.

1 含绝对值的方程组

知识定位

绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

知识梳理

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。

一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：

含绝对值的不等式的性质：

（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；

（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

例题精讲

【试题来源】

【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y

【答案】1

【解析】 解：分析从绝对值的意义知

1

≥0，≥0，

两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，

可得：，

解得x=﹣y，

把③代入①得

﹣﹣=0，

解之得y=﹣3，

所以x=4，

故有x+y=4﹣3=1．

【知识点】含绝对值的方程组

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】解方程组

【答案】，，或．

【解析】 解： 由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，

即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，

（1），

把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．

1

第三讲 绝对值

【思想方法.知识要点回顾与拓展】

1.绝对值的定义

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

,(0)

0,(0)

,(0)aa

aa

aa











或,(0)

,(0)aa

a

aa







或,(0)

,(0)aa

a

aa









2.绝对值的几何意义

a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作a．

3.去绝对值符号的方法：零点分段法

（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即

0a，0a还是0a）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．

（2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表

示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零

点分段法．

【例题之 能力提升】

例1. a

，b

是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）||||||;abab （2）||||||;abab （3）||||;abba

（4）若||ab则ab

（5）若||||ab，则ab

（6）若ab

，则||||ab

变式练习：x

是什么样的有理数时，下列等式成立？

（1）|(2)(4)||2||4|xxxx （2）|(76)(35)|(76)(35)xxxx

例2. 若m是方程|2000|2000||xx的解，则|2001|m等于（ ）

A. m−2001 B. −m−2001 C. m+2001 D. –m+200

例3. 已知关于x的方程||(1)axax的解是1，则有理数a的取值范围是______________.

2

例4. 三个有理数,,abc的积为负数，和为正数，且||||||||||||abcabbcac

X

abcabbcac

第 1 页 共 18 页 含绝对值的函数

知识定位

灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用

知识梳理

1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(akhxaxf的图象：

)0()(akhxaxf与)0()()(2akhxaxg的图象类似，它们的顶点都是（kh,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（kh,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(akhxaxf的图象。

2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数bxaxxf)(的图象

（1）当a

（2）当a>b时同理。据此，可以点))(,()),(,(bfbafa确定函数bxaxxf)(的图象

3.用“多点定形法”作多绝对值函数

)()(212211iiiaaaaxmaxmaxmxf的图象

因为)()()()()()()()()()(221121212211211221121iiiiiiiiiiaxamamamxmmmaxaamamamxmmmaxamamamxmmmxf

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可知其图象是由i个顶点iAAA21、、、决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1i条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。下面分情况讨论两条射线的画法：

（1）当时021immm，则首尾两段图象斜率为0，可见其图象均为水平射线；