第二十四章综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3√5,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的√2倍,则∠ASB的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE⏜=CD⏜,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于()A.92°B.108°C.112°D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26πB.13πC.96π5D.39√10π55.如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2 m2 B.√32π m2 C.π m2 D.2π m26.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F 作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4B.3√3C.6D.2√3二、填空题⏜的长为2π,则∠ACB的大小是.9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=4√3,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,已知△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF 交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.第二十四章综合训练一、选择题1.C2.C3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE⏜=CD⏜,∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12,∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π.5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°, ∴AC为直径,即AC=2 m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=√2(m).∴阴影部分的面积是90π×(√2)2360=π2(m2).故选A.6.A7.C 对于选项A,当弦PB 最长时,PB 是☉O 的直径,O 既是等边三角形ABC 的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP ,根据圆周角性质,PA⏜=PC ⏜,所以PA=PC ;对于选项B,当△APC 是等腰三角形时,点P 是AC⏜的中点或与点B 重合,由垂径定理,都可以得到PO ⊥AC ;对于选项C,当PO ⊥AC 时,由点P 是AC⏜的中点或与点B 重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P 是AC⏜或AB ⏜的中点,都可以得到△BPC 是直角三角形. 8.B 连接OD ,因为DF 为圆O 的切线,所以OD ⊥DF.因为△ABC 为等边三角形,所以AB=BC=AC ,∠A=∠B=∠C=60°. 因为OD=OC ,所以△OCD 为等边三角形. 所以OD ∥AB.所以DF ⊥AB. 又O 为BC 的中点, 所以D 为AC 的中点.在Rt △AFD 中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8. 所以FB=AB-AF=8-2=6. 在Rt △BFG 中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=3√3,故选B .二、填空题9.20° 连接OA ,OB.设∠AOB=n °.∵AB ⏜的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∠AOB=40°. ∴∠ACB=12∠AOB=20°.10.110°11.215 在圆内接四边形ABCD 中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE 中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD ,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD )=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.√13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=√13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为√5.连接PD,∵PD=√12+22=√5,∴点D在☉P上.(2)直线l与☉P相切.理由如下:连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠ABC=30°.∵AB=AD,∴∠D=∠ABC=30°.∴∠BAD=120°.∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°.∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°.∴OA⊥AD.∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.(2)解 ∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°. ∵BC ⊥AE 于点M , ∴AE=2AM ,∠OMA=90°.在Rt △AOM 中,OM=2,AM=2√3,∴AE=2AM=4√3.16.解 (1)在Rt △ABF 中,∠A=30°,则BF=12AB=2√3,于是AF=√(4√3)2-(2√3)2=6.在Rt △BOF 中,OB 2=OF 2+BF 2=(AF-OA )2+BF 2, 又OB=OA ,∴OA 2=(6-OA )2+(2√3)2.∴OA=4.∵∠BAO=30°, ∴∠BOF=2∠BAO=60°.又OB=OD ,OC ⊥BD ,∴∠BOD=2∠BOF=120°.∴S 阴影=120π×42360=16π3. (2)设圆锥的底面圆的半径为r ,则2πr=120×4π180,解得r=43.17.解 (1)AF 是☉O 的切线.理由如下:连接OC ,∵AB 是☉O 的直径,∴∠BCA=90°.∵OF ∥BC ,∴∠AEO=90°,即OF ⊥AC.∵OC=OA ,∴∠COF=∠AOF , ∴△OCF ≌△OAF. ∴∠OAF=∠OCF=90°, ∴FA ⊥OA ,即AF 是☉O 的切线.(2)∵☉O 的半径为4,AF=3,FA ⊥OA ,∴OF=√AF 2+OA 2=√32+42=5.∵FA ⊥OA ,OF ⊥AC ,∴AF ·OA=OF ·EA , ∴3×4=5EA ,解得AE=125,AC=2AE=245.。
